北师大版八年级上册一次函数单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．函数y=（a+1）x a﹣1是正比例函数，则a的值是（）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2
2．下列函数中，y是x的一次函数的是（）
①y=x﹣6；②y=；③y=；④y=7﹣x．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④D．②③④
3．已知y与x+1成正比，当x=2时，y=9；那么当y=﹣15时，x的值为（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
4．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（）
A．B．C． D．
5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则方程2x=ax+4的解集为（）
A．x=B．x=3 C．x=﹣D．x=﹣3
6．同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为（）
A．x=0 B．x=﹣1 C．x=﹣2 D．x=1
7．已知汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（）
A．Q=40﹣B．Q=40+C．Q=40﹣D．Q=40+
8．若等腰三角形的周长为20cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数表达式正确的是（）
A．y=20﹣2x（0＜x＜20） B．y=20﹣2x（0＜x＜10）
C．y=（20﹣x）（0＜x＜20）D．y=（20﹣x）（0＜x＜10）
9．正比例函数y=2kx的图象如图所示，则y=（k﹣2）x+1﹣k图象大致是（）
A．B．C．D．
10．甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50
千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共10小题）
11．已知函数y=（m﹣2）x|m﹣1|+2是关于x的一次函数，则m=
12．对于正比例函数y=m，y的值随x的值增大而减小，则m的值为．13．如图，直线L是一次函数y=kx+b的图象，b=，k=，当x＞时，y＞0．
14．若一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，则b的取值范围是．
15．一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m=．16．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．
17．已知点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，则代数式a2
﹣4b2﹣1=．
18．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离y（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车的速度为．
19．如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买甲家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（填序号）．20．把直线y=﹣2x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数表达式为．三．解答题（共10小题）
21．一次函数y=kx+b经过点（﹣1，1）和点（2，7）．
（1）求这个一次函数的解析表达式．
（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．
22．如图，直线y=﹣2x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点A的坐标是（，），点B的坐标是（，）．（2）设直线CD与AB交于点M，求S△BCM的值．
23．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，﹣1）和（0，3），求这个一次函数的解析式．
24．拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当工作5小时时油箱的余油量
25．如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB上有一点Q在第一象限且到y轴的距离为2．
（1）求点A、B、Q的坐标，
（2）若点P在坐x轴上，且PO=24，求△APQ的面积．
26．已知y﹣3与4x﹣2成正比例，且当x=1时，y=5．
（1）求y与x函数关系式；
（2）求当x=﹣2时的函数值．
27．甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y （米）与登山时间x（分）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息，解答如下问题：（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？
28．如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；
（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；
（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？
29．A、B两地之间路程是350km，甲、乙两车从A地以各自的速度匀速行驶到B地，甲车先出发半小时，乙车到达B地后原地休息等待甲车到达．如图是甲、乙两车之间的路程S （km）与乙车出发时间t（h）之间的函数关系的图象．
（1）求甲、乙两车的速度；
（2）求图中a、b的值．
30．某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少为10kg，但不超过30kg时，成本y（元/kg）与进货量x（kg）的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该商场购进这种商品的成本为9.6元/kg，则购进此商品多少千克？
北师大版八年级上册一次函数单元测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016春?武城县校级月考）函数y=（a+1）x a﹣1是正比例函数，则a的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得到：a﹣1=1，且a+1≠0．
【解答】解：∵函数y=（a+1）x a﹣1是正比例函数，
∴a﹣1=1，且a+1≠0．
解得a=2．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
2．（2015?诏安县校级模拟）下列函数中，y是x的一次函数的是（）
①y=x﹣6；②y=；③y=；④y=7﹣x．
A．①②③ B．①③④ C．①②③④D．②③④
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①y=x﹣6符合一次函数的定义，故本选项正确；
②y=是反比例函数；故本选项错误；
③y=，属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项正确；
④y=7﹣x符合一次函数的定义，故本选项正确；
综上所述，符合题意的是①③④；
故选B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3．（2015?裕华区模拟）已知y与x+1成正比，当x=2时，y=9；那么当y=﹣15时，x的值为（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【分析】根据正比例函数的定义，设y=k（x+1），再把x=2，y=9代入可计算出k=3，从而得到y与x的关系式，然后计算函数值为﹣15所对应的自变量的值．
【解答】解：设y=k（x+1），
把x=2，y=9代入得k=3，
所以y=3（x+1）=3x+3，
当y=﹣15时，3x+3=﹣15，解得x=﹣6．
故选D．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，
得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
4．（2015春?广安校级期中）一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（）
A．B．C． D．
