板块一、找规律
模块一、代数中的找规律
【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1
1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，
依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）．
A ．2008、2009-
B ．2008-、2009
C ．1004、1005-
D ．1004、1004-
⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、
0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）
．
A ．b a -
B ．
1b a - C ．11
a b
- D ．2()a b -
【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11
4b a
，…(0≠ab )，其中第7个式
子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)．
⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.
① ② ③
【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。请你按图中箭头所
指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。
⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
D
C B A
找规律及定义新运算
A．6 B．5 C．3 D．2
⑶（2010济南中考）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n
+++++（n是正整数）的结果为（）
A．2
(21)
n+B．2
(21)
n-C．2
(2)
n+D．2n
【巩固】⑴观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．
图3
图2
图1
⑵（2010日照中考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...
，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...
，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A．15 B．25 C．55 D．1225
⑶（2010山东青岛）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．
图1 图2
向右翻滚90°逆时针旋转90°
1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?
……
⑷（2010安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第
一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）
A ．495
B ．497
C ．501
D ．503
【巩固】 观察按下列规则排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14
，23，32，41，15，24，33，42，5
1，
16，…在式子中，从左起第m 个数记为()F m ，当2()2001=F m 时，求m 的值和这m 个数的积.
【例3】 观察下面的变形规律：
111111111...12223233434=-=-=-???，， 解答下面的问题：
⑴若n 为正整数，请你猜想()
1
1n n =+ ；
⑵证明你猜想的结论； ⑶求和：
1111
(12233420092010)
++++
????. …
【巩固】 阅读下列材料：
()1
121230123?=???-??，
()1
232341233?=???-??，
()1
343452343
?=???-??，
由以上三个等式相加，可得
1
122334345203
?+?+?=???=。
读完以上材料，请你计算下列各题：
⑴122334...1011?+?+?++?（写出过程）； ⑵()122334...1n n ?+?+?+++=_________；
⑶123234345...789??+??+??++??=_________。
【巩固】 已知：234356325436543
31015...121231234C C C ??????=
=====??????，，，观察上面的计算过程，寻找规律并计算6
10C = ．
【例4】 现有一列数1a ，2a ，3a ，…，98a ，99a ，100a ，其中3798971a a a ==-=-，，，且满足任意相邻三个
数的和为常数，则12399100a a a a a +++++L 的值为( )． A ．0 B ．40 C ．32 D ．26
【巩固】 如果一个序列{}i a 满足12a =，12n n a a n +=+(n 为自然数)，求100a 的值.
【例5】 右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n 横行的数字和为 ．
1
1
1
11
11
11
110105
5
6
44
3
3
2
1
【巩固】 观察下列等式：32332333233332111231236123410...=+=++=+++=，
，，，，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算333331234...100+++++的值．
【例6】 在数轴上，点A 和点B 都在与15
4
-
对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？
【例7】 如图所示，数轴被折成90?，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，
2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字 重合．
有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，，圆周为4个单位长度，圆所示位置为数轴原点，现开始紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动， 当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．
北
西东
【巩固】 把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，
点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．
北
西
南
东
【巩固】 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0
所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006-将与圆周上的数字 重合．
【巩固】 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长度，且在圆周的三等分
点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． ⑴ 圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a = ；
⑵ 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的
位置，这个整数是 （用含n 的代数式表示）
【巩固】 如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若在数轴固定
的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）
D
C
B
A
【巩固】 如图，用数轴绕圆O 三圈，圆周上的点B 与数轴上表示 6.9-、0.9-、5.1的点重合，数轴上与点A 重
合的点所对应的数最接近是（ ）
A ． 2.3-
B ．1.9
C ．2.7
D ．6.2
【例8】 研究下面的一列数：1，3-，5，7-，9，11-，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n 个
数.
