![]初中的数学定理证明](https://img.doczj.com/img3b/16zjr2sv36qx1wb6zh6bm13cpq1araqx-b1.webp)
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初中数学定义、定理、公理、公式汇编
直线、线段、射线
七上p128 1. 过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线）
七上p132 2.两点之间线段最短
七上p142 3.同角或等角的补角相等.
同角或等角的余角相等.
七下p4
4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直七下p6
5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短）
平行线的判断
七下p13
1.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
七下p13
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行）
七下p14
3.同位角相等，两直线平行.
七下p14
4.内错角相等，两直线平行.
七下p15
5.同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质
七下p20
1.两直线平行，同位角相等.
2.两直线平行，内错角相等.
3.两直线平行，同旁内角互补.
三角形三边的关系
七下p64
1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.
三角形角的关系
七下p73
1. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的两个锐角互余.
已知：Rt ABC
,∠C=90°
求证：∠A+∠B=90°
证明：∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°
七下p75
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
全等三角形的性质、判定
八上p3
1.全等三角形的对应边、对应角相等.
八上p9
2.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
八上p11
3.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
八上p12
4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
八上p7
5. 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等.
八上p14
6.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
角的平分线的性质、判定
八上p20
性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
八上p21
判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.
等腰三角形的性质
八上p50
1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角).
2.推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 .
已知：ABC
中，AB=AC,AD是∠BAC的角平分线
求证：AD平分BC,AD⊥BC.
证明：∵AB=AC,AD是∠BAC的角平分线∴AD平分BC,AD⊥BC.（三线合一）八上p50
3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
八上p54
4.推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° .
等腰三角形判定
八上p52
1等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
八上p54
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
八上p54
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
线段垂直平分线的性质、判定
八上p33
1. 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 .
八上p33
2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.
轴对称、中心对称、平移、旋转
八上p30
1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形
八上p32 八上p32
2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
八上p33
3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
八上p32
4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 九上p64
5.关于中心对称的两个图形是全等的.
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
九上p64
6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.
九上p57 p62
7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。
八下p65
勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 .
八下p73
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角八上p55
①直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.
八下p95
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. n边形、四边形的内角和、外角和
七下p82
1.四边形的内角和等于360°.
七下p83
2.四边形的外角和等于360°
七下p82
3.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）180°.
a
b
A
B
C
D
七下p83
４.推论任意多边的外角和等于360°.
平行四边形性质
八下p84
1.平行四边形的对角相等.
八下p84
2.平行四边形的对边相等.
3.夹在两条平行线间的平行线段相等.
已知：直线a∥b,线段AB∥CD.
求证：AB=CD.
证明：∵a∥b, AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形
∴AB=CD
八下p85
4.平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形判定
八下p83
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
八下p87
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
八下p87
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
八下p87
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
八下p88
5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
八下p94
矩形性质
1. 矩形的四个角都是直角 .
2. 矩形的对角线相等.
矩形判定
八下p95
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
八下p96
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
八下p96
3. 对角线相等的平行四边形是矩形 .
八下p98
菱形性质
1、菱形的四条边都相等.
2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角.
3、菱形面积=对角线乘积的一半，即ab
s
2
1
证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角
三角形,且菱形对角线互相平分
设菱形对角线长为x,y则S菱形
=4×1/2×(x/2×y/2)==1/2×xy
所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半
八下p99
菱形判定
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.四边都相等的四边形是菱形
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
八下p100
正方形性质
1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平
分，每条对角线平分一组对角.
正方形判定
八下p100
1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是
正方形
2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正
方形.
证明：对角线互相平分→平行四边形；
对角线互相垂直的平行四边形→菱形；
对角线相等的平行四边形→矩形形；
菱形+矩形→正方形
八下p107
等腰梯形性质
1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.
2.等腰梯形的两条对角线相等.
等腰梯形判定
八下p108
1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
D D
E AC BC E AD BC
ACED AC=DE,ACB=DEB BD=AC BD=DE
DBC=DEB DBC=ACB AC=BD,BC=CB ABC DCB AB=DC
ABCD ∴∴∠∠∴∴∠∠∴∠∠∴???∴∴过点作∥交延长线与点，∥四边形是平行四边形梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC=BD. 求证：梯形ABCD 是等腰梯形。 证明：
① 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必
平分另一腰.
已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，其中E 是AB 中点。
求证：F 是CD 中点 证明：
连接AC 交EF 于点G ∵AD ∥BC ∥EF ∴△AEG ∽△ABC
∵E 是AB 中点
∴
1
2AE
AG AB AC == ∴12
CG
AC
= 同理可证
1
2
CF CG CD AC == ∴F 是CD 中点.
