2019届高三理科数学《导数》题型全归纳
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、导数概念
29．函数，若满足，则__________．
二、导数计算（初等函数的导数、运算法则、简单复合函数求导）
1．下列式子不正确的是( )
A． B．
C． D．
2．函数的导数为（）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则（）
A． B． C． D．
33．已知函数，为的导函数，则的值为______．
34．已知，则__________．
三、导数几何意义（有关切线方程）
31．若曲线在点处的切线方程为_________.
30．若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是_________.
32．已知,过点作函数图像的切线,则切线方程为__________.
4．已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A． 1 B．﹣4 C．﹣ D．﹣1
1
5．若曲线y=在点P处的切线斜率为﹣4，则点P的坐标是（）
A．（，2） B．（，2）或（﹣，﹣2）
C．（﹣，﹣2） D．（，﹣2）
6．若直线与曲线相切于点,则( )
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
7．如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为（）A． B． C． D．
8．直线分别与曲线交于，则的最小值为（）
A． 3 B． 2 C． D．
四、导数应用
（一）导数应用之求函数单调区间问题
9．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为( )
A． (0,1) B． (0，＋∞)
C． (1，＋∞) D． (－∞，0)∪(1，＋∞)
10．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( )
A． B．和 C． D．和
11．的单调增区间是
A． B． C． D．
12．函数在区间上( )
A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值
13．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是
A． B． C． D．
（二）导数应用之求函数极值问题
14．若是函数的极值点，则（）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值0 D．有极小值0
15．已知函数在处有极大值，则的值为（）A． B． C．或 D．或
16．函数在内存在极值点，则（）
A． B． C．或 D．或
17．已知函数有极大值和极小值,则实数的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
（三）导数应用之求函数最值问题
18．函数y＝2x3－2x2在[－1,2]上的最大值为( )
A．－5 B． 0 C．－1 D． 8
19．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是( )
A． B． C． D．
20．函数f(x)= (e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( )
A． 1+ B． 1 C． e+1 D． e-1
21．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
3
（四）零点问题
22．已知函数有零点，则a的范围是（）
A． B． C． D．
（五）恒成立问题
23．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
24．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．
五、定积分
25．设，则等于（）
A． B． C． 1 D．
26．定积分等于( )
A． B． C． D．
27．曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． C． D．
28．如图所示,阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
三、解答题（全国卷解答题通常以导数作为压轴题，一般设置2-3问，第一问一般容易，易得分，以下搜集的为容易、中档题）
（一）求有关单调区间、极值、最值
35．已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
36．已知函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6在x=1及x=2处取得极值．
（1）求m、n的值；
（2）求f（x）的单调区间．
37．设
(1)求曲线在点(1，0)处的切线方程；
(2)设，求最大值.
5
38．已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为 .
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
39．设函数过点
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
40．已知函数
(1)当时,求的单调增区间;
(2)若在上是增函数,求的取值范围。
41．已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
7
（二）导数综合应用：求参数范围（恒成立、方程根、函数零点、图像交点等等） 42．设()(4)ln 31
x a x
f x x +=
+,曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线与直线
10x y ++= 垂直.
(1)求a 的值;
(2)若对于任意的[]
()1,,x e f x mx ∈≤ 恒成立,求m 的取值范围.
43．已知函数 f(x)＝
，x∈R，其中 a ＞0.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数 f(x)（x∈(－2,0)）的图象与直线 y=a 有两个不同交点，求 a 的取值范围．
44．已知函数．
(Ⅰ) 当
时，求
在点处的切线方程及函数
的单调区间；
(Ⅱ) 若对任意，
恒成立，求实数的取值范围．
45．已知函数．
Ⅰ求函数单调区间；
Ⅱ求证：方程有三个不同的实数根．
46．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数恰有个零点,求实数的取值范围
《导数》题型全归纳参考答案
1．D; 2．A; 3．A; 4．D; 5．B; 6．B; 7．A; 8．D; 9．A; 10．A; 11．B; 12．C 13．A; 14．A; 15．B; 16．A; 17．D; 18．D; 19．C; 20．D; 21．C; 22．D; 23．C; 24．D
25．D; 26．B; 27．A; 28．C
29．; 30．; 31．; 32．或; 33．e ; 34．.