【例9】 右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于1A ，2A ，3A ，…．若从
O 点到1A 点的回形线为第1圈(长为7)，从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈
的长为 ．
【例10】 如果1111+=
+n n
a a (1n =，2，3，…，2009)，那么，当11=a 时，1223++?a a a a a 20082009a a 的值是多
少？
【例11】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n +段，需n 刀，这就是说线段
上n 个点将线段分成1n +段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：
（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？
（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，
如果不能，请说明理由．
【巩固】 有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在
这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
【例12】 在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1．然后取各边中点，并在
各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是 ．
【例13】 有1A 、2A 、3A 三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：
一个舞蹈演员1A 跳舞，面对观众作队形变化的种数是1A 为1种．
二个舞蹈演员1A 、2A 跳舞，面对观众作队形变化的种数是12A A 、21A A 为2种即12?种． 三个舞蹈演员1A 、2A 、3A 跳舞，面对观众作队形变化的种数是123A A A 、132A A A 、213A A A 、231A A A 、312A A A 、321A A A 为6种即123??种． 请你猜测：
⑵ 六个舞蹈演员1A 、2A 、3A 、 (6)
跳舞，面对观众作队形变化的种数是
种．（用
科学记数法表示）
⑶ 用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码．（在同一个电话号码内
每个数字只能用一次）可能排成 个电话号码．
模块二、几何图形中的规律 【例14】 观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n 个图中最小．．
的三角形的个数有 个．
【巩固】 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的
规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）
A ．25
B ．66
C ．91
D ．120
图3
图2
图1
【巩固】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第
一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满 组，此时还剩余 块瓷砖．
【例15】 一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点
跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点跳过的总距离为 ．
x
P
P P
4
2
第1个图 第2个图 第3个图 第4个图
【巩固】 如右图，45AOB ∠=?，过OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，…，的点作OA 的垂
线与OB 相交得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，…．观察图中的规律，
求出第10个黑色梯形的面积10S = ．
【巩固】 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，
第n （n 是正整数）个图案中由 个基础图形组成．
【巩固】 假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：
……
那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？ 答： ．
【巩固】 探索图形规律，在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的
图案设计如上图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与上图拼接后符合图案的设计模式（ ）．
D
C B A
【巩固】 观察下列图形：
(1)
(2)
(3)
……
图4
图1图2图3
根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 ．
【例16】 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，
从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：
第一层：侧面个数+上面个数1415=?+=； 第二层：侧面个数+上面个数24311=?+=； 第三层：侧面个数+上面个数34517=?+=； 第四层：侧面个数+上面个数44723=?+=； …………
根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： ① 求第6层有多少个面被涂成了红色？
② 求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示）
③ 若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．
【例17】 电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC ?，6AB AC BC ===．如果跳蚤开始时在BC 边的0P 处，
02BP =．跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第1次落点）处，且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边
的2P （第2次落点）处，且21AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P （第3次落点）处，且32BP BP =…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为n P （n 为正整数），则点2009P 与点2010P 之间的距离为_________．
3
0C
【例18】 图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由
⑴ 按照要求填表：
⑵ 写出当10n =时，s = ．
【例19】 如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按
同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；
⑴ 填表：
⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个正方形？
⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个正方形？ ⑷
观察图形，你还能得出什么规律？
【例20】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用
一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
图1 图2 图3
【例21】 图1是一个方阵图，每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和均相等．如果将方阵图
中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图．根据图2、图3、图4中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图2、3、4的方阵图吗？
【巩固】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经
常研究这一神话．
① 现有1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．每一列的三个数的和为多少？给出一种填法．
② 通过研究问题①，利用你发现的规律，将3、5、7-、1、7、3-、9、5-、1-，这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
图1
1 2 3- 4- 0 4 2- 3 1-
3 4 1-
2-
4-
7-
3-
图2
图3
图4
【例22】
n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：
⑴
⑵ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．
⑶ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．
图2
图1
1
0 1 5 4 3
2
1 5
4
