一、边际分析
边际的概念.
如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ?时，对应有函数的改变量y ?.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.
设x 的改变量为x ?时，经济变量y 的改变量为y ?=)()(x f x x f -?+，则相应于x ?,y 的平均变化率是
x
x f x x f x y ?-?+=??)()( 由边际的概念，在上式中取1=?x 或1-=?x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数
x
x f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim )(0
表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.
1．边际成本
在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.
成本函数的平均变化率为
x
x C x x C x C ?-?+=??)()( 它表示产量由x 变到x +x ?时，成本函数的平均改变量.
当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为
x
x C x x C x C x ?-?+='→?)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即
)()1()()(x C x C x C x C -+=?≈'
在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为
)()(10x C C x C +=
此时边际成本为
)()()()(11
0x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.
在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本x
x C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.
2．边际收入和边际利润
在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.
设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是
x
x R x x R x R x ?-?+='→?)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即
)()1()()(x R x R x R x R -+=?≈'
设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即
)()()(x C x R x L -=
则边际利润是
)()()(x C x R x L '-'='
因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它
近似等于销量为
x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.
在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.
下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.
例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为
52003000)(2x x x C ++=和20
350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：
（1）边际成本、边际收入、边际利润；
（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.
解 由边际的定义有
（1）边际成本 x x C 5
2200)(+=' 边际收入 10
350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-
='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为
702020
)20(20350)20(2
=+?=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）
其边际收入与边际利润为
35210
20350)20(=+='R （千元/件）
144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）
上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.
二、弹性分析
一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ?=1，y ?=21，而它们的相对改变量x
x ?和y y ?分别为 x x ?=%1010
1= y y ?=%21100
21= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为
1.2%10%21==
??=x x y y
E 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.
这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学
中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.
如果极限
00000000/)(/)]()([lim /)(/lim
x x x f x f x x f x x x f y x x ?-?+=??→?→? 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为
x x Ex Ey =，=???=→?=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()
(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.
而称
00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ?-?+=?? 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ?为端点的区间上的弧弹性.
弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ?时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.
例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数. 解 因为a a y x ln ='
所以
a x a
x a a y x y Ex Ey x x ln ln =?='=.
1. 需求弹性
函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.
