必修4第一章三角函数同步练习及答案 学生版

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．－215°是()A．第一象限角C．第三象限角B．第二象限角D．第四象限角解析：由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．答案：B2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°C．480°，－420°B．－330°，750°D．3000°，－840°解析：∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．答案：B3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是()A．①②C．②③B．①③D．②④解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．答案：D4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°＜α＜180°}B．{α|90°＋k·180°＜α＜180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°＜α＜－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°＜α＜－180°＋k·360°，k∈Z}解析：终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)5．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；9．已知 α 与 240°角的终边相同，判断 是第几象限角． ②钝角一定大于锐角；③射线 OA 绕端点 O 按逆时针旋转一周所成的角是 0°；④小于 90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．解析： ①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转 60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角 α 的取值范围为 90°＜α＜180°，锐角θ的取值范围为 0°＜θ＜90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线 OA 按逆时针旋转一周所成的角是 360°，所以③不正确．④锐角 θ 的取值范围是 0°＜θ＜90°，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案： ①③④6．α 满足 180°＜α＜360°，5α 与 α 有相同的始边，且又有相同的终边，那么 α＝________．解析： 5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.答案： 270°7．若角 α＝2 016°，则与角 α 具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析： ∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角 α 终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是 216°，最大负角是－144°.答案： 216° －144°三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)8．在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°； (2)－60°； (3)－503°36′.解析： (1)549°＝189°＋360°，而 180°＜189°＜270°，因此，549°角为第三象限角，且在 0°～360°范围 内，与 189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而 270°＜300°＜360°，因此，－60°角为第四象限角，且在 0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而 180°＜216°24′＜270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在 0°～360°范围内，与 216°24′角有相同的终边．α 2解析： 由 α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得 ＝120°＋k ·180°，k ∈Z .则 ＝120°＋n ·360°，n ∈Z ， 与 120°角的终边相同，是第二象限角；则 ＝300°＋n ·360°，n ∈Z ， 与 300°角的终边相同， 2 α 2若 k 为偶数，设 k ＝2n ，n ∈Z ，α α 2 2若 k 为奇数，设 k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α α2 2是第四象限角．α所以， 是第二象限角或第四象限角．。

第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§1.2.1.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25(D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin 2A |= -sin 2A ,则2A是 ( )(A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形 *6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ; *10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第 象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x12.求：13sin 330tan()319cos()cos6906ππ︒⋅--⋅︒的值.13.已知：P (-2，y )是角θ终边上一点，且sin θ= -55,求cos θ的值. *14.如果角α∈(0,2π),利用三角函数线,求证:sin α<α<tan α.数学必修（4）第一章、三角函数超辉数学- 3 - 同步练习§1.2.2 同角三角函数的基本关系式一、选择题1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（ ）(A)34(B)43- (C)43(D)43-2.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为（ ）(A)23 (B)43(C) (D)±23 3.设是第二象限角,则sin cos αα ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1-4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ·cos θ的值为（ ）(A)±310 (B)3105.已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=51,则tan α的值是（ ）(A)±83 (B)83(C)83- (D)无法确定*6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为（ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形二.填空题7.已知sin θ－cos θ=12,则sin 3θ－cos 3θ= ;8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ;9.(α为第四象限角）= ;*10.已知cos (α+4π)=13,0<α<2π,则sin(α+4π)= .三.解答题11.若sin x = 35m m -+,cos x =425mm -+,x ∈(2π,π),求tan x 。

