选修4系列(高考真题+模拟新题)
课标理数5.N1[2011·北京卷] 如图1-2,AD ,AE ,BC 分别与圆O 切于点D ,E ,F ,延长AF 与圆O 交于另一点G .
图1-2
给出下列三个结论:
①AD +AE =AB +BC +CA ; ②AF ·AG =AD ·AE ; ③△AFB ∽△ADG .
其中正确结论的序号是( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③ 课标理数5.N1[2011·北京卷] A 【解析】 因为AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ,所以AD =AE ,BD =BF ,CF =CE ,又AD =AB +BD ,所以AD =AB +BF ,同理有AE =CA +FC .又BC =BF +FC ,所以AD +AE =AB +BC +CA ,故①正确;对②,由切割线定理有:AD 2=AF ·AG ,又AD =AE ,所以有AF ·AG =AD ·AE 成立;对③,很显然,∠ABF ≠∠AGD ,所以③不正确,故应选A.
图1-2
课标理数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-2,过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ,且PB =7,C 是圆上一点使得BC =5,∠BAC =∠APB ,则AB =________.
课标理数15.N1[2011·广东卷] 35 【解析】 因为P A 为圆O 切线,所以∠P AB =∠ACB ,又∠APB =∠BAC ,
所以△P AB ∽△ACB ,所以PB AB =AB
CB
,所以AB 2=PB ·CB =35,所以AB =35.
课标文数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =4,CD =2,
图1-3
E 、
F 分别为AD 、BC 上点,且EF =3,EF ∥AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________.
课标文数15.N1[2011·广东卷] 7∶5
图1-4
【解析】 图1-4延长AD 与BC 交于H 点,由于DC ∥EF ∥AB ,又DC AB =2
4
,
所以S △HDC S △HAB =416,同理S △EFH S △HAB =916
,所以S △HDC ∶S 梯形DEFC ∶S 梯形EFBA =4∶5∶7,
所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.
图1-2
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 如图1-2,A ,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC =4,AD ⊥BC ,垂足为D ,BE 与AD 相交于点F ,则AF 的长为________.
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 23
3
【解析】 连结AO 与AB ,因为A ,E 是半圆上的三
等分点,所以∠ABO =60°,∠EBO =30°.
因为OA =OB =2,所以△ABO 为等边三角形.又因为∠EBO =30°,∠BAD =30°,所以
F 为△ABO 的中心,易得AF =23
3
.
课标理数22.N1[2011·课标全国卷]
图1-11
如图1-11,D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合,已知AE 的长为m ,AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根.
(1)证明:C ,B ,D ,E 四点共圆; (2)若∠A =90°,且m =4,n =6,求C ,B ,D ,E 所在圆的半径.
故AD =2,AB =12.
取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连结DH .因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH .
由于∠A =90°,故GH ∥AB ,HF ∥AC ,
从而HF =AG =5,DF =1
2
(12-2)=5,
故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 2.
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲
图1-11
如图1-11,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,EC =ED.
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,故∠ECD=∠EBA,所以CD ∥AB.
图1-12
(2)由(1)知,AE=BE,因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC.从而∠FED=∠GEC.
连结AF,BG,则△EF A≌△EGB,故∠F AE=∠GBE.
又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠F AB=∠GBA,
所以∠AFG+∠GBA=180°,
故A,B,G,F四点共圆.
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 如图1-10,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线
图1-10
与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
图1-11
因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知,AE=BE,因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,
从而∠FED=∠GEC.
连接AF ,BG ,则△EF A ≌△EGB ,故∠F AE =∠GBE . 又CD ∥AB ,∠EDC =∠ECD ,所以∠F AB =∠GBA . 所以∠AFG +∠GBA =180°. 故A ,B ,G ,F 四点共圆.
课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1-10,D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.
图1-10
已知AE 的长为m ,AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根.
(1)证明:C ,B ,D ,E 四点共圆; (2)若∠A =90°,且m =4,n =6,求C ,B ,D ,E 所在圆的半径. 课标文数22.N1[2011·课标全国卷]
图1-11
【解答】 (1)证明:连结DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD ×AB =mn =AE ×AC , 即AD AC =AE
AB
,又∠DAE =∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE =∠ACB ,
即∠ACB 与∠EDB 互补,所以∠CED 与∠DBC 互补, 所以C ,B ,D ,E 四点共圆.
