2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题18概率文

2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题18 统计与统计案例理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题18 统计与统计案例理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题18 统计与统计案例1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人．现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．15,5，25 B．15，15,15C．10，5,30 D．15,10，20解析：先确定抽样比为错误!＝错误!，则依次抽取的人数分别为错误!×300＝15，错误!×200＝10和错误!×400＝20。

故选D。

答案:D2.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是（)A．125 B．55C．45 D．3错误!解析：由茎叶图知平均值为114＋126＋128＋1324＝125，∴s2＝错误!［(125－114)2＋(125－126）2＋(125－128）2＋（125－132)2]＝45.答案：C3．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P（K2≥3。

841）＝0.05，P（K2≥6。

635)＝0.01，则下列说法正确的是（)A．有95％的把握认为“X和Y有关系”B．有95％的把握认为“X和Y没有关系”C．有99％的把握认为“X和Y有关系”D．有99％的把握认为“X和Y没有关系”解析：依题意，K2＝5,且P(K2≥3。

透视全国高考揭秘命题规律（六）-—概率与统计(全国卷第18题)统计与概率(2015·高考全国卷Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组［50，60）[60,70)[70，80）［80，90）[90，100］频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图（2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【解】(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散．（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P（C A）的估计值为(0。

01＋0。

02＋0.03)×10＝0。

6，P（C B)的估计值为（0。

005＋0。

02)×10＝0。

25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．第一步:从统计图（频率分布直方图、茎叶图、扇形图、条形图、折线图等)提取相关的信息与数据。

第二步：根据统计原理和方法，理清统计量之间的关系.第三步：将问题“翻译”为“数据”，根据问题要求用数据刻画（或估计）问题.回归分析问题（2016·高考全国卷丙）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0。

知识点10：概率与统计1、某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2， (1000)从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2、从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A.0.6B.0.5C.0.4D.0.33、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、若某群体中的成员只用只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.75、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，76、有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.157、某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8、如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.14B.π8C.12D.π49、从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.2510、改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月,A B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中,A B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A 27人3人仅使用B 24人1人(1)估计该校学生中上个月,A B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由. 11、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F.享受情况如右表，其中“”表示享受，“ ”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.②.设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.12、为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A B、两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70．(1).求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；(2).分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．13、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用,,,,,,A B C D E F G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.14、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表. 最高气温[)10,15 [)15,20 [)20,25 [)25,30 [)30,35 [)35,40 天数 2 16 36 25 7 4(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所以可能值，并估计Y 大于零的概率.15、海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位: kg )，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.附：()()()()2()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则60n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．2答案及解析：答案：D解析：从5名同学中任选2人参加社区服务，有10种不同选法，其中选中的2人都是女同学的情况有3种，故3()0.310P A ==.3答案及解析：答案：A解析：设建设前总经济收入为100则建设后总经济收入为200对于A ，建设前种植收入为10060%60⨯=，建设后种植收入为20037%74,6074⨯=<故A 借误:对于B ，建设前其他收入为1004%4⨯=，建设后其他收入为2005%10,1024⨯=>⨯，故B 正确对于C ，建设前养殖收入为10030%30⨯=，建设后养殖收入为20030%60,60230⨯==⨯，故C 正确:对于D ，建设后，养殖收入占30%，第三产业收入占28%,30%28%58%50%+=>故D 正确:4答案及解析：答案：B解析：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+=因为()0.45,()0.15P A P AB ==，()0.45()0.151P A B P B ⋃=++=，所以()0.4P B =5答案及解析：答案:A解析:由题意，甲组数据为56,62,65,70,74x +，乙组数据为59,61,67,60,78y +.要使两组数据中位数相等，有6560y =+，所以5y =，又平均数相同，则()56626570745x +++++59616765785++++=，解得3x =.故选A .6答案及解析：答案：C解析：从5支彩笔中任取2支共有10中取法，其中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，篮)，(红，绿)，(红，紫)，共4种.故所求的概率为42105=.故选C.7答案及解析：答案：A解析：A项，由折线图可看出2014年9月接待的游客量小于8月接待的游客量，因此月接待游客量并不是逐月增加的，故A项结论错误符合题意.B项，由折线图可看出2014年每个月接待的游客量小于2015年对应月份接待的游客量，2015年每个月接待的游客量小于2016年对应月份接待的游客量，所以年接待游客量逐年增加，故B项不符合题意.C项，由折线图可看出每一年的7，8月接待的游客量远高于当年其他月份，因此各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C项不符合题意.D项，由折线图可看出各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D项不符合题意.故选A.8答案及解析：答案：B解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2根据几何概型的概率公式，得所求概率ππ248P==.故选B.9答案及解析：答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)，共10种情况.因此所求的概率为102P==.故选D.25510答案及解析：答案：(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=(人)，所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400⨯=(人).100(2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所.以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125.因为从仅使用B的学生中随机抽取(3)由(2)知支付金额大于2000元的概率为1251人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.11答案及解析：答案：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.(2)①.从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F{}{}{}{}{}{}C D C E C F D E D F E F,,,,,,,,,,,共15种.②.由表格知，符合题意的所有可能结果为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}A B A D A E A F B D B E B F C E C F D F E F，共11种.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以，事件M发生的概率11P M=()1512答案及解析：答案：(1) 0.35b=；(2) 4.05，6.a=，0.10解析：(1)由题得0.200.150.70a=，a++=，解得0.35由0.050.151()10.70++=-=-，解得0.10b P Cb=.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05乙离子残留百分比的平均值为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.0.0530.1040.1550.3560.2070.158613答案及解析：答案：(1)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人， 2人， 2人.(2)①解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F A G B C {}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,B D B E B F B G C D C E C F{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,C G D E D F D G E F E G F G 共21种.②解：由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是,,,A B C来自乙年级的是,,D E 来自丙年级的是,,F G则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为 {}{}{}{}{},,,,,,,,,,A B A C B C D E F G 共5种.所以，事件M 发生的概率为()5.21P M =14答案及解析：答案：(1)最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300瓶，则216363905P ++==. (2)当最高气温不低于25时，需求量为500瓶，进货450瓶均可售出， 所以利润450(64)900Y =⨯-= (元).当最高气温位于区间[)20,25时，需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶，所以利润()()300642450300300Y =⨯--⨯-= (元).当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶， 所以利润()()200642450200100Y =⨯--⨯-=- (元).当利润0Y >时，最高气温不低于20，所以3625744905P +++== (或21641905P +=-=). 15答案及解析：答案：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为：()(0.0120.0140.024P A =+++0.0340.040)50.62+⨯=.因此，事件A 的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg 到55kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg 到50kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高， 因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.。

