数学必修4第二章 平面向量知识点
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量
(1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，
零向量a ＝0?｜a
｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）
(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a
为单位向量0||1a ?=。将一个
向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：
||a a e a =
(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b
。
规定：0与任何向量平等，
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量。记作a -。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a
； ③
()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则
a =
b -,b =a -,a
+b =0 。
a
b
a b -
B
C
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为b a
=。相等向量经过平移后总可以重合。
2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法
（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC 。 规定：a a a
=+=+00；
（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”。
（3）向量加法的运算律：
①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()()a b c a a c ++=++ 2.法向量的减
（1） 定义：若a x b +=则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -。求两个向量
差的运算，叫做向量的减法。 （2）
向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
① 三角形法则：当,a b 有共同起点时，a b -表示为从减向量b
的终
点指向被减向量a
的终点的向量。 ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所
示的对角线。设,AB a AC b ==则a
-b =AB AC CB -=. 3.实数与向量的积 （1）
定义：实数λ与向量a
的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向
规定如下： ① a a
?=λλ；
② 当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a
的方
向相反；当0=λ时，0
=a λ，方向是任意的。
（2） 数乘向量的运算律
①
()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e .
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
2.向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a
、
b 的夹角，当θ=0°，a 、b 同向，当θ=180°，a 、b 反向，当θ=90°，a 与b 垂直，
记作a ⊥b 。
3.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 的横坐标，y 叫做作纵坐标。
规定：
① (1,0)i =，(0,1)j =
② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
4.平面向量的坐标运算：
①若1122(,),(,)a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±； ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--； ③若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)；
④若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-=；1212a b x x y y ⊥=+ ⑤若1122(,),(,)a x y b x y ==， 则1212,a b x x y y =?== 附：向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 4. 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
5. 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
记：AB BC AC
+=
减法起点相同的两个向量的差，（箭头
指向被减向量）
记：OA OB BA
-=
AB AC CB
-=
()
1212
,
a b x x y y
-=--
数乘a λ是一个向量，||||
a a
λλ
=
方向：0
>
λ时，与a同向；0
<
λ时，
与a反向；0
=
λ时，0
=
a
λ
()
1
1
,y
x
aλ
λ
λ=
数量积
||||cos
a b a bθ
?=
1212
a b x x y y
?=+
运算性
质
①交换律：a b b a
+=+；②结合律：()()
a b c a b c
++=++；③00
a a a
+=+=。
加法：
减法：
2.4 平面向量的数量积
（1） 平面向量的数量积的定义
①向量,，的夹角：已知两个非零向量,，过O 点作=，,=则∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量b a ,，的夹角。当且仅当两个非零向量
b a ,同方向时，θ=00，当且仅当b a ,反方向时θ=1800
，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
②与垂直；如果,的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
③b a 与的数量积：两个非零向量,，它们的夹角为θ，
θcos ?叫做称b a 与的数量积（或内积），记作b a ?，即
b a ?
=θcos ?，规定a ?0=0 非零向
量b a 与 当且仅当⊥时，θ=900，这时
?=0。
④b 在a
方向上的投影：R OP ∈=
=(cos θ（注意OP 是射影）所以，b
a ?的几何意义：?等于的长度与在方向上的投影的乘积。 （2） 平面向量数量积的性质
设,是两个非零向量，
是单位向量，于是有：①θ=?=?；②
b
a
C B
A
a b C C
-=A -AB
=B
o
=
?
?
⊥；
③当与同向时
，=
?；当与反
向时，=
?，特
别地，2
a=
=
?。
④=
θ
cos
≤
(3)平面向量数量积的运算律
①交换律成立：?
=
?②对实数的结合律成立：
()()()()R∈
?
=
?
=
?λ
λ
λ
λ
③分配律成立：()c b c a
c
b
a?
±
?
=
?
±()b a c±?=
特别注意：（1）结合律不成立：()()c b a
c
b
a?
?
≠
?
?；（2）消去律不成立?
=
?不能得到?
=（3）?=0不能得到=或=0
④但是乘法公式成立：()(
)2
2
b
a
b
a
b
a=
-
=
-
?
+；()2
2
2
2+
?
±
=
±2b
a+
?
±
=
（3）平面向量数量积的坐标表示
①若=(x
1
,y
1
),=(x
2
,y
2
)则?=x
1
x
2
+y
1
y
2
②若=(x,y),则||2=.=x2+y2
2
2y
x+
=
③若A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
()()2
1
2
2
1
2
y
y
x
x-
+
-
=
④若a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
)则0
2
1
2
1
=
+
?
⊥y
y
x
x
b
a（注意与b
a//时条件区别，
a//0
1
2
2
1
=
-
?y
x
y
x）
若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则2
2
222
1
2
12121cos y x y x y y x x +++=
θ
2.5 平面向量应用列举 1、 线段的定比分点
（1）定义：设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使21pp p λ=，λ
叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。当点P 在线段21P P 上时，0>λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ<0 （2）定比分点的坐标形式
??
???++=++=λ
λλλ11212
1y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y)，向量形式呢？ （3）中点坐标公式
当λ=1时，分点P 为线段2
1P P 的中点，即有?????+=+=222
1
21y y y x x x ，向量形式呢？ 2、平移
（1）图形平移的定义：设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同
一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。 （2）平移公式设P(x,y)是图形F 上任意一点，它在平移后图形上的对应点P ’(x ’,y ’’)，
且'
PP 的坐标为(h,k)，则有?
??+=+=k y y h x x ''，这个公式叫做点的平移公式，它反映
了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。