第 三 章 静电场中的电介质 （6学时）
一、目的要求
1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。 2．会求解极化强度和介质中的电场。 3．掌握有介质时的场方程。
4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。 二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（ 1学时）
4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路
本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。
四、重点难点
重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。 五、讲授要点
§3.1 电介质与偶极子
一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子
3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授
三、讲课提纲 1.电介质概述
电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。
特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。
当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷
产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ???，且表现出许多特性，
如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。它不能将介质内
部的原场处处抵消，而只能削弱。介质内的电场00≠'+=E E E ?
??。
2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构
电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。分子中电荷在远处一点激发的场近似等于全部正负电荷分别集中于各自的“重心”时激发的场，正负电荷“重心”重合在一起的称无极分子，如 H ,N ,CO 等。正负电荷“重心”不重合在一起的称有极分子，像SO ,H O,NH 等。这样一个分子等效为一个偶极子。
(2)偶极子
两个相距很近，带等量异号电量的电荷系统叫做偶极子 ①偶极子在外场中受到的力矩
均匀外场中，0=∑F ρ
但受到一个力矩：θθθsin sin *2
*sin *2*qLE L
F L F T =+=
定义：L q P ρ
ρ= 称为偶极子的偶极矩，上式可写为：
E P T ρ
ρρ?= 满足右手螺旋关系
Q 、L 可以不同。但只要其乘积qL 相同，力矩便相同。此力矩总是企图使偶极距转到外电场的方向上去；
非均匀外场中，0≠
∑F ρ ∑≠0T ρ
如摩擦事的笔头吸引纸屑，其实质就是纸屑在笔头电荷的非均匀电场中被极化，等效为偶极子，偶极子受到非均匀电场的作用力（指向场强增大的方向）而向笔头运动。
②偶极子的场
中垂面上一点的场强：场点到q ±的距离相等，产生的场强大小相等为：
4
412
2
l r q E E +
=
=-+πεF ρ
图3-3
+q
-q
l ?
E ρ
F ρ
θ
图3-1
图3-2
但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量相等 ，故有：
延长线上一点的场强
向右，向左， 故总场强大小为
偶极子在空间任一点的场强 分解电偶极矩为:
应用(1)、(2) 结果叠加得 ： 当
说明：（1）偶极子在空间任一点的电场，取决于偶极矩
（2）P 在偶极子电场中的地位相当于q 在点电荷电场中的地位，但与r 的依赖关系不同。
四、作业
P115 3.2.2 3.2.3
§3.2 电介质的极化
一、 电介质的极化
在外电场的作用下，介质内部（或表面上）出现束缚电荷的现象。 1．无极分子的位移极化
3
2
32204)4(41
2r P
l r ql COS E E πεπεθ≈+==+⊥
2
0)2
(41l r q
E -=
+πε2
0)2
(41l r q
E +=
-πε+E 3
02220220//42])4
(241
)2(1)2(1[4r P
l r qlr l r l r q E E E πεπεπε≈-=+--=-=-+-E θcos //p p =θ
sin p p =⊥θ
πεθπεθe r P e r P E r ρ
ρρ
30304sin 4cos 2+=304r P E περρ-=2
πθ=偶极子中垂面上的电场
0=θ3042r P
E περρ=偶极子延长线上的电场
+q
-q
r
l
图3-4
图3-5
无极分子的正、负电荷中心重合，加外场0E ρ
，其正负电荷等效中心将发生一定的相对
位移而形成电偶极子，如图3-5所示，在均匀介质内部正负电荷相消，而在两端出现未被抵消的正电荷或负电荷，这种在外电场作用下介质端部出现电荷的现象就叫 极化 。由于这些电荷不自由而被束缚在原子分子上，所以极化产生的电荷叫极化电荷或束缚电荷。对于上述极化是因电荷中心位移引起的，所以称作 位移极化 。
2． 有极分子的取向极化
外场0E ?对有极分子的分p ?
有力矩作用：0E p L ??ρ?=分，使分p ?转向/趋向外0E ?方向，使
杂乱的各分p ?有向排列。0E ?越强，分p ?有向排列越好。各分p ?在0E ?方向取向——取向极化。
无序??
→?0
E ρ场有序， 各向同性→取向优化。
[综述]
一般地，以上兼而有之，在有极分子介质中取向极化占优势。
无论何种极化，外场0E ?
都要对介质分子做功，即介质储能、耗能。
至于分子电矩是固有的，还是感生的，对产生附加电场E '?
并无两样，在这个意义上可不予区别。以后常用位移极化微观模型来研究问题。
二、 极化强度矢量
对于介质极化的程度和方向，可以用极化强度矢量 P 来描述，它是某点处单位体积
V
p P V
?=
∑?分子
ρ?
V ?为介质中所取的物理小体元（可看作一个宏观点），其中包含大量分子。P ?
的物理意义即：介质中某点单位体积内所有分子电偶极矩之矢量和。
[说明]
(1)P ?是空间矢量点函数，介质中不同点一般P ?
不同。
0E ?0E ?0
E ?加0
E ?0
E ?分
p ?图3-6
若常量=P ?
，即不随空间变，则称介质均匀极化；
0=P ?可能的情况：真空中无介质分子，谈不上极化；导体中0=E ?
，谈不上极化；有
介质但未极化等。
(2) 若介质均匀，则指常数=r ε,而一般地),,(z y x r r εε=。
(3) P ?
的单位：2
米库
。
(4) 设介质内某点),,(z y x 附近单位体积内介质分子数为),,(z y x n ，按统计平均看，当作各分子分p ?
大小相同且方向排列整齐，有：
l nq p n V
p n V V
p z y x P V
?ρ
ρ
ρ?
分分分
分
==????=
?=
∑
?),,(
三、极化电荷q '
介质极化出现实际存在的电荷——极化电荷，而P ?
描述介质极化情况，故二者必有联系。下面研究
1、以位移极化为例推导公式：∑?'-=?内
s s
q s d P ?
?
介质内任取体积V ，其周界面为S 。如图3-6取体元：θcos ds l dV =，则
θθπcos )cos(ds p ds p s d p 分分分-=-=??
ρ
dV 中介质分子极化后通过dS 面元穿出电量为
θcos lds nq ndV q q d 分分出
-=-='
s
d P s d np ds np ?