(完整版)18题高考数学概率与统计知识点(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)18题高考数学概率与统计知识点(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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高考数学第18题（概率与统计)1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识：(1）等可能性事件(古典概型）的概率：P(A ）＝)()(I card A card ＝n m;等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ； 依公式()mP A n =求值；答,即给问题一个明确的答复.（2）互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B ）＝P(A ）＋P （B ）; 特例:对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A ）＝1。

（3）相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B ）＝P （A ）·P(B ）； 特例：独立重复试验的概率:Pn(k ）＝kn k kn p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P ］n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种。

第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答,即给提出的问题有一个明确的答复。

2017年高考数学—概率统计（解答+答案）1.（17全国1理19．（12分））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．2.（17全国1文19．（12分））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i xx i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．3.（17全国2理18.（12分））海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P （）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.8284.（17全国3理18．（12分））某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：)（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？5.（17全国3文18．（12分））某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点19 概率（文）【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，与函数、不等式、统计等知识结合考查古典概型、几何概型及互斥事件的概率求法，考查应用意识、运算求解能力，难度为中档试题，分值为5至17分. 【热点考向】 考向一 古典概型【解决法宝】1.利用古典概型计算事件A 的概率应注意的问题： ①本试验是否是等可能的； ②本试验的基本事件有多少个；③事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 回答好这三个方面的问题，解题才不会出错. 2.基本事件数的探求方法： ①列举法：适合于较简单的试验；②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．③列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.例1．【河北衡水中学2017届高三摸底联考，4】已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ． 1 B ．116 C ． 14 D ．12【分析】 【解析】 考向二 几何概型 【解决法宝】1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.例2． 【河北唐山2017届高三上期期末，10】已知函数 ()214x f x =，若在区间()0,16内随机取一个数0x ，则()00f x >的概率为 （ ）A ．14 B ．13 C. 23 D ．34【分析】 【解析】考向三 互斥事件和对立事件【解决法宝】1.注意区分互斥事件和对立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个或多个事件，对立事件是同一试验中不可能同时发生的两个事件，且其和事件为必然事件；2.一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解；例3．【南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试】甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 . 【分析】 【解析】 【热点集训】1.【广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试（一）】 在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为（A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）342. 【河南百校联盟2017届9月质检，6】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（ ） A ．25 B ．310 C ．35 D ．453.【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末】AB 是半径为1的圆的直径，在AB 上的任意一点M ，过点M 垂直于AB 的弦，则弦长大于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【山东省实验中学2017届高三第一次诊断,12】在区间[]1,2-上任取一个数x ，则事件“1()12x≥”发生的概率为 ．5.【甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第一次联考】若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为（ ） A.8π B.9π C. 24πD.6π6.【湖北黄石2017届高三9月调研，11】假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．18 B ．58 C ．12 D ．787.【甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试】如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆。

概率与统计是高考必考重点内容之一，高考考查的主要内容有：抽样方法、统计图表，统计数据的数字特征，变量间的关系，随机事件的概率、古典概型、几何概型，以及回归分析与独立性检验，条件概率、正态分布、互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率以及独立重复试验和离散型随机变量的分布列与期望。