(2)m =4,n =6时,方程x 2-14x +mn =0的两根为x 1=2,x 2=12. 故AD =2,AB =12.
取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连结DH .因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH .
由于∠A =90°,故GH ∥AB ,HF ∥AC ,从而HF =AG =5,DF =1
2
(12-2)=5.
故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 2.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x 的不等式|a |≥|x +1|+|x -2|存在实数解,则实数a 的取值范围是____________.
图1-5
N1B.(几何证明选做题)如图1-5,∠B =∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD =90°,且AB =6,AC =4,AD =12,则BE =________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1:?
????
x =3+cos θ,
y =4+sin θ(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则
|AB |的最小值为________.
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a ≥3或a ≤-3
【解析】 令t =|x +1|+|x -2|得t 的最小值为3,即有|a |≥3,解得a ≥3或a ≤-3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt △ADC 中,CD =82;在Rt △ADC
与Rt △ABE 中,∠B =∠D ,所以△ADC ∽△ABE ,故AB AD =BE CD ,BE =AB
AD
×CD =4 2.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C 1:?
????
x =3+cos θ,
y =4+sin θ消参得(x -3)2+(y
-4)2=1;由C 2:ρ=1得x 2+y 2=1,两圆圆心距为5,两圆半径都为1,故|AB |≥3,最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x +1|+|x -2|≥a 对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.
图1-7
N1B.(几何证明选做题)如图1-7,∠B =∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD =90°,且AB =6,AC =4,AD =12,则AE =________.
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1:?
????
x =3+cos θ,
y =sin θ(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,
则|AB |的最小值为________.
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (-∞,3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x +1|+|x -2|≥3,要使得|x +1|+|x -2|≥a 恒成立,则a ≤3,即a ∈(-∞,3].
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD =90°,∠B =∠D ,得A ,B ,C ,D 四点共圆,连接BD ,则∠DBA =90°,AB =6,AD =12,所以∠BDA =30°=∠BCA .
因为AE ⊥BC ,AE =1
2
AC =2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C 1:?
????
x =3+cos θ,y =sin θ消参得(x -3)2+y 2=1,由C 2:ρ=1得x 2+y 2
=1,两圆圆心距为3,两圆半径都为1,故|AB |≥1,最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作...................
答...
若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
图1-7
N1 A .选修4-1:几何证明选讲
如图1-7,圆O 1与圆O 2内切于点A ,其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2).圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上).求证:AB ∶AC 为定值.
N2 B .选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A =??????1 12 1,向量β=????
?
?12.求向量α,使得A 2α=β.
N3 C .选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆?
???
?
x =5cos φ,y =3sin φ(φ为参数)的右焦点,且与直线
?
????
x =4-2t ,
y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. N4 D .选修4-5:不等式选讲
解不等式x +|2x -1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A .选修4-1:几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识,考查推理论证能力.
【解答】 证明:连结AO 1,并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ,CE .
因为圆O 1与圆O 2内切于点A ,所以点O 2在AD 上,故AD ,AE 分别为圆O 1,圆O 2的直径.
从而∠ABD =∠ACE =π
2
,所以BD ∥CE ,
于是AB AC =AD AE =2r 12r 2=r 1
r 2
.
所以AB ∶AC 为定值.
N2 B .选修4-2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识,考查运算求 解能力.
【解答】 A 2
=??????1 12 1??????1 12 1=????
??3 24 3.
设α=??????x y .由A 2α=β,得??????3 24 3??????x y =?????
?12,从而?
????
3x +2y =1,4x +3y =2. 解得x =-1,y =2,所以α=????
??
-12.
N3 C .选修4-4:坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力.
【解答】 由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2-b 2=4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x -2y +2=0.
故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =1
2
(x -4),即x -2y -4=0.
N4 D .选修4-5:不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类讨论、运算求解能力.
【解答】 原不等式可化为 ????? 2x -1≥0,x +(2x -1)<3或?
????