???=?=-=分分θcos
E ?_
内
S
l
?θ
+
s
d ?V
外
E ?s
d ?S
界
θ
l
?r
ε0
ε图3-7
图3-8
根据电荷守恒定律，正电荷留于dV 内，故dV 内净电荷为
s d P q d q d ???-='-='出
对于整体V 、S 有
???-='='s
s
s d P q d q ?
?
或写成常用形式
∑?'-=?内
s s
q s d P ?
?
上式表明：P ?矢量为有源场，其P ?
线之源为负的极化电荷，也可写成：
??'-=?V
s dV s d P ρ?
?
其中V 为S 所围，ρ'为极化电荷体密度。
若均匀极化，则=P ?
常矢，有0='ρ。 2、极化电荷面密度σ'
在介质表面上，因极化电荷不能穿出表面S ，故相对集中面分布。表面电荷厚度用斜高l 表示为：θcos l 。取面元dS ，如图3-8所示，此厚度上净电荷
s d n P s d P ds l nq q d ?
?????=?=='θcos 分
所以
θσcos P P n P ds
q d n ==?='='??
四、退极化场E '?
介质处于外场0E ?
中发生极化，出现极化电荷),(σρ'''q ，q '在空间激发场E '? ——退极化场，故介质中总场为
E E E '+=???0
一般地，E '?随点而异，且E '?处处与0E ?方向相反，但0E E ?
?<'，故E '?只能削弱 外场，而不能完全抵消外场（导体情况可以完全抵消外场），所以，介质中： 0E E ??<。
极化过程描述如下：
↑
→→→极化电荷极化介质0E ??'?→?
E ?0
ε 可见，决定介质极化程度和状态的是介质中的总场E ?
。
五、电介质的极化规律
介质中合场E E E '+=?
??0
决定极化强度P ?，P ?与E ?的关系如何即极化规律。不同物质的P ?～E ?
关系是不同的，需由实验确定。
对于线性介质，P ?与E ?
成正比，其极化规律为
???
??++=++=++=Z Y X Z
Z Y X Y Z Y X X E
E E P E E E P E E E P 330320310230220210130120110χεχεχεχεχεχεχεχεχε 表示成矩阵形式为
?????????????
?=??
??????????3332312322211312110χχχχχχχχχεZ Y X P P P ????
??????Z Y X E E E 其中各系数ij χ与场无关。
再若介质为各向同性的，则P E ρ
?//，有
?????==≠=为极化率)()(0j i x x j i x e ij ij 有 ?????===z z y y x
x E p E p E p 330220110χεχεχε
即
E p e ??
χε0=
值得指出：公式中的E ?为介质中总场。e χ与E ?
无关，与介质种类有关，是介质材料属性的反映，是一个纯数。e χ与r ε属同一类量，有表可查。如r ε与坐标无关，则为均匀介质。
六、例题
例1：试解释经丝绸摩擦过的玻璃棒可吸引轻小物体。
解答：玻璃棒经摩擦带有电荷，在空间产生非均匀电场),,(z y x E ?
，轻小物
___
______________________________
体为电介质，它在非均匀电场中极化而产生极化电荷，轻小物体所受的电场力指向电场线较密的方向，所以它被吸引而向玻璃棒运动。
例2：均匀极化强度为P ?
的介质球，其半径为R ，求σ'分布。
解：因为介质球均匀极化，所以0='ρ，极化电荷只能出现0≠'σ。如图 3-9，有
θσcos P n P =?='??
可以证明：球面电荷按谐和函数分布，在球内产生的电场为均匀场。例如，求O 处E '? ∵?θθθπεσπεd d R R
P
R ds E d sin cos 44122
020?='='
对称分析知：合场方向与P ?
反向, 即（-k ρ）方向，且θcos E d E d Z '-=' ??-='-='∴?θθθπεθd d P k E d k E sin cos 4cos 2
ρρ?
?
-=?-=π
επθθθπε0
2
32sin cos 4P
k d P k
ρρ。
例3、如图3-10平行板电容器，极板带自由电荷0σ±，其内充满均匀介质，
极化率为e χ，试求充满介质时的E ?
、C 、σ'与未充介质时的相应物理量0E ?、0C 、0
σ的关系。(恒定Q)
解：
① ∵i E ρρ000εσ=
、i E ρρ0εσ'-='； ∴i E E E ρρρρ)(1
00
0σσε'-='+=，又 P
?θ
n
?
)Z
图3-9
图3-10
x
E P P e n χεσ0==='，代入上式右端，并令e r χε+=1，有：r
E E ε0
ρρ=。
② 000000C d
S
d
E S
Ed
S
U
S
C r r
r
εεεσεσσ====
=
，其中0
00εσ=E 。
③ ∵
r εεσσσε0000
)(1
=
'-，即r
E
E ε0=； ∴ 0)1
1(σεσr
-
='。
又1>r ε，故：0σσ<'。
在电介质中任选一面元设 P 与dS 的夹角为θ，在位移极化中正负电荷相对位移为 l, 则在极化过程中穿过dS 的极化电荷
pdS npdS nqdSl nqdV q d -=-==='θθcos cos
由此可得S d P q ρρ?-='
对于任一闭合曲面就有 ???-='S
S d P q ρ
ρ
这表明，穿出任意闭合曲面的电极化强度的通量，等于这个闭合曲面所包围的极化 (束缚)电荷。
四、作业
P115 3.2.2 3.2.3 3.4.2 3.4.5
§3.4 有介质的高斯定理
介质存在时,场源有两部分
E q E q '
'??
：极化电荷，激发：自由电荷，激发0
对应的场方程均有形式
∑?∑?'
=
?'=
?内
内s s
s s
q s d E q
s d E 0
011
εε????，而E E E '+=?
??0，则总场的闭面通量为：
)
(1
)(00
0∑∑??'+=?'+=?内
内
s s s
s
q q s d E E s d E ε?????
该式即为介质中的高斯定理。但该式的右端极化电荷q '不易实验上测量，惯常回避之，间接地得到它。为此，运用
?∑?-='s
s s d P q ??内
代入上式，得 ∑?=?+内
s s
q s d P E 00)(?
