初中数学自主招生模拟试题（一）
一、
选择题（每小题6分，共30分） 1、 设a,b,c,d 为整数，且a ＜2b ，b ＜3c ，c ＜4d ，若
d ＜100，则a 可能取的最大值为（ ）
A. 2367
B. 2375
C. 2391
D. 2399
2、若方程02022222=-+=++b cx x b ax x 与有一个相同的根，且a,b,c 为一个三角形的三边，则此三角形一定是（ ）。
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
3、如果一条直线l 经过不同的三点A(a,b)，B(b,a)，C(a-b,b-a)，那么直线l 经过第（ ）象限。
A. 二、四
B. 一、三
C. 二、三、四
D. 一、
三、四
4、如图，AB 是圆的直径，CD 是平行于AB 的弦， 且AC 和BD 相交于E ，∠AED=α，那么△CDE
和△ABE 的面积之比是（ ）
A.αcos
B. α2sin
C. α2
cos D. αsin 1- 5、点P 在锐角△ABC 的内部，若∠PAB+∠PBC+∠
PCA=90°，则点P 是△ABC 的（ ）
A. 外心、内心或重心
B. 内心或重心或垂心
C. 外心或内心或垂心
D. 外心或重心或垂心
二、填空题（每小题6分，共30分）
6、若等式e d c b a e
d c b a ,,,,111111中的=++++都是自然数且互不相等。则
a= ，b= ，c= ，d= ，e= 。
7、当m 取遍0至5的所有实数值，满足)83(3-=m m n 的整数n 的个数是 。
8、如图，△ABC 内三个三角形的
面积分别为5,8,10，则四边形AEFD
的面积是 。
9、若凸4n+2边形2
421+n A A A （n 为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且?=∠=∠=∠90321A A A ，则n 的所有可能值是 。
三、解答题（每小题15分，共60分）
11、⑴n m mn n m R n m +=++∈，求，且设13,33的值
⑵求方程组?????+==--)
(232333z y x xyz z y x 的正整数解。
12、半径为a 的半圆材料上，如图截两个正方形ABCD,BEFG ，D 、F 两点在半圆周上，C 、G 在半圆内，试求这样两块面积和，并可得出什么结论。
13、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，△ADC 和△CDB 的内心分别为2121,,I I I I 与CD 相交于K ，求证：
CK
BC AC 111=+
14、如图，在平行四边形ABCD 上，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE=DF ，BE 与DF 交于G 。求证∠BGC=
∠DGC