圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
圆锥曲线综合练习
例1、椭圆12
32
2=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。（2x+3y-5=0）
备份：1.过椭圆14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。 2.椭圆144942
2
=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.
变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的
中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22
，求该椭圆的方程。（13
23
2
2
=+
y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62
变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。 （1）若的方程；
求直线l ,3
16
|AB |=
（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
3
，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.
（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。
例2、已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）
与椭圆C 交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为
10
3
时,求k 的值.
解:(1)由题意得2
22222a c
a a
b
c =??
?=
??=+??
解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142
y k x x y =-??
?+
=??得2222(12)4240k x k x k +-+-=.
设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则
11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,2122
2412k x x k -=+.
所以|MN|=2
2
2121()()x x y y -+-=22
1212(1)[()4]k x x x x ++-=222
2(1)(46)
12k k k +++.
由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离2
12d k
=
+,
所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=?=.由22||4610123k k k +=
+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22
b
y =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶
点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ?面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)121
6022
c F AF a c e a ο∠=?=?=
= (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-
在12BF F ?中,2
2
2
12122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-??
2223
(2)5
a m m a am m a ?-=++?=[来源:学|科|网Z|X|X|K]
1AF B ?面积211133
sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=??????+=?===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M
作x 轴的垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122
k
x x +=
，121x x =-， ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为248k k ?? ???，．
设抛物线在点N 处的切线l 的方程为
284k k y m x ?
?-=- ??
?，
将2
2y x =代入上式得2
2
2048
mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，
22
22282()04
8mk k m m mk k m k ??
∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=．
即l AB ∥．
（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，
1
||||2
MN AB ∴=
． 由（Ⅰ）知121212111
()(22)[()4]222
M y y y kx kx k x x =+=+++=++
2
2142224
k k ??=+=+ ???． MN ⊥x 轴，22216
||||2488
M N k k k MN y y +∴=-=+-=
．
又2
212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-
2
2
2214(1)11622k k k ??
=-?-=++ ?
??
．
22161
168k k +∴=+，解得2k =±．
即存在2k =±，使0
NA NB =．
例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-=).0,0(>>b a 由已知得
.1,2,2,32
222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.13
22=-y x
（Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l
与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ?-≠???=+-=->?? 即.131
22<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A
，则
22
9
,,22,1313A B A B
A B A B x x x x OA OB x x y y k k -+==?>+>--由得
而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
22
22937
(1)2.1331
k k k k -+=++=--于是2222
37392,0,3131
k k k k +-+>>--即解此不等式得.331
2< 的取值范围为(1,(33 --? 例4、已知椭圆2222+=1x y a b (>>0)a b , 点)P 在椭圆上. (I)求椭圆的离心率. (II)设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足||||AQ AO =,求直线OQ 的斜率的值. 解: 因为点(,)52 P a a 在椭圆上,故22222251528a a a a b b +=?=,于是2222 2 2318a b b e a a -==-=, 所以椭圆的离心率e = (2)设直线OQ 的斜率为k ,则其方程为y kx =,设点Q 的坐标为00(,)x y 变式1、已知椭圆2 21:14 x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程; (2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =,求直线AB 的方程. 变式2、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()11,0F -且 点()0,1P 在1C 上. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程; (Ⅱ)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切,求直线l 的方程. 解析:(Ⅰ)由左焦点()11,0F -可知2 1c =,点()0,1P 在1C 上,所以22 22011a b +=,即21b =,所以 222 2a b c =+=,于是椭圆1C 的方程为2212 x y +=. (Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,假设其方程为y kx b =+. 联立22 12x y y kx b ?+=???=+? ,消去y ,可得() 222214220k x kbx b +++-=,由 ()()()2 2 2 4421220kb k b ?=-+-=可得22 210k b -+=①.联立24y x y kx b ?=? =+? ,消去y ,可得()222240k x kb x b +-+=,由()2 22 2440kb b k ?=--=可得1kb =②.由①②, 解得k b ?=???=? 2k b ?=?? ?=? , 所以直线方程为y =+ y x =-. 变式3、设点P 的轨迹为曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 交于A 、B 两点. （1）求出C 的方程；（2）若k =1，求AOB ?的面积；（3）若OA OB ⊥，求实数k 的值。 解（1）2 2 14 y x += （2）由2 2 2 1523044y x x x x y =+??+-=?+=?123 1,538(1,0),(,)55 x x A B ∴=-= ∴-故1841255 AOB s =??= （3）设1122(,),(,)A x y B x y 由1 22(4)23022 4423 0,,1212 2244 y kx k x kx x y k x x x x k k ??=+?++-=?+=??∴??+=-=- ++ 又2121212120(1)()10OA OB x x y y k x x k x x ⊥?+=?++++= ①代入②得：2 410 12 k k -+=∴=± 例5、如图,直线y=21 x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标； （2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔPAB 面积的最大值. 解(1)解方程组4 8 12 1 2 -== x y x y 得2411-=-=y x 或4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4),从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==2 1 ,直线AB 的垂直平分线方程 y －1= 2 1 (x －2).令y=－5,得x =5,∴Q(5,－5)． (2)直线OQ 的方程为x +y=0,设P(x ,8 1 x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离 d= 24812 -+ x x =3282 812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .