第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
一、选择题
1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α
2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}
3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2
π
(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )
(A)
3π (B)3
2π
(C)3 (D)2
5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)
3
π
(B)－
3π (C)6π (D)－6
π *
6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：
①A =B =C ②A ?C ③C ?A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题
7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -12
23
πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *
10.若角α是第三象限角，则
2
α
角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题
11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.
12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *
14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
§1.2.1.任意角的三角函数
一.选择题
1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |
tan x x
的值域是 ( )
(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )
(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25
(D) 不确定
3.设A 是第三象限角，且|sin 2A |= -sin 2A ,则2
A
是 ( )
(A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角
4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定
5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形 *6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2
θ
的终边在 ( )
(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;
8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 13
3
π= ;
9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ; *
10.设M =sin θ+cos θ, -1 11.求函数y =lg(2cos x 12.求：13 sin 330tan() 319 cos()cos6906 ππ??--?? 的值. 13.已知：P (-2，y )是角θ终边上一点，且sin θ= -5 5 ,求cos θ的值. *14.如果角α∈(0,2 π ),利用三角函数线,求证:sin α<α §1.2.2 同角三角函数的基本关系式 一、选择题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（ ） (A)34 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为（ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C) (D)± 2 3 3.设是第二象限角,则 sin cos αα ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ=3 1,π<θ<3 2π,则sin θ·cos θ的值为（ ） (A)±3 10 (B)3 10 5.已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=51 ,则tan α的值是（ ） (A)±83 (B)83 (C)8 3- (D)无法确定 * 6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α= 3 2 ,则三角形为（ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二.填空题 7.已知sin θ－cos θ=1 2 ,则sin 3θ－cos 3θ= ; 8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ; 9.(α为第四象限角）= ; *10.已知cos (α+4π)=1 3 ,0<α<2π,则sin(α+4π)= . 三.解答题 11.若sin x = 35m m -+,cos x =425 m m -+,x ∈(2π,π),求tan x 。 12.化简：2 2 sin sin cos sin cos tan 1+---x x x x x x . 13.求证：tan 2θ－sin 2θ=tan 2θ·sin 2θ。 * 14.已知:sin α=m(|m |≤1),求cos α和tan α的值. §1.3 三角函数的诱导公式 一.选择题 1.已知sin(π+α)=4 5 ,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是（ ） (A)－ 5 3 (B) 53 (C)±5 3 (D) 5 4 2.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为（ ） (A) (D) 3.在△ABC △ABC 必是（ ） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是（ ） (A)－45 (B)－35 (C)±35 (D)±45 5.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是（ ） (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B +=sin 2 C *6.下列三角函数：①sin(n π+43 π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π] ⑤sin[(2n +1)π-3 π](n ∈Z)其中函数值与sin 3π 的值相同的是（ ） (A)①② (B)①③④ (C)②③⑤ (D)①③⑤ 二.填空题 7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-??-??-?-??-?= 。 8.sin 2(3π－x )+sin 2(6 π+x )= . 9. = . * 10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，且列命题： f (2006) =15 16 -，则f (2007) = . 三.解答题 11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)π πααπααπαπ-?+?---?-。 12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3 π) 13.已知cos α=1 3 ,cos(α+β)=1求cos(2α+β)的值. * 14.是否存在角 ,,22 ππαβ?? ∈- ?? ?，()0,βπ∈，使等式( )s i n 32c o s 2ππαβ??-= - ??? ，( )()απβ-=+同时成立？若存在，求出,αβ的值;若不存在，请说明理由. §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质 一、选择题 1.下列说法只不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2kπ+2π,2kπ+32 π ]( k ∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数 2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ( ) (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0] 3.若a =sin 460,b =cos 460,c =cos360 ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) c > a > b (B) a > b > c (C) a >c > b (D) b > c > a 4. 对于函数y =sin(13 2 π-x ），下面说法中正确的是( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 5.函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则它的平面图形面积是 ( ) (A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π * 6.为了使函数y = sin ωx （ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是 ( ) (A)98π (B)1972π (C) 199 2 π (D) 100π 二. 填空题 7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 。8.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 。 9. 函数f (x )=lg(2sin x +1)+ 的定义域是 ; * 10.关于x 的方程cos 2x +sin x -a =0有实数解，则实数a 的最小值是 . 三. 解答题 11.用“五点法”画出函数y =1 2 sin x +2, x ∈[0,2π]的简图. 12.已知函数y = f (x )的定义域是[0, 1 4 ]，求函数y =f (sin 2x ) 的定义域. 13. 已知函数f (x ) =sin(2x +φ)为奇函数，求φ的值. *14.已知y =a －b cos3x 的最大值为3 2 ，最小值为12-，求实数a 与b 的值. §1.4.2正切函数的性质和图象 一、选择题 1.函数y =tan (2x + 6 π )的周期是 ( ) (A) π (B)2π (C)2π (D)4 π 2.已知a =tan1,b =tan2,c =tan3,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) a 3.在下列函数中,同时满足(1)在(0,2π )上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是 ( ) (A) y =|tanx | (B) y =cos x (C) y =tan 2 1 x (D) y =－tanx 4.函数y =lgtan 2x 的定义域是 ( ) (A){x |k π π ,k ∈Z} (C) {x |2k π 5.已知函数y =tan ωx 在(-2π,2 π )内是单调减函数,则ω的取值范围是 ( ) (A)0<ω≤ 1 (B) -1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤ -1 *6.如果α、β∈(2 π ,π)且tan α (A) α<β (B) α>β (C) α+β>32π (D) α+β<32 π 二.填空题 7.函数y =2tan(3π-2 x )的定义域是 ,周期是 ; 8.函数y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; 9.函数y =tan(2x +3 π )的递增区间是 ; * 10.下列关于函数y =tan2x 的叙述：①直线y =a (a ∈R)与曲线相邻两支交于A 、B 两点,则线段AB 长为π；② 直线x =k π+2 π ,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是(4k π,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 . 三. 解答题 11.不通过求值，比较下列各式的大小 （1）tan(-5π)与tan(-37π) (2)tan(78π)与tan (16 π ) 12.求函数y =tan 1tan 1 x x +-的值域. 13.求下列函数y = * 14.已知α、β∈( 2π ,π),且tan(π+α) π. §1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象 一、选择题 1.为了得到函数y =cos(x + 3 π )，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点( ) (A) 向左平移3π个单位长度 (B) 向右平移3π 个单位长度 (C) 向左平移13个单位长度 (D) 向右平移1 3 个单位长度 2.函数y =5sin(2x +θ)的图象关于y 轴对称，则θ= ( ) (A) 2k π+6 π (k ∈Z ) (B) 2k π+ π(k ∈Z ) (C) k π+2π(k ∈Z ) (D) k π+ 3. 函数y =2sin(ωx +φ)，|φ|<2 π 的图象如图所示，则 ( ) (A) ω=1011,φ=6π (B) ω=1011,φ= -6π (C) ω=2,φ=6π (D) ω=2,φ= -6π 4.函数y =cos x 的图象向左平移3 π 个单位，横坐标缩小到原来的12图象解析式为 ( ) (A) y =3cos(12x +3π) (B) y =3cos(2x +3π) (C) y =3cos(2x +23π) (D) y =1 3 cos(12x +6π) 5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =12π时,y max =2;当x =712π 时，,y min =-2.那么函数的解析 式为 ( ) (A) y =2sin(2x +3π) (B) y =2sin(2x -6π) (C) y =2sin(2x +6π) (D) y =2sin(2x -3 π ) * 6.把函数f (x )的图象沿着直线x +y =0的方向向右下方平移,得到函数y =sin3x 的图象，则 ( ) (A) f (x )=sin(3x +6)+2 (B) f (x )=sin(3x -6)-2 (C) f (x )=sin(3x +2)+2 (D) f (x )=sin(3x -2)-2 二. 填空题 7.函数y =3sin(2x -5)的对称中心的坐标为 ; 8.函数y =cos(23 π x +4π)的最小正周期是 ; 9.函数y =2sin(2x +6 π )(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 ; *10.函数y =sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x =6 π 对称，则φ的最小值 是 . 三. 解答题 11.写出函数y =4sin2x (x ∈R )的图像可以由函数y =cos x 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换) 12.已知函数log 0.5(2sin x -1)。(1)写出它的值域；(2)写出函数的单调区间；(3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期。 13.已知函数y =2sin(3 k x +5)周期不大于1，求正整数k 的最小值. * 14. 已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式. §1.6 三角函数模型的简单应用 一、选择题 1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角, 且sin A >sin B >sin C ,则 ( ) (A) A >B >C (B) A 2 π (D) B +C >2 π 2.在平面直角坐标系中，已知两点A (cos800 ,sin800 ),B (cos200 ,sin200 )，则|AB |的值是 ( ) (A) 12 (B) (C) (D) 1 3. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的 一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积 是125,则sin 2θ-cos 2 θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425 (C) 725 (D) -725 4.D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC =a ,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是α、 β（α>β）,则A 点离地面的高度等于 ( ) (A) tan tan tan tan a αβαβ - (B) tan tan 1tan tan a αβαβ + (C) tan tan tan a ααβ- (D) 1tan tan a αβ + 5.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做 圆周运动,已知甲速是乙速的两倍, 乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( ) 6.电流强度I ( 安培)随时间t(秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)的图象如上图所示，则当 t =7120 秒时的电流强度 ( ) (A)0 (B)10 (C)-10 (D)5 二.填空题 7.三角形的内角x 满足2cos2x +1=0则角x = ; 8. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ; 9. 设y =f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (小时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24+φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是 . 10.直径为10cm 的轮子有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以5弧度/钟后点P 经过的弧长是 . 三.解答题 11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店 的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由. A B C D α β 12.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式. 13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： （1）证明棒长L (θ)= 965sin 5cos θθ + ；（2）当θ∈(0,2π)时,作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；（4）解释(3)中所求得的L 是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大 值.