电子科技大学随机信号分析期末测验A
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一、已知随机变量X 服从11,22??-????
区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===
。
若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数
()Z f z 。
2、特征函数()Z v Φ。
解：
1、随机变量X 均服从11,22??
-????区间的均匀分布，
111,()()22
0,X x f x rect x otherwise ?
-≤≤
?==???
11
()(1)(1)
22
Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以
11
()()()(1)(1)
22
Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2,
220,z otherwise ?
≤≤?=???
2、
()2rect z Sa ω??
? ?
??
且 ()()FT
z
z f z v Φ-
所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ?????
二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，
时隙长度为0T ，问：
1、信号的均值函数()E X t ???
?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。
3、()X t 的一维概率分布函数
();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。
解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=????
2、当,t t τ+在同一个时隙时：
[]
2
2
2
(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?=
当,t t τ+不在同一个时隙时：
[]
[][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?=
1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+- 二维分布：
当12,t t 在同一个时隙时
()[][]12121212,;,0.5,0.51,1X F x x t t u x x u x x =+--
当12,t t 不在同一个时隙时：
()121211221112,;,[(),()][()][()]
X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤
()()()()121212120.25,0.251,0.25,10.251,1u x x u x x u x x u x x =+-+-+--
三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。
S x (f)
S y (f)
1 W/Hz
100Hz
200Hz 300Hz
1 W/Hz
1、随机信号的()X t 直流功率。
2、互相关函数XY R ()τ。
f (x,y,t ,t )
解：1. ()X S ω是带宽为200π的低通白噪声，其相关函数是
()()()0sin sin 200200
2200X W N W R W τπττπτπτ?==
直流功率：()2
0X
Y m R =∞=
交流功率：()20200X
X C σ==
2．因为X (t )与Y(t )的功率谱不重叠，故两个信号正交，互相关函数0XY R ()=τ，且互不相关和独立。 3.
Y(t )是广义平稳带通随机信号，故0Y
m =
21
010012100
2
Y
Y R ()==???=σ 222200
2100
1
12200
2100
XY x y X x Y y x y f (x,y,t ,t )f (x,t )f (y,t )e
e -
-
??==?ππ
四、设有随机信号()X t 和()Y t 都不是广义平稳的，且
()()cos ,()()sin X t A t t Y t B t t ==，其中()A t 和()B t 是相互独立
的广义平稳信号，它们均为零均值且有相同的相关函数。判断
()()()Z t X t Y t =+的广义平稳性。
解： 1、均值： 0]sin )([]cos )([)]()([)]([=+=+=t t B E t t A E t Y t X E t Z E
常数 2、自相关函数：
()()(,)()()()()(,)(,)(,)(,)()cos()cos ()sin()sin 00()cos Z X Y XY YX A B A R t t E X t Y t X t Y t R t t R t t R t t R t t R t t R t t R τττττττττττττ
+=+++?+????=+++++++=+++++=
只与τ有关
可知()Z t 是广义平稳信号。
五、设正弦随机信号()()cos X t A t π=，其中
()2
~0,A A N σ。令()(),Y t X t =-Θ且A 和Θ统计独立，求解： 1、()X t 是否严格循环平稳？ 2、()X t 是否广义循环平稳？
3、当Θ满足什么分布时，()Y t 是广义平稳信号？ 解： 1、由
111111111111(,;,)[(),
()]
[cos(),,cos()]
[cos(2),
,cos(2)]
[(2),(2)](,
;2,
2)
X n n n n n n n n n n X n n F x x t t P X t x X t x P A t x A t x P A t x A t x P X t x X t x F x x t t ππππππ=≤≤=≤≤=+≤+≤=+≤+≤=++
可知，它是严格循环平稳的，循环周期为2。
2、由[()]0E X t =为常数,周期可为任意值。
[]2
(,)
[]cos(2)cos()X R t t E A t τππτπτ+=++
周期为1。
可知，它是广义循环平稳的，循环周期为1。
3、由定理可知，当[]~0,1U Θ时，()Y t 是广义平稳信号。
六、设随机过程0()sgn()cos()X t A t ωΘ=+,其中0ω为常数，A 与Θ相互独立，A 满足零均值、方差为1的高斯分布，sgn( )为符号函数，Θ是[0,2)π的均匀分布随机变量，试讨论()X t 的广
义各态历经性。 解：
0[()][sgn()cos()]0E X t E A t ωΘ=+=
[]
2
0000()()()sgn ()cos()cos()1
cos()2
X R E X t X t E A t t ττωωτΘωΘωτ=+??=+++??=
X (t ) 广义平稳 时间平均
001A[()]lim sgn()cos()2sgn()lim (cos cos sin sin 20
T
T
T T
T T X t A t dt T A t t dt T
ωΘωΘ-ωΘ-→∞-→∞=+=)=??