2x -1<0,x -(2x -1)<3. 解得12≤x <43或-2 . 所以原不等式的解集是?????? x ? ? -2 课标理数12.N1[2011·天津卷] 如图1-6所示,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF =CF =2,AF ∶FB ∶BE =4∶2∶1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长为________. 图1-6 课标理数12.N1[2011·天津卷] 7 2 【解析】 设AF =4k (k >0),则BF =2k ,BE =k . 由DF ·FC =AF ·BF ,得2=8k 2,即k =1 2 . ∴AF =2,BF =1,BE =12,AE =7 2 , 由切割线定理得CE 2=BE ·EA =12×72=7 4 , ∴CE =7 2 . 课标文数13.N1[2011·天津卷] 如图1-5,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF =CF =2,AF ∶FB ∶BE =4∶2∶1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长为________. 图1-5 课标文数13.N1[2011·天津卷] 7 2 【解析】 设AF =4k (k >0),则BF =2k ,BE =k . 由DF ·FC =AF ·BF 得2=8k 2,即k =1 2 . ∴AF =2,BF =1,BE =12,AE =7 2 , 由切割线定理得CE 2=BE ·EA =12×72=7 4 , ∴CE =7 2 . 课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4-2:矩阵与变换 设矩阵M =???? a 00 b (其中a >0,b >0). ①若a =2,b =3,求矩阵M 的逆矩阵M - 1; ②若曲线C :x 2+y 2 =1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′:x 24 +y 2=1,求 a , b 的值. N3(2)坐标系选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为?? ? x =3cos α, y =sin α (α为参数). ①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正 半轴为极轴)中,点P 的极坐标为??? ?4,π 2,判断点P 与直线l 的位置关系; ②设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. N4(3)选修4-5:不等式选讲 设不等式|2x -1|<1的解集为M . ①求集合M ; ②若a ,b ∈M ,试比较ab +1与a +b 的大小. 课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M - 1=????x 1 y 1x 2 y 2,则MM -1 =????1 00 1. 又M =????2 00 3,所以????2 00 3????x 1 y 1x 2 y 2=??? ?1 00 1. 所以2x 1=1,2y 1=0,3x 2=0,3y 2=1,即x 1=12,y 1=0,x 2=0,y 2=1 3 . 故所求的逆矩阵M - 1=错误!. ②设曲线C 上任意一点P (x ,y ),它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′,y ′). 则????a 00 b ????x y =????x ′y ′,即? ???? ax =x ′by =y ′. 又点P ′(x ′,y ′)在曲线C ′上,所以x ′2 4 +y ′2=1. 则a 2x 24 +b 2y 2=1为曲线C 的方程. 又已知曲线C 的方程为x 2+y 2=1,故???? ? a 2=4, b 2=1. 又a >0,b >0,所以? ??? ? a =2, b =1. N3(2)①把极坐标系下的点P ??? ?4,π 2化为直角坐标, 得P(0,4). 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上. ②因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α), 从而点Q 到直线l 的距离为 d =|3cos α-sin α+4| 2=2cos ????α+π6+42 =2cos ??? ?α+π 6+2 2. 由此得,当cos ??? ?α+π 6=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. N4(3)①由|2x -1|<1得-1<2x -1<1,解得0 ②由①和a ,b ∈M 可知00. 故ab +1>a +b. N 3 C .选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆???? ? x =5cos φ,y =3sin φ(φ为参数)的右焦点,且与直线 ? ???? x =4-2t , y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. N4 D .选修4-5:不等式选讲 解不等式x +|2x -1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A .选修4-1:几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识,考查推理论证能力. 【解答】 证明:连结AO 1,并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ,CE . 因为圆O 1与圆O 2内切于点A ,所以点O 2在AD 上,故AD ,AE 分别为圆O 1,圆O 2的直径. 从而∠ABD =∠ACE =π 2 ,所以BD ∥CE , 于是AB AC =AD AE =2r 12r 2=r 1 r 2 . 所以AB ∶AC 为定值. N2 B .选修4-2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识,考查运算求 解能力. 【解答】 A 2 =??????1 12 1??????1 12 1=???? ??3 24 3. 设α=??????x y .由A 2α=β,得??????3 24 3??????x y =????? ?12,从而? ???? 3x +2y =1,4x +3y =2. 解得x =-1,y =2,所以α=???? ?? -12. N3 C .选修4-4:坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力. 【解答】 由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2-b 2=4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x -2y +2=0. 故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =1 2 (x -4),即x -2y -4=0. N4 D .选修4-5:不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类讨论、运算求解能力. 【解答】 原不等式可化为 ????? 2x -1≥0,x +(2x -1)<3或????? 2x -1<0,x -(2x -1)<3. 解得12≤x <43或-2 . 