经济数学中的边际与弹性分析 朱文涛 （健雄职业技术学院 商贸系，江苏 太仓 215411） 摘 要：边际与弹性是经济数学中的重要概念, 是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法。本文从经济数学理论中的“边际”和“弹性”出发 ,对目前企业管理中常见的几个问题进行了数学化讨论和数学模型的建立 ,包括最低成本、最优利润和价格变动对销售收入的影响模型等。 关键词：边际；弹性；经济数学 中图分类号：F224 文献标识码：A 边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分，是微分法的重要应用。它密切了数学与经济问题的联系。在分析经济量的关系时，不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系，还要进一步了解这个函数变化的速度，即函数的变化率，它的边际函数；不仅要了解某个函数的绝对变化率，还要进一步了解它的相对变化率，即它的弹性函数。经过深层次的分析，就可以探求取得最佳经济效益的途径。 一、 边际及其经济意义 边际作为一个数学概念, 是指函数y= f(x)中变量x 的某一值的“边缘”上y 的变化。它是瞬时变化率, 也就是y 对x 的导数。用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a, b)内可导, 则称导数)('x f 为f(x)在(a, b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。本文主要分析前三个边际函数的应用。 1、边际成本。在经济学中,把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本 ,边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC= C ′(q)。 2、边际收益。是指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入，是总收入函数在给定点的导数，记作MR= C ′(q)。 3、边际利润。对于利润函数 L (q) = R(q) - C(q) ,定义边际利润为 L ′(q) = R ′(q) – C ′(q)=MR-MC ,表示指销售量增加一个单位时所增加的总利润或增加这一个单位销售量时利润的改变量。 二、边际理论的应用模型 边际分析理论是当代经济理论中数学方法的基础之一，可用来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例；确定企业的最佳规模，直至最合理的分配整个社会的资源等问题。下面主要探讨一下，如何利用边际理论决策最低成本、最优利润，以提高企业经营管理水平。 1. 建立最低成本的模型 从图1可知，由于平均成本包括有产量的增加而始终递减的固定成本，同时它又是按全部产量平均计算的，所以它的曲线由递减转为递增较边际成本曲线为迟。
第八节 变化率及相对变化率在经济 中的应用——边际分析与弹性分析介绍 一、 函数变化率——边际函数 1．()x f 在()x x x ?+00, 两点间的变化率=x y ?? 2．()x f 在0x 点的变化率 () 00 lim x f x y x '=??=→? 3. ()x f '——边际函数 4 ()() 01 1 1 000 x f dx x f dy y dx x x dx x x x x x '='=≈?=====?=
注：x ?很小时或x ? 与0x 相对比很小时此式才成立。 例 1 函数2 x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='?='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。 注： ① ()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本 ③经济学家的解释：当产量达到0 Q
时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。 二、 成本 1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。 2．①总成本 ()()Q C C Q C C 21+== ②平均成本 ()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+ = = = ③边际成本 ()Q C C '=' ④边际成本
()()1 C dt t C Q C Q +'= ? 3．几个关系 例 1 设某商品的成本函数为 ()41002 Q Q C C + == 求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。 ②当Q 为多少时，平均成本最小？ 三、 收益 1．总收益：生产出售一定数量的产
一、边际分析 边际的概念. 如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ?时，对应有函数的改变量y ?.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本. 设x 的改变量为x ?时，经济变量y 的改变量为y ?=)()(x f x x f -?+，则相应于x ?,y 的平均变化率是 x x f x x f x y ?-?+=??)()( 由边际的概念，在上式中取1=?x 或1-=?x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数 x x f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim )(0
表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量. 1．边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本. 成本函数的平均变化率为 x x C x x C x C ?-?+=??)()( 它表示产量由x 变到x +x ?时，成本函数的平均改变量. 当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为 x x C x x C x C x ?-?+='→?)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即 )()1()()(x C x C x C x C -+=?≈' 在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为 )()(10x C C x C += 此时边际成本为
习 题 1、对于5.1节传染病的SIR 模型证明； ①若σ/10>s ，则)(t i 先增加，在σ/1=s 处达到最大 ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至∞s 。 ②若σ/10时密度函数),(t x ρ的 变化（类似于图5-23对于稀疏流*0ρρ<的分析，画出分阶段的),(t x ρ示意图，求出“追上车队”和“堵塞消失”的时刻，分析间断点的变化规律等）。 12、证明红绿灯模型中左右间断线)(t x sl 和)(t x sr 当t 足够大后以相同速度向前移动。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 13 第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题（DOC ） 第 21 专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题 2009 1. 某种产品每台售价 100 元， 成本 60 元。 商家为扩大销售量， 决定凡购买量超过 100 台以上部分，按每台降价 1%出售（例如： 若销售量为 101 台， 销售量比 100 台多出一台， 于是多售出的一台售价为 99 元； 若销售量为 102 台， 多售出二台， 多售出的二台， 每台售价为 98 元， 以此类推）。 但每台最低售价为 75 元。 商家最大供应量为 150 台， 并且都能售完。 问销售量为多少时， 商家所获利润最大？ 解： 设销售量为 x ， 每台售价为 P(x)。 总成本为 C(x)=60x （x 取正整数） 由于价格不低于 75 元， 即 当 P(x)=75 元时， x=125 （ 台 ） 总 收 益 函 数 0 利润 函数 2’400100( )L