??ε
引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement)
P E D ???+≡0ε
则高斯定理为 ∑?=?内
s s
q s d D 0?
?
[讨论]
1、∑?=?内
s s
q s d D 0?
?表述的优越性。
右侧不含极化电荷，D ?对高斯面S 的通量??=S
D s d D ρρφ仅与其内自由电荷有关；用D ?
描
述电场，D ?
线起自正自由电荷，止于负自由电荷；当问题具有某种对称性时，可由高斯定理求解，物理思路是：
先求D ?
→再求E ρ→再追究极化电荷分布等。
2、P E D ?
??+=0ε是辅助物理量，无物理意义。
D ?是
E ?、P ?不同量之叠加，D ?与P ?
同量纲；
D φ仅由∑内s q 0表示，并不意味着D ?
仅与∑内s q 0有关，这因D ρ与∑内
s q 0并非直接关系。
对于各向同性线性介质：E P e ?
?χε0=，有 E E E E E D r e e ??????εεεχεχεε==+=+=0000)1(
式中: ΛΛe r χε+=1相对介电常数，无量纲，0≥e χ，1≥r ε；
ΛΛr εεε0=…绝对介电常数，与0ε同量纲。
常用关系：D E E P r
e e ?
???εχεεχε=
-==)(00。 除介质参数外，D P E ?
ρ?,,三者知其一即可求出其它。
① 对于真空中
00000,1E D D r ?
??εεεεε====有率为真空介电常数或电容，故称，
② 对于导体中 ,因为0,0==D E ?
?故。
3、r ε的物理意义。
r ε、e χ反映介质极化难易程度，即表示介质在一定场强下的极化能力。结合均匀介
质r r z y x εε=),,(可从以下几方面认识：
(1) 从充满均匀介质电容器的电容看 , 0C C r ε=
电容增大r ε倍，0
C C
r =
ε。 (2) 从各向同性线性介质充满电场区域看
∑???=?=?=?内
s s
r s
r
s
q s d E s d E s d D 000?????εεεε )1(
100∑?=?内
s r
s
q s d E εε?? 或 ∑?=
?内
s s
r q
s d E 0
1
εε??
（均匀介质才成立） （非均匀介质也成立） ↓ ↓
与)(1
00
∑∑?'+=
?内
内
s s s q q s d E ε??对比 与∑?
=?内
s s q
s d E 0
01ε??对比
（介质中）此为一般式 （真空中） ?（谈源） ?（谈场）
)(1
1
00
0q q q s s r
'+=
∑∑内
内
εε E E r
?
?ε=0 11
εΘ ，∑∑∴ 内 内 〈s s r q q 001 ε 或：D E D ?ρ? ==ε0 即：∑∑<'+内 内 s s q q q 00)( 1>r εΘ E E >∴0 表明：介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽 表明：有介质时出现q '， 作用。上述右侧有q '，而左侧有r ε，可见 它激发的E ρ '对0E ρ场 介质对场影响又可通过r ε反映。 有部分抵消作用。 上述出现0D D ? ?=，其物理意义为：介质中的D ?等于除去介质同样自由场源分布产生的 0E ? 的0ε倍。 [强调指出] 上述0D D ? ?=是有条件的，并非一般，可归结为如下常见的几情况： ① 要么均匀介质充满电场全空间； ② 要么不同均匀介质区之间分界面是等势面； ③ 要么r ε连续变化，但r ε的等值面处处与等势面重合。例如，如图3-11。 此时D ?仅与自由电荷有关。（一般地，是D φ仅与0q 有关，而D ?既与自由电荷有关、又与极化电荷有关）。 4、带电导体表面外n D ? ?00σ= 如图3-12，在导体与介质分界面处作高斯面，运用 0q s d D s =??? ?得 s s D ?=?0σ ∴ n D ??0σ= 5、比较E ?、P ?、D ? 三物理量的闭面通量 ??? ? ? ????'+=?'-=?=????)(1000 q q s d E q s d P q s d D s s s ε???? ?? 其中 普适关系为： P E D ? ??+=0 ε 0+σ0 -σ1 R 2 R 3 R A B x ) (x r ε2 r ε1 r ε图3-11 图3-12 介质 导体 图3-12 特殊关系为： D E P P E D r e r ??????)11()(0εεεχεε-=-=== 6、均匀介质内若无自由电荷，则不论极化均匀否，其体内无净束缚电荷，极化电荷分布在介质表面（若介质—空气，则只—层；若介质1—介质2，则两层）。 证明： 在均匀介质内任取闭面S ，因00==??q s d D s ??，而有0=?-=?-='??S r e s s d D s d P q ? ???εχ 又?'='V dv q ρ，S 为任意， 所以S 内无净极化电荷分布。 7、一般地，介质非均匀，不能引入与D ? 相应的势函数。 因为0=??l l d E ? ?，所以可引入电势U ；但因 00≠?=???l r l l d E l d D ????εε 故不能引入与D ? 对应的势函数。 8、退化情况 对于真空，00E D ??ε=，故0q s d D s =????退化为：∑?= ?内 s s q s d E 0 01 ε??。因而本节内容包括 真空而成为一般知识。 4、例题 例1：0q 点荷周围充满均匀介质ε，求E ? 。 解：因E D r ??εε0=，r ε为常数，所以D ?与E ρ 具有相同的对称性。过场点作球面高斯面 S （以0q 为球心），应用0q s d D s =??? ?，得 024q r D =?π 2 4r q D π= 02 00 2 001 )4( 1 4E r q r q D E r r r επεεπεεε== = = 即 0D D ρρ=，或E E r ρ ρε=0 上述结果理解为：0q 周围被极化电荷包围（σ'分布于0q 邻近及无限大面上），使激发 场的有效场源削弱，r E E ε0 ρ ρ=。 [讨论] (1)半径为R 的导体球带电0q ，球外充满ε均匀介质。介质中场的表示式同上结果， 为? = r r q E 2 004περ。 (2)半径为R 的导体球带电Q ，球外介质分层均匀，同上计算D ρ 、E ρ。 例2：平行板电容器极板带电Q ，其内充满均匀介质ε，求D ?、E ?、P ρ 及C 。 解：处在均匀外场0E ρ中的均匀介质必发生均匀极化，D ρ 分布如同0E ρ、E ρ仍均匀。作高斯面如图3-13，用0q s d D s =??? ?，得 s s D ?=?0σ i D ??0σ= r r r E i D E εεεσεε0 000? ?? ?= == （∵i E ??0 00εσ=） i E E P r r e ????000)1 1()1(σεεεχε-=-== 0)1 1(σεσr x P - ==' （左负、右正，E '? 的方向：←） i E E E E r r ? ρρρ?0 000)11()11(εσεε--=-=-=' 000000C d E s d E s Ed s U Q C r r r εσεσεσ===== 总结以上的解题过程，给出思路为：→→→→'σP E D ? ??其它。 [注意] U Q 与恒恒不同，会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸—— σ +σ -s ?x d ε p S . 图3-13 (1) 分层均匀 如图3-14，由高斯定理知各区仍有 0σ=D ，000E D D ε== 自由电荷0σ均匀分布，真空场0 0εσ=E 。但各区的场1E ρ、2E ρ不同 ∵ 1 011 E εεεD D r = = ， 2 2εD E = ∴ 101)1(1E P r -=εε， 202)1(2E P r -=εε 总电压221d E d E U +=，故21C C C 串=，有 2121C C C C C += 其中1 11d s C ε= 、2 22d s C ε= 。 (2) 分区均匀 如图3-15,各区仍有结论:i i D 0σ=，但两区不同：011σ=D ，022σ=D 。 ① 若恒Q ： 则 d E d E 21=， 即：021E E E ==， 有：0 02 01εσεσ= 0201σεσr =∴， 即 21D D r ε= 此外 202101s s Q σσ+= 由此可求出0201σσ、。 0σ+0 σ-1ε2 ε1d 2 d 图3-14 01 σ+01 σ-02 σ+02 σ-ε0 ε1 s 2 1s s s +=2s 211 c 2 c 图3-15 图3-16 ② 若恒U ：则U d E d E ==21，d U E E = =21 （结论与①不同）。 综合①、②情况，计算电容时，相当于两电容的并联，1C C =‖2C 21C C C +=d s 1 ε= d s 2 0ε+ 分区均匀时的电路图形可简化为图3-16所示。 