运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题
a）
12
12
12
12
min z=23
466 ..424
,0
x x
x x
s t x x
x x
+
+≥
?
?
+≥
?
?≥
?
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为
最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为
min 3
z=2303
2
?+?=
P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题
a）
12
12
12
12
max z=10x5x
349 ..528
,0
x x
s t x x
x x
+
+≤
?
?
+≤
?
?≥
?
解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，
即
1
12
122
1
349
3
528
2
x
x x
x x x
=
?
+=
??
?
??
+==
??
?
，即最优解为*
3
1,
2
T
x
??
= ?
??
这时的最优值为
max
335
z=1015
22
?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为
12
1231241234
max z=10x 5x 349
..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=??
++=??≥? j c →
10 5
B C
B X b 1x
2x
3x
4x
0 3x 9 3 4 1 0 0
4x
8
[5] 2 0 1 j j C Z -
10
5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10
1x
8/5
1 2/5 0 1/5 j j C Z -
1 0 -
2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10
1x
1
1 0 -1/7
2/7
j j C Z -
-5/14 -25/14
所以有*max 33351,,1015222T
x z ??
==?+?= ???
P78 2.4 已知线性规划问题：
1234
12
4122341231234max
24382669,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤??+≤??
++≤?
?++≤?≥??
求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：
1234
12
4123434131234min
86692234
11,,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+++++≥??+++≥??
+≥?
?+≥?≥??
（2）由原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，根据互补松弛性得：
12
412343422341y y y y y y y y y ++=??
+++=??+=?
把)0,4,2,2(*=X 代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即4224890y ++=
从而有12
123322341y y y y y y +=??
++=??=?
得123443
,,1,055
y y y y ====
所以对偶问题的最优解为*43
(,,1,0)55
T y =，最优值为min 16w =
P79 2.7 考虑如下线性规划问题：
123123123123123min 6040803224342223,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥??++≥??
++≥??≥?
（1）写出其对偶问题；（2）用对偶单纯形法求解原问题； 解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：
123123123123123max 2433426022403280,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤??++≤??
++≤??≥?
（2）在原问题加入三个松弛变量456,,x x x 把该线性规划问题化为标准型：
12312341235123
6max 60408032243422230,1,,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x j =------+=-??---+=-??
---+=-??≥=?
j
c →
-60
-40
-80
B C
B X b 1x
2x
3x
4x
5x
6x
0 4x -2 -3 -2 -1 1 0 0 0 5x -4 [-4] -1 -3 0 1 0 0
6x
-3
-2 -2 -2 0 0 1 j j C Z -
-60
-40 -80 0 0 0 0 4x 1 0 -5/4 5/4 1 -1/12 0 80
1x
1
1
1/4
3/4
-1/4
6x
-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1 j j C Z -
-25 -35 0 -15 0 0 4x 11/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/6 80 1x 5/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/6 40
2x
2/3
0 1 1/3 0 1/3 -2/3 j j C Z -
-80/3
-20/3
-50/3
*max 5252230
(,,0),604080063633
T x z ==?+?+?=
P81 2.12 某厂生产A 、B 、C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。要求：（a ）确定获利最大的产品生产计划；（b ）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（c ）如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？ （d ） 如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4 元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。
A B C 可用量（单位）
劳动力 材 料 6 3 5 3 4 5 45 30 产品利润（元/件）
3 1 4
解：由已知可得，设j x 表示第j 种产品，从而模型为：
123123123123max 3463545
..34530,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤??
