阶段性测试题九(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2011·昆明模拟)设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0
[答案] D
[解析] 由sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1. ∴α＝135°，即a ＝b ，a －b ＝0.
2．(2011·福州模拟)若ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0所经过的象限是( ) A ．一、二、三 B ．一、二、四 C ．一、三、四 D ．二、三、四 [答案] A
[解析] 直线方程化为y ＝－a b x －c b ，其斜率k ＝－a b ，
在y 轴上截距为－c
b
.
∵ab <0，bc <0，∴k ＝－a b >0，－c
b >0，
∴此直线经过第一、二、三象限．
3．(2011·广东惠州模拟)函数f (x )＝(x －2012)·(x ＋2011)的图像与x 轴，y 轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，则此圆与坐标轴另一个交点是( )
A.????0，1
2 B ．(0,1) C.?
??
?
0，
20112012 D.?
??
?
0，
20122011 [答案] B
[解析] f (x )与x 轴的交点为A (2012,0)，B (－2011,0)，与y 轴的交点为C (0，－2011×2012)． 设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一交点为D (0，y )(y >0)，得|OD |＝1，即y ＝1. ∴D (0,1)．
4．(2011·河南洛阳模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．x ＋2y －3＝0
D ．2x －y －1＝0
[答案] D
[解析] 圆心C (3,0)，k CP ＝－1
2，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是
2x －y －1＝0.故选D.
5．(2010·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个
焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )
A.x 236－y 2
108＝1 B.x 29－y 2
27＝1 C.x 2108－y 2
36＝1 D.x 227－y 2
9
＝1 [答案] B
[解析] 由题易知b
a ＝3①
且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)， 则有a 2＋b 2＝36②
由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y 2
27
＝1，故选B.
6．(2011·江西南昌模拟)已知椭圆x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若
P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )
A.95 B ．3 C.977
D.94
[答案] D
[解析] 设椭圆短轴的一个端点为M . 由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7
∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7，得y 2
＝????1－716×9＝9
2
16
， ∴|y |＝94
.
即P 到x 的距离为9
4
.
7．(2011·西安调研)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率
为( )
A.5
4 B.52 C.32 D.
54
[答案] B
[解析] 因为椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32，也即a 2－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝5
4，即
a 2＋
b 2a 2＝54，双曲线离心率e ′＝
c ′a ′＝5
2
，故选B. 8．(2010·华阴模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >0b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2＝2bx
的焦点为F .若F 1F →＝3FF 2→
，则此椭圆的离心率为( )
A.12
B.22
C.13
D.
33
[答案] B
[解析] ∵F ????b 2，0，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且F 1F →＝3FF 2→， ∴F 1F →＝????b 2＋c ，0，FF 2→
＝????c －b 2，0， ∴b 2＋c ＝3c －3b
2，即b ＝c . ∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， ∴c a ＝e ＝22
. 9．(2010·新课标卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 2
6＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 26－y 2
3＝1 D.x 25－y 2
4
＝1 [答案] B
[解析] 本题考查双曲线标准方程的求法，可以利用“点差法”进行求解，也可以利用根与系数的关系进行解答，但运算量较大．
设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，
B (x 2
，y 2
)则有：???
x 21a 2－y 21
b
2＝1x 22a 2
－y
22b 2
＝1
，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 2
5a
2，又AB 的斜率
是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－
y 25＝1，故选B.
10．(2011.4·潍坊二模)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于两点A 、B ，交其准线于C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )
A ．y 2＝3
2x
B ．y 2＝9x
C ．y 2＝9
2x
D ．y 2＝3x
[答案] D
[解析] 如题图所示，分别过点A 、B 作AA 1、BB 1与准线垂直，且垂足分别为A 1、B 1， 由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，
∴∠BCB 1＝30°，于是可得直线AB 的倾斜角为60°. 又由|AF |＝3得|AF |＝|AA 1|＝3＝1
2|AC |，
于是可得|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1
3
|CF |＝1.
∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝3＋1＝4.