通过研究近几年全国高考试卷，不难发现新课标对概率与统计模块的考查强调知识的综合性,更注重在知识交汇处命题.试卷具体现出“一小一大”，即一道小题，一道大题，占17分，小题通常出现在客观题中单独考查，大题在解答题中与其它知识综合考查，难度不大．试题背景与日常生活贴近，联系也最为紧密，体现应用的观念与意识，考查学生处理数据的能力，对概率事件的识别及概率的计算能力，以及考查学生的阅读与理解能力、分析问题与解决问题的能力．试题朝着“重基础、重能力、探究与创新”的方向发展．【考纲解读】一、考点及要求说明: A.了解 B.理解 C.掌握二、考点说明1.统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性。

②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。

②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。

③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释。

④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

（3）变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

2.概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

【2017年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求． (2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A 级要求． (3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B 级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B 级要求. 【重点、考点剖析】 1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝mn求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.【题型示例】题型一 古典概型问题例1、(2016·课标Ⅱ，18，12分，中)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23aa＝1.23.【举一反三】(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．【答案】56【解析】 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.【变式探究】(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(3)a＝11或a＝18.【感悟提升】1．古典概型的求解思路(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)根据公式P(A)＝mn＝A中所含基本事件数基本事件总数求出．【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．【解析】(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝25.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝8 15.题型二几何概型问题例2、(2016·课标Ⅰ，4，易)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【解析】B 由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P＝10＋1040＝12.【举一反三】(2016·课标Ⅱ，10，中)从区间0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【解析】C 由题意知，mn＝π4，故π＝4mn，即圆周率π的近似值为4mn.【变式探究】(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π【答案】 B＝14－12π.【变式探究】(2014·湖北)由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78【答案】D【感悟提升】几何概型的求解思路概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法．求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．其解析为：(1)判断所求几何概型的类型；(2)分别确定相关的区域长度(面积与体积)；(3)代入公式计算．【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78【答案】C题型三、抽样方法例3、(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．167 B．137 C．123 D．93【答案】 B【解析】由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.【变式探究】(1)(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10【命题意图】(1)本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解．(2)本题主要考查样本容量和分层抽样的概念及计算．要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力．【答案】(1)D (2)A【感悟提升】在解题时注意各种抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样．(1)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．(2)在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同．【变式探究】从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483【答案】C【解析】因为系统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为25，所以7＋(k －1)·25≤500，解得k≤51825，即k 取1,2,3，…，20，所以样本中最大的编号为7＋(20－1)·25＝482.题型四 频率分布直方图与茎叶图例4．(2015·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A．8 B．15 C．16 D．32【答案】 C【变式探究】(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151]上的运动员人数是________．【答案】 4【解析】由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．题型五变量间的相关关系及统计案例例5．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】 D【变式探究】(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b ∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】 B【解析】 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ∧＝0.76，∴a ∧＝0.4，由y ∧＝0.76x＋0.4得当x ＝15万元时，y ∧＝11.8万元．故选B.【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．)表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^【解析】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于68，563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x.。

专题18 解创新数列之匙一．【学习目标】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．二．【方法总结】1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意.(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解.(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题.三．题型典例分析1.数列与函数的综合例1. 设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ）A. 136B. 9C. 18D. 36 【答案】C【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式练习1. 设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ） A. 136 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[12a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =12a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n ≥2时，S n-1=12a n-1（a n-1+1）②， ①-②可得a n =12 a n （a n +1）-12a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0 ∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以1818a =故选C练习2.已知是R 上的奇函数，，则数列{}n a 的通项公式为（ ）．A. n a n =B. 2n a n =C. 1n a n =+D.【答案】C【解析】∵是奇函数，∴，令12x =，， 令12x =-，，∴，∴，令112x n =-，∴，令112x n =-，∴，∵，∴，同理可得，，∴， 故选C练习3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则下列结论正确的是（ ）A.B. C.D.【答案】D【解析】令f (x )=x 3+2016x ,则f ′(x )=3x 2+2016>0，所以f (x )在R 上单调递增,且f (x )为奇函数。

回扣8概率与统计1。

牢记概念与公式（1）概率的计算公式①古典概型的概率计算公式P(A）＝错误!;②互斥事件的概率计算公式P（A∪B)＝P（A)＋P(B);③对立事件的概率计算公式P(A）＝1－P（A）；④几何概型的概率计算公式P（A）＝错误!。

（2）抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为错误!;②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量。

(3）统计中四个数据特征①众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据。

如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数。

③平均数：样本数据的算术平均数,即错误!＝错误!(x1＋x2＋…x n).④方差与标准差方差:s2＝错误!（x1－错误!)2＋(x2－错误!)2＋…＋(x n－错误!）2］。

标准差：s＝错误!.2.活用定理与结论(1)直方图的三个结论①小长方形的面积＝组距×错误!＝频率。

②各小长方形的面积之和等于1。

③小长方形的高＝错误!，所有小长方形高的和为错误!。

(2）线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!一定过样本点的中心（错误!，错误!).（3）利用随机变量K2＝错误!来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。