++≤??≥?
a) 用单纯形法求解上述模型为：
j c →
3 1
4 0 0
产品
资源
消 耗
定 额
B C B X b 1x 2x 3x 4x 5x
0 4x 45 6 3 5 1 0 0
5x
30
3 4 [5] 0 1 j j C Z -
3
1
4 0 0 0 4x 1
5 [3] -1 0 1 -1 4
3x
6
3/5 4/5 1 0 1/5 j j C Z -
3/5 -11/5
0 0 -4/5 3 1x 5 1 -1/3 0 1/3
-1/3
4
3x
3
0 1 1 -1/5 2/5 j j C Z -
-2
-1/5 -3/5
得到最优解为*(5,0,3)T x =；最优值为max 354327z =?+?=
b ）设产品A 的利润为3λ+，则上述模型中目标函数1x 的系数用3λ+替代并求解得：
j c →
3λ+
1
4 0 0
B C
B X b 1x 2x
3x 4x
5x
3 1x 5 1 -1/3 0 1/3 -1/3 4
3x
3
1 1 -1/5 2/5 j j C Z -
λ
-2
-1/5 -3/5 ()j j C Z '-
-2+λ/3 0
-1/5-λ/3
-3/5+λ/3
要最优计划不变，要求有如下的不等式方程组成立
2031053
3053λλ
λ?-+≤??
?--≤?
??-+≤??
解得：3955λ-≤≤ 从而产品A 的利润变化范围为：393,355??-+????,即242,455??
????
C ）设产品
D 用6x 表示，从已知可得
16661/5B c c B P σ-=-=
'1
661
12833
412255
5P B P -??
-??
??????===?
?????
-????-??
????
把6x 加入上述模型中求解得：
j c →
3
1
4
3
B C
B X b 1x
2x
3x
4x
5x
6x
3 1x 5 1 -1/3 0 1/3 -1/3 [2] 4
3x
3
0 1 1 -1/5 2/5 -4/5 j j C Z -
-2 0 -1/5 -3/5 1/5 3 6x 5/2 1/2 -1/6
1/6
-1/6
1 4
3x
5
2/5
13/15 1 -1/15 4/15
j j C Z -
-1/10 -59/30 0 -7/30 -17/30 0
从而得最优解*(0,0,5,0,0,5/2)T x =；最优值为max 5
45327.5272
z =?+?=> 所以产品D 值得生产。 d ）
P101 3.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示，用表上作业法求各题的最优解及最小运费。 表3-35
B 1 B 2 B 3 B 4 产量 A 1 A 2 A 3 10 12 2 2 7 14 20 9 16 11 20 18 15 25 5 销量
5
15
15
10
解：由已知和最小元素法可得初始方案为
B1 B2 B3 B4 产量 A1
A2 A3 5 15 0 15 0 10 15 25 5 销量
5
15
15
10
检验：
由于有两个检验数小于零，所以需调整，调整一：
B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 5 15 0 15 10 0 15 25 5 销量
5
15
15
10
检验：
产地 销地 产地 销地
产地
销地
由于还有检验数小于零，所以需调整，调整二：
B1 B2 B3 B4 产量 A1
A2 A3 5 5 10 15 10 0 15 25 5 销量
5
15
15
10
检验：
从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案 最小运费为：min 25257109151110180335z =?+?+?+?+?+?=
表3-36
B 1 B 2 B 3 B 4 产量 A 1 A 2 A 3 8 6 5 4 9 3 1 4 4 2 7 3 7 25 26 销量
10
10
20
15
解：因为3
4
1
1
5855i j i j a b ===>=∑∑，即产大于销，所以需添加一个假想的销地，销
量为3，构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0。
产地
销地
产地 销地
A1
A2 A3 8 6 5
4 9 3
1 4 4
2 7 3
0 0 0 7 25 26 销量
10 10 20 15
3
由上表和最小元素法可得初始方案为 B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1
A2 A3 9 1 10 7 13 15 3 7 25 26 销量
10
10
20
15
3
检验：
从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案
最小运费为：min 69513101741331503193z =?+?+?+?+?+?+?=
表3-37
B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1
