离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）
一、选择题
1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，
0.1p =
【答案】B
【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得
6n =，0.4p =．
考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易
2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13
B ．23
C ．15
D ．25
【答案】A
考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易
3．若随机变量),(~p n B ξ，9
10
3
5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52
D.
5
3 【答案】A
【解析】由题意可知，()5,3
101,9E np D np p ξξ?
==????=-=??
解得5,1,3n p =???=??故选A.
考点：n 次独立重复试验.
【题型】选择题 【难度】较易
4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）
ξ
0 1
P
m n
A ．()()3
,E m D n ξξ== B ．()()2
,E m D n ξξ== C ．()()2
1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2
1,E m D m ξξ=-=
【答案】C
考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易
5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )
A.
7
1 B.
6
1 C.
5
1
D.
4
1 【答案】A
【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1
49,7
n p ==，故选A.
考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易
6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）
A ．
252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254
和
1254
【答案】C
【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=?=ξE ，25.15.05.05=??=ξD ，
所以E η=
252，D η=125
4
. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易
7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）
A ．－0.2
B ．0.1
C ．0.2
D ．－0.4 【答案】A
【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，
0.2a b -=-，故选A.
考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易
8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4
B ．4.5
C ．4.75
D ．5
【答案】B
考点：随机变量的期望.
【题型】选择题
【难度】较易
9．随机变量X的分布列如表所示，2
EX=，则实数a的值为( )
X
a234
P 1
3b
1
61
4
A.0
B.1
3
C.1
D.
3
2
【答案】A
【解析】
1111
1,
3644
b b
+++=∴=
Q,又
1111
2342,0
3464
a a
?+?+?+?=∴=
Q.
考点:随机变量的期望. 【题型】选择题
【难度】较易
10．某班有1
4
的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩
优秀的学生数ξ服从二项分布
1
(5,)
4
B，则()
Eξ-的值为（）
A．1
4
B．
1
4
-C．
5
4
D．
5 4 -
【答案】D
【解析】因为
1
(5,)
4
B
ξ:，所以
15
()5.
44
E E
ξξ
-=-=-?=-故选D.
考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题
【难度】较易
11．已知1
02
a <<
，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ
1-
0 1
P
a
12a - 12
A.()E ξ增大，()D ξ增大
B.()E ξ减小，()D ξ增大
C.()E ξ增大，()D ξ减小
D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B
考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般
12．甲命题：若随机变量2
~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则1
3
p =
，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D
考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般
13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：
方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．
方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．
以下说法正确的是（ ）
A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大
B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大
C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大
D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【
解析】
用
1
X 表示方案i （1,2i =）的损失，则
1()300000.054000150040005500
E X =?+=+=，
2()300000.05150000.2150030004500E X =?+?=+=．综上可知，采用方案一的平
均损失大．
考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般
14．若X 是离散型随机变量，1221
(),()33
P X x P X x ==
==且12x x <，又42
(),()39
E X D X ==，则12x x +的值为（ ）
A ．3
B ．53
C ．73
D ．11
3
【答案】A
考点：离散型随机变量期望与方差．
【题型】选择题 【难度】一般
15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()5
19
P X ≥=，则()31D Y +=（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()2
0251101C 19
P X P X p ≥=-==--=
，解得13
p =
， ∴()1223333D Y =??
=，∴()2
31963
D Y +=?=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般
16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为1
3
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．
24181 B ．26681 C ．27481 D ．670
243
【答案】B
【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛
停止的概率为9531322
2=??
?
??+??? ??．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得
一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()9
5
2=
=ξP ，()812095944=?==ξP ，()8116
9462
=??
? ??==ξP ，故()812668116681204952=
?+?+?=ξE ，故选B.
考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般
17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）
X 1-
0 1 2
P
a
b
c
112
A.
51
,248
B.51,62
C.31,53
D.51,124
【答案】D
考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题
18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18
【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==?=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易
19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .
X 1 2 3 P 0.2 0.4
0.4
【答案】21.2 【
解
析
】
由
分
布
列
得
()2
.24.034.022.01=?+?+?=X E ，则
()()2.218686=+=+X E X E .
考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易
20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =
，标准差()Y σ= ．
【答案】1；
45
5
考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般
21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.
ξ
0 1 2
p
1
2
p - p
12
【答案】1
【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,
2
01,
p p ?
≤-≤???≤≤?解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=
()()()2
2
222
111501112112224
p p p p p p p p ????--?-+--?+--?=--+=-++ ? ?????，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15
144
-
+=.
考点：离散型随机变量及其分布列.
【题型】填空题
【难度】一般
三、解答题
22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考
机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为2
3
，每次
考B科合格的概率均为1
2
.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．
（1）求甲恰好3次考试通过的概率；
（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.
【答案】（1）
5
18
（2）分布列见解析，期望()
8
3
Eξ=
考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题
【难度】一般
23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表
是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816
俄罗斯2423273226
（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出
结论即可）；
（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已
知甲、乙猜中国代表团的概率都为4
5
，丙猜中国代表团的概率为
3
5
，三人各自猜哪个代
表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.
【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散
（2）分布列见解析，
11
5 EX
考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般
24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 [5059)，
[6069)，
[7079)，
[8089)，
[90100)，
甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数
1
3
5
6
5
（1）由以上统计数据填写下面22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计
附：()
()()()()
()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -=
=+++++++.
临界值表：
()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这
8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方
式有关” （2）分布列见解析，4 5
考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.
【题型】解答题
【难度】一般
25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.
（1）求第四个小矩形的高；
（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2
考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.
【题型】解答题
【难度】一般
26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空
气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；
151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年
某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8
考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般
27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调
查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65
考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.
【题型】解答题
【难度】一般
28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]
C B A 、、三级为合格等级，
D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从
中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，
[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数
在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
百分制 85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A B C D
【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)
9991000 （3）分布列见解析，9
4
E ξ=
所以ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3
P1
22027
220
27
55
21
55
()12727219
0123.
22022055554
Eξ=?+?+?+?=
考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题
【难度】一般