【分析】利用待定系数法把点（2，1）和（﹣1，﹣3）代入一次函数y=kx+b，可得到一个关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，然后即可得到一次函数的解析式．【解答】解：设一次函数y=kx+b的图象经过两点（2，1）和（﹣1，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=x﹣．
故选D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
5．（2015春?迁安市期末）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则方程2x=ax+4的解集为（）
A．x=B．x=3 C．x=﹣D．x=﹣3
【分析】可先求得A点坐标，再结合函数图象可知方程的解即为两函数图象的交点横坐标，可求得方程的解．
【解答】解：∵A点在直线y=2x上，
∴3=2m，解得m=，
∴A点坐标为（，3），
∵y=2x，y=ax+4，
∴方程2x=ax+4的解即为两函数图象的交点横坐标，
∴方程2x=ax+4的解为x=，
故选A．
【点评】本题主要考查函数图象交点的意义，掌握函数图象的交点即为对应方程组的解是解题的关键．
6．（2014秋?常熟市校级期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为（）
A．x=0 B．x=﹣1 C．x=﹣2 D．x=1
【分析】根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案．
【解答】解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（﹣1，﹣2），
k1x+b=k2x的解为x=﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．
7．（2015秋?建邺区期末）已知汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（）
A．Q=40﹣B．Q=40+C．Q=40﹣D．Q=40+
【分析】利用油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可．
【解答】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，
∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为：Q=40﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键．
8．（2015秋?巨野县期末）若等腰三角形的周长为20cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数表达式正确的是（）
A．y=20﹣2x（0＜x＜20） B．y=20﹣2x（0＜x＜10）
C．y=（20﹣x）（0＜x＜20）D．y=（20﹣x）（0＜x＜10）
【分析】根据等腰三角形的性质和周长公式列出算式，再根据两边之和大于第三边两边之差小于第三边，即可得出函数表达式的取值范围．
【解答】解：∵等腰三角形周长为20cm，腰长为ycm，底边为xcm，
∴2y+x=20，
∴y=（20﹣x）（0＜x＜10）．
故选D．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，用到的知识点是等腰三角形的性质和周长公式，注意函数的取值范围．
9．（2016?咸阳模拟）正比例函数y=2kx的图象如图所示，则y=（k﹣2）x+1﹣k图象大致是（）
A．B．C．D．
【分析】根据正比例函数t=2kx的图象可以判断k的正负，从而可以判断k﹣2与1﹣k的正负，从而可以得到y=（k﹣2）x+1﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可知，正比函数y=2kx的图象经过二、四象限，
∴2k＜0，得k＜0，
∴k﹣2＜0，1﹣k＞0，
∴函数y=（k﹣2）x+1﹣k图象经过一、二、四象限．
故选B．
【点评】本题考查一次函数的图象、正比例函数的图象，解题的关键是明确正比函数和一次函数图象的特点，根据k、b的正负情况可以判断出函数图象经过哪几个象限．
10．（2016?冠县一模）甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S （千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；
②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用图象中的数据判断四种说法是否合理即可．
【解答】解：由图象可得：甲的速度为120÷3=40千米/小时，故①正确；乙的速度在0≤t≤1时，速度是50千米/小时，而在t＞1时，速度为（120﹣50）÷（3﹣1）=35千米/小时，故②错误；行驶1小时时，甲的距离为40千米，乙的距离为50千米，所以乙在甲前10千米，故③正确；3小时甲与乙相遇，即3小时时甲追上乙，故④正确；
故选C．
【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的判断．
二．填空题（共10小题）
11．（2015秋?苏州校级期末）已知函数y=（m﹣2）x|m﹣1|+2是关于x的一次函数，则m= 0
【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，即可得出m的值．
【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣2≠0，|m﹣1|=1，
由|m﹣1|=1，解得：m=0或2，
又m﹣2≠0，m≠2，
∴m=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
12．（2015春?柘城县期末）对于正比例函数y=m，y的值随x的值增大而减小，则
m的值为﹣2．
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【解答】解：∵y的值随x的值增大而减小，
∴m＜0，
∵正比例函数y=m，
∴m2﹣3=1，
∴m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx，（k是不等于0的常数）是正比例函数．
13．（2015秋?天桥区期末）如图，直线L是一次函数y=kx+b的图象，b=﹣3，k=，当x＞2时，y＞0．
【分析】根据图形确定直线所经过的两点的坐标，代入一次函数y=kx+b可求出k和b的值．【解答】如图所示直线L过（2，0），（0，﹣3），根据题意列出方程组，
解得，
则当x＞2时，y＞0．
【点评】本题要注意利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数．14．（2016?东丽区一模）若一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，则b的取值范围是b≤．
【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于b的不等式，求出b的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，
∴b﹣≤0，解得b≤．
故答案为：b≤．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一二四象限是解答此题的关键．
15．（2016?河东区一模）一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m=2．
【分析】根据一次函数的增减性列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【解答】解：∵一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，∴，解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系及其增减性是解答此题的关键．
16．（2016春?南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k 经过第二、三、四象限．
【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．
【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．
故答案是：二、三、四．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
17．（2016?岑溪市一模）已知点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1
上，则代数式a2﹣4b2﹣1=1．
【分析】先根据题意得出关于a的方程组，求出a，b的值代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，∴，解得，