A2 A3 8 5 6 6 M 3 3 8 9 7 4 6 5 7 8 20 30 30 销量
25
25
20
10
20
解：因为3
5
1
1
80100i j i j a b ===<=∑∑，即销大于产，所以需添加一个假想的产地，产
量为20，构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0。
产地 产地 销地
产地 销地
A1
A2 A3 A4 8 5 6 0 6 M 3 0 3 8 9 0 7 4 6 0 5 7 8 0 20 30 30 20 销量
25
25
20
10
20
由上表和最小元素法可得初始方案为 B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1
A2 A3 A4 5 20 25 20 0 10 15 5 20 30 30 20 销量
25
25
20
10
20
检验：
由于有两个检验数小于零，所以需调整，调整一：
B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1 A2 A3 A4
20 5 25 20 0 10 5 15 20 30 30 20 销量 25 25
20
10
20
检验：
产地 产地 销地
产地
销地
由于还有检验数小于零，所以需调整，调整二： B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1 A2 A3 A4
20 5 25 20 0 10 0 20 20 30 30 20 销量 25
25
20
10
20
检验：
从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案
最小运费为：min 320520410653258002000305z =?+?+?+?+?+?+?+?=
P127 4.8 用割平面法求解整数规划问题。
a ） 12
1212
12
max 7936735,0,z x x x x x x x x =+-+≤??+≤??≥?且为整数
解：该问题的松弛问题为：
产地
销地
12121212
max 7936735,0z x x x x x x x x =+-+≤??
+≤??≥?
则单纯形法求解该松弛问题得最后一单纯形表为：
j c →
7 9 0 0 B C B X
b
1x 2x 3x 4x
9 2x 7/2 0 1 7/22 1/22
7
1x
9/2 1
0 -1/22 3/22 j j C Z -
-28/11 -15/11
割平面1为：234(31/2)(07/22)(01/22)x x x +=++++
3421713022222x x x ?
--=-≤34571122222x x x ?+-= 从而有
j c →
7 9 0 0 0 B C B X
b
1x 2x 3x 4x 5x
9 2x 7/2 0 1 7/22 1/22 0 7 1x 9/2 1 0 -1/22 3/22
5x
-1/2 0
0 -7/22 -1/22 1 j j C Z -
0 0 -28/11 -15/11 0 9 2x 3
1 0 0 1 7 1x 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0
3x
11/7 0
0 1 1/7 -22/7 j j C Z -
-1
-8
割平面2为：145(44/7)(01/7)(16/7)x x x +=+++-+
451541640777x x x x ?
--=--≤456164777
x x x ?+-= j c →
7 9 0 0 0 3 B C B X b 1x
2x
3x
4x
5x
6x
9 2x 3
0 1 0 0 1 0
7 1x 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0 0 3x 11/7 0 0 1 1/7
-22/7 0
6x
-4/7 0
0 0 -1/7 -6/7 1 j j C Z -
0 0 0 -1 -8 0 9 2x 3 0 1 0 0 1 0 7 1x 4 1 0 0 0 -1 1 0 3x 1 0 0 1 0 -4 1 0
4x
4
0 0 0 1 6 -7 j j C Z -
-2
-7
由上表可知该问题已经达到整数解了，所以该整数解就是原问题的最优解，即
()*4,3T
x =，最优值为max 749355z =?+?=
P144 5.3 用图解分析法求目标规划模型
c ）
解:由下图可知，满足目标函数的满意解为图中的A 点。
x 1 + x 2 + d 1- - d 1+= 40
x 1 + x 2 + d 2- - d 2+= 40+10=50 x 1 + d 3- - d 3+= 24 x 2 + d 4- - d 4+= 30
min Z = P 1 d 1-+ P 2 d 2++ P 3（2d 3- +1d 4-）
s.t.
x 1 、x 2 、d 1+、d 1-、d 2+、d 2- 、d 3+、d 3- 、d 4+、d 4- ≥ 0
用图解分析法求目标规划模型
??
????