设直线AB 的方程为y ＝3(x －p
2)，代入y 2＝2px 得
3x 2－5px ＋3
4
p 2＝0，
∵|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝x A ＋x B ＋p ＝53p ＋p ＝8
3p ＝4，
∴p ＝3
2，即得抛物线方程为y 2＝3x .故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2010·湖南卷)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．
[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1
[解析] 本题考查直线的斜率公式、两直线垂直的充要条件、两圆关于某直线对称问题．
过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3
a ＋
b －3＝1，
∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为??
??a －b ＋32，b －a ＋32，∴
PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－????
x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直
线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(m ，n )，则
?????
n ＋32＝－m ＋2
2＋3n －3m －2＝1
，解得????
?
m ＝0n ＝1
，
故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.
(理)(2010·四川卷)直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. [答案] 2 3
[解析] 圆心到直线x －2y ＋5＝0的距离d ＝5，又圆的半径为22，则|AB |＝2(22)2－(5)2＝2 3.
12．(文)(2011·郑州一模)已知点A (1,0)，B (2,0)．若动点M 满足AB →·BM →＋2|AM →
|＝0，则点M 的轨迹方程为________．
[答案] x 22
＋y 2
＝1
[解析] (1)设M (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BM →＝(x －2，y )，AM →
＝(x －1，y )， 由AB →·BM →＋2|AM →|＝0得，
(x －2)＋2·(x －1)2
＋y 2
＝0.整理得x 22
＋y 2
＝1.
(理)(2011·郑州一模)已知点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是
双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．
[答案] 9
[分析] 根据双曲线定义，建立点A 、P 与两焦点之间的关系，利用两点之间线段最短求解.
[解析] 如图所示，根据双曲线定义知，|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，将|PF |－4＝|PF ′|代入得，|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线，即P 为图中的点P 0时等号成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.
13．(2011·安康质检)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x
2
2＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2
的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为______．
[答案] －1
2
[解析] 令P 1(x 1，y 1)、B 2(x 1，y 2)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 2
2
x 21－x 22
＝????1－x 212－???
?
1－x 2
22x 21－x 2
2
＝－1
2
.
14．(2011·安阳二模)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的右焦点F (c,0)的直线交双曲线于M 、N 两点，
交y 轴于P 点，则有PM MF －PN NF 的定值为2a 2b 2.类比双曲线这一结论，在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中，
PM MF －PN
NF
的定值为________． [答案] －2a 2
b
2
[解析] 对双曲线利用特殊位置法，即当直线过原点时，PM MF －PN NF ＝a c －a －a c ＋a ＝2a 2
c 2－a 2
＝
2a 2
b 2
. 同理，对椭圆也利用同样的办法可得PM MF －PN NF ＝a c －a －a c ＋a ＝2a 2c 2－a 2＝－2a 2
b
2.
15．(2011·杭州二模)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.
[答案] 2
[解析] 抛物线的焦点坐标为F (0，p 2)，则过焦点斜率为1的直线方程为y ＝x ＋p
2，设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)(x 2>x 1)由题意可知y 1>0，y 2>0.
由?????
y ＝x ＋p 2
x 2＝2py ，消去y 得x 2－2px －p 2＝0.由韦达定理得：x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝－p 2. 所以梯形ABCD 的面积为S ＝1
2
(y 1＋y 2)(x 2－x 1)
＝12(x 1＋x 2＋p )(x 2－x 1)＝12×3p (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1
2
×3p 4p 2＋4p 2＝32p 2.所以32p 2＝
122，又p >0.所以p ＝2.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)
(2010·河南商丘调研)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；
(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．
[解析] (1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；
当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2
＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.
所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由直线方程可求得M ?
??
??2＋a a ＋1，0、N (0,2＋a )，又因为a >－1，故S
△OMN
＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×(a ＋1)2
＋2(a ＋1)＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1
＋2]≥12×? ??
??2
(a ＋1)×1a ＋1＋2＝2，当且仅
当a ＋1＝1a ＋1
，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.
[点评](1)截距相等，包括过原点的情形．
(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证． 17．(本小题满分12分)
(2011·山东潍坊模拟)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐原点)，求m ； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0①
由?
????
x ＝4－2y x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0 得5y 2－16y ＋m ＋8＝0
∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，代入①得，m ＝8
5.
(3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －16
5y ＝0.
18．(本小题满分12分)
(2011·江西景德镇模拟)已知两点A (2，0)、B (－2，0)．动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB →
＝2PQ →2.