令’( )L x =0得驻点 x=120（台） 于是 x=120 时， L(x)取得极大值 L（120）=4400（元）又 L（150）（元）当销售量为150 台时所获利润最大。 2. 设某种商品的社会需求量（ p 为商品的价格），其弹性，当 p =10时， Q=156。 一个工厂生产这种商品，其日总成本函数 C（Q） =4Q+2019，求该厂日产量 Q 为多少时，总利润最大。 解： 由得 于是又由时 故利润22( )L p( )R 令 得（负数舍去） 故 p=10.7 时，利润最大，此时2256142.2()单位设某企业生产一种产品，其成本平均收益 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性时，取得最大利润。
一、简述题 1. 简述数学建模的一般方法。 答：数学建模的方法一般可分为两类：一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。一．机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。 1. 比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2. 代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法 3. 逻辑方法是数学理论研究的重要方法，对付社会学和经济学等领域的实际问题，它在对策和决策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程：解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬间变化率”的表达方式。 5. 偏微分方程：解决应变量与以上自变量之间的变化规律。机理分析法建模的具体步骤大致如下： 1. 实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数； 2. 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数； 3. 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型； 4. 符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。 二． 测试分析方法：将研究对象视为一个黑箱系统，内部机理无法直接寻求， 通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辨识。 1. 回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,……,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2. 时序分析法：处理的动态的相关数据，又称为过程统计方法。 2.谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模要经过哪些关键过程。 答：数学模型是对实际问题的一种数学表达，具体一点地说它是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。而准确的说数学模型是对于一个特定对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表达式、图等等。 而数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能够近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的过程主要包括以下几个过程： 1. 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种细信息。用数学语言来描述问题。 2. 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 3.模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各种变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。 4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出估计。 5. 模型分析：对所得的结果经行数学上的分析。 6. 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型和实际比较吻合，则要对计算结果给出其实际含义、并经行解释。如果模型与实际吻合交差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
一、边际分析 边际的概念. 如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ?时，对应有函数的改变量y ?.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本. 设x 的改变量为x ?时，经济变量y 的改变量为y ?=)()(x f x x f -?+，则相应于x ?,y 的平均变化率是 x x f x x f x y ?-?+=??)()( 由边际的概念，在上式中取1=?x 或1-=?x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数 x x f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim )(0 表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量. 1．边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本. 成本函数的平均变化率为 x x C x x C x C ?-?+=??)()( 它表示产量由x 变到x +x ?时，成本函数的平均改变量. 当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为 x x C x x C x C x ?-?+='→?)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即 )()1()()(x C x C x C x C -+=?≈' 在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为
