雅礼中学2018年上学期期末考试试卷
高二文科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列集合中，是集合{
}
2
5A x x x =<的真子集的是（ ） A ．{}2,5 B ．()6,+∞ C ．()0,5 D ．()1,5 2.复数11i
z i
+=
-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
3.在正项等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程2
320x x -+=的两根，则6a 的值是（ ）
A
．
．
． 2±
4.若3sin 5
α=-，且α为第三象限角，则()
tan 45α+
等于（ ）
A ．7
B ．
1
7
C.1 D ．0 5.已知3
7log 2a =，13
14b ??
= ???，131log 5
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C.c b a >> D ．c a b >>
6.已知圆22
20x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则
m 的值为（ ）
A ．1-
B ．2 C.2- D ．1
7.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m a ?，则“//m β”是“//αβ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.已知()2sin 26f x x π?
?
=+ ??
?
，若将它的图象向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函
数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A ．12
x π
=
B ．3
x π
=
C.4
x π
=
D ．2
x π
=
9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
10.函数2cos 2sin y x x =-的最大值与最小值分别为（ ）
A ．3，1-
B ．3，2- C.2，1- D ．2，2-
11.某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于
10月7日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
12.已知1F ，2F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点
P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆2
2
2
x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A ．43 C.53 D ．2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.向量(),2a m = ，()1,2b =
，若a b ⊥ ，则m = ．
14.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点
(),P m n ，则事件“点P 在直线y x =上”的概率为 ．
15.若椭圆()22
2124
x y a a +=>的离心率与等轴双曲线的离心率之积为1，则a = ．
16.已知a R ∈，函数()2
222,0,
22,0.x x a x f x x x a x ?++-≤?=?-+->??
若对任意[)3,x ∈-+∞，()f x x ≤恒
成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和39
2
S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
18. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
2sin c A =且c b <. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ABC △的面积.
19. A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－12369”的绿色环保活动小组对2017年1月－2017年12月(一月)内空气质量指数API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：
（Ⅰ）若A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P (单位：元)与空气质量指数API (记
为t )的关系为：0,01004400,1003001500,
300t t P t t ≤≤-?
=?
<≤>?，在这一年内随机抽取一天，
估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22?列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？
下面临界值表供参考.
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，
90ABC BAD ∠=∠=
，PDC ?和BDC ?均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 中点.
（Ⅰ）求证：//AE 平面PDC ；
（Ⅱ）若PBC ?的面积为
2
,求三棱锥A EBD -的体积. 21. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???
到抛物线()2
:20C y px p =>的准线的距离为
5
4
.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.
（Ⅰ）求曲线C 的方程及t 的值；
（Ⅱ）记d =
，求d 的最大值.
22. 已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈.
（Ⅰ）若曲线()()g x f x x =+上点()()
1,1g 处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；
（Ⅱ）若函数()y f x =在10,2?? ???
上无零点，求a 的最小值．
试卷答案
一、选择题
1-5:DACAD 6-10:BABCD 11、12：CC 二、填空题
13.4- 14.13P =
15.1,28??
????
三、解答题
17. 【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329
322
a d ?+
=， 化简得122a d +=，132a d +=，解得11a =，1
2d =， 故{}n a 的通项公式112n n a -=+，即1
2
n n a +=.
（Ⅱ）由（1）得11b =，41515182b a +==
=.设{}n b 的公比为q ，则3
41
8b q b ==，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和()()1111221112
n n n n b q T q
-?-=
=
=---.
18.【解析】
2sin sin A C A =，
∵sin 0A ≠
，∴sin C =
，又c b <，∴3C π=.
（Ⅱ）设BC x =，则5AB x =-，在ABC △中，由余弦定理得
()2
225424cos
3
x x x π
-=+-??，
求得32x =
，即3
2
BC =， 在ABC △中，ABC △
的面积113sin 422222
S AC BC C =
??=???=19.【解析】（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为39， ∴()39
100
P A =
. （Ⅱ）根据以上数据得到如表：
2K 的观测值()2
2
100638227 4.575 3.84185153070
K ??-?=≈>???