所以原不等式的解集是? ?????x ?? -2 课标理数 5.N3[2011·安徽卷] 在极坐标系中,点???2,π 3到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为( ) A .2 B.4+π2 9 C.1+π2 9 D. 3 课标理数 5.N3[2011·安徽卷] D 【解析】 点??? ?2,π 3的直角坐标为? ?? x =ρcos θ=2cos π 3 =1, y =ρsin θ=2sin π 3 = 3. 圆ρ=2cos θ 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1,圆 心(1,0)到点(1,3)的距离为 3. 课标理数3.N3[2011·北京卷] 在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.????1,π2 B.? ???1,-π2 C .(1,0) D .(1,π) 课标理数3.N3[2011·北京卷] B 【解析】 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为普通方 程为x 2+(y +1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标方程为? ???1,-π 2,故应选B. 课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4-2:矩阵与变换 设矩阵M =???? a 00 b (其中a >0,b >0). ①若a =2,b =3,求矩阵M 的逆矩阵M - 1; ②若曲线C :x 2+y 2 =1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′:x 24 +y 2=1,求 a , b 的值. N3(2)坐标系选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为?? ? x =3cos α, y =sin α (α为参数). ①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正 半轴为极轴)中,点P 的极坐标为??? ?4,π 2,判断点P 与直线l 的位置关系; ②设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. N4(3)选修4-5:不等式选讲 设不等式|2x -1|<1的解集为M . ①求集合M ; ②若a ,b ∈M ,试比较ab +1与a +b 的大小. 课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M - 1=????x 1 y 1x 2 y 2,则MM -1 =????1 00 1. 又M =????2 00 3,所以????2 00 3????x 1 y 1x 2 y 2=??? ?1 00 1. 所以2x 1=1,2y 1=0,3x 2=0,3y 2=1,即x 1=12,y 1=0,x 2=0,y 2=1 3 . 故所求的逆矩阵M -1 =错误!. ②设曲线C 上任意一点P (x ,y ),它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′,y ′). 则????a 00 b ????x y =????x ′y ′,即????? ax =x ′by =y ′. 又点P ′(x ′,y ′)在曲线C ′上,所以x ′2 4 +y ′2=1. 则a 2x 24 +b 2y 2=1为曲线C 的方程. 又已知曲线C 的方程为x 2+y 2 =1,故? ???? a 2=4, b 2=1. 又a >0,b >0,所以? ???? a =2, b =1. N3(2)①把极坐标系下的点P ??? ?4,π 2化为直角坐标, 得P(0,4). 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上. ②因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α), 从而点Q 到直线l 的距离为 d =|3cos α-sin α+4| 2=2cos ????α+π6+42 =2cos ??? ?α+π 6+2 2. 由此得,当cos ??? ?α+π 6=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. N4(3)①由|2x -1|<1得-1<2x -1<1,解得0 ②由①和a ,b ∈M 可知00. 故ab +1>a +b. 课标理数14.N3[2011·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?? ? x =5cos θ y =sin θ(0≤θ<π)和????? x =54t 2y =t (t ∈R ),它们的交点坐标为________. 课标理数14.N3[2011·广东卷] ????1,255 【解析】 把参数方程??? x =5cos θ,y =sin θ 化为标准 方程得x 25 +y 2 =1(y ≥0),把????? x =54t 2,y =t 化为标准方程得y 2 =4 5 x (x >0),联立方程 ??? x 25 +y 2 =1,y 2 =45x , 得x =1或x =-5(舍去), 把x =1代入y 2=45x 得y =255或y =-255(舍去),所以交点坐标为? ??? 1,255. 课标理数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ???? x =cos α, y =1+sin α(α 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C 1与C 2的交点个数为________. 课标理数9. N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C 1的参数方程? ???? x =cos α, y =1+sin α化为普通方程: x 2+(y -1)2=1,圆心为(0,1),r =1,曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0化为普通方程:x -y +1=0, 则圆心在曲线C 2上,直线与圆相交,故C 1与C 2的交点个数为2. 课标文数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ?? x =2cos α, y =3sin α(α 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C 1与C 2的交点个数为________. 课标文数9.N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C 1的参数方程为??? x =2cos α, y =3sin α, 化为普通 方程:x 24+y 2 3 =1 ①, 曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0化为普通方程:x -y +1=0 ②. 联立①,②得7x 2+8x -8=0,此时Δ=82-4×7×(-8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2. 课标理数15.N3[2011·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 课标理数15.N3[2011·江西卷] 【答案】 x 2+y 2-4x -2y =0 【解析】 (1)由? ???? x =ρcos θy =ρsin θ ?cos θ=x ρ,sin θ=y ρ,ρ2=x 2+y 2,代入ρ=2sin θ+4cos θ得,ρ =2y ρ+4x ρ?ρ2=2y +4x ?x 2+y 2-4x -2y =0. 