分块矩阵的几个重要应用
数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级鄢光兵
指导教师
摘要：
矩阵是高等代数中的一个重要概念，也是高等数学很多分支研究问题的工具。而把一个比较大的矩阵分成若干子块，构成分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。分块矩阵可以降低矩阵的阶数，使矩阵更加条理清晰，使得矩阵的相关运算简单化，并使矩阵证明方面的相关问题得以便捷的解决。本文重点就分块矩阵的定义、分块方法、基本运算，行列式和求逆矩阵的计算，以及关于矩阵的秩的方面的证明问题进行了分析。使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词：矩阵；分块矩阵；子矩阵；
Abstract:Matrix is an important concept in high algebra, but also an instrument for research of many filiation in high algebra. And the means of dividing a large-scale matrix up into some small one is a main skill to resolve the question of matrix. The idea of partitioned matrix comes of the advisement to the complexity of matrix's calculate and the unit of space.Especially,when the matrix is too large to save in the EMS memory, the computer which support the network management vector transport can take order with the partitioned matrix algorithm in high efficiency, with the partitioned matrix permit the computer only deal with the submatrix that store in the EMS memory every time.Theory about block matrix could be used to decline high order matrix and make it clearer and easier to calculate and prove some problems about matrix. This paper focuses on the problems of the concept of block matrix, and the numeration of square matrixand the proof of matrix. It shows the convenience of the block matrix in the problems of matrix and high algebra by making use of a number of examples. It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.
Keywords：matrix；block matrix ；submatrix;
1 引言
高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空
间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力、开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造性能力等起到重要作用。
矩阵的分块不仅是高等代数中一个非常重要的内容，而且也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。而我们在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，这样可以使问题的解决更简明。
分块矩阵作为处理矩阵的一种重要的方法，在学习矩阵的分块之后，我们不仅仅只会矩阵的分块，还要学会更深层的问题，要学会观察，联想，猜想。学会用 矩阵的分块去解决在高等代数中遇到的问题，比如说用矩阵的分块去求高阶行列式，求一个矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值等一些问题。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于学生理解和掌握，而且能开拓学生的思维，提高学生灵活应用知识解决问题的能力。
下面主要介绍了分块矩阵的概念，分块矩阵的初等变换，还有就是分块矩阵在高等代数中的几个应用。所介绍的几个应用将对我们今后学习高等代数有重要作用。
2 预备知识
2.1相关定义
定义2.1[]1
（分块矩阵的定义） 把一个n m ?矩阵A ，在行的方向分成s 块，
在列的方向分成t 块，称为A 的t s ?分块矩阵，记作[]t s l k A A ??=，其中
l k A ?()t l s k ,,2,1;,,2,1 ==称为A 的子块，它们是各种类型的小矩阵。
例：把一个5阶矩阵1
00
2
7010
3
80
0119000100
0002A ????-?
?
??=-??
??????
用水平和垂直的虚线分成四块，如
果记： 3100010001I =??
???
????? 273819??
??-??
??-??
=1A
0000000=???
??? 21002A ??
=????
就可以把A 看成由上面4个小矩阵所组成，写作：A =??
?
???213
0A A I
. 并称它是A 的一个22?分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A 的一个子块。 说明：（1）常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种： 1）按行分块
=A ?????????
???mn m m n n a a a a a a a a a (2)
1
22212
11211
=?
?
???
?
??????m A A A 21 其中[]in i i i a a a
A (21)
= m i ,...,2,1=
2）按列分块
B =[]S ns n n s s B B B
b b b b b b b b b (2)
1
2
1
22221
11211=??
???
????
??? 其中??????
????????=nj j
j j b b b B 21 s j ,,2,1 =
3）当n 阶矩阵C 中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
C=????
?
??????
?m C C C
2
1
其中i C 是i
r 阶方阵(m i ,,2,1 =
∑==m
i i
n r
1
)
（2）矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚； 第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。
定义2.2[]2
形如1
2
n A O A O
A ????
?
???????
的矩阵称为块对角矩阵。即不在主对角线上的子块皆为零阵，主对角线上子块均为方阵。记为()12,,,n diag A A A .
类似的，形如1112122
2...
...n n nn A A A A A A ???
??
??????
? ，11
21
221
2
n n nn B B B B B B ????
??????
??
的矩阵就为块上三角阵与块下三角阵.
2.2 分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能进行运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.
2.2.1分块矩阵的加法.
设B A ，都是n m ?矩阵，并且对B A ，用同样的方法进行分块：
1112121
2221
2
...
..................k k l l lk A A A A A A A A A A ??????=??
???? 11121
212221
2.....................k K l l lk B B B B B B B B B B ??????=????
?? 其中ij ij B A ,都是j i n m ?矩阵，即ij A 和ij B 是同型矩阵，那么
B A +=?
????
??
??
???+++++++++lk lk l l l l k k k k B A B A B A B A B A B A B A B A B A .....................
2
21
12222
2221
211112121111
2.2.2分块矩阵的数量乘法.
设A 是n m ?矩阵，把A 进行分块：
A =??
???????
???lk l l k k A A A A A A A A A (2)
1
22221
11211，a 为任意数，则aA =?
?
???
??