例3：柱形电容器充满ε均匀介质，设内极带电线密度为λ，求介质内的E ? 及σ'分布。 解：作高斯面如图3-17所示，应用0q s d D s =??? ?得 l D rl λπ=2， r D πλ 2= ? = r r E πελ2ρ ，E P ρρ)(0εε-= 1 00112) ()(1 R r E P R R r R πελ εεεεσ-=?-=-='? ρ 2 02 02 22) ()(R r E P R R r R πελ εεεεσ-=?-=='? ρ 并且可以验证：0222211=?+?l R l R πσπσ，即电荷守恒。 四、作业 P116——117 3.5.2 3.5.4 3.5.8 3.5.10 §3.5 有介质时的静电场方程 1．介质中的高斯定理： ∑?=?内 s s q s d D 0? ? 2．介质中电场满足的环路定理为 ???'+=?l l l d E E l d E ?????)(0=00=?'+???l l l d E l d E ???? 表明：电介质的存在归结为增加了一些新场源q '（激发E '? ），而未改变场的无旋性， 故在介质中的静电场中仍可引用电势U 描述（注：此U 与E ? 对应）。 3．介质性能方程 1 R 2 R ε ε l r 图3-17 E E E E E D r e e ??????εεεχεχεε==+=+=0000)1( 4，边值关系 (1) D 的法向分量连续 当交界面无面分布的自由电荷时 （2）E 的切向分量连续 而： 的切向分量在界面上连续 （3）D 线在界面上的折射 ρ t ? S S e D S e D S d D f n n S ?=??+??=??σ222111??ρ ρρρS S e D S e D f n n ?=??+??-σ??21ρρf n e D D σ=?-?)(12ρ ρ续 的法线分量在界面上连D D D n n ρ 21=cd E ab E l d E L ?+?=??21ρ ρρρcd t E ab t E ??21?-?=ρρl E E t t )(21-=0=??L l d E ρ ρE E E t t ρ 21=t r t t r t E D E D 22021101εεεε==变 的方向在界面上发生突D D D D D D D tg tg r r t t n t n t ρ 2 1 21221121εε θθ===n n D D 21=t t E E 21=图3-13 ? ρ 图3-14 ① D 线在极化电荷处连续通过 ② §3.6 电场的能量和能量密度 一、教学内容 (1) 静电场的能量 （2）能量密度 （3）静电场的应用举例 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1.静电场的能量 电场对于置于场中的电荷有力的作用，电荷在静电力的作用下移动要作功，说明电场具有作功的本领，具有电场能。相反，要使物体不断带电而形成电场，外力也必须克服电荷间的相互作用而作功。电场的能量在数值上就等于外力克服电场力所作的功，即 A W = 我们以电容器为例来求这个能量的大小。电容器的带电过程是不断地从原中性的某一极板 B 将正电荷不断移向另一极板A 的过程，若电容器的电容是C ，两极板由中性变为分 真空 介质 ρ线 E ρρ图3-17 别带＋q 和－q 的电荷，则这时面板间的电势差为ΔU＝q ／C ，这时再将d q 电荷由B 板移到A 板，则外力作的功为 22 1 21CU qU W == 对于平行板电容器 Ed U DS S q ===,σ DEV DSEd W 2 1 21== 2．能量密度 电场的能量 W 反映了电场空间V 体积内的总能量，为了从能量角度比较电场的强弱，可以引入能量密度的概念。所谓能量密度 ,就是单位体积内的电场能量，即 E D DE V W ρ ρ?===2 121ω 此式虽然是从电容器且是匀强电场中推出的，但可以证明它是一个普遍适用的式子，不仅对所有电容器适用，而且对所有的电场都适用。电场的能量密度正比于场强的平方，场强越大，电场的能量密度也越大。对于非匀强电场，其能量 dV E D W V )(2 1??=ρ 推广真空中场能量密度公式：202 1 E εω=。 仍以平行板电容器为例：其中充满均匀介质r ε，s Q σ=，σ=D ，所以 r E εεσ 0= ，d s C C r εε==0， V E D V d s s s d C Q W )2 1 (21) (2)(2222 2?=??==?==εσσεσσε 有 DE V W 2 1 == ω 将能量密度写成矢量点积形式为 E D ???=2 1ω 将该式推广至一般：当e w 分布不均匀时，介质中总场能为 ???==v v e dV E D dV w W ? ?21 3．示例计算 例1：导体球带电q 、半径为R ，球外为真空，求W 。 解： 2 04r q E πε= 外 R q dr d d r r q dV E W R 02 2220 20208sin )4(212 1 πεφθθπεεε===??∞ 例2：均匀带电球体，半径为R 、总电量为q ，球外0ε，求W 。 解：由高斯定理求得 ??? ? ?? ?= =203044r q E R qr E πεπε外内 因E 仅为r 的函数，故用球坐标系方便，且体积元宜取dr r dV 24π=，所以 dr r r q dr r R qr dV E W R R 2220002 2300204)4(2144(2121ππεεππεεε???∞+== ） R q 02 203πε= 。 延拓—— 若球外充满均匀介质ε呢？ 则外部的场减弱至外E ε1，用221 21E E D e εω=?=??做，而内部则不变。 四、作业 P118 3.6.1 3.6.3 3.7.1 3.1 填空题 3.1.1 电介质的极化分为（ ）和（ ）。 3.1.2 分子的正负电荷中心重合的电介质叫做（ ）电介质；在外电场作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移形成（ ）。 3.1.3 如果电介质中各点的（ ）相同，这种介质为均匀电介质；满足（ ）关系的电介质称为各向同性电介质。 3.1.4 平行板电容器两极板间相距为0.2 mm ，其间充满了相对介电常数r ε=5.0的玻璃片，当 两极间电压为400 V 时，玻璃面上的束缚电荷面密度为（ ）。 3.1.5 一平行板电容器充电后断开电源，这时储存的能量为0w ，然后在两极板间充满相对介电常数为r ε的电介质，则电容器内储存的能量变为（ ）。 3.1.6 一平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后使两极板间充满相对介电常数为r ε的 各向同性均匀电介质，这时两极板上的电量是原来的（ ）倍；电场强度是原来的（ ）倍；电场能量是原来的（ ）倍。 3.1.7 两个电容器1和2，串联以后接上电动势恒定的电源充电。在电源保持联接的情况下，若把电介质充入电容器2中，则电容器1上的电势差（ ），电容器1极板上的电量（ ）（填增大、减小、不变）。 3.1.8 一平行板电容器两板充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常数为r ε，若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D =（ ），电场强度的大小E =（ ）。 3.2 选择题 3.2.1 两个相距很近而且等值异号的点电荷组成一个（ ）。 A ：重心模型； B ：电偶极子； C ：等效偶极子； D ：束缚电荷。 3.2.2 可以认为电中性分子中所有正电荷和所有负电荷分别集中于两个几何点上，这称为分 子的（ ） A ：电介质； B ：电偶极子； C ：重心模型； D ：束缚电荷。 3.2.3 电偶极子的电偶极矩定义为（ ） A ：E p M ?=; B ：l q p =; C ：l q p ?=; D ：l q p ?= 3.2.4 在电场E 的作用下，无极分子中正负电荷的重心向相反方向作微小位移， 使得分子偶 极矩的方向与场强E 一致，这种变化叫做（ ） A ：磁化； B ：取向极化； C ：位移极化； D ：电磁感应。 3.2.5 在真空平行板电容器的中间平行插一片介质，当给电容器充电后，电容器内的场强为（ ） A ：介质内的电场强度为零； B ：介质内与介质外的电场强度相等； C ：介质内的场强比介质外的场强小； D ：介质内的场强比介质外的场强大。 3.2.6 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为r ε的均匀电介质充满电容器。则下列说法中不正确的是（ ） A ：介质中的场强为真空中场强的r ε1 倍； 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C 第九章 导体和电介质中的静电场 §9-1静电场中的导体 一.