所以有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关．
20.【解析】（1）取PC 的中点F ，连接EF ，DF ；取BC 的中点G ,连接DG ， 因为BCD ?是正三角形，所以90DGB ∠=
.
因为90ABC BAD ∠=∠=
，所以四边形ABGD 为矩形， 从而1
2
AD BG BC ==
，//AD BC . 因为EF 为BCP ?的中位线, 所以1
2
EF BC =
，//EF BC ，即AD EF =，//AD EF ， 所以四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ， 又DF ?面PDC ，所以//AE 面PDC .
（2）取CD 的中点M ，连接PM ，则PM DC ⊥. 过点P 作PN BC ⊥交BC 于N .
因为PM DC ⊥，面PDC ⊥面BDC ，面PDC ?面BDC DC = 所以PM ⊥面BCD .又因为BC ?面BCD ，所以PM BC ⊥. 又因为PN BC ⊥，PN PM P ?=，PN PM ?、面PMN ，. 所以BC ⊥面PMN ，又因为MN ?面PMN ，所以MN BC ⊥. 由于M 为DC 中点,易知1
4
NC BC =
.
设BC x =，则PBC ?
的面积为2x =
解得2BC =，从而1AD =
，PB PG =111
324
ABD V S PM =??=.
21.【解析】（1）()220y px p =>的准线为2p x =-
，∴5
124
p ??--= ???，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. （2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，
设直线AB 的斜率为()0k k ≠.且()11,A x y ，()22,B x y ，
由2
11222,,
y x y x ?=??=??得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=， 所以直线AB 的方程为()1
2y m x m m
-=
-，即2220x my m m -+-=. 由2
2220,,
x my m m y x ?-+-=??=??消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2
=440m m ?->，122y y m +=，2122y y m m =-.
从而
12AB y y =-==
∴()11d m m =
=≤+-=，
当且仅当1m m =-，即1
2
m =时，上式等号成立， 又12
m =
满足2
440m m ?=->.∴d 的最大值为1. 22.【解析】（Ⅰ）∵()()()322ln g x a x a x =----，
∴()2
3g x a x
'=--
，∴()11g a '=-， 又()11g =，∴12
1110
a --=
=--，解得：2a =，
由()22320x g x x x
-'=--
=<，解得：02x <<，∴函数()g x 在()0,2递减； （Ⅱ）∵()0f x <在10,2?? ???
恒成立不可能，
故要使()f x 在10,2?? ???无零点，只需任意10,2x ??∈ ???
，()0f x >恒成立，
即对10,2x ??∈ ???
，2ln 21
x
a x >-
-恒成立， 令()2ln 21x l x x =-
-，10,2x ??
∈ ???
，则()()
2
2
2ln 21x x l x x +
-'=-， 再令()22ln 2m x x x =+
-，10,2x ??
∈ ???
，则()()2210x m x x --'=<， 故()m x 在10,2?
? ???递减，于是()122ln 202m x m ??>=-> ???
，
从而()0l x '>，于是()l x 在10,2?? ???递增，∴()124ln 22l x l ??
<=- ???
， 故要使2ln 21
x
a x >-
-恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()y f x =在10,2?? ???
上无零点，则a 的最小值是24ln 2-.
[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人 数是 2 3 p ∨ q p ∧ q C ． ?p ∧ q C ． { x 1 < x ≤ 3 } D ． { x 1 ≤ x ≤ 3 } 雅礼中学 2019 届高三 11 月月考试卷(三) 数学(理科) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8 页．时量120 分钟．满分150 分． 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集 I 是实数集 R ， M = {x x ≥ 3}, N = {x (x - 3)(x -1)≤ 0}都是 I 的子集(如图所示)， 则阴影部分所表示的集合为 A. 2. 设(1+i )x = 1+ yi ，其中 x , y 是实数，则 A.1 B ． C. D ．2 3. 已知命题 ：函数 y = 2 - a x +1 的图象恒过定点(1，2)；命题 q ：若函数 y = f (x -1)为 偶函数，则函数 y = f (x )的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是 A. B ． D ． 4. 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方 图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)， B ． { x 1 ≤ x < 3 } p p ∨ ?q x = 1 x + yi = {x 1< x < 3 }