② 经过三角形一边的中点与另一边平行的
直线，必平分第三边. （证法参照上题） 八下p89
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 )(2
1b a l +=，S=Lh
已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC, EF 是梯形的中位线，设AD=a,BC=b,EF=l,梯形高为h 。 求证：)(2
1b a l += S=Lh
证明：连接AF 交BC 延长线与G 点
ABCD DF=CF
AD BC
G=DAG,D=DCG ADF GCF
AD=CG=,ABG 1
EF BG,EF=BG
2
1
()
2
1
=BG 2
1
2
ABG EF a AF FG EF l a b S S h
S Lh
?∴∴∠∠∠∠∴???∴=∴?∴∴=+=?∴=梯形是中位线是的中位线
1k OB OA AC OE OD ED ==
=1k OC OA AC OF OD FD ===
1k
AC BA BC OA FD ED EF OD ∴
==== 九下p36
比例的基本性质 如果
相似三角形判定 九下p42 1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 九下p46
2.两角对应相等，两三角形相似. 九下p44
3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 九下p43
4.三边对应成比例，两三角形相似 九下p47
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 已知：RT △ABC 和RT △DEF ，AC 与DF 为ABC
RT =AC:DF=AB ：DE
∴三边对应成比例
∴RT △ABC RT △DEF
相似三角形性质 九下p52
1. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 九下p59-60
4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。 以三角形为例：
已知：ABC ?与DEF ?是以O 为位似中心的位似图形，位似比为1：k
求证：ABC ?与DEF ?的相似比为1：k ABC ?与DEF ?是以O 为位似中心的位似图形
]
理可得 ,
ABC DEF ∴，ABC ?与DEF ?的相似比为1：k
1k BC EF OBC OEF OB OC BC OE OF EF ∴∴∴===
,OA OB AD BD OD AB CD AB
==∴⊥⊥
又,11,22()BA CD OE AB OF CD AE AB CF CD
AE CF OAE OCF AE CF OA OC OAE OCF HL OE OF
=⊥⊥∴==∴==??=?∴?∴=在Rt 和Rt 中Rt Rt 圆
九上p79
1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 九上p90
2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集合.
3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合. 九上p79
4.同圆或等圆的半径相等. 九上p92
5.不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理 九上p81
1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 .
推论 1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
已知：AB 为圆O 的一条弦，CE 垂直平分AB ，垂足为D
求证：CE 是过点O ， AC BC =,AE BE = 证明：假设CE 不过点O 连接OA,OD,OB
∴过点D 有两条直线与AB 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立
∴ CE 是过点O ，即CE 是圆O 的直径 根据推论1，可得AC BC =,AE BE =
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 .
已知：O 为圆心，CE 是直径，AC BC =
求证：AE BE =，E C AB ⊥，AD BD = ∵AC BC = ∴∠AOC ＝∠BOC. ∵OA=OB
∴⊿AOB 为等腰三角形，CE 平分它的顶角。从“三线合一定理”， E C AB ⊥，AD BD = 又∵∠AOE ＝180°-∠AOC ＝180°-∠BOC ＝∠BOE. ∴AE BE =
九上p82
3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 . 九上p83
4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 .
5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么
它们所对应的其余各组量都相等. 以下是等弦推出等弦心距的情况，其他的类似
已知：AB ，CD 为圆O 的两条等弦, OE ⊥AB,
OF ⊥CD 求证：OE=OF 证明：
九上p85 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆
中，相等的圆周角所对的弧也相等.
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°
的圆周角所对的弦是直径.
九上p87
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形 .
三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等. 如图，三种△ABC 中，1l 为 AB 的垂直平分线，2l 为 BC 的垂直平分线，1l 与2l 交于点O ，连
接OA 、OB 、OC ，
∵1l 是 AB 的垂直平分线，∴ OB ＝OA
又2l 是BC 的垂直平分线 ∴OB ＝OC
故OA ＝ OB ＝ OC
∴ O 在BC 的垂直平分线上，
即AC 的垂直平分线过点O 。
九上p97
三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三
个内角的平分线的交点，到三边的距离相等.