所以()X t 的均值各态历经。
[][]2
000000A[()()]
sgn ()lim cos ()cos()211lim cos 22cos()221
cos()()2
T
T T T
T T X X t X t A t t dt T
t dt T R τωτΘωΘωωτΘωτωττ-→∞-→∞+=+++??=?+++?
?==??
所以()X t 的相关函数具备各态历经性 综上所述，()X t 是广义各态历经的。
七、平稳随机信号X (t )的自相关函数为()X R τ：施加到如下图所示的RC 电路上。求差信号Q (t )=Y (t )-X (t )的功率谱密度。
1,2()20,2X T
R T
T τ
τττ?-
≤?=??>?
解：
X (t )是平稳的
()()(,)[()()][()()()()][()()][()()][()()][()()]
()()()()()
Q Y XY YX X Q R t t E Q t Q t E Y t X t Y t X t E Y t Y t E X t Y t E Y t X t E X t X t R R R R R τττττττττττττ∴+=+=+-+-=+-+-+++=--+= 2
2()[()]
()()()()()
()(j )()(j )()(j )()
()(j )(j )(j )1Q Q Q Y XY YX X X X X X X S F R S S S S S S H S H S H S S H H H ωτωωωωωωωωωωωωωωωω*
*=∴=--+=--+??
=--+??
1j C 1
(j )1j C 1j C H R R ωωωω==
++
2
2
2
2sin ()
()[()]2Sa ()X X T S F R T T T
ωωτωω===
2
2222
2
2222
222
222
2sin ()111
()(1)11j 1j 2sin ()1(1)12sin ()(1)
Q T S T R C RC RC
T T R C R C T T R C ωωωωωωωωωωω∴=--++-+=-+=+
八、已知平稳随机信号的相关函数如下所示，分别求它们的矩形等效带宽。
1、2
1(1||),()10,X X R σβττβττβ?-≤??
=?
?>
??
2、2()X X
R e
βττσ-=
解：
1、()X R τ是三角函数
()22[()]2X
X X S R Sa σωωτββ??∴== ???
F
()()()()22
001
22022
X X X eq X X X S R B d S S ωβσβ
ωπ
ωσ+∞
=
===?
2、()2
2
2
2[()]X X X S R σβ
ωτωβ==+F
()()()()2
20001
22044
X X X eq X X X S R B d S S ωβσβωπωσ+∞====?
九、已知复过程
()i j t
i i
X t A e
ω=∑，其中(1,2,,)i A i n =为
复随机变量，且彼此正交，(1,2,,)i i n ω=为不同实数。求()
X t 的自相关函数并讨论()X t 的广义平稳性。 解：
()
X t 的相关函数为：
()()2
()
(,)[][()]
[]()
j i j i i j s j t
X i
j i
j
j s
j t i j
i
j
j t s i X R t s E X t X s E Ae A e
E A A e e
E A e
R ωωωωωτ*
*
-*
-==??=?
?
==∑∑∑∑∑
得
()X t 相关平稳 ，
()X t 的均值为
[()][]
()cos ()sin i j t
i
i
i i i i i
i
E X t E Ae E A t j E A t ωωω==+∑∑∑
由于[()]E X t 与t 有关，所以()X t 不是平稳的
十、广义平稳的高斯带通白噪声00()()cos ()sin N t X t t Y t t ωω=-, 其均值为零, 中心频率0ω，带宽为B (Hz) ，双边谱密度为0/2N 。 求：1、()N t 的同相分量()X t 的相关系数()X ρτ；
2、写出()N t 的两个正交分量的联合概率密度函数
12(,;,)XY f x y t t 。
解：依题
1、由公式，正交分量的功率谱为
()0
X N B
S ωπω?≤=?
?其它
进而得到：
00sin sin ()X N B N B B R B πτ
πττπτ
πτ
=
=
注意到均值为零，20(0)(0)X
X X C R N B σ===
2
()
sin ()X X X
C B B τπτρτσ
πτ=
=
2、同相分量/正交分量均为高斯分布，并与N(t)有同样的均值/方差，即()0,()~(0,)X t Y t N N B 。由公式，两个分量的互谱为0，根据高斯特性，它们彼此独立，于是
2
001(;)exp 22X x f x t N B N B π??
=-??
??
2
001(;)exp 22Y y f y t N B N B π??
=-??
??
12122
2
00(,;,)(;)(;)
1exp 22X Y X Y f x y t t f x t f y t x y N B N B π=??+=-????