9
2
3＋2＋4=9
1 5
4
3
2
1
5 4
-3 2
3-2-4=-3
2006
206
6
26
6
2
1 5
4
3
2
1
9
7 5
3
版块二、定义新运算
【例23】我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：3210
1202121211
?+?+?+?=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为．
【巩固】计算机在进行数学运算时采用的是二进制，二进制的所有数都用字符0和1的组合表示，二进制数与十进制数的对应关系如下表
二进制数的加法逢二进一，如：101
+=，1110
+=，10010
+=，10111
+=，11011
+=，……．
①观察上表，十进制的10怎么表示？
②二进制的两个数相加：1011____
+=．
③若十进制数3与二进制数x的和为二进制数111，即3111
x
+=，求二进制数x．
【例24】读一读：式子“12345100
++++++
L”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比
较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100
++++++
L”表示为
100
1
n n
=
∑，这里“∑”是求和符号．
例如：1357999
++++++
L，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为
50
121
n
n =
-
∑（）；
又如3333333333
12345678910
+++++++++可表示为
10
3
1
n
n
=∑．
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
⑴246810100
++++++
L(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为．
⑵计算
5
2
1
1
n
n
=
-=
∑（）．(填写最后的计算结果)
【巩固】我们常用的数是十进制数，如3210
4657410610510710
=?+?+?+?，数要用10个数码（又叫数字）：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如
二进制中210
110121202
=?+?+?等于十进制的数6，54321
1101011212021202
=?+?+?+?+?0
12
+?等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
【例25】 （4级）(第20届希望杯培训试题)若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是
“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变
成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是 ．
【巩固】 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文(真实文)，对明文进行某种处理后得到的内容为密文，
现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：
现给出一个公式：当126≤≤x 时，若x 不能被2整除，则1'2+=
x x ；若x 能被2整除，则'132
=+x
x 将明文字母对应的数字x 按以上公式计算得到密文字母对应的数字'x ，比如明文字母为g ，则有 71
742
+→→
=→g d ，所以明文字母g 对应的密文字母为d . ⑴按照上述规定，将明文good 译成的密文是什么？写出你的计算过程； ⑵按照上述规定，请你写出由密文字母'x 得到明文字母x 的公式；
⑶按照⑵中得到的公式，密文gawqj 所代表的明文单词是什么？(直接写出结果)
【例26】 有一个运算程序，可以使：a b n ⊕=(n 为常数)时，得(1a +)1b n ⊕=-,(1)2a b n ⊕+=-．现在已
知112⊕=，那么20082008⊕= ．
【巩固】我国古代先贤用一种绝妙而形象的二进制计数符号来表示万事万物，即用“—”表示“1”，用“- -”表示“0”；亦用“”表示“1”，即二进进的“()264
a b c
++=”；用“”表示“6”，即二进帛的“110”．那么“”，“”，“”，“”，“”和“”依次表示．
【例27】对于数x，符号[]x表示不超过x的最大整数．若关于x的方程
3
4
3
x a
?+?
=
??
??
有正整数解，则a的取值
范围为．
【巩固】对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．例如[3.14]=3，[7.59]8
-=-，则满足关系式
37
4
7
x+
??
=??
??
的x的整数值有()
A．6个B．5个C．4个D．3个
【巩固】新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类。
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）
（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？
（用()()
a b c d
++来说明）
1.观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有次．
课后练习
则所得新数之和为 ．
3. 2001减去它的
12，再减去剩余数的13
，再减去剩余数的14，……依次类推，一直到减去剩余数12001，那么最后剩余的数是 ．
4.
用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……
⑴ 搭7个需要 根火柴棍．
⑵ 搭n 个三角形需要 根火柴棍．
5.
观察下面的等式
224?=，224+=； 313422?=，313422
+=； 414533?=，414533
+=； 515644?=，515644
+=； 小明归纳上面各式得到一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”， 小明的猜想正确吗？为什么？
如果不正确，请你观察上面各式结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．
6. 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112
=--，1-的差倒数是
111(1)2=--．已知11
3a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依
次类推，则2009a = ．
7.
在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x ，已知:整数122x x +，23x ，342x x +，43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是___________．
定义新运算与找规律（二）整式的加减100％
课程预览 定义新运算与找规律（二） 定义新运算 找规律 趣味课堂
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A ?B 表示()()3A B A B +?-，则()3 2-?() 23-=________． （2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______． （3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1b a b a ?=--， 那么()()42112??⊕⊕=????__________． （5）定义运算“?”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+， 则()()2211m m ?-??=????________． * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 4 4 3 2 1 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算
第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()111 1121a b a a a a b b ?= ++++++-L ， （1）当4 321 x ?=时，x =___________； （2）当2 105 y ?=时，y =___________； （3）当2015 2016 m n ?= 时，m =___________，n =___________． 例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图， 则式子5436⊕-⊕=___________． （2）对正整数n 定义()!11n n n =?-??L ，如图2是求10!的程序框图， 则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤ D ．10i ≤ 定义程序 开始 输入a 、b ()1S a b =+ ()1S b a =+ ?a b > 输出S 结束 是 否 图1 图2 开始 输入n s s i =? 输出S 结束 否 1i =，1s = 1i i =+ 是