必修四第一章 三角函数精选练习题一、选择题1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝12，故选A.]3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．±22 B ．－22 C ．22 D ．－12B [由题意得tan θ＝－1a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝－1a 2＋（－1）2＝－22.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝12×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝62＝3.]5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－13 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－23，故选C.]6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[]－tan 1，tan 1D ．[]－1，1C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.] 8．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2C [令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，k ＝0时，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，故选C.]9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4C [由图可知A ＝2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋π8＝2πω得ω＝2，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )∴φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )， 又∵|φ|＜π， ∴φ＝3π4，故选C.]10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4. 此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]11．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π＜α＜3π2＋2k π，k ∈Z . ∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第二象限的角．]12．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 2 C [1＋2sin （π－2）·cos （π－2） ＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2＜2＜π，∴sin 2－cos 2＞0. ∴原式＝sin 2－cos 2.]13．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B [依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.]14．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π16 A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π，所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8， 令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得 k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z .可得f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z ，令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]二、填空题15．对于锐角α，若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________． 6425 [由题意可得：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.]16．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.] 17．函数y ＝3－tan x 的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z ) [作出三角数线如图，由函数可知3－tan x ≥0中tan x ≤3，而3对应角为π3，由图中阴影部分可得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z )．]18．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .]19．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．4 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4， 所以2πω＝π2，ω＝4.]20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位长度所得的图象与将f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________．4 [由条件可知，图象变换后的解析式分别为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋φ和y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋φ，由于两图象重合，所以ωπ3＋φ＝－ωπ6＋φ＋2k π(k ∈Z )． 即ω＝4k (k ∈Z )，由ω＞0，∴ωmin ＝4.]21．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C ，面积为S ，则C －1S 的最大值为________．4 [由已知可得弧长l ＝2r ，周长C ＝4r ，面积S ＝12×lr ＝r 2，∴C －1S ＝4r －1r 2＝－1r 2＋4r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4，故C －1S 的最大值为4.] 22．已知角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值是________．5π3 [角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， tan α＝－3212＝－3，且α为第四象限角，所以角α的最小正值是5π3.]23．函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x－1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x 2－cos x (x ∈R )的最大值为3.]24．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22. 其中正确命题的序号是________． ③④ [作出函数f (x )的图象如图所示：由图象可知f (x )为周期函数，T ＝2π，①错误；当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2时，取最小值－1，故②错误；x ＝π4＋2k π(k ∈Z )和x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )都是该图象的对称轴，故③正确； 当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )图象在x 轴上方且f (x )max ＝22. 故0＜f (x )≤22.故④正确．]三、解答题25．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝60169，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求sin α与cos α的值．[解] 由已知条件可得sin αcos α＝60169，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋120169＝289169， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－120169＝49169. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝1713，sin α－cos α＝713，解方程组得sin α＝1213，cos α＝513.26．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解] (1)∵α终边过点P (4，－3)，∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a . 当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35， cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35， cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.27．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 假设存在角α，β满足条件，则{sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12， ∴cos α＝22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，代入②得：cos β＝32， ∵0＜β＜π，∴β＝π6，代入①可知成立； 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时代入①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．28．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，则x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数．故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 29．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．30．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.由题意易知T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， 所以ω＝2πT ＝13， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．列表：。

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析 由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案 D解析 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析 由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β， 则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′． 而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ． 二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析 由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析 由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________． 答案 －π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

1-2-0-1任意角的三角函数的定义一、选择题1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0 [答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32B.23C ．－32D ．－23[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32.5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°.6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4 D ．4[答案] C[解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－32. 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 二、填空题11．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．12．已知角θ的终边经过点(－32，12)，那么tan θ的值是________．[答案] －3313．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为_____． [答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.三、解答题15．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 16．求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan(－23π4)； (2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.[分析] 此类问题的解答应先将角改写成2k π＋α或k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再运用诱导公式(一)求值．[解析] (1)sin 25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sinπ3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125°＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.17．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． [分析] 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.。