(1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)设直线l 过点A ，斜率为k .当0 [解析] (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A → ＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB →＝x 2－2＋y 2. 由题意P A →·PB →＝2PQ → 2，得x 2－2＋y 2＝2x 2. ∴所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线l ：y ＝k (x －2) (0 由题意，点C 在与直线l 平行且与l 之间的距离为2的直线l ′上． 设直线l ′：y ＝kx ＋b ，则得|2k ＋b | k 2＋1 ＝2， 即b 2＋22kb ＝2. ① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，且整理得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则由题意知Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0， 即b 2＋2k 2＝2.② ①－②得2k (2b －k )＝0，k ＝2b . 由方程组??? k ＝2b ，b 2＋2k 2＝2，得k ＝255，b ＝10 5. 此时，由方程组????? y ＝255x ＋105， y 2－x 2＝2， 得点C 的坐标为(22，10)． 19．(本小题满分12分) (2011·辽宁师大附中月考)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M (1 2，0)，AB 边所在直线 的方程为3x －4y －4＝0.点N (－1，1 3 )在AD 所在直线上． (1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C 1的方程； (2)已知点E (－1 2，0)，点F 是圆C 1上的动点，线段EF 的垂直平分线交FM 于点P ，求动 点P 的轨迹方程． [解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0， 且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为－4 3. 又点N 在直线AD 上． ∴直线AD 的方程为y －13＝－4 3(x ＋1)， 即4x ＋3y ＋3＝0. 由???? ? 3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0 ，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ， ∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心． 而|MA |＝ (0－12)2＋(－1－0)2＝5 2 . ∴外接圆的方程为(x －12)2＋y 2＝5 4 . (2)由题意得，|PE |＋|PM |＝|PF |＋|PM |＝|FM |＝ 5 2 ，又|FM |>|EM |， ∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， ∵c ＝12，a ＝54，∴b 2＝a 2－c 2＝516－14＝1 16. 故动点P 的轨迹方程是x 2516＋y 2 116＝1. 20．(本小题满分13分) (理)(2010·安徽卷)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12 . (1)求椭圆E 的方程； (2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程； (3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． [解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识． 解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点． (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，(a >b >0) 由e ＝12，即c a ＝1 2，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2. ∴椭圆的方程化为x 24c 2＋y 2 3c 2＝1. 将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3 c 2＝1，解得c ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 2 12 ＝1. (2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以 直线AF 1的方程为：y ＝3 4(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0. 直线AF 2的方程为：x ＝2. 由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则 |3x －4y ＋6| 5 ＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0， 所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0. 解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→ ＝(0，－3)． ∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15 (－4，－3)＋13(0，－3) ＝－4 5 (1,2)． ∴k 1＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (3)解法1：假设存在这样的两个不同的点B (x 1，y 1)和C (x 2，y 2)， ∵BC ⊥l ，∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝－1 2. 设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 2 2， 由于M 在l 上，故2x 0－y 0－1＝0.① 又B ，C 在椭圆上，所以有x 2116＋y 2 112＝1与x 2216＋y 22 12＝1. 两式相减，得x 22－x 2116＋y 22－y 2 1 12 ＝0， 即 (x 1＋x 2)(x 2－x 1)16＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)12 ＝0. 将该式写为18·x 1＋x 22＋y 2－y 1x 2－x 1·16·y 1＋y 2 2＝0，并将直线BC 斜率k BC 和线段BC 的中点表示代 入该表达式中，得18x 0－1 12 y 0＝0，即3x 0－2y 0＝0.② ①×2－②得x 0＝2，y 0＝3，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的． ∴不存在满足题设条件的点B 和C . 解法2：假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，则l ⊥BC ，∴k BC ＝－1 2. 设直线BC 的方程为y ＝－12x ＋m ，将其代入椭圆方程x 216＋y 2 12＝1，得一元二次方程3x 2＋ 4(－1 2 x ＋m )2＝48， 即x 2－mx ＋m 2－12＝0.则x 1与x 2是该方程的两个根． 由韦达定理得x 1＋x 2＝m ， 于是y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝3m 2， ∴B ，C 的中点坐标为(m 2，3m 4)． 又线段BC 的中点在直线y ＝2x －1上， ∴ 3m 4 ＝m －1，得m ＝4. 