数学竞赛中的数列：特征根方程
112n n a -=+
特征方程特征根法求解数列通项公式 一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法： 特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p） 注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1） 二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数 （1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法： 特征方程是y×y=py+q（※） 注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。 例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An， 特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒 例三： 【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2
最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d 特征方程法求解递推关系中的数列通项 当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们 在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：1n n n aa b a ca d ++=+ 令 ax b x cx d +=+，即2()0cx d a x b +--= ， 令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有111 1 1n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+） (2)若12x x ≠,则有11 1 122 n n n n a x a x q a x a x ++- -=-- （其中1 2 a cx q a cx -=-） 例题1：设23()27 x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <， 求使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。23()27 x f x x -+=- 解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327 x x x -+= - 解得012x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83 327 x x x x x x x x x x -++---++-===?-++----- 可知使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --+ +=?--，所以数列 123n n a a ??+????-????是以34-为首项，18为公比的等比数列。 则11312()348n n n a a -+ =-?-，则11 911()482311()48n n n a ---=+ 递推数列特征方程的来源与应用 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ， 当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列???? ??-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 递推数列特征方程的来源与应用 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。 很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受 递推数列特征方程的发现 一、问题的提出 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。 在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教： 已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。 参考书上的解法是这样的： 解 此数列对应特征方程为12 +=x x 即012 =--x x ，解得2 5 1±= x ， 设此数列的通项公式为n n n c c a )2 51()251( 21-++=， 由初始条件121==a a 可知， ???????=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得?????? ?-==51 5121c c ， 所以?? ? ???--+=n n n a )251(251( 55）。 这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论， 用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。 二、研究与探索 问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求： 若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的 特征方程法 解递推关系中 通项公式 一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.2 1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1-为公比的等比数列.于是 .N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-= 要使n a 为常数，即则必须.5 3601i x a +-== 二、（二阶线性递推式） 定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程 用特征方程求数列的通项 一、递推数列特征方程的研究与探索 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？ （一）、 若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-+ +c d a c c d a n n ，知数列? ????? -+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征 方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设 )(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11 )(-++-=n n n sta a t s a , 令 ? ??==-q st p t s （ ※） （1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、 {}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得 1 1 11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1 2 12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②, ∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()() n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+= . （2）若方程组（ ※）有两组相等的解???==21 2 1t t s s ，易证此时11s t -=，则 ())(2112 111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a 具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做 线性递推数列 将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有： 1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。 例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? . 特征方程法求数列的通项公式 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径? 1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ---------------------------- …… ① 其中c O,ad bc,n N c a n d 定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列 a n 的特征根，记为 cx d (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) a c a ” 上/ a c 证毕 a n 定理2 :若 a 1 且 a d c rnri 1 2c 1 0，则 a n 1 a d a n 证明： * d 2 a 2 c, b c 1 1 ca n d ca n d a n 1 aa n b (aa n b) (ca n d) (a c)a n b d ca n d ca n a 2 c ca n a 2 c ca n a 2 c (a c)a n ( 2 c a 2 2 c) (a c)(a n ) a d / 2 (a n ) 2ca n 2a 4 c 2ca n (a 2 c) d 2c(a n ) (a d) (a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n ) 定理 1： 若 , 印且 证明： x ax b --- 1 2 cx cx d d a ( )c,b aa n b a n 1 ca n d a n 1 aa n b ca n d ,则 a n 1 a n 1 a c a n a c a n (d a)x b c (aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c (a c 冋(b d ) (a c )a n (b d ) 特征方程法求解递推关系中的数列通项 湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列的项满足 其中求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即 ，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元 则 当时，，数列是以为公比的等比数列，故 当时，，为0数列，故（证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1已知数列满足：求 解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列.于是 例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位. 当取何值时，数列是常数数列？ 解：作方程则 要使为常数，即则必须 现在考虑一个分式递推问题（*）. 例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果. 定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时， 若则 若，则其中特别地，当存在使 时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换 则 ① ∵是特征方程的根，∴ 将该式代入①式得② 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③ 当，即=时，由②式得故 当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化： ④ 由是方程的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得 令则故数列是以为公差的等差数列. ∴ 其中 当时， 当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换 故，将代入再整理得 数列通项公式的解法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。 总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中. 1.直接法 2.公式法 3.归纳猜想法 4.累加（乘）法 5.取倒（对）数法 6.迭代法 7.待定系数法 8.