1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)一、填空题1．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象________． ①向左平移π3个单位长度②向右平移π3个单位长度③向左平移π6个单位长度④向右平移π6个单位长度3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．4． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数解析式是y ＝______. 5．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象________．①向左平移π6个单位长度②向右平移π6个单位长度③向左平移5π6个单位长度④向右平移5π6个单位长度6．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象________． ①向右平移π6个单位长度②向右平移π3个单位长度③向左平移π6个单位长度④向左平移π3个单位长度7．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________． 8．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．二、解答题9．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 10．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)． 三、探究与拓展12．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的______． ①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案1．sin x 2.② 3.y ＝1＋cos 2x 4．－cos 2x 5.③ 6.② 7.32π 8.①③9．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――――――――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ―――――――――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――――――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 10．解 逆向变换11．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x |＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．12．③。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列叙述：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴的单位长度必须一致；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象关于点P (π，0)对称；③y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称图形；④正、余弦函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不超出直线y ＝－1与y ＝1所夹的区域，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 结合正、余弦函数的图象可知，①②③④均正确． 答案： D2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝－sin xB ．g (x )＝sin xC ．g (x )＝－cos xD ．g (x )＝cos x解析： 结合正弦函数与余弦函数的图象可知，函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x (x ∈R )的图象．答案： B3．用“五点法”作出函数y ＝3－cos x 的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0，2)C .⎝⎛⎭⎫π2，3 D .⎝⎛⎭⎫3π2，3解析： 由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3，(2π，2)，故A 错误．答案： A4．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2＜x ＜π2的大致图象是( )解析： y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0.故选C .答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．函数y ＝sin x 的图象和y ＝x2π的图象交点个数是________．解析： 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：由图可知交点个数是3. 答案： 36．下列函数中：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2x ；⑤y ＝1－cos 2x 与函数y ＝sin x 形状完全相同的有________．解析： y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状；y ＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故y ＝－cos x 是将y ＝sin x 向右平移π2个单位，没有改变形状，与y ＝sin x 形状相同，∴①③完全相同，而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2 x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2x ＝|sinx |与y ＝sin x 的形状不相同．答案： ①③7．函数y ＝ 2cos x －2的定义域是________．解析： 要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案： ⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z三、解答题(每小题10分，共20分)8．用“五点法”作函数y ＝2sin x (x ∈[0，2π])的简图． 解析： (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π 2sin x2－2(2)描点作图，如下：9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解析： 函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤53π.能力测评10．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析： 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如下图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案： C11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析： 如右图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案： 4π12．求函数y ＝1－2cos x ＋lg (2sin x －1)的定义域． 解析： 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z ，sin x >12的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．13．作出函数y ＝sin x ＋sin |x |，x ∈R 的图象．解析： y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥0，0，x <0，其图象如图所示．。

描述：例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；
60∘OA O 0∘
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

又 ，∴令 得 ．
∵α∈(0,2π)k =1α=
π。

1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性一、填空题1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是________． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝________. 3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 014)＝________. 4．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________．5．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______． 6．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是________．7．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝_______. 二、解答题9．求下列函数的周期：(1)y ＝4sin(π3x ＋π4)＋2； (2)y ＝3cos(π3－2x )－1. 10．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x (－π2≤x <0)sin x (0≤x <π)，求f (－15π4)的值． 11．设偶函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，求f (113.5)的值．三、探究与拓展12．若函数f (n )＝sin n π3(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)的值．答案1．1 2.±3 3.12 4.7 5.6 6.π 7．－2 8.229．解 (1)T ＝2ππ3＝6. (2)T ＝2π|－2|＝π. 10．解 ∵f (x )的周期为3π2， ∴f (－15π4)＝f (－15π4＋3×3π2) ＝f (34π)． ∵0<34π<π，∴f (34π)＝sin 34π＝sin π4＝22， 即f (－15π4)＝22. 11．解 由于f [(x ＋3)＋3]＝－1f (x ＋3)， 而f (x ＋3)＝－1f (x )， 则f (x ＋6)＝f (x )，即函数的周期为6，于是f (113.5)＝f (19×6－0.5)＝f (－0.5)，f (－0.5)＝－1f (3－0.5)＝－1f (2.5)， 又函数为偶函数，因此f (2.5)＝f (－2.5)＝2×(－2.5)＝－5，因此f (－0.5)＝－1f (2.5)＝－1－5＝15， 也即f (113.5)＝15. 12．解 f (n )＝sin n π3＝sin(2π＋n π3) ＝sin 6π＋n π3， f (n ＋6)＝sin n π＋6π3， ∴f (n )＝f (n ＋6)．即6是f (n )的一个周期．又f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＝0 且2 013＝6×335＋3∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝f (6×335＋1)＋f (6×335＋2)＋f (6×335＋3)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin 33π＝32＋32＋0＝ 3.。