课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ???? x =2cos α,y =2+2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点,P 点满足OP →=2OM → ,P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程; (2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线θ=π 3 与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB |. 课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ,y ),则由条件知M ???? x 2,y 2,由于M 点在C 1上,所以 ? ?? x 2=2cos α,y 2 =2+2sin α,即????? x =4cos α, y =4+4sin α. 从而C 2的参数方程为 ? ???? x =4cos α,y =4+4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ. 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π 3, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π 3 . 所以|AB |=|ρ1-ρ2|=2 3. 课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ???? x =cos φ, y =sin φ(φ为参数),曲线C 2的参数 方程为? ???? x =a cos φ, y =b sin φ(a >b >0,φ为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=π 2 时,这 两个交点重合. (1)分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (2)设当α=π4时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=-π 4 时,l 与C 1,C 2的交点分别 为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积. 课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C 1是圆,C 2是椭圆. 当α=0时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0). 因为这两点间的距离为2,所以a =3. 当α=π 2 时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ). 因为这两点重合,所以b =1. (2)C 1,C 2的普通方程分别为x 2+y 2 =1和x 29 +y 2=1. 当α=π4时,射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =22,与C 2交点B 1的横坐标为x ′=31010. 当α=-π 4 时,射线l 与C 1,C 2的两个交点A 2,B 2分别与A 1,B 1关于x 轴对称.因此四 边形A 1A 2B 2B 1为梯形,故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′+2x )(x ′-x )2=2 5 . 课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为 ????? x =cos φ,y =sin φ,(φ为参数),曲线C 2的参数方程为? ???? x =a cos φ,y =b sin φ,(a >b >0,φ为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时, 这两个交点间的距离为2,当α=π 2 时,这两个交点重合. (1)分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (2)设当α=π4时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=-π 4 时,l 与C 1,C 2的交点分别 为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积. 课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C 1是圆,C 2是椭圆. 当α=0时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a =3. 当α=π 2 时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ),因为这两点重合,所 以b =1. (2)C 1,C 2的普通方程分别为x 2+y 2 =1和x 29 +y 2=1. 当α=π4时,射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =22,与C 2交点B 1的横坐标为x ′=31010. 当α=-π 4 时,射线l 与C 1,C 2的两个交点A 2,B 2分别与A 1,B 1关于x 轴对称,因此四 边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′+2x )(x ′-x )2=2 5 . 课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ???? x =2cos α,y =2+2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点,P 点满足OP →=2OM → ,P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程; (2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π 3 与C 1的异于极点的交点 为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB |. 课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ,y ),则由条件知M ???? x 2,y 2,由于M 点在C 1上,所以 ? ?? x 2=2cos α,y 2 =2+2sin α,即????? x =4cos α, y =4+4sin α. 从而C 2的参数方程为? ???? x =4cos α, y =4+4sin α,(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ. 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π 3, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π 3 . 所以|AB |=|ρ2-ρ1|=2 3. 课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) N4A.(不等式选做题)若关于x 的不等式|a |≥|x +1|+|x -2|存在实数解,则实数a 的取值范围是____________. 图1-5 N1B.(几何证明选做题)如图1-5,∠B =∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD =90°,且AB =6,AC =4,AD =12,则BE =________. N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1:? ??? ? x =3+cos θ,y =4+sin θ(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则 |AB |的最小值为________. 