高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第81讲;
圆锥曲线常见题型解法
【知识要点】
圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的关
系、圆锥曲
与x 轴垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)过A 作直线与椭圆交于另外一点 B ，求 AOB 面积的最大值.
【解析】⑴有已知h u 二土，—二近一二b 扛、*: = 4;
故驱方曲訐才"
心)当一毎斜率不存険h ￡*^ =；工〉匝乂2 = 2忑， 当曲斜率存在吋；设其方程为：了―C = 耳技工半"
> =
+ 4C^5-2jt)Ax+2(^-2jfc)*-8=0 ,
jc _ +2>" =&
由已知：A = 16(^2 -2Q 2it 2-8<2^ + 1)[(<5-4]= 8(2t 十?V nO,
线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等 【方法讲2 x
【例1】已知椭圆—
a
2
占1 ( a b 0 )的左、右焦点为 R , F ?，点A (2, .. 2)在椭圆上，且AF 2
b
O 到直线的距离：才」
二 Ss 弓|屈逅口-
.'.2P + 1E [14U （2’S,
二 2-養吕 €[-24）1102）,
二此时临,
综上所求：当 AB 斜率不存在或斜率存在时：
AOB 面积取最大值为 2 2 ?
（1）求椭圆M 的方程; A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C ，求△ ABC 面积的
最大值.
【例2】已知椭圆 2 2
务占1 a b
a b
0的左顶点和上顶点分别为 A 、 B ,左、右焦点分别是F 1,F 2 ,
在线段AB 上有且只有一
个点 P 满足PF 1
PF ?，则椭圆的离心率的平方为（
)
A.乜
B
巧1
V 5
C . D
. .5 1
2
2 3 2
【点评】（1）
求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量 .（2）本题用到了椭圆双曲
线的通径公式d
竺，这个公式很重要，大家要记熟
a
【反馈检测1】已知椭圆
2 2
a 2
b 2
1
（a b 0）的离心率为
晋，且椭圆上一点与椭圆的两
个焦点构成的三角形的周长为
4.2 ?
（2）设直线I 与椭圆M 交于
【解析】由题设可知臥热巧为直径的圆与直线血相切，而直线的方程刊 丄+上=1,即 -a b
bx — ay+ab = 0=菽圆心0(0?到直线&x —+ ab = 0的距离d —)卩血=fS
也艮卩白'(/一/) = J 所以『I’ =1,解之得日'二
￡ 1,故应选
【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于
e
的
方
程
?
学
科.网
【反馈检测2】已知双曲线 2
x
~2
2 y
2 1 ( a 0,b
0 )的左、右焦点分别为 F 1, F 2以F 1F 2为直径
的
a
b
圆被直线一—1
截得的弦长为
.6 a , 则双曲线的离心率为(
)
a b
A . 3
B
. 2
C .、、3
D
2
2 °
(1) 求椭圆的标准方程；
1
(2)
若直线I 的斜率为 丄，直线I 与椭圆C 交于A,B 两点?点P(2,1)为椭圆上一点，求
PAB 的面积
2
的最大值.
2a 4 2
【解析】(1)由条件得：
c e —
3
—，解得a 2. 2,c .6,b . 2，所以椭圆的方程为
a 2
2 2 a b 2 c
2
【例3】已知椭圆笃
a
?
1(a b 0)
上任意一点到两焦点
R, F 2距离之和为4 2，离心率为
2
⑵ 设2的方程为加』点.点遍」“县佃"』
y-—x+m
.- JSt v x 1 + 2mjc + 2f?i : -4 =0 r =十 J = 1
令 A 二 4w~ —8m* 4-16 >0 * 解得2 由韦达定理得+
=-lw 3x [x 1
-4 H
则由弦长公式^\AB\= Jl 4?疋』(珂+七『_4週乞=J 乳4-桁
又点
p 到宜线『的距离d =-^tL=羽，
H 石
当且仅当m 2 2，即m
、、2时取得最大值.
PAB 面积的最大值为 2.