?=≥≥=-++=-+-=-++-++=+-+-+
-+-+
++3,2,10;0,824242min 213321222111212
33211i d d x x d d x x d d x x d d x x d P d P d P z i i 、
的满意解。
解：由下图可知，满足1min d +的满意解为区域CDOA ； 满足3min d +的满意解为闭区域MCDOM ；
满足2min d +的满意解为图中的阴影部分，即为图中的凸多边形OABCDO 。
P170 6.4 求下图中的最小树
解：避圈法为：
得到最小树为：
P171 6.7 用标号法求下图中点1v到各点的最短路。
解：如下图所示：
P 173 6.14 用Ford-Fulkerson 的标号算法求下图中所示各容量网络中从
s
v 到
t
v 的
最大流，并标出其最小割集。图中各弧旁数字为容量ij c ，括弧中为流量ij f .
B)
解：对上有向图进行2F 标号得到
由于所有点都被标号了，即可以找到增广链，所以流量还可以调整，调整量为1，得
由图可知，标号中断，所以已经是最大流了，最大流量等于最小割的容量，最小割为与直线KK 相交的弧的集合，即为
{}3451223(,),(,),(,),(,),(,),(,)s s s t t v v v v v v v v v v v v
所以从s v 到t v 的最大流为：*
12532114st
f =+++++=
C)
解：对上有向图进行2F 标号得到
由于所有点都被标号了，即可以找到增广链，所以流量还可以调整，调整量为1，得
由图可知，标号中断，所以已经是最大流了，最大流量等于最小割的容量，最小割为与直线KK 相交的弧的集合，即为{}1325(,),(,),(,)s s v v v v v v ，所以从s v 到t v 的最大流为：
*53513st f =++=
第七章决策论 1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是 三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型 （1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3； （2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1； （3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下： S1折中收益值=0.6?50+0.4?(-5)=28 S2折中收益值=0.6?30+0.4?0=18 S3折中收益值=0.6?10+0.4?10=10 显然，应选取经营策略s1为决策方案。 （4）平均法：计算平均收益如下： S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x_2=(30+25)/3=55/3 S3:x_3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。 （5）最小遗憾法：分三步 第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示； 第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示； 第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。 （1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下： 故选取决策S2时目标收益最大。 （2）用决策树方法，画决策树如下： 3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3）， 估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示： P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3) 无油(θ1) 0.6 0.3 0.1 贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3 富油(θ3) 0.1 0.4 0.5 假定勘探费用为1万元, 试确定：
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
习题三 某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-10所示。 表3-10 工程费用收入 第一年第二年第三年 1、 2 3 4 55 1 8 4 7 2 5 9 6 7 5 2 8 6 9 30 · 40 20 15 30 资金拥有量30 25 30 【解】设 1 j j x j ? =? ? 投资项目 不投资项目 ，模型为 12345 12345 12345 12345 max3040201530 5457830 795625 8262930 01,1,,5 j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++ ++++≤ ? ?++++≤ ? ?++++≤ ? ?= ?＝或 【 最优解X＝(1,1,1,0,1)，Z=110万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。 址问题。以汉江、长江为界将武汉市划分为汉口、 汉阳和武昌三镇。某商业银行计划投资9000万元 在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图3-10 所示。每个点的投资额与一年的收益见表3－10。 计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个支 行，武昌投资3～4个支行。 如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型， 说明是什么模型，可以用什么方法求解。 表3-11 地址i. 12345678910[ 11 12 投资额(万元)90012001000750680800720； 1150 120012508501000 收益（万元）400500450350— 300 400320460500510380400 j j 图3-10
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为 最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
第一章 线性规划及单纯形法 1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： 12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100 (1,2,3,4,5,6)0 j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则 123456 161223344556min .607060502030 (1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则： 111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600() .6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333 122232112131 132333865300086515008650.15 8658650.15 8658650.1 8650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）
运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 ???? ? ??--=1000030204180036312A 4
最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵 ? ?? ? ??=21224321A 最优解T x ??? ??=0,511,0,5 2。 1.3 (a) (1) 图解法
最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min =?? ? ??=θ