如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.1。

应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和。

2。

正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件。

3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样本数据的频率求错。

1。

某学校有男学生400名,女学生600名。

专题18 概率 文【命题热点突破一】古典概型与几何概型例1、【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 【变式探究】三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为________． 【答案】25【解析】 三位学生两位老师站成一排，有A 55＝120（种）站法，老师站在一起，共有A 44A 22＝48（种）站法，故老师站在一起的概率为48120＝25.【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏【变式探究】已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上的点到直线l 的距离小于2的概率为________． 【答案】16【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题．计算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求．【举一反三】如图所示，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为( )A.117B.217C.317D.417【答案】B【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求．【变式探究】某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数：807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989 据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为( ) A ．0.15 B ．0.25 C ．0.2 D ．0.18 【答案】C【特别提醒】每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C 23×0.32×0.7＝0.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异．随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的．【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验 例2、某项比赛规则是：甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为23，负的概率为13，且各场比赛互不影响．已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示．(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差； (2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率． 【解析】：（1）由题中数据可知，x 甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，x 乙＝88＋84＋83＋92＋935＝88，所以s 2甲＝15×（9＋25＋4＋64＋4）＝21.2，s 2乙＝15×（0＋16＋25＋16＋25）＝16.4.（2）设“甲队中参加个人赛成绩为第i 名的队员在团体赛中获胜”为事件A i （i ＝1，2，3）. 由题意可知P （A 1）＝23，P （A 2）＝P （A 3）＝13，且A 1，A 2，A 3相互独立.设“甲队至少有2名队员获胜”为事件E ，则E ＝A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3， 故P （E ）＝23×13×23＋23×23×13＋13×13×13＋23×13×13＝1127.【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答．【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．故X 的分布列为所以E （X ）＝200×110＋300×310＋400×610＝350.【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差例3、【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .【答案】32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ======在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)C 448P X ==⨯=，239(2)()416P X ===， 则393128162EX =⨯+⨯=. 【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．所以X 的分布列为所以E （X ）＝1×16＋2×16＋3×23＝52.【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率．【变式探究】某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：(1)求上表中a ，b 的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间[108，112]内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间[110，112]内的有X 株，求X 的分布列和数学期望．（3）由频率分布表知树苗高度在区间[108，112]内的有9株，在区间[110，112]内的有3株，因此X 的所有可能取值为0，1，2，3.P （X ＝0）＝C 56C 59＝6126＝121，P （X ＝1）＝C 13C 46C 59＝45126＝514，P （X ＝2）＝C 23C 36C 59＝60126＝1021，P （X ＝3）＝C 33C 26C 59＝15126＝542.故X 的分布列为所以E （X ）＝0×121＋1×514＋2×1021＋3×542＝53.【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布．从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球．注意从摸球模型理解这两个分布．【变式探究】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．故ξ的分布列为故ξ的数学期望E(ξ)＝4×23＝83.【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差．【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题 例4、某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元．根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平．现有两种采摘方案：方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元． 根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响．(1)若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益； (2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理．所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)＝6×925＋3×1225＋1.5×425＝3.84，即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元．(2)茶厂若采用方案①，设茶厂13日采茶的预期收益为η万元，则η的可能取值为6和3. 因为P(η＝6)＝35，P(η＝3)＝25，所以η的分布列为所以η的数学期望E(η)＝6×35＋3×25＝4.8，所以若茶厂采用方案①，则采茶的总收益为6＋4.8＋3.84＝14.64(万元)； 若茶厂采用方案②，则采茶的总收益为6×3－3.2＝14.8(万元)． 因为14.64<14.8，所以茶厂采用方案②更合理．【易错提醒】 (1)对问题的实际意义理解不透，弄错ξ的取值；(2)求ξ取各个值的概率时出现计算方面的错误；(3)对采用方案①采茶的总预期收益的意义理解错误，不能正确求出采用方案①采茶的总预期收益；(4)找错两种方案优劣的比较标准．【变式探究】为迎接中秋节，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金m 元，正确回答问题B 可获奖金n 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大？因为E(ξ)－E(η)＝(m 4＋n 20)－(m 20＋n 5)＝4m －3n20，所以当m n >34时，E(ξ)＞E(η)，即先回答问题A ，再回答问题B ，该参与者获奖金额的期望值较大；当m n ＝34时，E(ξ)＝E(η)，无论是先回答问题A ，再回答问题B ，还是先回答问题B ，再回答问题A ，该参与者获奖金额的期望值相等；当m n <34时，E(ξ)<E(η)，即先回答问题B ，再回答问题A ，该参与者获奖金额的期望值较大． 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2.【2016高考新课标3】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和 平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D3.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D.4.【2016高考新课标2】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.5.【2016年高考北京】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 7.【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .【答案】32【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ====== 在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)C 448P X ==⨯=，239(2)()416P X ===， 则393128162EX =⨯+⨯=.8.【2016高考新课标2】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 【答案】0.1【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1， 10.【2016高考山东】在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .【答案】3411.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .12.【2016高考新课标2】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.1020.051.23.a a a ⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 13.【2016年高考四川】（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．【答案】（Ⅰ）0.30【解析】14.【2016年高考北京】（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<. 【解析】设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 15.【2016高考山东】（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. （Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=, ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,()32321643434P X ==⨯⨯⨯=.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望01234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16.【2016高考天津】（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 17.【2016高考新课标3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，7≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a b =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨． 【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i ii i i iy t yt y y t t，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r ．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a， 所以，y 关于t 的回归方程为：t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.1．(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A ．1 B.1121 C.1021 D.521【答案】C2．(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．【答案】56【解析】 这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.3．(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋yi(x ，y ∈R )，若|z|≤1，则y≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π【答案】 B【解析】 由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π. 4．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312 【答案】 A【解析】 该同学通过测试的概率为p ＝0.6×0.6＋C 12×0.4×0.62＝0.648.5．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 【答案】C6．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【答案】 B【解析】 由题意，知P(3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.7．(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．8．(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3. 又P(X ＝1)＝16，P(X ＝2)＝56×15＝16，P(X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.9．(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．10．(2015·天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．11．(2015·山东，19)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E(X)．【解析】 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P(X ＝0)＝C 38C 39＝23，P(X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.12．(2015·湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.于是P(X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P(X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125，P(X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P(X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35.。