∴原式=﹣4×﹣1=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18．（2016春?高邮市月考）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离y（千米）与慢车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车的速度为150km/h．
【分析】假设快车的速度为a（km/h），慢车的速度为b（km/h）．当两车相遇时，两车各自所走的路程之和就是甲乙两地的距离，由此列式4a+4b=900①，另外，由于快车到达乙地的时间比慢车到达甲地的时间要短，图中的（12，900）这个点表示慢车刚到达甲地，这时的两车距离等于两地距离，而x=12就是慢车正好到达甲地的时间，所以，12b=900，①和②可以求出，快车速度．
【解答】解：设快车的速度为a（km/h），慢车的速度为b（km/h），
∴4（a+b）=900，
∵慢车到达甲地的时间为12小时，
∴12b=900，
b=75，
∴4（a+75）=900，
解得：a=150；
∴快车的速度为150km/h．
故答案为：150km/h．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系得出b的值．
19．（2016春?丰台区校级月考）如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买甲家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（填序号）①②③．
【分析】结合甲、乙的图象位置以及交点（2，4）的意义可以判断①②③结论的成立与否；再由甲图象过（0，2）、（2，4），可知（1，3）在甲的图象上，即买甲家的1件的售价为3元，而不是约为3元，从而得出结论①②③成立．
【解答】解：图形中甲乙的交点为（2，4），结合点的意义可知：
售2件时甲、乙两家售价一样，即①成立；
当x=1时，乙的图象在甲的图象的下方，
即买1件时买乙家的合算，②成立；
当x=3时，甲的图象在乙的图象的下方，
即买3件时买甲家的合算，③成立；
甲的图象经过点（0，2）、（2，4），
两点的中点坐标为（=1，=3）．
即买甲家的1件售价为3元，④不成立．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了一次函数的应用、坐标系中点的意义，解题的关键是：结合图象与坐标系中点的意义来判断各说法是否成立．本题属于基础题型，只要理解了坐标系中点的意义结合图形即可解决．
20．（2016春?吉安期中）把直线y=﹣2x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数表达式为y=﹣2x+3．
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：把直线y=﹣2x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y=﹣2（x﹣2）﹣1=﹣2x+3．
故答案为：y=﹣2x+3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换．掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2015春?公安县期末）一次函数y=kx+b经过点（﹣1，1）和点（2，7）．
（1）求这个一次函数的解析表达式．
（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用平移后解析式k的值不变，进而假设出解析式求出即可．
【解答】解：（1）将点（﹣1，1）和点（2，7）代入解析式得：
，
解得：，
∴一次函数的解析表达式为：y=2x+3；
（2）因为平移，所以直线平行，所以设y=2x+b，
把点（2，﹣1）代入，得b=﹣5，
∴平移后直线的解析式为：y=2x﹣5．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，利用平移前后一次项系数不变得出是解题关键．
22．（2015春?惠安县期末）如图，直线y=﹣2x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△OAB 绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1）．
（2）设直线CD与AB交于点M，求S△BCM的值．
【分析】（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标；（2）根据图形旋转的性质得出CD两点的坐标，利用待定系数法求出直线CD的解析式，故可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵令y=0，则x=；令x=0，则y=1，
∴A（，0），B（0，1）．
故答案为：，0；0，1；
（2）∵△OCD由△△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得出，
∴OD=OB=1，OC=OA=，
∴D（﹣1，0），C（0，）．
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，
∴直线CD的解析式为y=x+．
∴，解得，
∴M（，）．
∵BC=1﹣=，
∴S△BCM=××=．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
23．（2016春?长春期中）一次函数y=kx+b的图象经过点（2，﹣1）和（0，3），求这个一次函数的解析式．
【分析】利用待定系数法把（2，﹣1）和（0，3）代入y=kx+b可得关于k、b的方程组，再解可得k、b的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点（2，﹣1）和（0，3），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为y=﹣2x+3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数经过的点必能满足解析式．
24．（2016春?乐亭县期中）拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果工作每小时耗油4升，求：
（1）油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当工作5小时时油箱的余油量
【分析】（1）由油箱中的余油量=原有油量﹣耗油量可求得函数解析式；
（2）把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值．
【解答】解：（1）由题意可知：Q=40﹣4t（0≤t≤10）；
（2）把t=5时代入Q=40﹣4t得：油箱的余油量Q=20升．
【点评】此题由数量关系列出函数解析式，再把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值，问题解决．
25．（2016春?南江县校级月考）如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB上有一点Q在第一象限且到y轴的距离为2．
（1）求点A、B、Q的坐标，
（2）若点P在坐x轴上，且PO=24，求△APQ的面积．
【分析】（1）首先求出A，B点坐标，再利用直线AB上有一点Q在第一象限且到y轴的距离为2，得出点Q的横坐标为2，即可得出Q点坐标；
（2）根据当点P在x轴的正半轴上时，当点P′在x轴的负半轴上时分别求出即可．
【解答】解：（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=﹣2，x=0时，y=4，故A（﹣2，0），B（0，4），
由直线AB上有一点Q在第一象限且到y轴的距离为2．
得点Q的横坐标为2，此时y=4+4=8，
所以：Q（2，8）；
（2）由A（﹣2，0）得OA=2
由Q（2，8）可得△APQ中AP边上的高为8，
当点P在x轴的正半轴上时，AP=OA+PO=2+24=26，
S△APQ=×26×8=104；
当点P′在x轴的负半轴上时，AP′=P′O﹣OA=24﹣2=22，
S△AP′Q=×22×8=88．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的特征以及三角形面积求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
26．（2015春?大石桥市校级期末）已知y﹣3与4x﹣2成正比例，且当x=1时，y=5．（1）求y与x函数关系式；
（2）求当x=﹣2时的函数值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x=1时，y=5代入求出k的值；（2）把x=﹣2代入（1）中的解析式进行计算即可．
【解答】解：设y﹣3=k（4x﹣2）（k≠0），
把x=1，y=5代入，得
5﹣3=k（4×1﹣2），
解得k=1，
则y与x之间的函数关系式是y=4x+1；
（2）由（1）知，y=4x+1．
当x=﹣2时，y=4×（﹣2）+1=﹣7．
即当x=﹣2时的函数值是7．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据正比例函数的定义列出函数解析式．