即B ，C 的中点坐标为(2,3)，与点A 重合，矛盾． ∴不存在满足题设条件的相异两点． (文)如图，已知抛物线C 1：x 2 ＋by ＝b 2 经过椭圆C 2：x 2a 2＋y 2 b 2＝ 1(a >b >0)的两个焦点． (1)求椭圆C 2的离心率； (2)设点Q (3，b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△QMN 的重心在抛物线C 1上，求C 1和C 2 的方程． [解析] 本题主要考查了抛物线及椭圆的方程和性质，并涉及求离心率问题，重心坐标公式，曲线与曲线的交点等内容，注重运算变形能力的考查，综合性较强． (1)椭圆的焦点为(±a 2 －b 2 ，0)，代入抛物线方程a 2 －b 2 ＋b ·0＝b 2 ?b 2a 2＝1 2 ，∴e ＝ 1－(b a )2 ＝ 22 . (2)由(1)问a 2 ＝2b 2 ，∴椭圆方程为x 22b 2＋y 2 b 2＝1， 即x 2＋2y 2＝2b 2. 设N (x 0，y 0)，M (－x 0，y 0)，Q (3，b )，则重心(1，2y 0＋b 3 )，代入抛物线方程， ???? ? 1＋2by 0＋b 23 ＝b 2x 2 0＋by 0 ＝b 2x 20 ＋2y 20 ＝2b 2 ?????? b 2 ＝1，y 0 ＝－b 2或y 0＝b (舍) ∴抛物线方程为y ＝1－x 2 ，椭圆方程为：x 22＋y 2 ＝1. 21．(本小题满分14分) (2010·陕西卷)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，| A 1B 1| ＝7，S ?A 1B 1A 2B 2＝2S ?B 1 F 1B 2F 2. (1)求椭圆C 的方程； (2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A 、B 两点的直线，|OP → |＝1，是否存在上述直线l 使AP →·PB → ＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． [解析] 本题主要考查待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系．第一问直接将条件转化为关于a ，b 的方程组求解，第二问将向量AP →·PB →＝1与|OP →|＝1结合得出坐标之间的关系，又将l 与椭圆联立得根与系数的关系，从而确定等式求解. 要注意对斜率存在和不存在两种情况的讨论． 解：(1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7① 由S ?A 1B 1A 2B 2＝2S ?B 1F 1B 2F 2知a ＝2c ，② 又b 2＝a 2－c 2，③ 由①，②，③解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 假设使AP →·PB → ＝1成立的直线l 存在， ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由l 与n 垂直相交于P 点且|OP → |＝1得 |m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2 ＋1， ∵AP →·PB →＝1，|OP →|＝1， ∴OA →·OB →＝(OP →＋P A →)·(OP →＋PB →) ＝OP 2→＋OP →·PB →＋P A →·OP →＋P A →·PB →＝1＋0＋0－1＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，④ x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2 .⑤ 0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 将④，⑤代入上式得 (1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥ 将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾． 即此时直线l 不存在． ②当l 垂直于x 轴时，满足|OP → |＝1的直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1， 当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为(1，32)，(1，－3 2)，(1,0)， ∴AP →＝(0，－32)，PB →＝(0，－32)，∴AP →·PB →＝9 4 ≠1. 当x ＝－1时，同理可得AP →·PB → ≠1，矛盾． 即此时直线l 也不存在． 综上可知，使AP →·PB →＝1成立的直线l 不存在． 点评：(1)求椭圆方程的最常用方法是待定函数法，结合条件及椭圆性质建立关于a ，b 的方程式，注意隐含条件a 2＝b 2＋c 2的应用． (2)有关椭圆中的存在性问题，处理方式是先假设存在，设出相关方程，联立后利用韦达定理找到根与系数的联系，建立有关参数的方程，求解，注意判别式Δ的限制作用． 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响； 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】 题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换 【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【提分秘籍】 作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3 2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 【举一反三】 设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)????ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ??? ?π4＝32. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 题型二利用三角函数图象求其解析式 例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ??? ?π2＝－23，则f(0)＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12 (2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________． 【提分秘籍】 已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2π T 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 【举一反三】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( ) x 年高三第一次高考诊断 数 学 试 题 考生注意： 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟。 所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水、签字笔作答。 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发 生k 次的概率P n （k ）=k n k k n P P C --)1(（k=0，1，2，…，n ）。 球的体积公式：3 3 4R V π= （其中R 表示球的半径） 球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（理科）如果复数2()1bi b R i -∈+的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （文科）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{6,7,8}U A B ===集合，则 ()() U U C A C B = （ ） A ．φ B ．{4，5} C ．