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.函数与方程复习讲义
一．【目标要求】
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念：
对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数
)(x f y =的零点。
2．函数零点与方程根的关系：
方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =
的图象与x 轴有点?函数
)(x f y =有零点
3．函数零点的存在性定理：
如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(
注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】
1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。
（2）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(
从图像上看，函数)(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。
（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程
()()f x g x =的实数根，也
就是函数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。
2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法 1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ?=的根 2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用)(x f y = 的图像和性质找出零点。画 3) 注意二次函数的零点个数问题
0?>?)(x f y =有2个零点()0f x ?=有两个不等实根 0?=?)(x f y =有1个零点()0f x ?=有两个相等实根 0?
3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。
为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数， （1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00
a >???
?
0a
（2）20ax bx c ++>的解集为R 0
00a a b c >==????
?
?<>??或
20ax bx c ++<的解集为
R 0000
a a
b
c >==????
??<
4.用二分法求方程的近似解
㈠给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下： 1.精确区间[],a b D ?，使()(0)f a f b ?<.令00,a a b b ==.
2.取区间[]00,a b 的中点0001()2
x a b =+,计算000(),(),()f x f a f b 一般步骤 (1)如果0()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；
(2) 如果00()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令1010,a a b x ==； (3) 如果00()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1010,a x b b ==。 3. 取区间[]11,a b 的中点1111
()2
x a b =
+,计算1()f x
(1)如果1()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；
(2) 如果11()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令2121,a a b x ==； (3) 如果11()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1121,a x b b ==。 ……
4．判断是不是达到精确度ε,即如果a
b ε-<,则得到零点近似值a 或(b)； 否则就重复步骤2-4
函数与方程复习题 1.(2015安徽2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A
2.( 2015天津8)已知函数
()()2
2,2,
2,2,x x f x x x ?-≤?=?->??
函数
()()2g x b f x =--
，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，
则b 的取值范围是( )
（A ）7,4
??+∞ ???
（B ）7,4??-∞ ??
?
（C ）70,4?? ???
（D ）7,24
??
???
【答案】D 【解析】由
()()2
2,2,2,2,
x x f x x x -≤??=?->??得222,0
(2),0x x f x x x --≥??-=?
()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?
，
即222,0
()(2)2,
0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有
4个零点等
价于方程
()(2)0
f x f x b +--=有4个不同的解，即函数
y b
=与函数
()(2)y f x f x =+-的图象的
4个公共点，由图象可知724
b <<.
【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合. 3.(2015湖南15)已知
32,(),x x a f x x x a
?≤=?>?，若存在实数b ，使函数
()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .
【答案】),1()0,(+∞-∞ .
【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3a x b x ≤=与
方程)(2a x b x >=的
根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等
式组??
?
????≤->≤a b a b a b 3
1
有解，
∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有
2个根：则
可知关于b 的不等式组?????>->a
b a
b 31
有解，从而0 取值范围是 ),1()0,(+∞-∞ . 4.(2015北京14)设函数 ()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?- ???≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ； ②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(1)1，(2)1 12 a ≤<或2a ≥. 【解析】①1a =时，()()()211412 1. ≥?- --??x x f x x x x ???，函数()f x 在(,1)-∞上 为增函数，函数值大于1，在3[1,]2 为减函数，在3 [,)2 +∞为增函数，当3 2 x =时，()f x 取得最小值为1； （2）①若函数()2x g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点， 则0a >，并且当1x =时，(1)2g a =->0，则02a <<，函数 ()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以 21且1a a ≥ 1 12 a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数 ()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有 无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点， 不合题意；当(1)20h a = -≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和 2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取 值范围1 12 a ≤<或2a ≥. 5.(2015江苏13)已知函数|ln |)(x x f =，?? ?>--≤<=1 ,2|4|1 0,0)(2 x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为 221,011()7,2 1,12x y g x x x x x <≤?? =-=-≥??-< 221,011()5,2 3,12x y g x x x x x -<≤?? =--=-≥??-< 因此共有4个交点 6.(2014山东08）已知函数()12+-=x x f , ()kx x g =.若方程()() x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）），（2 1 0（B ）），（12 1（C ）），（21（D ）），（∞+2 【答案】B 【解析】 画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原 点和()2,1时斜率最小为12 ，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的 斜率一致。 7.(2014天津14）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】01a 或9a . 【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1| 与y ＝f (x )的图像相切时，由 ?????－ax ＋a ＝－x 2－3x ， a >0， 整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则 Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x ) 的图像有四个交点时，09. 8.