（A ）()??
? ??>??
? ??>41312f f f （B ）()??
? ??>>??
? ??31241f f f
（C ）()11234
f f f ????>> ? ???
??
（D ）()11243f f f ????>> ? ?????
13. 下列函数的大致图像:
(1)y=log 2|x| (2)y=|log 2(x-1)| (3)y=
1
2+-x x
(4)y=|x-2|(x+1)
三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移
π
4
个单位长度，得
πsin 4y x ??=+ ???的图象；
②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ?
?=+ ??
?的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ?
?=+ ???的图象；④最后把
所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②
将所得图象的横坐标缩小到原来的1
2
，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移
π8个单位长度得π2sin 28y x ?
?=+ ??
?的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度
得到π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π
8
个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ??=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???，把πsin 4y x ?
?=+ ??
?的
图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ?
?=+ ??
?而不是
πsin 24y x ?
?=+ ??
?．
课堂练习
1、要得到函数y=cos(
)24x π-的图象，只需将y=sin 2x
的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π
个单位
C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4
π
个单位
2、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移2
π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1
y= sin x 2的图象则
y=f(x)是（ ）
A ． 1y=
sin(2)122x π++ B. 1y=sin(2)122x π
-+ C. 1y=sin(2)124x π++ D. 1sin(2)1
24
y x π=-+
3.为得到函数πcos 23y x ??
=+ ??
?
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移
5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=-
?3??
的图象（ ） A ．向右平移
π
6个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
5.为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
(A)向右平移
6π个单位长度 (B)向右平移3π
个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3
π
个单位长度
6.已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度
课后练习题
1.作出函数211x y x +=
-的图象 2.作出函数||
1()2
x y =-的图象。
3.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位，再关于原点对称后，得到的函数解析式为 。
4.若函数y=f(x+2)是偶函数，则函数f(x)( )
(A)以x=2为对称轴 (B)以x=-2为对称轴 (C)以y 轴为对称轴 (D)不具有对称性
5.函数y =
图像向 平移 个单位得到函数y =.
6.将曲线y=lgx 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C 。如果曲线C ＇与C 关于原点对称，则曲线C ＇所对应的函数式 是______。
7.将函数y=f(2x+1)向______平移______个单位，得到函数y= f(2x-5)的图象。 8．将函数3
y x a
=
+的图像向左平移2个单位得到曲线C,若曲线C 关于原点对称,则实数a 的值为（ ）
（A ） 1- (B) 2- (C) 1 (D) 2 9．若把函数()y f x =的图像作平移，可以使图像上的点()1,0P 变换成点(2,2)Q ，则平移后所得图像的函数解析式是（ ）
（A ）()12y f x =-+ （B ）()12y f x =-- （C ）()12y f x =+- （D ）()12y f x =++
答案
1.解：将函数解析式变形，得y=
=
=2+
于是把函数y=的图象向右平移1个单位，得到函数y=的 图象，再把y=的图象向上平移2个单位，便可得到
函数y=
+2 的图象。 为作图准确，可将渐近线平移，
过点(1，2)作平行于x 轴、y 轴的 两条直线；另外把x=0代入解析式得y=-1＜0。即可画出函数y= 的简图。 2. 解：令f(x)=(
)x
，则f(｜x ｜)=(
)
｜x ｜
。再令g(x)=()
｜x ｜
，
则y=-g(x)=-(
)｜x ｜，经过两次对称变换，便可得到函数y=-(
)｜x ｜的图象。
图象变换有三要素：变换对象，变换结果，变换过程。题型要 求是知二求一。 3.y= - f(x+1)。 4．A 5.右，2 6.c ：y=lg(x+1)-2；c ＇：-y=lg(-x+1)-2，即y=-lg(1-x)+2
7.令g(x)=f(2x+1)，则f(2x-5)=f[(2x-6)+1] =f[2(x-3)+1]=g(x-3)。故向右平移3个单位。
8.B 9.A 。
川越教育-函数与方程(零点问题)的解题方法
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
(3)几个等价关系
函数y＝f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x 轴)有交点．
推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．
推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点?方程f(x)＝g(x)有实数根?函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．
1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数210
对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：
1．函数零点的求解与所在区间的判断；
2．判断函数零点个数；
3．利用函数的零点求解参数及取值范围．
考向一、函数零点的求解与所在区间的判断
1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为() A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1
x 的图象交点的横坐标所在区间为( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4)
3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．
4．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1，3}
B ．{－3，－1，1，3}
C ．{2－7，1，3}
D ．{－2－7，1，3}
考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围
1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )
A ．0
B ．－14
C ．0或－1
4
D ．2
2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，4)
B ．(4，＋∞)
C ．(0，2)
D ．(2，＋∞)
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x
D ．y ＝x 2＋1
2．函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，2)
C ．(0，3)
D ．(0，2)
3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋1
2x －2的零点所在的区间是( )
A ．????0，1
2 B ．????12，1 C ．(1，2)
D ．(2，3)
就函数的零点判定中的几个误区
1． 因＂望文生义＂而致误
例１．函数23)(2
+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２
点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求．
2． 因函数的图象不连续而致误
例２．函数()x
x x f 1
+
=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往