特征根法 9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法 ◆一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17 164,1093 ,5 42,211 （3） ,52,21,32, 1 （4） ,5 4 ,43, 32,21-- ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. 特征方程法求解递推关系中的数列通项 当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 aa n ■ b 人 ax ■ b 2 典型例子：a n 1 - 令 x ，即 ex ? (d -a)x —b = 0 ca n +d cx + d 令此方程的两个根为 x , , x 2 1 (1)若x , = x 2，则有 a n^ _x 1 a n — X , a - — X , a — ex , ⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q —) a n 半 一 x 2 a n —X 2 a ~ cx 2 —2x +3 例题1：设f(x)= 2x —7 (i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使 f (x) _ a = k x _ a 恒成立 f(x)-b x —b 的常数k 的值； 2X 3 ⑶对由a — =1,a n = f (a n 丄)(n_2)定义的数列｛a n ｝，求其通项公式a n 。f(x)= 2x —7 解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o 2X0 3 2x o -7 -2x 3 1 1 / 1、 1 X (x ) x — ⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -3 2x -7 可知使f (x) -a _k x _a 恒成立的常数 f (x) -b x -b a n 1 31 3(1厂-〕 —2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n 「3(—严 4 W a +4 例2?已知数列｛a n ｝满足性质：对于n ?N,a n1 n ,且a^3,求｛a n ｝的通项公式. 2 a n 3 1 P (其中P ) a n - x ! a d 1 解得x 0 或x 0 =3 2 1 + 丄 ，2 k 。(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列 8 a 8 a 丄 (3) -为公比的等比数列。则 8 特征方程法求解递推关系中的数列通项（二） 三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11 2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----= -a n r p r p a a c n n 其中 例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++= ∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 .N ,)2 21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5 1(521∈-= -n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,) 5(24)5(∈-+--=n a n n n 递推数列特征方程的来源与应用 浙江省奉化二中 周 衡(315506) 浙江省奉化中学 杨亢尔(315500) 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。 关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列? ?? ? ??-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2 =--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、 若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。 特征根法在求递推数列通项中的运用 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如： （08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）…………… 2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4 1 = q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中 都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n m n a a a a ) 1)(1(q p q p a a a a +++， 1）当时，求通项5 4 ,21== b a n a 。 像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。 类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。 先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足 ?? ?-==+q x x p x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。 特征方程法求解递推关系中的数列通项 当 ()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：1 n n n aa b a ca d ++= + 令 ax b x cx d +=+，即2 ()0cx d a x b +--= ， 令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有 111 11 n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d = +） (2)若12x x ≠,则有 111 122n n n n a x a x q a x a x ++--=-- （其中12 a cx q a cx -= -） 例题1：设 23 ()27 x f x x -+= -， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使 ()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。23 ()27 x f x x -+= - 解析：(1)设函数 ()f x 的不动点为0x ，则00023 27 x x x -+= - 解得012 x =-或03x = (2)由231111 ()127 2222238248(3)83327 x x x x x x x x x x -++---++-===?-++----- 可知使 ()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =。(3)由(2)可知1111 122383 n n n n a a a a --++=?--，所以数列 123n n a a ? ?+????-???? 是以34-为首项，18为公比的等比数列。则 11312()348n n n a a -+=-?-，则11 911 ()482311() 48 n n n a ---=+ 例2．已知数列}{n a 满足性质：对于1 4 N,,23 n n n a n a a ++∈= + 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24 ++= x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的 根，则有 数列{a(n)}，设递推公式为a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 . 若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同) 若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n 以上部分内容的证明过程： 设r、s 使a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] 所以a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) 即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。 然后进一步证明那个通项公式： 如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)， 两边同时除以r^(n+1)，得到a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r 等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r] 整理一下，并设a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个r 用A 来代，就可以得到a(n)=(c+nd)*A^n 了。 至于那个方程有两个不等的实根的情况，证明起来原理基本一致，就是略微繁琐一点，这里就不多说了，lz自己试试，当成数列练习把~~ 如果r不等于s，那么可得，a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] (1) a(n+2)-s*a(n+1)=r[a(n+1)-s*a(n)] (2) (1) 公式，[a(n+2)-r*a(n+1)]/[a(n+1)-r*a(n)]=s,换元得b(n+1)/b(n)=s等比数列， 则有b(n)＝a(n+1)-r*a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1) (3) (2) 公式，[a(n+2)-s*a(n+1)]/[a(n+1)-s*a(n)]＝r等比数列, 则有a(n+1)-s*a(n)= [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1) (4) (3)-(4)可得，(s-r) a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1)- [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1) a (n)= ([a(2)-r*a(1) ]/[s(s-r)])*s^n-([a(2)-s*a(1) ] /[r(s-r)])* /[s(s-r)] *r^n a(n)=a*s^n+b*r^n 若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同) 若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n 特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、（一阶线性递推式） 设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即 0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -= 作换元,0x a b n n -=则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1 1-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=-- =x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31 -为公比的等比数列. 于是： .N ,)3 1 (2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.5 3601i x a +-== 二、（二阶线性递推式） 定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程 02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时， 数列{}n a 的通项为1 211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1 211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{} n a不动点(特征方程)法求数列通项
特征方程
数列的特征方程
特征方程推导数列
7.9.3 补充阅读材料——利用特征方程求数列通项的原理
【高中数学】特征根法求通项公式
用特征方程求数列的通项
线性递推数列的特征方程
特征方程法求数列的通项公式
特征方程法求解数列通项的依据
数列通项公式的求解方法归纳
用特征根方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)
数列之特征方程法+不动点法
特征根法求数列通项
用特征根方程法求数列通项
数列通项特征根法的证明
特别解析-特征方程法求解递推关系中的数列通项
相关主题
文本预览