导体的静电平衡条件 1.静电感应现象 a.静电感应：外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象 b.静电平衡状态：导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态 2.导体的静电平衡条件 (1).静电平衡条件： a.导体内部任何一点的场强为零 b.导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面 (2).等价条件： 静电平衡时，导体为等势体. 证:设a 和b 为静电平衡导体上任意两点 单位正电荷由a 移到b ，电场力的功为 b a b a U U l d E -=?? U ?= (1).a 、b 在导体内部： 0=E 0=?∴U (2).a 、b 在导体表面： l d E ⊥0=?∴l d E 即0=?U ----静电平衡的导体是等势体 二.静电平衡导体的电荷分布 1.导体处于静电平衡时，导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面上 证：在导体内任一点P 处取一任意小的高斯面S 静电平衡导体内0≡E ?=?∴S S d E 0 →0=∑内 S i q ----体内无净电荷 即电荷只能分布在导体表面上 2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷Q 空腔内没有电荷时:导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面 证：在导体内作一包围空腔的高斯面 S 导体内0≡E ?=?∴S S d E 0 导体的静电感应过程 静电平衡状态 + + + + 即 0=∑内 S i q ----S 内无净电荷存在 问题：会不会出现空腔内表面分布有等量 异号电荷的情况呢？ 空腔内有电荷q 时：空腔内表面感应出等值异号电量-q ，导体外表面的电量为导体原带电量Q 与感应电量q 的代数和 由高斯定理和电荷守恒定律可证 3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与 该处表面的电荷面密度成正比 证:过紧靠导体表面的P 点作垂直于导体 表面的小圆柱面，下底△S ’在导体内部 ??S S d E ???=S S d E S E ?=0 εσS ??= εσ= ∴E 4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大 以一特例说明: 设有两个相距很远的导体球，半径分别 为R 和r (R >r )，用一导线将两球相连 R Q U R 041πε= R R R 02 44πεσπ= εσR R = r q U r 041 πε=r r r 0244πεσπ= 0εσr r = r R R r =∴ σσ 三.导体静电平衡特性的应用 1.尖端放电 年美富兰克首先发明避雷针 2.静电屏蔽 静电屏蔽：隔绝电的相互作用,使内外互不影响的现象. a.对外电场的屏蔽 ++ ++ + 第6章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r /2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪一 种情况? [ ] (A)对球壳内外电场无影响 (B)球壳内外电场均改变 (C)球壳内电场改变, 球壳外电场不变 (D)球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ](A)表面上电荷密度较大处电势较高(B)表面上曲率较大处电势较高 (C)表面上每点的电势均相等(D)导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ](A)导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C)导体内的电势与导体表面的电势相等 (D)导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ](A)导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B)表面曲率较大处电势较高 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高 (D)表面上电荷密度较大处电势较高 5. 一点电荷q 放在一无限大导体平面附近, 相距d , 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) 2q (B)2 q -(C)q (D)q - 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q , 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q 偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A)内、外表面仍均匀分布(B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C)内、外表面都不均匀分布 (D)内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m , 小球半径为n , 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σm ／σn 为 [ ] (A)n m (B)m n (C)22n m (D)22m n 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q , 乙板带电Q ．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A)0(B)－q (C)2Q q +-(D)2 Q q + T6-1-1图 T6-1-5图 T6-1-8图 第5章静电场中的电介质 ◆本章学习目标 理解：电介质的概念和分类；电介质对电场的影响；电介质的极化和极化电荷；D的高斯定理；电容器和电容的概念，电容器的能量。 ◆本章教学内容 1．电介质对电场的影响 2．电介质的极化 3．D的高斯定律 4．电容器和它的电容 5．电容器的能量 ◆本章重点 用D的高斯定理计算电介质中静电场的分布和电介质的极化电荷密度； 电容和电容器能量的计算。 ◆本章难点 电介质的极化机制、电位移矢量。 5. 1 电介质对电场的影响 如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场使介质中的电场减小。 介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即 其中为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。对于“真空”， ，对于空气，近似有，对其它介质，。 加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。以点电荷为例，真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为 充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为，它在p 点激发的电场应为 介质中的场强应是与迭加的结果 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 静电场中的电介质 （一）要求 1、了解电介质极化的微观机制，掌握极化强度矢量的物理意义 2、理解极化电荷的含义，掌握极化电荷、极化电荷面密度与极化强度矢量P 之间的关系 3、掌握有介质时场的讨论方法，会用介质中的高斯定理来计算静电场；明确E 、P 、D 的联系和区别 4、了解静电场的能量及能量密度 5、演示实验：介质对电容器电容的影响 （二）要点 1、电介质的极化 （1）电介质的电结构 （2）电介质的极化 2、极化强度矢量 （1）极化强度矢量 （2）极化电荷 （3）极化电荷体密度与面密度 3、有介质时的静电场方程 （1）电位移矢量 (2)介质中的高斯定理 (3)介质中的电场方程 *4、静电场的边值关系 5、静电场的能量和能量密度 (三)难点 求解介质中静电场的具体问题，如极化电荷的分布，介质中电场的分布等 § 3-1电介质的极化 一、介质中的电场强度 实验表明，电容器中填充介质后电容增大，增大程度由填充介质的相对介电常数￡决定。