热点题型二随机事件的概率近年来高考中对概率的考查呈现出新的变化，在考查古典概型，互斥事件与相互独立事件概率，条件概率的同时，几何概型逐步成为热点。

概率问题在选择题，填空题和解答题中都有出现。

题目难度中等，只要考生能通过阅读获取相应的信息，熟悉常见的概率模型，并掌握必要的计数方法（排列组合），便可进行概率计算。

常见问题归纳如下；类型一古典概型类型二条件概率与相互独立事件概率类型三几何概型【基础知识整合】第一部分：概率的概念与性质1.概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质：(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.4．互斥事件概率的加法公式(1)若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．名师点睛：(1)从集合的角度理解互斥事件和对立事件：①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．②事件A的对立事件A－所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．(2)概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．第二部分：古典概型1.基本事件的特点： (1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2.古典概型;具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3.古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.名师点睛：从集合的角度看概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝card(A) card(I)＝mn.第三部分：条件概率及相互独立事件的概率1.条件概率1．定义；设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．性质；若事件A与B相互独立，则A与B－、A－与B、A－与B－也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．名师点睛：(1)在古典概型中，若用n(A)表示事件A所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A).(2)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．(3)对于事件A与B，若A⊆B，则P(AB)＝P(A)．第四部分：几何概型1.几何概型的定义；如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2.几何概型的两个基本特点：（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．（2）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3.几何概型的概率公式；P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).名师点睛：几何概型的两种类型：(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时的概型．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。