课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a ≥3或a ≤-3 【解析】 令t =|x +1|+|x -2|得t 的最小值为3,即有|a |≥3,解得a ≥3或a ≤-3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt △ADC 中,CD =82;在Rt △ADC 与Rt △ABE 中,∠B =∠D ,所以△ADC ∽△ABE ,故AB AD =BE CD ,BE =AB AD ×CD =4 2. 课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C 1:? ???? x =3+cos θ, y =4+sin θ消参得(x -3)2+(y -4)2=1;由C 2:ρ=1得x 2+y 2 =1,两圆圆心距为5,两圆半径都为1,故|AB |≥3,最小值为3. 课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x +1|+|x -2|≥a 对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________. 图1-7 N1B.(几何证明选做题)如图1-7,∠B =∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD =90°,且AB =6,AC =4,AD =12,则AE =________. N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1:? ??? ? x =3+cos θ,y =sin θ(θ为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则 |AB |的最小值为________. 课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (-∞,3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x +1|+|x -2|≥3,要使得|x +1|+|x -2|≥a 恒成立,则a ≤3,即a ∈(-∞,3]. 课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD =90°,∠B =∠D ,得A ,B ,C ,D 四点共圆,连接BD ,则∠DBA =90°,AB =6,AD =12,所以∠BDA =30°=∠BCA . 因为AE ⊥BC ,AE =1 2 AC =2. 课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C 1:????? x =3+cos θ,y =sin θ 消参得(x -3)2+y 2=1,由C 2:ρ=1得x 2+y 2=1,两圆圆心距为3,两圆半径都为1,故|AB |≥1,最小值为1. 课标数学21.[2011·江苏卷] 【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作...................答... 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 图1-7 N1 A .选修4-1:几何证明选讲 如图1-7,圆O 1与圆O 2内切于点A ,其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2).圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上).求证:AB ∶AC 为定值. N2 B .选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A =??????1 12 1,向量β=???? ? ?12.求向量α,使得A 2α=β. N3 C .选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆? ???? x =5cos φ, y =3sin φ(φ为参数)的右焦点,且与直线 ? ???? x =4-2t , y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. N4 D .选修4-5:不等式选讲 解不等式x +|2x -1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A .选修4-1:几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识,考查推理论证能力. 【解答】 证明:连结AO 1,并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ,CE . 因为圆O 1与圆O 2内切于点A ,所以点O 2在AD 上,故AD ,AE 分别为圆O 1,圆O 2的直径. 从而∠ABD =∠ACE =π 2 ,所以BD ∥CE , 于是AB AC =AD AE =2r 12r 2=r 1 r 2 . 所以AB ∶AC 为定值. N2 B .选修4-2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识,考查运算求 解能力. 【解答】 A 2=??????1 12 1??????1 12 1=???? ? ?3 24 3. 设α=??????x y .由A 2 α=β,得??????3 24 3??????x y =??????12,从而? ?? ?? 3x +2y =1,4x +3y =2. 解得x =-1,y =2,所以α=???? ?? -12. N3 C .选修4-4:坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力. 【解答】 由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2-b 2=4,所以 右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x -2y +2=0. 故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =1 2 (x -4),即x -2y -4=0. N4 D .选修4-5:不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类讨论、运算求解能力. 【解答】 原不等式可化为 ????? 2x -1≥0,x +(2x -1)<3或????? 2x -1<0,x -(2x -1)<3. 解得12≤x <43或-2 . 所以原不等式的解集是? ?????x ?? -2 课标理数11.N3[2011·天津卷] 已知抛物线C 的参数方程为? ???? x =8t 2 , y =8t (t 为参数).若斜率 为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆(x -4)2+y 2=r 2(r >0)相切,则r =________. 课标理数11.N3[2011·天津卷] 2 【解析】 由抛物线的参数方程? ???? x =8t 2 , y =8t , 消去t ,得 y 2=8x ,∴焦点坐标为(2,0). ∴直线l 的方程为y =x -2. 又∵直线l 与圆(x -4)2+y 2=r 2相切, ∴r =|4-2|12+1 2= 2. 