35．解：（1）的定义域为，
当时，，，
1
0+
单调递减极小值单调递增
所以在处取得极小值1．函数没有极大值．
（2），
，
①当时，即时，
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以函数在上单调递增．
【点睛】
1
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．36．解：（1）函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6，求导，f′（x）=6x2+6mx+3n
f（x）在x=1及x=2处取得极值，
∴，整理得：，解得：，
m、n的值分别为﹣3，4；
（2）由（1）可知，
令，解得：x＞2或x＜1，
令，解得：1＜x＜2，
的单调递增区间单调递减区间（
37．解：(1)，切线斜率
切线方程即
(2)令，列表：
x
－
1
1
＋0－0＋
0↑
极大
值↓
极小
值
↑0
故，
38．解：（1）；
（2），
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，.
39．解：（1）∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,有极大值,且极大值为
,当时,有极小值,且极小值为
（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴
,又,,∴
【点睛】
本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断.
40．解：(1)当时,，
∴,
由解得或，
∴函数的单调增区间为．
3
(2)由题意得，
∵在上是增函数，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
∵，当且仅当时，等号成立．
∴的最小值为，
所以，
故实数的取值范围为．
【点睛】
由函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3)若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
41．解：（1）当时，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为函数在上是减函数，
5
所以在上恒成立.
做法一：
令,有，得
故.
实数的取值范围为
做法二：
即在上恒成立，则在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
则，得
实数的取值范围为
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若
就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立
；
（3）若
恒成立，可转化为
（需在同一处取得最值） .
42．解：(1) ()2
44ln (31)-3(4)ln '(31)x a x x x a x x f x x +??
+++ ???=+, 解()'11f = ,得
0a = .
(2)对于任意的[]
1,x e ∈ , ()f x mx ≤ ,即
4ln 31x x mx x ≤+恒成立,即4ln 31
x
m x ≤+恒成
立.
设g (x )=
4ln 31
x
x +,只需对任意的[]1,x e ∈，有()max g x m ??≤??恒成立. 求导可得()2
4
12(1-ln )'(31)x x g x x +=
+,
因为[]1,x e ∈,所以()'0g x > , ()g x 在[]
1,e 上单调递增, 所以()g x 的最大值为()4e 3e 1g =
+,所以4
3e 1
m ≥+. 【点睛】在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
43．解： (Ⅰ)f′(x)＝＋(1－a)x －a ＝(x ＋1)(x －a)． 由 f′(x)＝0，得＝－1，＝a ＞0. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a)
a
(a ，＋∞) f ′(x) ＋
－
0 ＋
f(x)
极
大值
极小值
故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)； 单调递减区间是(－1，a)． (Ⅱ) 令 g(x)=f(x)-a ，x∈(－2,0)，
则函数 g(x)在区间(－2,0)内有两个不同的零点，
由(Ⅰ)知 g (x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，
从而解得 0＜a ＜. 所以 a 的取值范围是(0, )
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
44．解：(Ⅰ) 当时，
，
则切线方程为
当即时，单调递增；
当即时，单调递减．
(Ⅱ) ．
当时，，在上单调递增．
不恒成立．
当时，设
∵的对称轴为，
∴在上单调递增，且存在唯一使得．
∴当即在上单调递减；
当即在上单调递增．
∴在[1，e]上的最大值
7
∴，得解得.
45 解：（1），
，
令，解得或，
当，解得或，函数单调递增，
当，解得，函数单调递减，
的单调增区间是，，单调减区间是；
证明：Ⅱ由Ⅰ可得，，方程有三个不同的实数根．
46．解：(1)∵，∴．
∴, 又，
∴曲线在点处的切线方程为，即．(2)由题意得, ∴,
由解得,
故当时,,在上单调递减；
当时,,在上单调递增．
∴，
又，
结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，
则，解得．
∴实数的取值范围为．
【点睛】
利用函数的导数研究函数的零点个数（或方程根的个数）的问题是一类重要的题型，其实质是求函数的极值、最值，然后再结合函数的图象进行求解，它体现了导数的工具性作用和数形结合在数学解题中的应用．将函数、方程、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为较难的题目．
9