第十三章 概率与统计第一节 概率及其计算题型140 古典概型1.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.1.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型2.（2017江苏07）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．2.解析 由题意260x x +-…，故[]2,3D =-，所以()()325549P --==--．故填59．3.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.14 B. π8 C. 12 D. π4AB D3.. 解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.第二节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率4.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.4.解析 （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差5．（2107浙江8）已知随机变量i ξ满足()1i i P p ξ==，()01i i P p ξ==-，12i =，.若12102p p <<<，则（ ）.A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>5. 解析 依题意，列分布列1ξ1 0p1p11p -2ξ1 0p2p 21p -所以()11E p ξ=，()()1111D p p ξ=-；()22E p ξ=，()()2221D p p ξ=-． 因为12102p p <<<，所以()()12E E ξξ<，()()()()21211210D D p p p p ξξ-=--+>⎡⎤⎣⎦.故选A ．6.（2017山东理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望()E X . 6.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==（2）由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则56510C 1(0)C 42P X ===，4164510C C 5(1)C 21P X ===，3264510C C 10(2)C 21P X ===，2364510C C 5(3)C 21P X ===，1464510C C 1(4)C 42P X ===，因此X 的分布列为X 的数学期望()0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==5105101234221212142+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7..（2107山东理8）分别从标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）. A.518 B.49 C.59D.79 7. 解析 由于是不放回的抽取，两张卡片的数的奇偶性不同共有11542C C 种基本情况，总的基本事件共有98=72⨯种，则所求事件的概率为12542C C 5989=⨯ .故选C. 8.（2107天津理16）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 8.解析 （1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.9.（2017全国2卷理科13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X = ． 9．解析 有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =， 则()()11000.020.98 1.96D X np p =-=⨯⨯=.10.（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 10．解析 （1）易知需求量x 可取200,300,500， ()21612003035P X +===⨯；()3623003035P X ===⨯；()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：【解析】X【解析】200【解析】300【解析】500【解析】P【解析】15【解析】25【解析】25（2）①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -= 此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述当300n =时，Y 取到最大值为520.11.（2017北京理17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）11.解析 （1）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （2）由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.2224C 1(0)C 6P ξ===，112224C C 2(1)C 3P ξ===，2224C 1(2)C 6P ξ===. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 12.（2017江苏23）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球()*,2,m n n ∈N …，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n ⋅⋅⋅+的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉()1,2,3,,k m n =⋅⋅⋅+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()()1nE X m n n <+-．12.解析 （1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量 X 的概率分布为：随机变量X 的期望为：111C ()C n m nk n k n m nE X k -+-=+=⋅∑()()()1!11C 1!!m nnk n m n k k n k n +=+-=⋅--∑． 所以()()()()2!1C 1!!m nn k n m n k E X n k n +=+-<--∑()()()2!1=(1)C 2!!m nn k n m n k n n k n +=+-=---∑ ()()222121 1C C C =1C n n n n n m n n m nn ----+-+++++-L()()12221121C C C C =1C n n n n n n n m n nm nn ------+-++++⋅⋅⋅+- ()()12221C C C ==1C n n n n n m n nm nn ---+-+++⋅⋅⋅+-L ()()12221C C =1C n n m n m n nm nn --+-+-++- ()()()11C 1C 1n m n nm n n n m n n -+-+=-+-， 即()()()1nE X m n n <+-．题型144 正态分布——暂无13.（2107全国1卷理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数，求()1P X …及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.9810.04 10.269.9110.13 10.02 9.2210.04 10.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ===，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1216i =⋯，，，．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈．13. 解析 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974，落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X==-≈，()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…，由题可知()~160.0026X B ，，所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=，39.9730.21210.606μσ+=+⨯=，()()339.33410.606μσμσ-+=，，，因为()9.229.33410.606∉，，所以需对当天的生产过程检查．因此剔除9.22，剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=≈.第三节 统计与统计案例题型145 抽样方式——暂无14.（2017江苏3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 14.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)．故填18． 题型146 样本分析——用样本估计总体15.（2017北京理14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，123i =，，.①记1Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_________. ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123p p p ，，中最大的是_________.OB 1B 2B 3A 3A 2A 1)零件数件()15. 解析 联结11A B ，22A B ，33A B 比较三者中点终坐标的大小，所以第一问选1Q ，分别作1B ，2B ，3B 关于原点的对称点1B '，2B '，3B '，比较直线11A B '，22A B '，33A B '斜率大小，可得22A B '最大.故填2p16.（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）. A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳16．解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误.故选A.17.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ， 新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .17．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C ==. （2）箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法 62 38 新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.题型147 线性回归方程18.（2107山东理5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）.A. 160B. 163C. 166D.17018. 解析 22.5x =，160y =，所以$160422.570a=-⨯=，从而24x =时，42470166y =⨯+=.故选C.题型148 独立性检验——暂无19.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.19．解析（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg” 为事件B，“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C=⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C==.（2）箱产量50kg<箱产量50kg≥旧养殖法62 38新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.。

2017年高考数学—概率（选择+填空+答案）1.（17全国1理2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 2.（17全国1理6）621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．353.（17全国1文2）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数4.（17全国1文4）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 45.（17全国2理3 ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.（17全国2理6）.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.（17全国2理7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8.（17全国2文11 ）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B.15 C.310D.25 9.（17全国3理3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10.（17全国3理4）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 11.（17山东理（5））为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）17012.（17山东理（8））从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 13.（17山东文（8））如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。

纵观2012到2016年全国的高考试题从命题来看都会涉及到概率与统计的相关题目，分值也占据17分左右。

从题目的类型来看，以实际应用为主要出发点。

就考查内容而言, 以小题形式出现的是用概率定义或基本事件求事件概率；以大题形式出现的是统计与概率问题综合，列分布列、求期望方差等等。

考查学生对概念和应用基础性的认识，总体上概率与统计部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上： 热点一、求随机事件的概率事件概率的计算，主要是古典概型问题和几何概型，当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，这就要用到互斥事件的概率加法公式或考虑其对立事件．例如以下问题： 1.【2016高考新课标3】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是错误！未找到引用源。

中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】C【考点】古典概型．【名师点睛】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数错误！未找到引用源。

必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m 其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式错误！未找到引用源。

得出的结果才是正确的．2.【2014·新课标全国Ⅰ】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78 【答案】D【解析】由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78. 【考点】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．【名师点睛】本题主要考查古典概型、排列的应用，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、实际应用能力．求古典概型的概率只要求出基本事件总和与满足条件的基本事件数，则问题易解决．较为复杂的概率问题常常转化为几个互斥事件的和，或采用间接法，通过其对立事件的概率来求解。

热点题型五概率统计与函数相结近年来在概率与统计考题中出现了概率统计与函数相结合的问题，主要考查学生数学建模能力，概率与统计思想和函数思想。

现就考题中基本问题进行分析如下；【典例1】【2013高考新课标2（理）19】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x （单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.（Ⅰ）将T表示为x的函数（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的,则取x=105，且x=105的概率频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x[100,110)等于需求量落入100，110，求T的数学期望.【答案】见解析(3)依题意可得T的分布列为所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.考点：频率分布直方图、函数与概率、随机变量的分布列【思路点拨】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.【典例2】【2016高考新课标1卷】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；04.02.02.0)16(=⨯==X P 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P 04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19.考点：概率与统计、随机变量的分布列【思路点拨】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.【变式练习】1.【2012高考新课标2（理）18】某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