已知，I 是三角形ABC 中ABC ∠和B AC ∠的角平分线的交点 求证：AI 平分B CA ∠，I 到三边的距离相等 证明：作
,,ID
BC IE AC IF AB
⊥⊥⊥
I 是三角形ABC 中
ABC ∠和B AC ∠的角平分线的交点
,ID IF ID IE
IF IE
∴==∴=
∴点I 在B CA ∠的角平分线上，即AI 平分B CA ∠且ID IF IE == 直角三角形三边为a 、b 、c
，c 为斜边，则外接圆的半径2
c R =；内切圆的半径2
a b c r +-= 已知例2：如图，Rt △ABC ，∠C=90°，两直角边a ，b ，斜边为c ，它的内切圆⊙O 分别与BC ，AC ，AB 相切于点
D
、E 、F （1）求这个三角形外接圆半径R 和内切圆的半径r. 解：做出如图辅助线,
∠C=90°
AB ∴为外接圆直径
∴直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点 ∴外接圆半径R=c
2
（2）∵Rt △ABC 的内切圆⊙O 分别与BC ，AC ，AB 相切于点D 、E 、F
∴,OE AC OD BC ⊥⊥ ∴四边形CDOE 是矩形，又OE=OD ∴矩形CDOE 是正方形，∴EC=CD=r 由切线长定理可得：BD=BF=a-r
AF=AE=b-r AF+BF=c ∴a-r+ b-r=c
∴2
a b c r +-=
九上p94
直线和圆的位置关系
① 直线L 和⊙O 相交 d ＜r ②直线L 和⊙O 相切 d=r ③直线L 和⊙O 相离 d ＞r 九上p95 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切线
OA l OB l
⊥⊥又OA A l B l ⊥⊥又AB BC CD DE EA
====AB BC
CD DE EA ====,3AB BC CD DE EA BCE CDA AB A B
B C D E ∴======∴∠=∠∠=∠=∠=∠同理九上p96 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 .
已知：直线l 是圆O 切线，A 为切点，OB ⊥l ，垂足为B
求证：直线OB 不经过A 点 证明：假设直线OB 不过A 点 直线l 是圆O 切线，A 为切点 ∴过点O 有两条直线OA 和OB 与直线l 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 ∴直线OB 过A 点
② 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆
心. 已知：直线l 是圆O 切线，A 为切点，AB ⊥l ，AB 与圆O 交于点B
求证：直线AB 过圆心O 证明：假设直线AB 不经过圆心O
直线l 是圆O 切线，A 为切点
过点A 有两条直线OA 和AB 与直线l 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 ∴直线AB 过圆心O 九上p97
切线长定理. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 圆和圆的位置关系
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 证明：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，两圆组成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线上，则它关于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点矛盾，所以切点一定在连心线上
九上p100
①两圆外离 d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r ＜d ＜R+r(R ＞r) ④两圆内切 d=R-r(R ＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R ＞r) 正多边形和圆
①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 n(n≥3): 以五边形为例—— 已知：圆O 中,
求证：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形．
又，五边形ABCDE 的顶点都在圆O 上， ∴五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形。 ②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
已五边形为例，经过圆的五等分点作圆的切线，观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？ 已知，PQ 、QR 、RS 、ST 分别是经过分点A 、B 、C 、D 、E 的⊙O 的切线． 求证：五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形． 证明：
,,,OA OB OE AOB AOE
ABO AEO ABO BAO AEO EAO ABO BAO AEO EAO
==∠=∠∴?∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠=∠
PQ 、QR 、RS 、ST 分别是经过分点A 、B 、C 、D 、E 的⊙O 的切线． PAB=TAE ,,()
PA PB TA TE
PAB PBA TAE TEA PAB PBA TAE TEA AB AE
PAB TAE ASA ∴⊥∴∠∠∴∠∠∠∠∠∠==∴∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠=∠=∴?OA PT OAP=OAT
OAP-OAB=OAT-OAE 即 ,PA PB TA TE P T Q P
PA PB TA TE PQ QR RS ST TP
∴===∠=∠∠∠∠∠=∠∴====∴====同理，RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,T=S=R=RC=CQ=QB=ES=SD=DR ∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形
定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 以五边形为例—— 证明：如果正五边形ABCDE 有外接圆，则A 、B 、C 、D 、E 五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等．不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE 的顶点A 、B 、C 作⊙O ，连结OA 、OB 、OC 、OD 、OE ．则OA=OB=OC ；
△OAB ≌△ODC
?ABCDE 有一个外接圆⊙O ． 既然正五边形有一个外接⊙O ，那么正五边形的五条边也就应是⊙O 的五条等弦．根据弦等、弦心距相等，证明参见p4，可知点O 到五边的距离等．以该弦心距为半径作圆，可得该圆与各边都相切，所以同样，正n 边形也应有一个内切⊙O ，且两圆同心．
定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形. 以五边形为例
已知：正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距 求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分成十个全等的直角三角形.