定义新运算【知识要点】 加、减、乘、除这四种运算的意义和法则我们很熟悉。但重点中学在招生命题中除了考查四种混合运算的基本能力外，还要考查一些定义的其他的运算，一般占分在8~10分之间，特别是在2019年的小升初考试中，开始加大考察力度。 解定义新运算题的方法是认真审题、读懂题意、深刻理解新定义运算符号的含义，排除干扰条件，按照新定义运算的关系把新运算符号去掉，把问题转化成已有的数学知识。 【例题精讲】 例1 P 、Q 表示数，P*Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）的值。 例2 如果A B A B B A ?=+， 那么(32)(23)?-?=＿＿＿＿＿。 例3 定义“?”，a b a b a b +?= ?，()234=______??。 例 4 规定x y A x y ?=、()2÷x y x y ?=+，且()()133133=????。则()133_______??=。 例5 对于数a 、b 、c 、d 规定()2b c d d a ab c =- 、、、，已知 ()1232,,,x =，则x ______=。 例6 若规定112332234××*=，112344778910=*???，那么114325 *+=_____.*— 例7 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新的运算： ()()()121a b a a a a b *=?+?+?????+-，如果()323660x **=，则x _____=。 例8 如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果。下表为输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值。请你据此判断，当输入A 值2019，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是___________。 六年级数 学计算专 题(七)定
定义新运算简便运算 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
专题一：定义新运算 专题解析： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、☆、○、◇等。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 例题分析： 1.假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4） 2.设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△（4△6） 3.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333， 4*2=4+44，那么7*4= ；210*2= 4.规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4× 5...，如果 A ×⑥ 1＝⑥1＋⑤1。那么，A 是几 5.设a ⊙b=4a-2b+21 ab,求x ⊙(4⊙1)=34中的未知数x 。 专题二：简便运算 专题解析： 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公示，可以把一些较为复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。 例题分析： 21×79+790×666614 1 ×＋× 53×2552＋×65 2 ＋2314＋3412＋3412＋412 3 7.)9 5＋75(÷)92＋7729( 8.28×＋6.5457.6×＋11.123.4×542 9.1994 ×1993＋993＋－11994×1993 10.有一串数1，4，9，16，25，36...，它们是按一定规律排列的，那么其中第2000个数与第2001个数相差多少
找规律程序运算定义新运 算 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数 的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310- ，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ， 1612，2521，36 32 ，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数 为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++ ++ 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当 7a =时，b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2 a b += 。 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
新定义运算解题技巧 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、 ◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，…… “Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1 1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……， 依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）． A ．2008、2009- B ．2008-、2009 C ．1004、1005- D ．1004、1004- ⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）． A ．b a - B ． 1b a - C ．11 a b - D ．2()a b - 【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11 4b a ，…(0≠ab )，其中第7个式 子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)． ⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管 . ① ② ③ 【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ， ，，。请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。 ⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） 找规律及定义新运算
第一讲定义新运算 一、 教学目标： 1、 知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、 过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的 +、-、X 、十数学式子的过程，培养学 生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、 情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方 法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功. 二、 教学重难点： 1、 教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、 教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、 教学方 法： 四、 教学过程： (一)导入： 1、 看图大比拼 2、 我做指挥官 3、 在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5 ( ) 2=7 6 ( ) 3=3 100 ( ) 2=50 13 ( )3=39 4、 趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时 ，狼要吃掉羊，所以当狼和羊在一起时， 我们用△符号表示 狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战 胜狼：羊☆狼 = 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、 已知符号“ #”表示a#b=a+b ,求：3#5、5#9、88#13的值？ (体现对应思想和解题的三 个步骤) 加强认识：已知符号“ *”表示：a*b=b-a ，求：3*9、60*72的值? 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式； 它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式； 解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤： (1)弄清新符号的算式意义； 义算式中字母的对应；(3)将对应数字代入算式计算 (二)例题引导： 第一类：(直接运算型) 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a ①b=(a+b)十2, 例 1：已知符号“△” 表示： a △ b= (a+b)x 6，求：10^3, 6 练习：(1)对定义运算※为 a 探b= (a+b)x 2。求5探7和17探5的结果? (2)对于任意的两个数 a 和b ,规定a b= 3a-b 十3。求6 9 和9^ 的值。☆ +、引导发现法 (准备几张生活中常见标志的图片) (用手势代替语言指挥) 。 (2)找准问题中数字与定 当a=5,b=15时，求a ①b ? △ 9的值?