{1，2，3，6，7，8} D ．U 2．已知4(,),cos ,tan()254 π π απαα∈=--则等于 （ ） A ． 17 B ．7 C ．17 - D ．-7 3．在等差数列{}n a 中，若249212,a a a ++=则此数列前11项的和11S 等于 （ ） A ．11 B ．33 C ．66 D ．99 4．（理科）将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量( ,1)6 π-平移得到图像F 2，若图象F 2 关于直线4 x π=对称，则θ的一个可能取值是 （ ） A ．23 π - B ． 23 π C ．56 π- D ． 56 π （文科）将函数cos 2y x =的图像按向量(,2)4 a π =-平移后的函数的解析式为 （ ） A ．cos(2)24 y x π =+ + B ．cos(2)24 y x π =- + C ．sin 22y x =-+ D ．sin 22y x =+ 5．（理科）有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或 全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的 概率为c ，其中,,(0,1)a b c ∈，且该同学得分ξ的数学期望12 2,E a b ξ=+则 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （文科）某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示。已知 在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.16，现用分 层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高一年级抽取的学生人数 为 （ ） A ．19 B ．21 C ．24 D ．26 6．在ABC ?中，若(2),(2)A B A B A C A C A C A B ⊥-⊥-，则ABC ?的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多 2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 8．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且满足,l l αβ??，现有：①//l β；②l α⊥； 2020．1 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{} 223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈?，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{} 11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi += A ．1 B.2 C.3 D.2 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6 4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其 体积V 的近似公式2136V L h ≈ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所 示，则的部分图象可能是 本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 试题（数学）高三数学 山东省潍坊市2020届高三期末 高三一轮复习数学模拟试题（一） 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．执行右边的程序框图，输出S 的值为（ ） A. 14 B. 20 C. 30 D. 55 5.已知向量，向量，且，则实数x 等于 （ ） A. 0 B. 4 C. -1 D. -4 6．若是等差数列的前n 项和，则的值为 （ ） A ．12 B ．22 C ．18 D ．44 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 8．已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 i i z )1(+=}{21|<<-=x x A }{30|<<=x x B B A }{20|< 高三数学模拟试题（满分150分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(eU N )＝（ ） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. B. 43 π C. 43π D. 27 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 1 6．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ） A ．f (x )=5sin( 6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则 1234()f x x x x =+++ ； 12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.21 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中 高三复习数学试题 时间：120分钟 满分：150分 【一】选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在ABC ?中, 已知0 60,34,4===B b a ,则角A 的度数为 （ ） A ． 030 B ．045 C ．060 D ．0 90 2．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．101 D ． 102 3．已知0x >，函数4 y x x = +的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 4．（文科选做）在等比数列中，112a =，12q =，132 n a =，则项数n 为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （理科选做）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若10s =2,30s =14,则40s 等于 A ．80 B ．26 C ．30 D ．16 5．不等式13 ()()022x x +-≥的解集是 （ ） A. 13{|}22x x -≤≤ B. 13 {|}22x x x ≤-≥或 C. 13{|}22x x -<< D. 13 {|}22 x x x <->或 6.设,x y 满足约束条件1 2x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 7．不等式2 0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a ?≥ D. 0,0a >?> 8．ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为 （ ） A ． 2 1 B ． 2 3 C.1 D.3 9. 等差数列{}n a 的前m 项和为20，前2m 项和为70，则它的前3m 的和为（ ） 数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题） 【必考题】高三数学上期末试题(含答案) 一、选择题 1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 2．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n =，()1n n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足 （ ） A ．()1n n T n =-? B ．