证明：正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距
,11,22
,OP AE OT AB PA AE AT AB
AE AB
PA AT OP OT
∴⊥⊥∴=
==∴== （弦等推出弦心距等证明参见p4）
22222
222222
()222()4242()a b ab a ab b ab a b a b ab a ab b ab a ab b a b +-=++-=++-=++-=-+=-))OPA OAT PA AT OP OT OPA OAT HL OPA OPE OA OT OP OP
OPA OPE HL OPA OAT OPE
∴=??
=??=??
=??∴??在和中（在和中（
同理其他直角三角形也全等，每条边和圆心以及对应半径一共组成5个三角形，每个三角形可以分割成两个直角三角形，所以一共有10个全等的直角三角形。
正三角形面积24
3a s =， a 表示边长.
已知，正ABC 边长为a 求证：正三角形面积24
3a s =
证明：作AD ⊥BC 于D ，
正ABC 边长
a 2
122
1122ABC
AB AC BC a a BD BC AD S
AD BC a ∴===∴=
=∴==∴=
?=?=
九上p110 扇形弧长： 180
r
n l π= 九上p111
扇形面积： 213602==r n s πr r
n 180
πlr 21=
圆拄的侧面积rh s π2= 圆柱展开图是矩形，长和宽中其中一条是圆柱的高h ，另一条是圆柱底面周长2r π，所以面积为2rh π
圆拄的表面积222r rh s ππ+= 九上p113
圆锥的侧面积rl rl s ππ==2.2
1
圆锥的表面积2r rl s ππ+=
幂的运算： 八上p160
①a ≠0时a 0=1， 八下p19 a -p =
p
a 1 八上142②a m a n = a m+n ；（a m ）n = a m n ③0的0次幂没有意义 八上p151
平方差：a 2-b 2
=(a+b)(a-b) 八上p154
完全平方：a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2
推广：a 2+b 2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 证明：
八上p27
一次函数y=kx+b （k ≠0） 八上p30
k>0，y 随x 的增大而增大 k<0，y 随x 的增大而减少 八上p23
正比例函数y=kx （k ≠0） 八上p25
①k>0，y 随x 的增大而增大,直线y=kx 经过（0，0），（1，k ）, 经过第一、三象限 ②k<0，y 随x 的增大而减少,直线y=kx 经过（0，0），（1，k ），经过第二、四象限 八下
p39
反比例函数x
k
y =（k ≠0） 八下p43
①k>0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x 的增大而减少.
③ k<0，双曲线在第二、四象限，在每个象
限内，随x 的增大而增大当 九上p36
一元二次方程ax 2+bx+c=0（ b 2
-4ac ≥0）根为 a
ac b b 24x 21-+-=
a ac
b b 24x 22---= 九上p41
a b
a ac
b b a a
c b b -=---+-+-=+2424x x 2221
a
c a ac b b a ac b b =
---?-+-=?2424x x 2221
九上p36 一元二次方程ax 2
+bx+c=0根的判别式. b 2
方程有两个相等的实根. b
2
方程有两个不等的实根
. b
2
方程没有实根
.
九下
p18 二次函数
y=ax 2
+bx+c （a ≠0）。
b 2x 轴只有一个公共点b 2
抛物线与x 轴有两个交点
b 2
x 轴有没有公共点. 证明：由一元二次方程ax 2
+bx+c=0根的判别
式与以下三条即可推出
抛物线与x 轴只有一个公共点个相等的实根.
方程有两个不等的实根方程有两个不等的实根.
方程没有实根. 九下p3
①抛物线的一般式： y=ax 2
+bx+c 。（a ≠0） 九下p9
②抛物线的顶点式 ：y=a （x-h ）2
+k 。 顶点（h ，k ），对称轴为直线h a
b x =-=2
九下p23
最大（小）值 为 a
b a
c 442
-（左同右异 ）
④ 抛物线的两根式： y=a （x-x 1）（x-x 2）
[]22212122112212112()
(())()()(()()
y ax bx c
b c
a x x a a
a x x x x x x a x x x x x x x a x x x x x x a x x x x =++=++=+--+=-+-=---=--） 常见的勾股数（整数）3，4，5； 6，8，10； 5，12，13; 8，15，17，9，40，41等。 常见的无理数；π，
2 3，等等
2≈1.414 3≈1.732 5≈2.236
九下p79 锐角三角函数 七上p46 有效数字：从左边第一个不是0的数起，到最后一个数止。如0.03120有效数字为3、1、2、0共4个有效数字。 八下p130
中位数：把一列数从大到小（或从小到大）排列，若有奇数个数，中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数. 八下p139
（2）方差公式：
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++-．
五个连续整数的方差是2，标准差为2.
