题型一：数学归纳法基础
【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111
111112()234
1242n n n n
-+-++
=+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A ．1+=k n 时等式成立
B ．2+=k n 时等式成立
C ．22+=k n 时等式成立
D ．)2(2+=k n 时等式成立
【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命
题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立
B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立
D. n=2（k+2）时命题成立
【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当
1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得
（ ）
A ．当n=6时该命题不成立
B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立
【例4】利用数学归纳法证明
“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B
112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1
3
2++k k
【例5】用数学归纳法证明),1(1112
2
*+∈≠--=++++N n a a
a a a a n n
Λ，在验证n=1时，典例分析
板块三.数学归纳法
左边计算所得的式子是（ ）
A. 1
B.a +1
C.21a a ++
D. 421a a a +++
【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+????N n n Λ，从“k
到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C.
112++k k D.1
3
2++k k
【例7】用数学归纳法证明：1+
21+3
1+)1,(,121
>∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明
从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k
【例8】设
)1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明
“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是
【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ）
时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。
【例10】用数学归纳法证明不等式
24
13
12111>
++++++n n n n Λ的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是
【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-+???+?-=++对
一切)*N n ∈成立？证明你的结论。
题型二：证明整除问题
【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m =
【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除
【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+．
求证：数列{}n a 的第41(*)m m +∈N 项能被3整除．
【例15】 用数学归纳法证明：731(*)n n n +-∈N 能被9整除．
【例16】设n 是任意正整数，求证：35n n +能被6整除．
【例17】用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，227433n n --能被264整除．
【例18】2n (n ≥4且n ∈N *)个正数排成一个n 行n 列的数阵：
第1列
第2列
第3列 …… 第n 列
第1行 11a 12a 13a …… 1n a 第2行 21a 22a 23a
…… 2n a
…… …… …… …… …… …… 第n 行 1n a 2n a 3n a …… nn a 其中ik a (1≤i ≤n ，1≤k ≤n ，且i ，k ∈N )表示该数阵中位于第i 行第k 列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且23a =8，34a =20. (Ⅰ)求11a 和ik a ；
(Ⅱ)设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=++++L ，证明：当n 为3的倍数时，(n A n +)能被21整除.
题型三：证明恒等式与不等式
【例19】证明不等式111123212
n n
+
+++>-……（n N *∈）
【例20】用数学归纳法证明：*n N ∈，22211131 (2321)
n
n n +
+++≥+.
【例21】证明：*
n ∈N ，11111111
1......234212122n n n n n
-
+-++-=+++
-++.
【例22】用数学归纳法证明：
221111tan tan tan cot cot (*)22222222
n n n n m m n αααα
αα+++=-≠∈∈Z N L π，，．
【例23】是否存在常数a 、b 、c ，使等式
)(12
)
1()1(32212222c bn an n n n n +++=
+++?+?Λ对一切正整数n 都成立？证明你的结论
【例24】在数列}{n a 中，n
n
n a a a x a -+=
=+11,tan 11， （1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式
【例25】用数学归纳法证明：
222111arctan
arctan arctan arctan (*)212221
n
n n n +++=∈???+N L
【例26】用数学归纳法证明：
（Ⅰ）)
12(2)1()12)(12(532311222++=+-++?+?n n n n n n Λ； （Ⅱ） n n ≤-+++++
1
214131211Λ；
【例27】对于2n ≥的自然数，证明：21n >+
【例28】已知01a <<，求证：对任意大于1的自然数n ，
21()1n
n
a a n a a
->-．
题型四：数列中的数学归纳法
【例29】设12,,...n a a a 均为正数，且12...1n a a a +++=，求证：当n ≥2的时候，
22212...n a a a +++≥
1
n
【例30】已知数列{}n a 中，1
1,02n n n n
a S a a =
+->，求数列{}n a 的通项公式.
【例31】在数列{}(*)n a n ∈N 中，11a =，n S 是它的前n 项和，当2n ≥时，12
n n n a S S -
，，成等比数列，求数列的通项公式．
【例32】设整数数列{}n a 满足11a =，212a =，320a =，且32122n n n n a a a a +++=+-．证明：
任意正整数n ， 114n n a a ++是一个整数的平方．
【例33】由正实数组成的数列{}n a 满足：2112n n n a a a n +-=L ≤，
，，．证明：对任意*n ∈N ，都有1n a n
<
．
【例34】实数数列{}n a 定义如下114(1)12n n n a t a a a n t +==-=∈R K ，，，，，已知20090a = ⑴证明：对任意*n ∈N ，01n a ≤≤；
⑵问有多少个不同的t ，使得20090a =．
【例35】两个实数数列{}n x 、{}n y 满足：11tan 3
x y π==
，
1112n n n x y y n ++=
=+=K ，，
证明：1n >时，23n n x y <<．
【例36】在数列{}n a 中，若它的前n 项和1(*)n n S na n =-∈N ． ⑴计算1234a a a a ，
，，的值；
⑵猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
【例37】已知函数3
()(1)1
x f x x x +=
≠-+，
设数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满
足n n b a =-，n *
∈N
．用数学归纳法证明n b
【例38】设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必
要条件是：对任何n ∈N ，都有
1223111
111n n n n
a a a a a a a a +++++=
L ．
题型五：其他类型题
【例39】已知函数))((*N n n f ∈，满足条件：①2)2(=f ；② )()()(y f x f y x f ?=?；
③ *)(N n f ∈；④当y x >时，有)()(y f x f >. (1) 求)1(f ，)3(f 的值；
(2) 由)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式； (3) 证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性.
【例40】数列{}n a ，2111,23()n n a a a n n n N *+==-+∈
（Ⅰ）是否存在常数λ，μ使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在求μλ、 的值，若不存在，说明理由。 （Ⅱ）设 1
1
2n n n b a n -=
+-，123n n S b b b b =++++L 求证：2n ≥时，
65
(1)(21)3
n n S n n <<++
【例41】已知数列{}n a 满足：10a =，2
12
21,12,2n n n n a n n a a -+???=?++???为偶数
为奇数，2,3,4,n =L ．
（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n n
a b -=
，试求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系．