27．（2016?淅川县一模）甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息，解答如下问题：
（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？
【分析】（1）设甲登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=kx，根据图象得到点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据图形写出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段AB的解析式，再与OC
的解析式联立求解得到交点的坐标，即为相遇时的点．
【解答】解：（1）设甲登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=kx，
∵点C（30，600）在函数y=kx的图象上，
∴600=30k，
解得k=20，
∴y=20x（0≤x≤30）；
（2）设乙在AB段登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=ax+b（8≤x≤20），
由图形可知，点A（8，120），B（20，600）
所以，，
解得，
所以，y=40x﹣200，
设点D为OC与AB的交点，
联立，
解得，
故乙出发后10分钟追上甲，此时乙所走的路程是200米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，利用待定系数法求函数解析式是本题考查了的重点．
28．（2016?黑龙江模拟）如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）汽车行驶2h后加油，中途加油190L；
（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；
（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？
【分析】（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25×=40，
由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；
（2）根据每百公里耗油量约为25L，可知每公里耗油0.25L，根据余油量=出发前油箱油量﹣耗油量列出函数表达式即可；
（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，可知k不变，设加油后的函数为y=﹣20x+b，代入（2，250）求出b的值，然后计算余油量为10时的行驶时间，计算行驶路程即可．
（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25×=40，【解答】解：
由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；
故答案为：2，190；
（2）y=100﹣80×0.25?x=﹣20x+100；
（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，
设此时油箱剩余油量y与行驶时间x的解析式为y=kx+b
把k=﹣20代入，得到y=﹣20x+b，
再把（2，250）代入，得b=290，
所以y=﹣20x+290，
当y=10时，x=14，所以14×80=1120，
因此该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．
【点评】此题主要考查了一函数应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知图象获取正确信息是解题关键．
29．（2016?莆田模拟）A、B两地之间路程是350km，甲、乙两车从A地以各自的速度匀速行驶到B地，甲车先出发半小时，乙车到达B地后原地休息等待甲车到达．如图是甲、乙两车之间的路程S（km）与乙车出发时间t（h）之间的函数关系的图象．
（1）求甲、乙两车的速度；
（2）求图中a、b的值．
【分析】（1）由“速度=路程÷时间”可得出甲车的速度，设乙车的速度为xkm/h，由“两车间的距离=速度差×时间”可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求出甲车的速度；
（2）由“时间=两地间距÷时间”得出乙车到达B地的时间（即b值），再由“两车间距离=乙车行驶的路程﹣甲车行驶的路程”可得出当乙车到达B地时两车之间的距离（即a的值）．【解答】解：（1）甲车的速度为：40÷0.5=80（km/h）；
设乙车的速度为xkm/h，则2（x﹣80）=40，
解得：x=100．
答：甲车的速度为80km/h，乙车的速度为100km/h．
（2）b=350÷100=3.5；
a=350﹣80×（3.5+0.5）=30．
答：a的值为30，b的值为3.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于速度x的一元一次方程；（2）观察图形结合数量关系列式计算即可得出结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
初二函数知识点 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离
一次函数 知识点：函数的概念 定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．．的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 例1：求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)2 1 += x y ； (2)2-=x y ． 例2：圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为，它是函数． 知识点：一次函数的概念 定义：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成（k 、b 为常数，k ≠0）形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况． 例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－2 x ；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2， 其中不是一次函数的是．（填序号） 例2：要使y ＝（m －2）x n － 1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________． 例3：已知y =(k －1)2 k x 是正比例函数，则k =． 【变式练习】 1、若函数y = (k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 2、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） A . 0 B . 23C . 23-D . 3 2 - 3.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（） 22221A.3(1) B.y=x+x 1 C.y= -x D.y=(x+3)-x x y x =- 考点：正比例函数的图象和性质
第四章：一次函数 ◆4.1函数 1．函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 辨误区 自变量与另一个变量的对应关系 若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 【例1－1】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )． A ．①②③ B ．①② C．②③ D ．①② 【例1－2】 已知y ＝2x 2＋4， (1)求x 取12和－12 时的函数值；(2)求y 取10时x 的值． . 谈重点 函数中变量的对应关系 当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系． 2．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 谈重点 函数关系式中的学问 ①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式． 【例2】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x
