2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
1.（2010上海文数）19.（本题满分12分） 已知02
x π
<<
，化简：
2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)
22x x x x x π
?+-+--+
.
2.（2010湖南文数）16. （本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
3.（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1
cos 24
C =-
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
4.（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）?
5.
6.（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）
在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，
且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状.
7.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
8.（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）
ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =
，3
cos 5
ADC ∠=，求AD 。
9.（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
已知函数
()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ?
???=+++- ? ?
????。 (1)
(2)
10. (Ⅰ)求AB AC
；
(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
11.（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)
12.（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2
22)S a b c =+-。
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。
13.（I （
14.（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）
已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π，
15.（2010北京文数）（15）（本小题共13分） 已知函数2()2cos2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值
16.
17.（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-；
在
19.（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ??
=
∈????
，求0cos 2x 的值。
20.（2010广东理数）16、（本小题满分14分）
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=
时取得最大值4．
(1) 求()
f x的最小正周期；
(2) 求()
f x的解析式；
(3) 若f(2
3
α +
12
)=
12
5
,求sinα．
21.（2010广东文数）
22.（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分) 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
23.（2010四川文数）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ）已知431cos ,(,),tan ,(,),cos()5232
π
ααππββπαβ=-∈=-∈+，求cos()αβ+
(Ⅰ
25.（2010山东理数）
26.（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）
（
27.
（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
28.（2010福建理数）19．（本小题满分13分）
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，O
轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
30.（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，
仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
31.（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
1.
2.
由
4
cosC=
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2b-12=0
解得或