(2014江苏13）已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|2 12|)(2+-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有 10个零点（互不 相同），则实数a 的取值范围是 ． 【答案】)2 1,0(【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结 合，通过找)(x f y =与a y =的图象交点去推出零点，先画出[0,3]上 2 1 22+ -=x x y 的图像，再将x 轴下方的图象对称 到上方，利用周期为3，将图象平移至]4,3[-，发现若)(x f 图象要与a y =有10个不同的交点，则)2 1,0(∈a 9．已经函数2 1()( )sin ,23 x f x x a R a a =-∈++，则()f x 在[0，2π]上的零点个数为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．下列函数中，在(0,)2 π 上有零点的函数是（ D ） A ．()sin f x x x =- B ．2 ()sin f x x x π =- C ．2()sin f x x x =- D ．22 ()sin f x x x π =- 11. 设定义在R 上的函数 ?? ? ??=≠-=3,13,|3|1 )(x x x x f ，若关于 x 的方程f 2(x) +af(x) +b=O 有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是（D ） A.(0,1) B.(- ∞,-1) C.(1，+ ∞) D. ( -∞，—2) U ( —2，— 1) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 14．设函数f (x )＝1 x ，g (x )＝ax 2＋bx （a ，b ∈R ，a ≠0），若y ＝f (x ) 的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是（D ） A ．当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0 B ．当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞0 C ．当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0 D ．当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0 15.设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2－x ），且当x ∈［0,1］时，f （x ）＝x 2，又函数g （x ）＝｜xcos （πx ）｜，则函数h （x ）＝g （x ）－f （x ）在13 [,]22 - 上的零点个数为（B ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 16．（2013年重庆）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 17．（2013年湖南）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 18．（2013年天津数学）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B 19．（2013上海）方程 1 313313 x x -+=-的实数解为________ 【答案】3log 4x =. 20.(2012辽宁11)设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22 -上的零点个数为（ ） (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B 21.(2012湖北9)函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 22.(2012天津14)已知函数1 12--= x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象 恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】10< 23、已知()ln 2f x x x =+-，()ln 2g x x x x =+-在()1,+∞上都有且只有一个零点，()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，则（ A ） A ．2112x x <<< B ．1212x x <<< C ．1212x x <<< D ．212x x << 24.(2012江苏17)如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程22 1 (1)(0)20 y kx k x k =- +>表示的曲线上， 其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由． 【答案】解：（1）在 221 (1)(0)20 y kx k x k =- +>中，令 y =，得 221 (1)=020 kx k x - +。 由实际意义和题设条件知00x>k >，。 ∴2 202020 = ==10112k x k k k ≤++，当且仅当=1k 时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 （2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k >，使 221 (1)=3.220 ka k a - +成立，即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。 由()()222=204640a a a ?--+≥得6a ≤。 此时，() () 2 2220204640a a a a k + --+（不考虑另一根） 。 ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 25．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间]3,2[的实数根，取区 间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 ；[2， 2.5] 26．用二分法求图象是连续不断的函数)(x f y =在)2,1(∈x 内零点近 似值的过程中得到0)1( 落在区间（ B ） A ．（1，1.25） B ．（1.25，1.5） C ．（1.5，2） D ．无法确定 27．已知函数)(x f 在区间),0(a )0(>a 上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为)2, 0(a ，)4 ,0(a ，)8 ,0(a ，则下列说法中正确的是（ B ） A ．函数)(x f 在区间)16 ,0(a 内一定有零点 B ．函数)(x f 在区间 )16,0(a 或)8,16(a a 有，或零点是16 a C ．函数)(x f 在区间)16 ,0(a 内无零点 D ．函数)(x f 在区间 )16,0(a 或)8 ,16(a a 有零点 28 A D ． 29．已知函数)(x f 的图象是连续不断的，有如下的x ，)(x f 对应值表 函数)(x f 在区间[1，6]上的零点至少有（ B ） A ．2 B ．3个 C ．4个 D ．5个 30.如果函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值用二分 法计算，起参考数据如下 x 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 ()f x 2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054 32220x x x +--=的一个近似解（精确到0.1）为 C A 、1.2 B 、1. 3 C 、1. 4 D 、1.5 31. 求方程()0f x =在区间[]0,1内的近似根, 用二分法计算到100.445x =到达精确度要求,那么所取误差ξ是＿＿C ＿＿ A 、0.05 B 、0.005 C 、0.0005 D 、0.00005 32.若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ D ） A ．（0，1） B ．（1，1.25） C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 33．已知方程x x lg 3-=，下列说法正确的是（ C ） A ．方程x x lg 3-=的解在)1,0(内 B ．方程x x lg 3-=的解在)2,1(内 C ．方程x x lg 3-=的解在)3,2(内 D ．方程x x lg 3-=的解在)4,3(内 34．若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在)0,2(-内，另一根在)3,1(内，求a 的取值范围。(012<<-a ) 解：关于x 的方程3x 2﹣5x+a=0的一个根在（﹣2，0）内，另一个根在（1，3）内， 等价于函数f （x ）=3x 2﹣5x+a 的图象与x 轴的交点一个（﹣2，0）内，另一个在（1，3）内， 又函数函数f （x ）=3x 2﹣5x+a 的图象是开口向上的抛物线，要满足题意只需 ，即 ，解得﹣12＜a ＜0，故a 的取值范围是 （﹣12，0） 故答案为：（﹣12，0） 35.（2007湖北19） 设二次函数 ,)(2a ax x x f ++-方程0 )(=-x x f 的两根1x 和2x 满足1201x x <<< （Ⅰ）求实数a 的取值范围; （Ⅱ）试比较15 1 (C))1()0(与 f f f - 的大小，并说明理由. 解：（Ⅰ）令g （x ）=f （x ）﹣x=x 2+（a ﹣1）x+a ，则由题意可得 ． 故所求实数a 的取值范围是． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得 12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=-- 2 2 11221112216 x x x x +-+-???? <= ? ?????，故1(0)(1)(0)16f f f -<．
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