数学专题复习：一次函数 【基础知识回顾】 一、 一次函数的定义: 一般的：如果y= （ ）即y 叫x 的一次函数 特别的：当b= 时，一次函数就变为y-kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数】 二、一次函数的同象及性质： 1、一次函数y=kx+b 的图象是经过点（0，b ）（-b k ，0）的一条 正比例函数y= kx 的图象是经过点 和 的一条直线 2、正比例函数y= kx(k ≠0)当k >0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而 当k<0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而 3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质 ① k >0 b >0过 象限 k >0 b<0过 象限 ② k<0 b >0过 象限 k<0 b >0过 象限 4、若直线l 1: y= k 1x+ b 1与l 2: y= k 2x+ b 2平行，则k 1 k 2， 若k 1≠k 2，则l 1与l 2 三、用系数法求一次函数解析式： 关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式 2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式 3、解关于系数的方程或方程组 4、将所求的系数代入等设函数表达式中 四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组 1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直 线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b 中 2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x 轴上方 或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立 3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标 【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解得问题】 五、一次函数的应用 一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式 3、确定取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答 【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案涉及问题等】 【重点考点例析】 考点一：一次函数的同象和性质 例1 （2012?黄石）已知反比例函数y=x b （b 为常数），当x ＞0时，y 随x 的增大 而增大，则一次函数y=x+b 的图象不经过第几象限．（ ）A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 例2 （2012?上海）已知正比例函数y=kx （k ≠0），点（2，-3）在函数上，则y 随x 的增大而 （增大或减小）． 对应训练 1．（2012?沈阳）一次函数y=-x+2图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．一、二、四象限 C ．一、三、四象限 D ．二、三、四象限 2．（2012?贵阳）在正比例函数y=-3mx 中，函数y 的值随x 值的增大而增大， 则P （m ，5）在第 象限． 考点二：一次函数解析式的确定 例3 （2012?聊城）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，-2）． （1）求直线AB 的解析式； （2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标． 对应训练3．（2012?湘潭）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两 坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式． 考点三：一次函数与方程（组）不等式（组）的关系(扩展知识 ) Y 随x 的增大而 Y 随x 的增大而
北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解 【考点归纳】 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y= 3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定， 0>k 直线要经过一、三象限，0 5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ） 6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 【函数与变量】 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2 S r π=，S 与r 是变量，π是常量 注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律） 对函数概念的理解： （1）有两个变量 （2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化 （3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能 一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2 =y ） (4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ） A 、长方形的宽一定，其长与面积 B 、正方形的周长与面积 C 、等腰三角形的底边与面积 D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。 优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值 缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。 优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示 （3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像 优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质 缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。 如：某同学在几个月份的考试中；月份和考试成绩的关系用图形表示出来 注意：（1）函数图像上任意一点P （x,y ）中的x 和y 满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x 和y 的值组成的点（x,y ）一定在函数的图像上 （2）判断点P （x,y ）是否在函数图像上的方法是：将点的坐标（x,y ）代入函数关系式，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。 例：已知点（2，7）在函数2 6y ax =+的图像上，求a 的值，并判断点（4，12）是否在该函数的图像上 【画函数图像的步骤】1、列表2、描点3、连线。如：请在坐标系中画出y=x ，y=x+1，y=x-1，y=x+2的图像 【自变量取值范围】 （1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。 在初中范围内没有意义的三种情况是（1）0 0（2）0作分母（3）根号下为负 （2）整式：其自变量的取值范围是全体实数。 一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vt s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1 x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函 数的有（） （A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）一次函数 1.．自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为任意不为零实数） 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。 2. 当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 一次函数性质： 1 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 2 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 应用 一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。 一、确定字母系数的取值范围 例1. 