由于引入外电场后，电介质表面出现电荷，产生附加电场比方向与外电场方向相反，削 弱了电介质内部的外电场，这样 f f f 4 E=E^ + E f 但 E t丰E‘,辰工On 二、电介质的极化 在外电场作用下电介质表面出现电荷的现象叫做电介质的极化，在表面出现的这种电荷叫极化电荷（束缚电荷）。 由于极化电荷比自由电荷少得多，极化电场比感应电场也小得多，因此介质内部合场强不为零但要注意极化电荷与自由电荷、极化电场与感应电场的区别。 §3-2极化强度矢量 一、极化的微观机制1无极分子的位移极化 在外电场作用下，无极分子正负电荷“中心”发生相对位移而出现极化电荷的现象，称为位移极化。 2、有极分子的取向极化 在外电场作用下，有极分子的电偶极矩受到电场的力矩而转向外电 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 练习八 静电场中的电介质 一、选择题 1. 极化强度P v 是量度介质极化程度的物理量，有一关系式为()E P v v 1r 0?=εε，电位移矢量公 式为P E D v v v +=0ε，则 (A ) 二公式适用于任何介质。 (B ) 二公式只适用于各向同性电介质。 (C ) 二公式只适用于各向同性且均匀的电介质。 (D ) 前者适用于各向同性电介质，后者适用于任何电介质。 2. 电极化强度P v (A ) 只与外电场有关。 (B ) 只与极化电荷产生的电场有关。 (C ) 与外场和极化电荷产生的电场都有关。 (D ) 只与介质本身的性质有关系，与电场无关。 3. 真空中有一半径为R ，带电量为Q 的导体球，测得距中心O 为r 处的A 点场强为() 30π4r r Q E A εv v =，现以A 为中心，再放上一个半径为ρ，相对电容率为ε r 的介质球，如图所示，此时下列各公式中正确的是 (A ) A 点的电场强度r εA A E E v v =′。 (B ) ∫∫=?S Q S D v v d 。 (C ) ∫∫?S S E v v d =Q /ε0。 (D ) 导体球面上的电荷面密度σ = Q /(4πR 2)。 4. 在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所 在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面： 电介质 (A ) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。 (B ) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。 (C ) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。 (D ) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。 5. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ (A ) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D r 为零。 (B ) 高斯面上处处D r 为零，则面内必不存在自由电荷。 (C ) 高斯面的D r 通量仅与面内自由电荷有关。 (D ) 以上说法都不正确。 6. 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？ (A ) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断。 (B ) 任何两条电位移线互相平行。 (C ) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交。 (D ) 电位移线只出现在有电介质的空间。 7. 一导体球外充满相对电容率为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为： (A ) ε0E 。 (B ) ε0εr E 。 (C ) εr E 。 (D ) (ε0εr ?ε0)E 。 思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球 A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有 ∑=0q 而导体的电势V ≠0。 图13-37 均匀带电球体的电场能 13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答：必须注意以下两点： （1）这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2）静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答：不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答：所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答：当施感电荷Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q有关，导体靠近Q的一端，将出现与 第 三 章 静电场中的电介质（6学时） 一、目的要求 1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。 2．会求解极化强度和介质中的电场。 3．掌握有介质时的场方程。 4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。 二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（1学时） 4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路 本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。 四、重点难点 重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。 五、讲授要点 §3.1 电介质与偶极子 一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子 3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1.电介质概述 电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。 特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。 当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷 产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ，且表现出许多特性，如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。它不能将介质内 部的原场处处抵消，而只能削弱。介质内的电场00≠'+=E E E 。 2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构 电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。分子中电荷在远处一点激发的场近似等于全部正负电荷分别集中于各自的“重心”时激发的场，正负电荷“重心”重合在一起的称无极分子，如 H ,N ,CO 等。正负电荷“重心”不重合在一起的称有极分子，像SO ,H O,NH 等。这样一个分子等效为一个偶极子。 (2)偶极子 两个相距很近，带等量异号电量的电荷系统叫做偶极子 ①偶极子在外场中受到的力矩 均匀外场中，0=∑F 但受到一个力矩：θθθsin sin *2*sin *2*qLE L F L F T =+= 定义：L q P = 称为偶极子的偶极矩，上式可写为： E P T ?= 满足右手螺旋关系 Q 、L 可以不同。但只要其乘积qL 相同，力矩便相同。此力矩总是企图使偶极距转到 外电场的方向上去； 非均匀外场中，0≠∑F ∑≠0T 如摩擦事的笔头吸引纸屑，其实质就是纸屑在笔头电荷的非均匀电场中被极化，等效为偶极子，偶极子受到非均匀电场的作用力（指向场强增大的方向）而向笔头运动。 ②偶极子的场 中垂面上一点的场强：场点到的距离相等，产生的场强大小相等为： 但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量 相等，故有： 延长线上一点的场强 向右，向左，故总场强大小为 偶极子在空间任一点的场强 4 412 20l r q E E + = =-+πε2322 )4(41 2l r ql COS E E πεθ+==+⊥20)2(41l r q E -= +πεE =-3 02220220//42]) 4 (241 )2(1 )2(1 [4r P l r qlr l r l r q E E E πεπεπε≈-=+--=-=-+ 图3-3 图3-4 +q -q 图3-1 图 3-2 第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质 ～53 ～ 第十章 静电场中的导体和电介质 一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，讲授顺序可概括为以下五个方面： （1）导体的静电平衡； （2）电介质的极化规律； （3）电位移矢量和有介质时的高斯定理； （4）电容和电容器； （5）电容器的储能和电场的能量。 2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生确切理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡导体的基本性质； （2）使学生了解电介质极化的机构，了解极化规律；理解电位移矢量的定义和有介质时的高斯定理； （3）使学生正确理解电容概念，掌握计算电容器的方法。 （4）使学生掌握电容器储能公式，并通过电容器的储能了解电场的能量。 二、教学要求 1、掌握导体的静电平衡条件，明确导体与电场相互作用的大体图象； 2、了解电介质的极化规律，清楚对电极化强度矢量是如何定义的，明确极化强度由总电场决定，并且'=σθP cos ； 3、理解电位移矢量的定义，注意定义式 D E P =+ε0是普遍适用的，明确 D 是一个 辅助矢量； 4、掌握有介质时的高斯定理； 5、掌握电容和电容器的概念，掌握电容器电容的计算方法； 6、了解电容器的储能和电场能量 三、内容提要 1、导体的静电平衡条件 （1）导体的静电平衡条件是导体内部场强处处为零。所谓静电平衡，指的是带电体系中的电荷静止不动，因而电场分布不随时间而变化。导体的特点是体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动从而改变电荷的分布。电荷分布的改变又会影响到场的分布。这样互相影响，互相制约，最后达到静电平衡。 （2）从导体的静电平衡条件出发，可以得出三个推论 导体是个等势体，表面是个等势面； 导体表面外侧的场强方向处处垂直于表面，并且有导体内部无净电荷，即电荷体密度，电荷只分布在导体表面。 ；E =??? ??? =σερ00 2、电介质的极化规律 第九章 静电场中的导体 9.1 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为 (A) 3 2r U R ． (B) R U 0． (C) 2 0r RU ． (D) r U 0 ． ［ C ］ 9.2如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ ，则板的两侧离 板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： (A) 0． (B) 2εσ ． (C) 0εσh ． (D) 0 2εσh ． ［ A ］ 9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定 一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 (A) 0 ． (B) d q 04επ． (C) R q 04επ-． (D) )1 1(4 R d q -πε． ［ D ］ 9.4 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此 点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变． (D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ B ］ 9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是： (A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀． (D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ B ］ 9.6当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高． (D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［ D ］ 9.7如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势． 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a dq U q 04επ= ?-a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ= a q 04επ- b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εb Q 04επ+ 9.8有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷．如图所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布． (2) 面上感生电荷的总电荷． 第9章静电场中的导体和电介质 什么是导体什么是电介质 静电场中的导体静电平衡 9.1.1 静电感应静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子- 1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。） 2、导体静电平衡条件 不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E r 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。 感应电荷在金属板的内部建立起一个附加 电场，其电场强度'E r 和外在的电场强度0E r 的方向相反。这样，金属板内部的电场强度E r 就是0 E r 和'E r 的叠加。开始时0'E E <，金属板内部的 电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动， 从而使'E r 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0E E E =+=r r r 时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡 状态。 当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 习题7 27-2 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与 C相距2.0 mm．B，C都接地，如题7-2图所示．如果使A板带正电3.0×-710C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题7-2图示，令A板左侧面电荷面密度为σ1，右侧面电荷面密度为σ 2 题7-2图 (1)∵ UAC=UAB，即 ∴ EACdAC=EABdAB ∴ σ1EACdAB===2 σ2EABdAC qA S且σ1+σ2= 得σ2=qA2q, σ1=A 3S3S 而 qC=-σ1S=-2qA=-2?10-7C 3 qB=-σ2S=-1?10-7C (2) UA=EACdAC= σ1dAC=2.3?103V ε0 7-3 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电+q；球壳内表面带电则为-q,外表面带电为+q，且均匀分布，其电势 题7-3图 U=?∞ R2 ∞E?dr=?qdrq= R24πεr24πε0R0 (2)外壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q．