同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再
过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7 “三”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■
2. 同余的性质
（1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性）
（3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性）
1- 」（称为同余的可乘性）
（5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果詔 -：1- ■- '■-
那么日瑤严的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
? d；- 上）
a=充7〕4鬥
盘一B =切［+ 口一（舫2 +与）
二切-切-金）
k也就是■二的公约数，所以有…一-
■ k\（a -町
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺，
说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
(巧5, 124, 279) =31
所以a最大是31 o
例2. 除以19,余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
249.2(uodl9)
388 = 8(mod 19)
234要乳m初19)
234x 388x249 = 6x8x2(mod!93
6x8x2 =
所以一 I .： 1.：
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
222 (2)
' ------ V ------ '
例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？
分析与解答：
222 (2)
吃这个数除以13,商是有规律的。
222 (2)
、-- V------- '
1997个2 亠13= 170940170940...
商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是
我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o
余数是几呢？
222 (2)
' ----- V ------ '
? 199亍个2 -^13 = 170^40170940....
1995^ 6= 332 (4)
则'丄「」_
所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5
【模拟试题】(答题时间：20分钟)
1. 求下列算式中的余数。
111......1 222 (2)
J v、 _______________________________________ 晋 /
(1) (2) '.1.
333......3 444 (4)
K. j ?」
(3) 十二(4) ■■■ ■■ ■'"■■■ _二
2. 6254与37的积除以7,余数是几？
3. 如果某数除482, 992，1094都余74,这个数是几？
同余问题(二)
【例题分析】
例1. 除以7,余数是几？
分析与解答：
@ 1997^7= 285 (2)
..1997- 2(mod7)
1997100三0(1110(17) 性鄭
21 三2Cmod7)
22 =4(mod7)
23 ■ l(mod7)
W计x23x ……X21
_______________ __ /
劳个
=lx 1 xl x.... 乂2
-2(mod 7)
..1997100- 2(mod7)
例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几？
分析：假设这个自然数为a
那么二；」丄1；
a - 3(tnod 5)
a = l(mod7)
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，禾I」用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么，这个自然数若减去2,便同时是3, 5, 7的倍数，这样的自然数有：
105, 210, 315,……
分别被3, 5, 7除余2的数是
2, 107, 212, 317,……
最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
” 5 ■ 8(mod 3)
d = S(tnod5)
3 (mod 7) 这样同时是3, 5, 7倍数的数有105, 210, 315,…… 那么同时被3, 5, 7余8的数有：
8, 113, 218, 323,……
其中最小的自然数为&
例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：
51173526 ->5U26-^2126 ―
所以余数是5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
51173526= 51100026 + 70000 + 3500
=49000000 + 2100026+70000 + 3500
=49000000 + 2100000 +70000 + 3500 + 21 -h 5
二7的倍数+ 5
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例4. 除以3的余数是几？为什么？
分析与解答：
在上式的加项中,*—炉显然可以被3整除，因此只须计算1 +，+屮+空+卩+护被3 除余数是几。
由于4 = 7 = 勺
5=8- 2(mod3)
因此「一「严FT
77-1T -IfmodJ)
5s E 2s (mod 3)
8s■ 2伽<辭
由此可知，只须计算-I -J■ - I I - 「被3除的余数，它又等于'、匚:被3除的
余数。由于'_ 1'r'■,所以
，X(1+23+26)1x(1 +2+1) - IftnodJ)
所以余数是1
【模拟试题】
2.求二二「除以3所得的余数
8、求2001 X 2000除以7的余数。
1.今天是星期日，再过光于霜天又是星期几？7、1796被一个质数相除，余数是 24，求这个质数。
9、求 123 X 345+234 X 456 除以 11 的余数。
3. 某数除680, 970和1521，余数相同，这个数最大是几？
10、有一个大于 1的整数，它除 1000、1975、2001都
得到相同的余数，那么这个整数是多少?
4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，
11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到
相同的余数，求这个自然数。
5.若将一批货物共尸千克装入纸箱，每箱装10 千克，
最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少
千克？
那么，第1997个数被3除，余数是几？
12、两个自然数相除，商15,余3，被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。
6、1309被一个质数相除，余数是 21,求这个质数。
13、有一个数除以 3余1,除以4余2,问这个数除以