田径 田径是体育运动中最古老的运动项目。 田径是奥林匹克运动的基石，最能体现奥林匹克"更快、更高、更强"的座右铭。 田径也是奥运会设金牌最多的项目，因此有人用"得田径者得天下"来形容田径在奥运会金牌总数中所占的位置。 A、男子：100米跑、200米跑、400米跑、800米跑、1500米跑、5000米跑、10000米跑、马拉松跑、3000米障碍跑、110米跨栏跑、400米跨栏跑、跳高、撑杆跳高、跳远、三级跳远、铅球、铁饼、链球、标枪、十项全能、20公里竞走、50公里竞走、4×100米接力、4×400米接力； B、女子：100米跑、200米跑、400米跑、800米跑、1500米跑、5000米跑、10000米跑、马拉松跑、100米跨栏跑、400米跨栏跑、跳高、跳远、三级跳、撑高跳高、铅球、铁饼、标枪、链球、七项全能、4×100米接力、4×400米接力、20公里竞走。 赛艇 运动员背向前进方向划水的一项划船运动，起源于英国17世纪到18世纪中叶。 赛艇按乘坐人数，有无舵手，以及使用单桨还是双桨划分项目。比赛距离男子2000米，女子为1000米，每条航道宽12.5~15米。 A、男子：单人双桨、双人双桨、双人单桨无舵手、双人单桨有舵手、四人双桨无舵手、四人单桨无舵手、四人单桨有舵手、八人单桨有舵手； B、女子：单人双桨、双人双桨、双人单桨无舵手、四人双桨有舵手、四人单桨有舵手、八人单桨有舵手。 自行车 起源于欧洲。1896年列为首届奥运会比赛。 A、男子11项场地项目：1公里计时赛、个人争先赛（3圈）、4000米个人追逐赛、4000米团队追逐赛、记分赛、奥林匹克争先赛、麦迪逊赛、凯林赛；公路项目：个人赛、个人计时赛山地车：越野 B、女子7项场地项目：500米计时赛、个人争先赛（3圈）、3000米个人追逐赛、记分赛；公路项目：70公里个人赛、个人计时赛山地车：越野 棒球 是一项男子比赛项目，起源有两种说法，一种认为起源于英国，由英国的一种儿童游戏演变而成，继而被英国移民传入美国，逐渐成为美国国球"；另一种认为起源于美国。 1992年列入奥运会项目。 游泳 奥运会游泳比赛共设31个项目，是仅次于田径运动的金牌大户。 A、男子游泳：50米自由泳、100米自由泳、200米自由泳、400米自由泳、1500米自由泳、100米仰泳、200米仰泳、100米蛙泳、200米蛙泳、100米蝶泳、200米蝶泳、200米混合泳、400米混合泳、4×100米自由泳接力、4×200米自由泳接力、4×100米混合泳接力；跳水：3米跳板、10米跳台、双人3米跳板、双人10米跳台；水球：1项； B、女子游泳：50米自由泳、100米自由泳、200米自由泳、400米自由泳、800米自由泳、100米仰泳、200米仰泳、100米蛙泳、200米蛙泳、100米蝶泳、200米蝶泳、200米混合泳、400米混合泳、4×100
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 第四章 导数的应用 §7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 7.1 函数变化率——边际函数 设函数 ()x f y =可导，其导函数()x f '也称为边际函数（marginal function ），记为()x Mf ，即 ()()x f x Mf '=. 差 商 ()()x x f x x f x y ?-?+=??００称为函数 () x f 在 () x x ,x 00?+（或 () 00x ,x x ?+）内的平均变化率（average rate of change ），它表示在 () x x ,x 00?+（或 ()00x ,x x ?+）内 ()x f 的平均变化速度. 函数 ()x f 在点 x x =处的导数 ()0x f '称为()x f 在点0x x =处的变化率，也称为()x f 在点 0x x =处的边际函数值，记为()0x Mf ，即()()00x f x Mf '=.它表示函数()x f 在点0x x =处的 变化速度. 由于 ()x x f dy y 0?'=≈?，当1x =?时，()0x f y '≈?.这说明()x f 在点0x x =处，当自变量x 产生一个单位的改变时，因变量y 近似改变()0x f '个单位.以后，在应用问题中解释边际函 数值的具体意义时我们略去“近似”二字（即直接说成“ () x f 在点 x x =处，当自变量 x 产生一个单位的改变 时，因变量 y 改变 () 0x f '个单位”）. 下面介绍几种常见的边际函数： 7.1.1 边际成本 设总成本函数（total cost function ）为 ()() x C C x C 10+=，其中 x 为产量， 0C 为固定成本， ()x C 1为可变成本.则平均成本函数（average cost function ）为()()()x x C C x x C x C 10+==， 边际成本函数（marginal cost function ）为 ()x MC ()()[]()x C x C C x C 1 10'='+='=. 【Note 】显然，总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数；总成本、平均成本都与固定成本有关，而边际成本只与可变成本有 关，与固定成本无关. 由于 ()()()()()[]x C x C x 1 x x C x x C x C 2-'=-'=' ()()[]x C x MC x 1 -=，令()0 x C ='，可得 ()C x MC =，因此产量水 平满足平均成本等于边际成本这个条件时，平均成本最低.
第四章 导数的应用 §7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 7.1 函数变化率——边际函数 设函数 ()x f y =可导，其导函数()x f '也称为边际函数（marginal function ），记为()x Mf ，即 ()()x f x Mf '=. 差 商 ()()x x f x x f x y ?-?+=??００称为函数 () x f 在 () x x ,x 00?+（或 () 00x ,x x ?+）内的平均变化率（average rate of change ），它表示在 () x x ,x 00?+（或 ()00x ,x x ?+）内 ()x f 的平均变化速度. 函数 ()x f 在点 x x =处的导数 ()0x f '称为()x f 在点0x x =处的变化率，也称为()x f 在点 0x x =处的边际函数值，记为()0x Mf ，即()()00x f x Mf '=.它表示函数()x f 在点0x x =处的 变化速度. 由于 ()x x f dy y 0?'=≈?，当1x =?时，()0x f y '≈?.这说明()x f 在点0x x =处，当自变量x 产生一个单位的改变时，因变量y 近似改变()0x f '个单位.以后，在应用问题中解释边际函 数值的具体意义时我们略去“近似”二字（即直接说成“ () x f 在点 x x =处，当自变量 x 产生一个单位的改变 时，因变量 y 改变 () 0x f '个单位”）. 下面介绍几种常见的边际函数： 7.1.1 边际成本 设总成本函数（total cost function ）为 ()() x C C x C 10+=，其中 x 为产量， 0C 为固定成本， ()x C 1为可变成本.则平均成本函数（average cost function ）为()()()x x C C x x C x C 10+==， 边际成本函数（marginal cost function ）为 ()x MC ()()[]()x C x C C x C 1 10'='+='=. 【Note 】显然，总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数；总成本、平均成本都与固定成本有关，而边际成本只与可变成本有 关，与固定成本无关. 由于 ()()()()()[]x C x C x 1 x x C x x C x C 2-'=-'=' ()()[]x C x MC x 1 -=，令()0 x C ='，可得 ()C x MC =，因此产量水