所以球壳电势由内球+q与内表面-q产生： U=q 4πε0R2-q4πε0R2=0 (3)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为-q'，外壳外表面带电量为-q+q' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 UA=q' 4πε0R1-q'4πε0R2+-q+q'=0 4πε0R2 得 q'= 外球壳上电势 R1q R2 -q+q'(R1-R2)q= 24πε0R24πε0R2UB=q'4πε0R2-q'4πε0R2+ 7-4 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d=3R 处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q'，则球接地时电势U O=0 7-4图 静电场中的导体和电解质习题、答案及解法 一．选择题 1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ） a q 02πε； （B ）0 ； （C ）R q 04πε-； （D ） ??? ??-R a q 1140πε。 参考答案：)1 1(4)11( 4400 2 0R a q a R q dl R q Edl V R a R a -=--===?? πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。 [ B ] 解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 12 21d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为 [ B ] （A ） 2 04r q πε，0 ； （B ）0， 2 04r q πε ； （C ）0，r q 04πε ； （D ）0，0 。 1 r 2 r O P Q +q +a O R 1 d 2 σ2 d 1 σ 参考答案：??? ? ??= ??? ? ? ?-∞-==?+?=?=????∞ ∞∞2 020 201 411441 22 2 r Q r Q dr r Q l d E l d E l d E U r r r r p p πεπεπε 4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零; （D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。 5.两个同心薄金属球壳，半径分别为） （和2121R R R R <，若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为2 21 14R 4R Q V Q V πεπε= = 和，（选无穷远处为电势零点）。现用 导线将两球壳相连接，则它们的电势为 [ D ] （A ）1V （B ）()2121V V + （C ）21V V + （D ）2V 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势 面。 6.当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是[ C ] （A ） 极板上自由电荷减少 （B ） 两极板间电势差变大 （C ） 两极板间电场强度变小 （D ） 两极板间电场强度不变 第1页共6页 2 静电场中的导体和电介质习题详解习题册-下-2 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1和 r2的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r的P点处的场强和电势为［］ （A）E= Q4πε0r 2 , U=Q4πε0r Q4πε0r ； （B）E=0, U=（D）E=0, U= Q4πε0r1 Q4πε0r2 ；（C）E=0, U=； 。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内E=0；外球壳内、外表面分别带电为-Q和+Q，根据电势叠加原理得 U= Q4πε0r + -Q4πε0r + Q4πε0r2 = Q4πε0r2 2．半径为R的金属球与地连接，在与球心O相距d=2R处有一电量为q的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q'为［］ （A）0；答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即U0=球心的距离相等，均为R），由此解得q'=- 3．如图，在一带电量为Q的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为εr，壳外是真空，则在壳外P点处(OP=r)的场强和电位移的大小分别为［］（A）E=（C）E=答案：C 解：由高斯定理得电位移 D= 4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半 Q4πr 2 （B） q2 ；（C）- q2 ；（D）-q。 q4πε0dRd +q2 q'4πε0R =0（球面上所有感应电荷到 q=- 。 Q4πε0εrr 2 ,D= Q4πε0r 2 ；（B）E= Q4πεrr 2 ,D= Q4πr 2 ； Q4πε0r 2 ,D= Q4πr 2 ；（D）E= Q4πε0r 2 ,D= Q4πε0r 2 。 ，而 E= D ε0 = Q4πε0r 2 。 第2页共6页 2 静电场中的导体和电介质习题详解习题册-下-2 为空气，如图所示。当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个 质量为m、带电量为+q的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。此后，若把电介质抽去，则该质点［］ 静电场中的导体和电介质 引文： 产生静电场的源电荷通常来自金属导体上的自由电荷和绝缘介质上的极化电荷，当然还有一种空间电荷，它不依赖于任何载体。 静电场的基本规律是普适的，与源电荷的来源和产生机制无关。 一.导体 1.导体中自由电子气概念：经典电子论；原子实按一定秩序构成晶格，价电子 做共有化运动，充满自由电子气 2.导体达到静电平衡状态后，在导体外部，由原外场和附加场叠加而成的总场 一般呈现复杂的分布，这相当程度上源于附加场的复杂性。（附加场不仅在导体内部起到抵消原外场的作用，在导体外部也必定产生场强） 3.导体静电平衡条件 a.静电平衡导体内部体电荷密度处处为零 b.带电的或电中性的导体，其电荷分布于表面，这种自由电荷面分布来保证导体内部合场强为零 注：对于导体静电平衡条件的论证通常总是反证法思辩之。即若其中一条特性不被满足，则必有或违背静电场的高斯定理，或违背的静电场的环路定理，或违背已知的导体静电平衡条件 4. 解决导体静电问题的理论基础：静电平衡条件静电场的高斯定理和环路定理 5. 导体静电平衡的唯一性定理：当导体系中各导体的电量（或电势）被给定，则满足导体静电平衡条件的电荷分布（或电量分布）是唯一的，从而空间电场分布也是唯一的 当然，同任何数学上或物理上的唯一性定理一样，导体静电平衡的唯一性定理仅指明其解是唯一的，并不回答这唯一的解是什么，求解结果有赖于导体静电平衡条件及其他相关的物理定理求得。当然，也可以凭借经验和对称性分析而给出一试探解，若其满足导体内部合场强为零，则这试探解就是唯一正确的解，要注意这种思维方式的运用。 6. 单一导体表面不可能出现异号电荷分布；单一导体表面曲率半径越小处，表面电荷密度越大，其外侧场强越大 7. 一类空腔导体和静电屏蔽的第一种含义：空腔内没有电荷或其他带电体 一类空腔导体静电平衡特性： a.内表面电荷密度处处为零，电荷全部分布在外表面 b.在空腔区域和导体内部（实心区域）合场强为零 c.先前确定的有关导体静电平衡的所有条件 注：一类空腔导体在空腔区域和导体内部（实心区域）合场强为零是依赖其外表面电荷分布来实现的，这与无空腔的实心导体无异。换言之，若在实心导体中挖除一个空腔，则无论其空腔大小，形状和位置如何，都不会改变导体原面电荷分布。 静电屏蔽的第一种含义：一类空腔导体通过自身外表面自由电荷的重新分布，而屏蔽了空间其他带电体对空腔内部场强的影响，使合场强为零得以保证，即静电场中的电介质
静电场中的导体和电介质习题详解
电介质中电场
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第五章 静电场中的电介质
第八章 静电场中的导体和电介质
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10静电场中的导体和电介质习题解答
大学物理练习题 静电场中的电介质
第13章静电场中的导体和电介质
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第十章 静电场中的电介质
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