找规律程序运算定义新 运算 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么 这一组数的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数 为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12 -，25 ，310 -，417 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6， 12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项 是 。 【例 5】一组按规律排列的式子：2 b a - ，52 b a ，8 3 b a -，114 b a ，…（0ab ≠），其中第7个 式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，3632 ，…中得到巴尔末 公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；
五年级奥数专题三:定义新运算（1） 关键词：运算四则四则运算定义奥数符号意义这些表示年级 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2，
x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， …… 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0 所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
专题一定义新运算 一、课前热身 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧： 1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1 2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2) 二、归纳总结 按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。 1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。 2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。但它没转化前，是不适合于各种运算定律。 3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练 第一组：直接计算型 1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。 2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b 求6◎3和（6◎3）◎2。 3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？ 例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。按此规律计算：8☆5。 练一练： 1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？ 2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13 求：（1）5☆10= （2）10☆5=
第4讲 定义新运算提高卷 60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！ 1．对于任意两个正数x ，y ，定义一个运算“”，其规则为x y=2(2xy-x-y).若正整数a ，b 满足a b=188，则这样的有序对(a ，b)-共有 对． 2．对实数a ，b 规定运算的意义是a ,2 33b a b += 则方程35||=x 的解是 3．对于定义)12(2321)(+------=m m m F =++++)100(,242F m 则 4．对于不小于3的自然数n ，规定如下一种操作：>
定义新运算一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a ×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
小升初培优（三） 找规律、定义新运算和程序运算 一、课堂要求 二、知识结构 l.找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型： (1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系． (2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律： 12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)． n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)． n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)． 1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)． 1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)． )1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)． x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)． x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：?+2 )1(,,21,15,10,6,3,1n n
小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
第三节找规律、定义新运算和程序运算 1．找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型： (1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系． (2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论， 常见的数列规律： (1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）． (2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）． (3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）． (4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）． (5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）． (6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）． (7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）． (8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和． ②三角形数：1，3，6，10，15，21，…， []1 2 n n+ ． 2．定义新运算 (1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算， (2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 3．程序计算 解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．
规律探索与定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 2.数字的变化 3.与代数知识相结合 4.与几何知识相结合 5.综合问题 二、定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此 规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（） 【答案】B 2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请 仔细观察，按此规律第2010个图案是（） A．B．C．D． 【答案】B 3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的 方式进行排列： 按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）． A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．
【答案】C 4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆． 【答案】46 5. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9 个图形中共有________个★ 【答案】20 6. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式 摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星 个． 【答案】150 7. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律 的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗． 【答案】24 8. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形， 称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10 个 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 …
第三讲:化简值绝对、定义新运算、找规律 一、【化简绝对值】 Ⅰ、根据题设条件 例1 设化简的结果是（ )。 （A）（B） (C)（D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(Ｂ）. 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路． Ⅱ、借助教轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ). (Ａ）（B）（C) (D) 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清： １.原点的左边都是负数，右边都是正数．
2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． Ⅲ、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定,由于ｘ是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解 令得零点:；令得零点:，把数轴上的数分为三个 部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时,， ∴原式 ③当时，， ∴原式 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）. ∴
2.分段:根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定. ３.在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案. 二、【定义新运算】 1.在有理数集上定义运算“*”,其规则为ａ＊b= b a b a 22+-,求(3＊1）*(2*2) 2．在有理数上定义运算“?”,其规则为a ?b=2a+b,若ｘ ? (3?2)=4，求ｘ的值 ３．“*”是一种新运算，定义为：a*b=2 2b a + 。解方程3*|x|=４ 4．设a ，ｂ是两个整数，定义运算“*”,其规则为:当a ≥b 时,a*b= b 2-1；当ａ四年级奥数题新定义运算习题及答案(A)
一、新定义运算(B 卷) 年级 ______ 班_____ 姓名 _____ 得分_____ 1. 设b a,表示两个不同的数,规定b a b a 34.求2)34(. 2. 定义运算“”为x )(2y x xy y .求12(34). 3. 设b a,表示两个不同的数,规定b a b a 23,如果已知42b .求b. 4. 定义新的运算a ?b a b a b .求(1?2)?3. 5. 有一个数学运算符号“?”,使下列算式成立:2?4=10,5?3=18,3?5=14, 9?7=34.求7?3=? 6. 定义新运算为b a b a 1 .求)43(2的值. 7. 对于数y x,规定运算“○”为x ○)3()4(b a y .求7○(8○9)的值. 8. 设a b 表示a 的3倍减去b 的2倍,即a b =b a 23,已知x (41)=7.求x . 9. 定义两种运算“”、“”,对于任意两个整数b a,,1b a b a , 1b a b a .计算)]53()86[(4的值. 10. 对于数b a,规定运算“”为)1()1(b a b a ,若等式) 1()(a a a )()1(a a a 成立,求a 的值. 11. y x,表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x ※y x y 45,x ○ xy y 6.求(3※4)○5的值.
12. 设b a,分别表示两个数,如果a b 表示 3b a ,照这样的规则,3[6(85)]的结果是什么? 13. 规定xy y Ax y x ,且56=65,求(32)×(110)的值. 14. 有一个数学运算符号 “○”,使下列算式成立:21○6332,54○451197,65○42671.求113○54 的值.
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12，34，56，7 8 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数的第k 个数是 _______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：3579 24816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310-，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个 式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612 ，2521，36 32，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱 奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=L _________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=L ____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++L 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时， b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的 一部分，则a = ， 2 a b += 。 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · · a b · · · · · · ·