专题18概率文6个小球，其中有2个红球、4个白球•现从中随机摸出 3个小球，则至少有2个白球的概率为（ ）C.5【答案】：C【解析】：所求问题有两种情况：i 红2白或3白，则所求概率P=CCCJ L 42 •某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从 恰有一个项目未被抽中的概率为（）81 C .256 【答案】：A【解析去由题意得，所有的基本事件总数为4*=256,若恰有一个项目未械抽中'则说明4名职工总共抽 取了 3个项目，符合歸的基本事件数-h a cbC?Ai=144,故所求擬率戶=將=常 故选二3 .在区间［0,1］上随机取一个数 x ，则事件“ log 0.5（4 x — 3） >0”发生的概率为（）3 代42 B.31 1 C — D.34【答案】：D【解析】：因为log 0.5 （4 x — 3） >0,所以3 1 —;3 4 1 0<4x — 3< 1,即.<x w 1,所以所求概率 P = =,故选D. 4 1 — 0 44 .已知四边形 ABCC 为长方形，AB= 2, 0的距离大于1的概率为（ ） BC= 1, O 为AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到八 n 代才B . 1-7nC. 7 nD 1-§【答案】：B1 •已知袋子中装有大小相同的 B. 4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则27B.64D.— 16【解析】：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比, 即所求概率P =n2—nSfe 方形ABCD5.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加3A --- 32D.；【答案】：C【解析】：T 集合*厲23打川={12戈4},二映射六有平=64{种),T 由点卫⑴沖))，丘⑵贞功, C ⑶用))枸成心眈且肋二「贞1)=贸3冰2), 7/(1)三心疽3种选择，式2)有狷柩择…•■从中任取 一个映射满足由点越IM® 8(2f J2)), OP/为＞构成3亡且朋=眈的事件有4幻=垃(种)，二所求12 3概率帕二话7 •设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 望为( )A . 0.4B . 1.23工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人•从该车间 6名工人中, 任取 2人，则至少有1名优秀工人的概率为(4 B ・9C.5 【答案】：【解析】：依题意，平均数 7 = 2°+ 6°+ 3°+ J + 9+ 1+；： 6=22,故优秀工人只有2人，从中任取2人共 有15种情况，其中至少有 1名优秀工人的情况有 9种, 故至少有1 93名优秀工人的概率 P =15 = 5，故选C .6 .已知集合 M= {1,2,3},N ^ {1,2,3,4}.定义映射 f :M R N,则从中任取一个映射满足由点 A (1 , f (1)),B (2 , f (2)) ,C (3 , f (3)) 构成△ ABC 且 AB= BC 的概率为 0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期1违C. 0.4D. 0.6N 表示事件“豆子落在△ DEF 内”，贝U RN | M =(【答案】：B【解析】：•••途中遇红灯的次数 X 服从二项分布，即 X 〜B （3,0.4） ,••• E （X ） = 3X 0.4= 1.2.9 .一个电路有两个电子元件串联而成，只有这两个元件同时正常工作，这个电路才能正常工作，已知元件 甲能正常工作的概率是 0.9，元件乙能正常工作的概率是 0.95，则这个电路能正常工作的概率是（ ）A . 0.09B . 0.095 C. 0.855 【答案】：C【解析】：显然两个电子元件能否正常工作是相互独立的.记事件卫为电子元件甲能正常工作，事件月为电 子元件乙能正常工作，则P ⑷=09 A5）=0 95电路胃证常工作为事件加，则兀妬）=0⑷玖扪=0949、 =0.355,即电踣能正常工作的概率是0.S55.10 .从装有6个黑球、4个白球（除颜色外均相同）的袋中随机抽取 3个球，所得的白球个数记作随机变量X .则 P (X = 2) + P (X = 3)=( )1C.3【答案】：C3 C4 13 1 1【解析】：由题知，P (X = 2)=畐=10, RX = 3)=国=30所以RX = 2) + P (X = 3)=亦+五=?• 11.如图，△ ABC ^A DEF 是同一圆的内接正三角形，且 BC// EF 将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事8.从 1,2,3,4,5 中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件 B=“取到的2个数均为偶数” ，则1 A .81 B.4 1 D.— 2【答案】： 【解析】： P (A ) C 2 + C 22C =P （AB ）=C 2=箱，P AB 1P (B |A ) = p A =才D. 0.85D.-12. _______________________________________________________________________________ 包括甲、乙、丙三人在内的 4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为 ________________________________ 1 【答案】：-613 .在面积为S 的厶ABC 内部任取一点 巳则厶PBC 面积大于孑的概率为 __________ 9【答案】：渚【解析如團，3C 面积为& DEHBC f 并且聲今 当点P 在ZUDE 內部时，AP5C 的面积超过%A.3 ,34 n B.C .3【答案】：D【解析】：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ ABC 包含9个小三角形，满足事件MN 的有6个小三角【解析】：4个人的全排列种数为 A ：,甲与乙、丙都相邻的排法有A 2A 2种，则所求概率为 氏氏1"AT = 6.214•在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC, CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm 2的概率为 __________ . 【答案】：3_ 2【解析】：设 AC= x ,贝U BC= 12 -x (0<x <12),又矩形面积 S = x (12 — x )>20 ,二 x — 12x + 20<0,解得 2<x <10,•••所求概率为10— 2 2 12 = 3.15. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1, 一个面上标有数字2•将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_____________.4【答案】：93 111【解析】：随机变量x的取值为o,1,2,4, P(X= 0)= 4, RX=1)= 9，RX= 2)= 9, P(X= 4)=亦因此E(X)49.16.设随机变量E的概率分布列如下表所示:x0.12R E = x)a b c其中a, b, c成等差数列，若随机变量E的均值为§，则E的方差为【答案】：9【解析】：由题竜有a-^b^c-l.lb-a+c, *+2c=j,解得空二若b=^r c=p则茸方差为恥=(0-扌冷17•设在4次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率为815，那么事件A在一次试验中发生的概率为__________ .1【答案】：§34 O A【解析】：设事件A在一次试验中发生的概率为p,则有1 - C o(1 - p)4=需，所以(1 - p)4=盲，解得p =-.81 81 3 18•某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下:(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；⑵以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.1【解析】：(1) x 甲=：(7 + 9 + 11+ 13+ 13+ 16+ 23+ 28) = 15,8— 18x 乙=：(7 + 8 + 10+ 15 + 17+ 19+ 21 + 23) = 15,，试ad — be a + be + d a+ e b + d21 2 2 2 2 2222$甲=8【(—8) + ( — 6) + ( — 4) + ( — 2) + ( — 2) + 1 + 8 + 13 ] = 44.75 ,s 乙 = 1[( — 8) 2+ ( — 7) 2+ ( — 5) 2+ 02 + 22 + 42 + 62 + 82] = 32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大. 所以乙同学做解答题相对稳定些.31⑵ 根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为 P = -, P 2=3，82两人失分均超过15分的概率为PP 2=箱,P (X = k )=芒拮)尉-k ，k = 0,1,2 , 则X 的分布列为X 0 1 2 P169 39 9 256128256X 的均值 E (X ) = 2X 16= 8.AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,300] >300 空气质量 优 良 轻度污染中度污染 重度污染 严重污染 天数61418272015100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下:(1)X 的所有可能取值为19.某城市随机抽取一年内 0,1,2.依题意,囂，的2X2列联表，并判断是否有 95%勺把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.P(心k o)0.1000.0500.0250.0100.001k o 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解析】：(1)根据题设中的数据得到如下2X2列联表:非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计85151002将2X2列联表中的数据代入公式计算，得口= -4.575.因为 4.575>3.841 ，所以有95%勺把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，则20 1 65 13 15 P(X= 0) = P(0 w x w 100) = 100= 5, P(X= 400) = P(100<x<300)=而=20, P(X= 2 000) = P(x>300)=硕=320,1 13 3所以E(X) = 0X- + 400X + 2 000 X = 560.5 20 20故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E(X) = 16 800(元).20.某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位: 厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照［50,60) , ［60,70) , ［70,80) , ［80,90) , ［90,100］的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在［50,60) , ［90,100］的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；⑵在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在［90,100］内的概率.【解析】；⑴由题意可知，样本容量K =Q 016"0=弘 尸施而x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030⑵由题青可知，高度在网90）内的株数为匚记这5株分昂肉心 4①,如広，高度在［9Q100］内的株数 为打记这2株分别为切b2.抽取2株的所有情况有H 种，分别为:01, 02）,（G,冬），｛a\r 皿）,（口” 血），（OL,方 1）」（e,｛①，您）,g 心 os ）j sbi ）y （ai,处）,（03j O*）> （OJ J 05）#（03, b ］）f （03j l>2）f （知 03）,（04,饷），如 &2）,（05j 所）> （«5,力站（*1> 加）.其中2株的高度都不在［90卫0］内的•情况有10种，分别为:｛a\f ai ）, ｛a\r 懾），｛a\f 皿），｛ai f ⑦），（血，①）』｛4，皿），（化丿 公），（侧，a^f①），g as ）.二所抽取的2株中至少有一株高度在［90J00］内的概率P=121 •对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了 50人，他们月收入（单位：百元）（1）根据以上统计数据填写下面 2X2列联表，并回答是否有95%勺把握认为月收入以 55百元为分界点对“楼 市限购政策”的态度有差异？的概率.参考值表:【解析】：（1）由题意得2X2列联表:10_11石_亓参考公式：K =k b n ad — be c +d a + en = a + b + c +所以有⑵设月收入在［55.65）的5人为冲，巧Sj b? c其中舄再表示鶴成者，巧6 &表示不祐成者*从 5 人中选取 2 人的情/兄有：（儿j （.Af a）f a））（场s）f（為i）»（迅a）> （吊b）}（,a?ri,（6 共1Q 种，其中至少有一人盤成的有⑷劲』（爲s）,⑷仍{A} c} j （场垃、（禺E）,（场c）j共丫种」故所求概率为P=£。