课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4-2:矩阵与变换 设矩阵M =???? a 00 b (其中a >0,b >0). ①若a =2,b =3,求矩阵M 的逆矩阵M - 1; ②若曲线C :x 2+y 2 =1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′:x 24 +y 2=1,求 a , b 的值. N3(2)坐标系选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为?? ? x =3cos α, y =sin α (α为参数). ①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正 半轴为极轴)中,点P 的极坐标为??? ?4,π 2,判断点P 与直线l 的位置关系; ②设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. N4(3)选修4-5:不等式选讲 设不等式|2x -1|<1的解集为M . ①求集合M ; ②若a ,b ∈M ,试比较ab +1与a +b 的大小. 课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M - 1=????x 1 y 1x 2 y 2,则MM -1 =????1 00 1. 又M =????2 00 3,所以????2 00 3????x 1 y 1x 2 y 2=??? ?1 00 1. 所以2x 1=1,2y 1=0,3x 2=0,3y 2=1,即x 1=12,y 1=0,x 2=0,y 2=1 3 . 故所求的逆矩阵M -1 =错误!. ②设曲线C 上任意一点P (x ,y ),它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′,y ′). 则????a 00 b ????x y =????x ′y ′,即? ???? ax =x ′by =y ′. 又点P ′(x ′,y ′)在曲线C ′上,所以x ′2 4 +y ′2=1. 则a 2x 24 +b 2y 2=1为曲线C 的方程. 又已知曲线C 的方程为x 2+y 2 =1,故? ???? a 2=4, b 2=1. 又a >0,b >0,所以? ???? a =2, b =1. N3(2)①把极坐标系下的点P ??? ?4,π 2化为直角坐标, 得P(0,4). 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上. ②因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α), 从而点Q 到直线l 的距离为 d =|3cos α-sin α+4| 2=2cos ????α+π6+42 =2cos ??? ?α+π 6+2 2. 由此得,当cos ??? ?α+π 6=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. N4(3)①由|2x -1|<1得-1<2x -1<1,解得0 ②由①和a ,b ∈M 可知00. 故ab +1>a +b. 课标理数10.N4,E6[2011·湖南卷] 设x ,y ∈R ,且xy ≠0,则????x 2+1y 2??? ?1 x 2+4y 2的最小值为________. 课标理数10.N4,E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一:????x 2+1y 2????1x 2+4y 2=1+4x 2y 2+1x 2 y 2 +4≥5+24x 2y 2×1x 2y 2=9,当且仅当4x 2y 2=1 x 2y 2时,“=”成立. 方法二:利用柯西不等式:????x 2+1y 2????1x 2+4y 2≥????x ×1x +1y ×2y 2=9,当且仅当4x 2y 2=1x 2y 2时,等号成立. 课标理数15.N4[2011·江西卷] (2)(不等式选做题)对于实数x ,y ,若|x -1|≤1,|y -2|≤1,则|x -2y +1|的最大值为________. 课标理数15.N4[2011·江西卷] 【答案】 5 【解析】 |x -2y +1|=|(x -1)-2(y -1)|≤|x -1|+|2(y -2)+2|≤1+2|y -2|+2≤5,当x =0,y =3时,|x -2y +1|取得最大值5. 课标文数15.N4[2011·江西卷] 对于x ∈R ,不等式||x +10-||x -2≥8的解集为________. 课标文数15.N4[2011·江西卷] [0,+∞) 【解析】 由题意可得 ????? x ≤-10,-x -10+x -2≥8或????? -10 x ≥2,x +10-x +2≥8,解得x ∈[0,+∞). 课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1. 故不等式f (x )≥3x +2的解集为 {x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得 |x -a |+3x ≤0. 此不等式可化为不等式组 ????? x ≥a ,x -a +3x ≤0或? ???? x ???? x 因为a >0,所以不等式组的解集为?????? x ? ? x ≤-a 2. 由题设可得-a 2 =-1,故a =2. 课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|. (1)证明:-3≤f (x )≤3; (2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集. 课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f (x )=|x -2|-|x -5|=???? ? -3, x ≤2,2x -7, 2<x <5, 3, x ≥5. 当2<x <5时,-3<2x -7<3. 所以-3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知, 当x ≤2时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为空集; 当2<x <5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x <5}; 当x ≥5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}. 综上,不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x ≤6}. 课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|. (1)证明:-3≤f (x )≤3; (2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集. 课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f (x )=|x -2|-|x -5|=???? ? -3, x ≤2,2x -7, 2<x <5, 3, x ≥5. 当2<x <5时,-3<2x -7<3. 所以-3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知, 当x ≤2时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为空集; 当2<x <5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x <5}; 当x ≥5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}. 综上,不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x ≤6}. 课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1, 故不等式f (x )≥3x +2的解集为 {x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0. 此不等式可化为不等式组 ????? x ≥a ,x -a +3x ≤0或? ???? x ????