已知正比例函数(35) y m x =+，则当m______________时，y随x的增大而减小。 二、比较x值或y值的大小 例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（） A. x1>x2 B. x1 1 x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ 第一学期期末复习试卷 初 二 数 学 （一次函数） 总分：120分 时间：120分钟 日期：2015-1-8 审核人：胡 娜 班级 学号 姓名 得分 一、选择题（3分×9＝27分） 1.一次函数y=kx+2经过点(1，1)，那么这个一次函数( )． A 、y 随x 的增大而增大 B 、y 随x 的增大而减小 C 、图像经过原点 D 、图像不经过第二象限 2.直线y ＝－x ＋2和直线y ＝x －2的交点P 的坐标是 （ ） A 、 P(2，0) B 、 P(－2，0) C 、 P(0，2) D 、 P(0，－2) 3.直线 y=4 3 x ＋4与 x 轴交于 A,与y 轴交于B, O 为原点，则△AOB 的面积 4．直线y ＝－4 3x ＋4和x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，在平面直角坐标系内，A 、B 两点 到直线a 的距离均为2，则满足条件的直线a 的条数为( ) A ．1 B ．2 C. 3 D ．4 5.已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ） 6.已知x 满足－5≤x≤5，y1=x+1，y2=－2x+4对任意一个x ，m 都取y1，y2中的较小值,则m 的最大值是（ ） A 、1 B 、2 C 、24 D 、－9 7.如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A.0k >，0b > B.0k >，0b < C.0k <，0b > D.0k < 8.一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图，则下列结论 ①0k <；②0a >；③当3x <时，12 y y <中，正确的个数 是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9.甲、乙两辆摩托车分别从A 、B 两地 出发相向而行，右图中12l l 、分别表示甲、乙两辆摩 托车与A 地的距离s(千米)与行驶时间t(小时)之 间的函数关系．则下列说法： ①A 、B 两地相距24千米； l 1 4 80.10.20.30.40.50.6 l 2 专题04 《一次函数》 1．函数：一般地,在某个变化过程中,有两个变量x 和y,如果给定一个x 的值,相应地就确定了一个y 的值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量. 2．函数的三种表示方法:列表法、表达式法、图象法. 3．画函数图象的一般步骤:（1）列表，（2）描点，（3）连线. 4．一次函数：若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）的形式,则称y 是x 的一次函数. 当两个变量x,y 满足表达式y=kx(k ≠0),则称y 是x 的正比例函数. 5．一次函数图象及画法 （1）一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，这条直线经过(0,b).画一次函数的图象只要确定满足表达式y=kx+b 的两个简单的点即可. (2)正比例函数y=kx 的图象是一条经过(0,0)和(1,k)点的直线. 6．一次函数的性质: 在一次函数y=kx+b 中, （1）当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大； （2）当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小. 补充性质： （3）当k>0，b>0时，直线y=kx+b 经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，直线y=kx+b 经过二、三、四象限；当k<0，>0时，直线y=kx+b 经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，直线y=kx+b 经过二、三、四象限. 7．一次函数y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标： （1）与x 轴的交点坐标为(- k b ,0);(2)与y 轴的交点坐标(0,b). 8．一次函数y=kx+b 与一元一次方程kx+b=0之间的关系. 一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标的对应值即为一元一次方程kx+b=0的根. 9．一次数图象的应用 利用函数图象解决简单的实际问题，从中体会方程与函数的关系． 二、易混、易忽视概念 1．函数的两个变量之间的对应关系，不能说某一个量是函数.如：在路程、速度和时间关系中，只有当速度 一次函数复习 第五章 位置的确定（必备知识：不熟悉以后专题练习下） 1.平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x 轴或横轴；铅垂的数轴叫y 轴或纵轴，两数轴的交点O 称为原点。 2.点的坐标：在平面内一点P ，过P 向x 轴、y 轴分别作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应 的数a 、b 分别叫P 点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a 、b ）叫做P 点的坐标。 3.在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点，方法是由P （a 、b ），在x 轴上找到坐标为a 的点A ，过A 作x 轴的垂线，再在y 轴上找到坐标为b 的点B ，过B 作y 轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P 点。 有关点的位置知识点（学一次函数必备）（重点，请牢记） （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x （2）、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） (3)、点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +。 （4）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上?x 与y 相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 （5）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 《一次函数》综合练习题 一、填空题： 1.（－3，4）关于x 轴对称的点的坐标为_________，关于y 轴对称的点的坐标为__________， 关于原点对称的坐标为__________. 2.点B （－5，－2）到x 轴的距离是____，到y 轴的距离是____，到原点的距离是____. 3.以点（3，0）为圆心，半径为5的圆与x 轴交点坐标为_________，与y 轴交点坐标为_______. 4.点P （a －3，5－a ）在第一象限内，则a 的取值范围是____________. 5.小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关 系是______________， x 的取值范围是__________. 6.函数y=3+x x 的自变量x 的取值范围是________. 7.当a=____时，函数y=x 23-a 是正比例函数。 8.函数y=－2x ＋4的图象经过_______象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________，周长为_______. 9.一次函数y=kx ＋b 的图象经过点（1，5），交y 轴于3，则k=____，b=____. 10.若点（m ，m ＋3）在函数y=－2 1x ＋2的图象上，则m=____. 11.y 与3x 成正比例，当x=8时，y=－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 12.函数y=－2 3x 的图象是一条过原点及（2，___）的直线，这条直线经过第____象限，当x 增大时，y 随之________. 13.函数y=2x －4，当x_______，y<0. 41.若函数y=4x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b=_____. 二、选择题： 1.下列说法正确的是（ ） A 、正比例函数是一次函数； B 、一次函数是正比例函数; C 、正比例函数不是一次函数; D 、不是正比例函数就不是一次函数. 2.