02>σ，23 28,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321====x x x x 。最大值 2 35*=z (b) (1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27 x ，最大值217=z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 21=+x x 2621+x x
运筹学基础课后习题答案 [2002年版新教材] 第一章导论 P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。 定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法 定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。 举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义： 利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据 第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？ 答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 s.t. ????? ??≥≤+≤ +≤+0 300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z= 4x 1+3x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+ ,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通 信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
《运筹学》--- 数据、模型与决策练习题 2010年9月 一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30
运筹学课后习题答案__林齐宁版本__北邮出版社运筹学作业标准答案 (教师用) ?No.1 线性规划 1 1、某织带厂生产A、B两种纱线和C、D两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下: 工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h。 (1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大; (2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化,对模型 的解是否有影响, 解:(1)设A的产量为x1，B的产量为x2，C的产量为x3，D的产量为x4，则有线性规划模型如下: =126 x1 +112 x2 +700 x3 +266 x4 (2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关， 故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。 2、将下列线性规划化为极大化的标准形式 解:将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x4，在第二行添加人工变量x5，
将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式， 分别添加松弛变量x6, x7，并令，则 不限 有 12337 运筹学作业标准答案 (教师用) 3、用单纯形法解下面的线性规划
2 解:在约束行1,2,3分别添加x4, x5, x6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形法迭代步骤如下: 答:最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6 =847.1875;最优解 的目标函数值为858.125。 运筹学作业标准答案 (教师用) No.2 两阶段法和大M法 1、用两阶段法解下面问题: 3 解:将原问题变为第一阶段的标准型 第二阶段 答:最优解为x1 =14，x2 =33，目标函数值为254。
运筹学试题与答题
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）： 1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题．（是） 2．线性规划具有无界解，则可行域无界．（是） 3．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集．（是）4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次．（错）每迭代一次，目标函数的值都会增加，即增量大于0 5．用单纯形法求解线性规划问题时，如果表中所有的检验数0≤ σ，则表 j 中的基可行解为最优解．（是）0≤ σ，则非基变量都<=0 j 6．对偶问题的对偶就是原问题．（恩） 8．互为对偶问题，原问题有最优解，对偶问题也有最优解．（恩）且目标函数的值也一样 9．任意一个运输问题一定存在最优解．（是的）运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．（错） 11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法．（错）有区别的。通过判断b列的正负来进行迭代的。 12．原问题具有无界解，对偶问题无可行解．（恩）
13．可行解是基解．（错） 14．标准型中的变量要求非正．（恩）大于0 15．线性规划的基本最优解是最优解．（恩） 16．对产销平衡运输问题，各产地产量之和等于各销地销量之和．（恩）18．用单纯形法求解线性规划问题时，一定要将问题化为标准型．（恩）19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．（错）匈牙利（康尼格）法是求解及小型（优化方向为极小）指派问题的一种方法 20．运输问题必存在有限最优解．（错）当非基变量为0时有无穷多最优解（关于其退化问题） 二、填空题： 1．规划问题的数学模型由目标函数、约束条件、决策变量三个要素组成。 2．满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。 3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的决策变量个数相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其
第一章 线性规划 1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2 ????? ??≥≤≤≥+≤+-01058 2442 12121x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解
1.2（b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 ( ) 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为：
用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 118400.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000 X11 3.000000 0.000000
X21 0.000000 2800.000000 X31 8.000000 0.000000 X41 0.000000 1100.000000 X12 0.000000 1700.000000 X22 0.000000 1700.000000 X32 0.000000 0.000000 X13 0.000000 400.000000 X23 0.000000 1500.000000 X14 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2800.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 0.000000 -2800.000000 5) 0.000000 -1700.000000 NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米，