n T n = C ．n T n =- D ．,2,. n n n T n n ?=? -?为偶数， 为奇数 3．在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 4．已知函数223log ,0(){1,0 x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1- B ．[]2,4- C ．(](),20,4-∞-? D ．(][] ,20,4-∞-? 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56 6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S = C ．65S S < D ．65S S = 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2 29m n a a a =，则 212m n +的最小值等于（ ） A ．1 B ． 12 C ． 34 D ． 32 8．已知数列{}n a 满足112,0,2 121,1, 2n n n n n a a a a a +? ≤ 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 高考数学复习练习题全套含答案 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥ ，求2sin α． （2 ）若OA OC += OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2017 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++ 的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 姓名 作业时间： 2017 年 月 日 星期 作业编号 003 高三数学综合测试题 一、选择题 1 、设集合{}U =1,2,3,4，{} 25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为( B ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．6 2． 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 }2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D 3. 设函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =12 0.6，b =12 0.7，c =lg0.7，则 ( C ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C ) A ．(-1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 6、设函数1()7,02(),0 x x f x x x ?- 数学试题 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2 ＝ 1n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2 ＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z ·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝? ????1 x －1 ，x ≤0，－x 2 3，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷 （一） 一、单选题 (★★) 1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D． (★★) 2. 设，其中，是虚数单位，则在复平面内对应的点在（） A．第一象限或轴B．第二象限或轴 C．第三象限或轴D．第四象限或轴 (★) 3. 命题：“ ，”的否定形式为（） A．，B．， C．，D．， (★) 4. 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A．B．C．D． (★★) 5. 将不超过实数的最大整数记为，设函数，则（） A．4B．2C．1D．0 (★) 6. 已知向量，，，若，则、可以是（） A．，B．， C．，D．， (★★) 7. 已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（） A．B． C．D． (★★★) 8. 若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 二、多选题 (★★★) 9. 等差数列的首项，设其前项和为，且，则（） A．B．C．D．的最大值是或者 (★★★) 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（） A．B．C．D． (★★★) 11. 材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以 作变形：，所以可看作是由函数和 复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 的说法正确的是（） A．无极小值B．有极小值C．无极大值D．有极大值 (★★★) 12. 已知函且，，，则（） A．为偶函数B．在单调递增 C．D． 三、填空题 (★) 13. 已知向量、，满足，且，则______. (★) 14. 已知函数，则在曲线的所有切线中，斜率的最大值为______. (★★★★) 15. 设函数，若关于的方程 有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是______. 四、双空题 (★★★) 16. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ______；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则______. 五、解答题 高三数学（文科）一轮复习测试题 一：选择题： 1．函数1()lg 4 x f x x -=-的定义域为 （ ） Ａ．(14)， Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，， Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，， 2．下列四个数中最大的是 （ ） A ．2 (ln 2) B ．ln(ln 2) C ． D ．ln 2 3函数2 ()ln(1)f x x x =+- 的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)e D ．(3,4) 4．已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->??=?++≤?? ，则)34()34(-+f f 的值等于 A ．2- B ．1 C ．2 D ．3 5/设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -= （ ） A ．1 B ． 1 4 C ．1- D ．114 - 6．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3+∞ 7．定义x ⊙,3y y x -=则a ⊙(a ⊙a)等于 （ ） A ．-a B ．a 3 C ．a D ．a 3- 8．已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（ ）。A ．(22，3) B ．(3，10) C ．(22，4) D ．(－2，3) 9．已知(31)4,1()log , 1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11 [,)73 10．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ???∈，且 如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y y P x ，则P ⊙Q= （ ） A ．),4(]1,0[+∞? B ．),4[]1,0[+∞? C ．[1，4] D ．（4，+∞） 二、填空题： 2018届潍坊高三期末考试 数学（理） 2018. 1 本试卷分第I 卷和第H 卷两部分，共 6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题 卡一并交回. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡 和试卷 规定的位置上. 2 ?第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3. 第H 卷必须用 0. 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A —X -1 ：： x ：： 1 ?, B —xlog z x ：： 1,则 A B 二 2. 下列函数中，图象是轴对称图形且在区间 0, * 上单调 递减的是 1 A . y B. y = -x 2 1 C . y = 2x D . y = log 2 x x x - y 2 乞 0 3 .若x, y 满足约束条件 x ? y - 4亠0,则z = 2x - y 的最大值为 [y 兰4 5 .已知双曲线笃 =1 a T.b 0的焦点到渐近线的距离为 a b 6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A . 4 2 3 -.3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为 A . 1 B. 、3 C. 2 A . -1,1 B. (0, 1) C. (-1, 2) D . (0, 2) A . -4 B. -1 C. 0 D . 4 4 .若角〉终边过点A 2,1 , sin 3 二 2 2罷 A. 5 C V D . 2 2 2021届单元训练卷?高三?数学卷（B ） 第4单元 三角函数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知2sin(π)3α-=- 且π (,0)2 α∈-，则tan(2π)α-=（ ） A B ． C D ．2．已知π4 cos()45 α-=，则sin 2α=（ ） A ．725- B ． 725 C ．15 - D ． 15 3．已知π1 sin()63 α-=，则πcos(2)3α-=（ ） A ．79 - B ． 9 C ． 79 D ．9 - 4．已知π3sin()45α-=，π5π (,)24 α∈，则sin α=（ ） A B ． C ．± D ． 5．函数()g x 的图像是由π()sin(2)2f x x =+的图像向左平移π 6 个单位得到，则()g x 的一条对称轴方程是（ ） A ．π6 x =- B ．π6 x = C ．π12 x =- D ．π12 x = 6．已知1tan 4tan θθ+=，则2π cos ()4 θ+=（ ） A ． 1 5 B ． 14 C ． 13 D ． 12 7 ．函数()cos f x x x =-，[0,π]x ∈的单调递减区间是（ ） A ．2π[0, ]3 B ．π2π [, ]23 C ．2π[ ,π]3 D ．π5π [, ]26 8．若π1sin()6 3α-=，则2π cos( 2)3 α+的值为（ ） A ．1 3- B ．79 - C ． 13 D ． 79 9．函数π()sin(2)(||)2f x x ??=+< 的图象向左平移π 6 个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 是R 上的奇函数，则函数()f x 在π [0,]2 上的最小值为（ ） A ．2 - B ．12 - C ． 12 D ． 2 10．设π (0,)2α∈，π(0,)2β∈，且1sin tan cos α βα += ，则（ ） A ．π32 αβ-=- B ．π22αβ-=- C ．π32 αβ+= D ．π22 αβ+= 11．将函数sin 2y x =的图象向右平移π (0)2 ??<< 个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间π[0,]4 上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5ππ (,)126 --上，则?的取值范围是（ ） A ．ππ (,]64 B ．ππ(,)62 C ．ππ( ,]124 D ．ππ( ,)122 12．函数πsin sin()3 y x x =+的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ． π 12 B ． π2 C ． π3 D ． π6 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13 ．函数2 3 ()cos cos 2 f x x x x =+ 的单调递增区间为__________． 2019高三数学一轮复习单元练习题：集 合 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的 括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有 （ ） A ．C A ? B ．A C ? C ．C A ≠ D ．φ=A 2．含有三个实数的集合可表示为{a ，a b ，1}，也可表示为{a 2， a +b ，0}，则a 2006+b 2006 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 3．若集合}03|{},2|||{2 =-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N = （ ） A ．{3} B ．{0} C ．{0，2} D ．{0，3} 4．已知全集I ＝{0，1，2}，满足C I （A∪B）＝{2}的A 、B 共有的组数为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 5．设集合M ={x |x = 412+k ，k ∈Z }，N ={x |x =2 1 4+k ，k ∈Z }，则 （ ） A ．M =N B ．M N C ．M N D ．M ∩N =? 6．对于任意的两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定（a ，b ）＝（c ，d ）当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“?”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=?，运算“⊕”为：),(),(d c b a ⊕ ),(d b c a ++=，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=?q p 则=⊕),()2,1(q p （ ） A ．)0,4( B ．)0,2( C ．)2,0( D ．)4,0(- 7．设}5,4,3,2,1{=??C B A ，且}3,1{=?B A ，符合此条件的（A 、B 、C ）的种数（ ） A ．500 B ．75 C ．972 D ．125 8．设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2 +4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关 系中成立的是 （ ） A ．P Q B ．Q P C ．P =Q D ．P ∩Q =Q 9．设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．的个数是 （ ） A ．16 B ．8； C ．7 D ．4 10．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分） 是 （ ）高考数学模拟复习试卷试题模拟卷202332
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