证明：设这五个连续的整数n-2,n-1,n,n+1,n+2 平均数为x
2112555
n n n n n n
x n +++++-+-=
==
2222222222221221
[(2)(1)()(1)(2)]51
[(2)(1)()(1)(2)]51
[210(1)(2)]51
1025
s n x n x n x n x n x n n n n n n n n n n =+-++-+-+--+--=+-++-+-+--+--=?+++-+-=?=
第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－ 3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如: π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值 是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数 是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫 做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记 数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）的平方根是士，误认为平方根为士 2，应知道=2． 15.二次根式： (1)定义:___________________________________________________叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 19．二次根式的乘法、除法公式 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
5.3.2 命题、定理、证明 要点感知1 __________一件事情的语句叫做命题,命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面接的部分是__________,“那么”后面接的部分是__________. 预习练习1-1下列语句中,是命题的是( ) A.有公共顶点的两个角是对顶角 B.在直线AB上任取一点C C.用量角器量角的度数 D.直角都相等吗 1-2 将“两点之间，线段最短”写成“如果……那么……”的形式：______________________________. 要点感知2 题设成立,并且结论一定成立的命题叫做__________；题设成立,不能保证结论__________的命题叫做假命题. 预习练习2-1下列命题中的真命题是( ) A.锐角大于它的余角 B.锐角大于它的补角 C.钝角大于它的补角 D.锐角与钝角之和等于平角 要点感知 3 经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做__________.很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能做出判断,这个推理的过程叫做__________. 预习练习3-1如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB. 知识点1 命题的定义 1.下列语句中，是命题的是( ) ①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗？③画线段AB=CD；④如果a>b,b>c,那么a>c；⑤直角都相等. A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤ 知识点2 命题的结构 2.命题的题设是__________事项，结论是由__________事项推出的事项. 3.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是____________________. 4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出它们的题设和结论： (1)两点确定一条直线； (2)同角的补角相等； (3)两个锐角互余. 知识点3 命题的真假及证明
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．
第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式：
塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
初中数学基本公式和基本定理性质大汇总 一、基本公式 1、三角形面积公式：S △=12ah(a 为三角形的底，h 为高)。 2、梯形的面积公式：S 梯=12（a+b ）h(a 、b 分别为梯形的上、下底，h 为高)。 3、正方形的面积公式：S 正=a 2（a 为正方形的边长）；长方形的面积公式：S 长=ab （a 、b 分别为长方形的长、宽）。 4、正方体的体积公式：V 正=a 3；表面积公式：S 正=6a 2（a 为正方体的边长）。 5、长方体的体积公式：V 长=abh ；表面积公式：S 长=2ab+2ah+2bh （a 、b 、h 分别为长方体的长、宽、高）。 6、弧长公式：l=n 兀R ／180（n 为圆心角的度数，R 为弧的半径）； 7、扇形面积公式：S 扇形=n 兀R 2／360=lR ／2；（n 为圆心角的度数，R 为扇形半径，l 为弧长）。 8、圆的面积公式：S =兀R 2；周长公式：C=兀d=2兀R （d 为直径，R 为半径）。 9、圆柱的体积公式：V 圆柱=S 底h=兀R 2?；表面积公式：S 表=S 侧+S 底=2兀Rh+2兀R 2（R 为底面圆的半径，h 为高）。 10、圆锥的体积公式：V 圆锥=13S 底h=13兀R 2?；表面积公式：S 表=S 侧+S 底=兀Rl+兀R 2（l 为圆锥的母线长，R 为底面圆的半径）。 11、球的体积公式：V 球==43兀R 3（R 为球半径）。 12、三角函数公式：正弦sinA=∠A 的对边斜边 ；余弦cosA=∠A 的邻边斜边；正切tanA=∠A 的对边∠A 的邻边。 13、平方差公式：22()()a b a b a b +-=-。 14、完全平方公式：222()2a b a b ab +=++；222 ()2a b a b ab -=+-。 15、一元二次方程的求根公式：若x 是一元二次方程（a ≠0）20ax bx c ++=的根，则 x =240b ac -≥）； 根的判别式：240b ac -><=>方程有两个不等的实数根；240b ac -=<=>方程有两个相等 的实数根；240b ac -<<=>方程没有实数根；根与系数的关系：1x +2x =b a -；1x 2x =c a
高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a
初中数学基本定理（八） 为您提供初中数学基本定理(八)： 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积
计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以
高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式
初中数学基本定理总结 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
初中数学基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
初中数学必背公式及定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
初中数学定理、性质大全（人教版） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于