下面两个变量是成正比例变化的是( ) A 、正方形的面积和它的面积; B 、变量x 增加,变量y 也随之增加; C 、矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长; D 、圆的周长与它的半径. 3.直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足( ) A 、k>0, b<0; B 、k>0,b>0; C 、k<0, b<0; D 、k<0, b>0. 4.已知正比例函数y=kx (k ≠0),当x=－1时, y=－2,则它的图象大致是( ) y y y y x x x x A B C D 5.一次函数y=kx －b 的图象（其中k<0，b>0）大致是（ ） y y y y x x x x A B C D 新北师大版一次函数测试题 一、相信你一定能选对！（每小题2分，共20分） 1．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 3．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四 4．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ） 5．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） （A ）一象限 （B ）二象限 （C ）三象限 （D ）四象限 6．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16 7．若甲、乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析 式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧 长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ） （A ）y 1>y 2 （B ）y 1=y 2 （C ）y 1 5．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 6．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） 22、假定甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，那么可以知道：这是一次__________ m赛跑；甲、乙两人中先到达终点的是__________；乙在这次赛跑中的速度为__________m/s.（3分） 23.已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积； 24.（8分）某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后， 油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之 间为一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数解析式． （2）一箱油可供拖位机工作几小时？ 25.某市出租车5㎞内起步价为8元，以后每增加1㎞加价1元，请写出乘坐出租车路程x㎞与收费y元的函数关系，小明乘了10㎞付多少钱？如果小亮付了15元钱乘了几千米？ 26、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间（min ）与通话费y （元）的关系如图所示： x (1)分别求出通话费（便民卡）、 （如意卡）与通话时间之间的函数关系式；1y 2y x (2)请帮用户计算，在一个月内使用70min 哪一种卡便宜？(3)请帮用户计算，在一个月内使用多少min 一样便宜？ 27、气温随着高度的增加而下降，下降的规律是从地面到高空11km 处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm 的气温为y ℃．（1）当0≤x ≤11时，求y 与x 之间的关系式？（2）求当x=2、5、8、11时，y 的值。 （3）求在离地面13 km 的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？ 第六章一元一次函数 6.1 函数 一、常量和变量 在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s是随时间的变化而变化的，那么在这一过程中，是常量，而和是变量. 当路程s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，是常量，而与是变量. 概念：在一个变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量. [注意] 变量和常量往往是相对的，是相对某个变化过程的. 如：s,v,t三者之间，在不同研究过程中，变量与常量的身份是可以互相转换的. 例题1：指出下列关系式中的常量和变量：（1）错误！未找到引用源。；（2）错误！未找到引用源。;（3）错误！未找到引用源。（a、h为已知数） 二、函数的定义 问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离． 分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是 s＝570－95t． 说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量． 问题2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的关系式． 分析：我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x． 函数的概念：一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x和y，如果在x允许的范围内给定一个x值，相应地就唯一确定了一个y值，称x是自变量，y是因变量，y是x的函数. 如问题1中路程的s是时间t的函数，问题2中存款数y是月份数x的函数. 例题2 中国淡水资源总量约为错误！未找到引用源。亿立方米，则人均占有淡水资源y （立方米）与人口数x的关系为 . 例题3 写出下列问题的函数关系式，并指出自变量和因变量. (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； 八年级上册数学 第四章单元测试题 （100分钟 满分120分） 班级： 姓名: 得分: 一. 选择题（30分） 1.一次函数6，y 随x 的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 函数y ＝3x ＋1的图象一定通过点( )． A ．(3,5) B ．(－2,3) C ．(2,7) D ．(4,10) 3.下列说法正确的是( ) A.正比例函数是一次函数 B.一次函数是正比例函数 C.变量y x ,,y 是x 的函数,但x 不是y 的函数 D.正比例函数不是一次函数,一次函数也不是正比例函数 4.下列函数关系式:①x y -=; ②;112+=x y ③12++=x x y ; ④x y 1=. 其中一次函数的个数是( ) A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.在直角坐标系中,既是正比例函数kx y =,又是y 的值随x 值的增大而减小的图像是( ) A B C D 6.函数值y 随x 的增大而减小的是（ ） (A)1＋x (B)21－1 (C)－x ＋1 (D)－2＋3x 7.如图,直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么 这个一次函数关系式是( ) A.32+=x y B.23 2+-=x y C.23+=x y D.1-=x y 8. 已知油箱中有油25 L ，每小时耗油5 L ，则剩油量P (L)与耗油时间t (h)之间的函数关系式为( )． A ．P ＝25＋5t B ．P ＝25－5t C ．P ＝255t D ．P ＝5t －25 9.一次函数图象如图，准确的是（ ） （A ）k>0，b >0 （B ）k>0，b <0 （C ）k<0，b>0 （D ）k<0，b <0 10.如果－2a ＋1是正比例函数，则a 的值是（ ） (A)21 (B)0 (C)－2 1 (D)－ 2 二. 填空题（30分） 11.函数的三种表示方式分别是 、 、 。 12. 一元一次方程0.51=0的解是一次函数0.51的图象与 轴交点的横坐标。 13.已知一次函数1)2(++=x m y ,函数y 的值随x 值的增大而增大,则m 的取值范围是 . 14.函数2+-=x y 中,y 的值随x 值的减小而 ,且函数图像与x 轴、y 轴 的交点坐标分别是 ， 。 15．在函数1 1+x 中，自变量x 的取值范围是． 