【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答
【反馈检测3】在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 与抛物线y 2 4x 相交于不同的两点
uuu uuu
(I)如果直线I 过抛物线的焦点，求 OA OB 的值； (H)在此抛物线上求一点
P ，使得P 到Q(5,0)的距离最小，并求最小值.
圆锥曲线的范围问题
由丿 --S PAB
1 一 ABd
1 2m 2
. 5
5(4 m 2) .一 m 2(4
2 2
m 4 m 2
,
2
A,B .
题型四
【例4】已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 x 轴上，有一个顶点为 A( 4,0),
2a 2 16 ?
c
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点B( 1,0)作直线I 与椭圆C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取
【解析】(1)因为椭圆有一个顶点为遇Y0)故长轴卫二4 ?又竺
宀12二椭圆E 的方程斗 ￡ = 1
16 12
依题意，直却过点丘(-10且斜率不为零
由方程组
1
8
【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等
=16 ,从而得：a = 4 , c -2 c
(1) 当直线 I 与x 轴垂直时，M 点的坐标为B( 1,0)，此时，k (2) 当直线 I 的斜率存在且不为零时，设直线 I 方程为y
m(x 1),(m 0),
y m(x 2 2
x y 16 12
1)
消去y ,并整理得
1
(4m 2 3)x 2
2
8m x
4m 2 48
设 E(X i ,yJ,F(X 2,y 2),M (x °,y 。).
又有 A( 4,0)
?- X 1 X 2
8m 2 4m 2
3 X 1 2
X 2
4m 2 4m 2
3
m(x 0
1)
3m 2 ，
4m 3
k
AM
y
。 X
m 2
4( m 1)
1 1 4(m
) m
(m
0)，
Q|m
|m |
| m|
0 |k|
k 的取值范围是:
综合(1)、(2)可知直线MA 的斜率
【反馈检测4】设椭圆E 中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为4，点Q （2 ，2 ） 在椭圆上
（1） 求椭圆E 的方程；
（2） 设动直线L 交椭圆E 于A, B 两点，且 页_亦，求 OAB 的面积的取值范围?
（3） 过 M （
x i , y i ）的直线 h : x 1x 2y 1 y 8 2 与过 N （ X2, y ）的直线 12: x 2x 2y 2 y 8 2 的
交点P （ x 0,y 0）在椭圆E 上，直线MN 与椭圆E 的两准线分别交于 G,H 两点，求OG ? OH 的值.
2
【例5】已知双曲线x 2 乞 1，经过点M （1,1）能否作一条直线I ，使I 与双曲线交于 A 、B ，且点
2
M 是线段AB 的中点?若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由
【解析】设存在被点M 平分的弦AB ,且、 叽乃） 则西十眄=2 ”十乃=2
召.〒二 1，--
=1
两式彳助无得（无+E X?-帀〉一&〈乃+比）（/1一旳）=0二匕==2
2 可—花 故直絃貝乃：1 = 2（耳一1）
r-l=2(x-l)
壬，：］'消去 ”, W2x 2-4r+3 = 0
A=(-4)2 -4x2x3 --8 <0
~T =
【点评】（1）这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 条件?本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理 ?（ 2）本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的
结果，请务必小心?由此题可看到中点弦问题中判断点的 M 位置非常重要.（1）若中点M 在圆锥曲线内，
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点
M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线
l .
，然后验证它是否满足题设的
则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在?学科?网【反馈检测5】过点T （-1,0）作直线I与曲线N :寸x交于代B两点，在x轴上是否存在一点
E（X o,O），使得ABE是等边三角形，若存在，求出x o ;若不存在，请说明理由.
2
【例6】已知曲线& :x2卫—1及C2 : y x2 1有公共点，求实数a的取值范围.
2
【解析】联立两个方程可得：y^2（X-a）y十仁0,
■
；△二4（1 一口尸一4（/ -4）＞0, 二.
■
如下團可知：
椭圆中心（0?“半轴长R =血,脱击顶点为（0"所以当圆锥曲^在下方相切或扌咬
时,?
综上所述注I—时，曲线q与q*狡?
【点评】直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理?但用0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的. 解决这类问题：方法1 ,由“0 ”与直观图形相结合；方法2,由
与根与系数关系相结合.