第四章一次函数 1、函数的概念 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 对函数概念的理解： （1）有两个变量（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化 （3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x的值可以对应一个y 值但不能一个x值对应多个y值，如y=x2和x2=y） 2、自变量的取值范围 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。 （1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，自变量的取值还要和实际情况相符合，使之有意义。 如：中，r表示圆的半径时，r>0 3、一次函数和正比例函数 一次函数y=kx+b 特征：?k≠0 ? x的次数是1 ?常数项b是任意实数正比例函数：y=kx 特征：?k≠0 ? x的次数是1 ?常数项b=0 正比例函数是一种特殊的一次函数。 4、一次函数图像性质 一次函数y=kx＋b的图象的画法. 经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选 取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点. k 表示直线y=kx+b(k ≠0)向上的方向与x 轴正方向夹角大小，即直线倾斜的程度； b 表示直线y=kx+b （k ≠0）与y 轴交点的纵坐标 一次函数Y=kx+b k ≠0的图象，当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴的上方； 当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴的下方； 两直线y= k 1x+ b 1（k ≠0）的图象与y= k 2x+ b 2（k ≠0）的位置关系： （1） 当k 1= k 2时，且b 1 b 2时，两直线平行 （2） 当k 1= k 2时，且b 1=b 2时，两直线重合 （3） 当k 1≠k 2时，两直线相交 （4） 当k 1≠k 2时，且b 1=b 2时，两直线交于y 轴上一点（0，b 1）或（0，b 2） 【巩固训练】 选择题 1、下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是： 2、已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P (升)与耗油时间t (小时)之间的函数关系式为 ( ) A ．P =25+5t B ．P =25－5t C ．P =t 525 D ．P =5t －25 3、函数y ＝3x ＋1的图象一定通过点( )． x y o A x y o B x y o D x y o C 第5讲 一次函数 专题一：函数 知识点精讲： 1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有 的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量。 典型例题： 【例1】下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( ) 【习题1】下列各图象中，哪一个不可能是函数图象（ ） A B C D 规律与小结： 1、函数中，x 的值有唯一的y 值与它对应，也就是说可以多个x 对应同一个y 值，但不可以一个x 对应多个y 值。 2、函数一定是方程，但方程不一定是函数。 专题二：正比例函数与一次函数 知识点精讲： 1. 若两个变量y x ,间的对应关系可以表示成 （b k ,为常数，0≠k ）的形式，则称y 是x 的一次函数。特别地，当0=b 时，称y 是x 的正比例函数。 典型例题： 【例1】下列函数是一次函数的是（ ） A ．y =-8x B ．y =8x - C ．y =-82x +2 D ．y =8x -+2 【习题1】设圆的面积为S ，半径为R ，那么下列说法正确的是（ ） A ．S 是R 的一次函数 B ．S 是R 的正比例函数 C ．S 与2R 成正比例关系 D ．以上说法都不正确 【例2】函数y =m 1m x - +（m -1）是一次函数，则m 值（ ） A ．m ≠0 B ．m =2 C ．m =2或4 D ．m ＞2 【习题2】若函数y =（k -1）x +2k -1是正比例函数，则k 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-1或1 D ．任意实数 【例3】若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟（不到1分钟按1分钟计算）加收0.5元，当通话时间t ≥3分钟时，电话费y （元）与通话时间t （分）之间的关系式为（ ） A ．y =t +2.4 B ．y =0.5t +1 C ．y =0.5t +0.3 D ．y =0.5t -0.3 【习题3】已知，如图，某人驱车在离A 地10千米的P 地出发，向B 地匀速行驶，30分钟后离P 地50千米，设出发x 小时后，汽车离A 地y 千米（未到达B 地前），则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y =50x B ．y =100x C ．y =50x -10 D ．y =100x +10 【习题4】某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份，以每份0.8元的价格销售x 份（x ＜500），未销售完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收回，这次买卖中该老板获利y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y =0.7x -200（x ＜500） B ．y =0.8x -200（x ＜500） C ．y =0.7x -250（x ＜500） D ．y =0.8x -250（x ＜500） 【例4】已知y +a 与x +b （a 、b 为常数）成正比例．y 是x 的一次函数吗？请说明理由. 【习题5】已知y =（k -3）x +2k -9是关于x 的正比例函数，求当x =-4时，y 的值． 规律与小结： 1. 认清一次函数和正比例函数的区别。 2. 当说是正比例函数的时候，就要保证常数项b 为0，同时保证前面的系数k 不为0. 3、当说这是一次函数或者正比例函数的时候，就设成b kx y +=或kx y =的形式 专题三：一次函数的图像 知识点精讲： 1.在正比例函数kx y =中， 当0>k 时，y 的值随着x 值的增大而 ； 一次函数 定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．． 的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 例1：求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)21+=x y ； (2)2-=x y ． 例2：圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为，它是函数． 定义：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成（k 、b 为常数，k ≠0）形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况． 例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2， 其中不是一次函数的是．（填序号） 例2：要使y ＝（m －2）x n －1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________． 例3：已知y =(k －1)2 k x 是正比例函数，则k =． 【变式练习】 1、若函数y =(k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 2、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） 2323-32 -下列关于x 的函数中，是一次函数的是（） 例1已知正比例函数y =kx (k ≠0)的图象过第二、四象限，则（ ） A ．y 随x 的增大而减小 B ．y 随x 的增大而增大 C ．当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小 D ．不论x 如何变化，y 不变 例2已知32 )12(--=m x m y 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值为_______. 【变式练习】 1、正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大. 2、函数y =(k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是() 0北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华)
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