?????lk l l k k aA aA aA aA aA aA aA aA aA (2)
1
22221112
11
2.2.3分块矩阵的乘法
定理[]3
设A 为n m ?矩阵，B 为l n ?矩阵，若对A ，B 作如下分块：
s n n n ...21 t l l l (21)
A =r m m m
2
1?
???????????rs r r s s A A A A A A A A A (2)
1
2222111211 B =s n n n
21??
???
???????st s s t t B B B B B B B B B (2)
1
2222111211
(1)
1l 2l … t l
则=AB r m m
m 2
1?
????
?
??????rt r r t t G G G G G G G G G (2)
1
2222111211，其中G =∑=S k ki
ik B A 1
()t j r i ,...,2,1;,...,2,1== (2) 1l 2l … t l
证明 记 =G
r m m m 2
1?
?
???
???????rt r r t t G G G G G G G G G (2)
1
2222111211 下面证明将G 看作以数为元素的矩阵,有AB G =
首先,AB 为l m ?矩阵,基于(1)的分块方式及(2)式,G ij 为j i l m ?矩阵,且有 r m m m +++...21=m t l l l +++...21=l 故将G 看作以数为元素的矩阵,也是一个l m ?矩阵。
其次，G 的()j i ,元ij g 必位于分块矩阵G 的某一子块pq G 之中，不妨设ij g 是
pq G 的（j i '',）元素，即有：
i =121...-+++p m m m +i ' 1≤i 'p m ≤
j =121...-+++q l l l +j '
1≤j '≤q l ()3
由()2式 有：sq ps q p q P pq B A B A B A G +++= (2211)
可知pq G 的（j i '',）元素应是ps p p A A A ,....,21的第i '行分别与sq q q B B B ,...,21的第j '列的相应元素乘积的和。由()3式可知，pk A 的第i '行元素位于A 中第i 行，kq B 的第
j '列元素位于B 中第j 列()s k ,,2,1 =再注意到对B A ,所作的分块，可得：
∑∑=++=+
=12
111
1
n k n n n k kj
ik kj ik ij b a
b a g +….+
∑++++++=s s n n n n n k (1)
...211kj ik b a =∑=n
k kj ik b a 1
这说明,矩阵G 的()j i ,元素恰好等于矩阵AB 的()j i ,元素,基于以上两点可得 AB G =
注：此定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法；A 的列的分法与B 的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则
01 A 的列组数等于B 的行组数。
02 A 的每个列组所含的列数等于B 的相应行组所含的行数。
2.2.4 分块矩阵的转置
定义[]
3 设A=??
???????
???st s s t t A A A A A A A A A (2)
1
2222111211是一个分块矩阵，那么我们定义它的转置矩阵为如下的矩阵：??
???????
???'''''''''='st
t t
s
s
A A A A A A A A A A (2)
122212
12111
. 2.2.5分块矩阵的初等变换
定义
[]
4 以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换
01 用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行； 02 互换两块行的位置；
03 把一个块行的P （矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个
矩阵P ）加到另一块行上.
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换.
3 利用分块矩阵计算行列式
行列式是高等代数的一个重要组成部分，在高等代数中我们常常遇到些计算高阶行列式的问题，如果我们直接去计算的话，计算量不仅很大，而且很容易出错。利用矩阵的分块我们可以使矩阵的结构更简单，这里主要介绍几种用分块矩
阵求行列式值的方法。
定理3.1 设,,,A B C D 都是n 阶矩阵，其中0A ≠,且AC CA =.
则有A B AD CB C D
=-.
证明 因为 0A ≠,所以A 是可逆的
所以10A B A B C D D CA B -→
- 即有10E CA E --D C B A =1
0A B
D CA B
-- 又因为
1
0E
C A
E
--=1,所以上式取行列式得：D
C
B A =
1
0A B
D CA B
-- =A 1D CA B -- =1A D CA B --（） =CB AD -.
定理3.2 设A B P C D ??
= ???是分块n 阶行矩阵，其中,,,A B C D 分别是
()()()(),,,r r r n r n r r n r n r ??--?-?-阶矩阵，那么：
（1） 若A 可逆，则1P A D CA B -=-； （2） 若 D 可逆，则-1D P D A B C =-； 证明 （1）：因为 A 是可逆的，所以有
1
0k s E
CA
E -?? ?-?????? ??D C B A =10A B D CA B -??
?-??
对上面的式子两边取行列式，得1P A D CA B -=-, 同理可证-1D P D A B C =-成立. 定理3.3[]5
设,A B 都是n 阶方阵，则有
A
B
B A =B A B A -+.
证明 因为0n
n n E
E E ?? ?-??
???? ??A B B A 0n n n E E E ?? ???=???
?
??-+B A B B
A 0
同样两边取行列式得 A
B
B A =B A B A -+. 所以结论即证
定理3.4[]5 设,,A B C 均为n 阶方阵，则
()2
10
n A B C B C =- 证明 把拉普拉斯定理用于上式的后n 行，在它所有n 阶子式中，除C 外，其余至少包含一列零向量，从而值为零。而C 的子余式为B ,且C 位于整个矩
阵的第n +1, n +2, , n +n 行，第1，2， ，n 列，所以有
B C C
B A s
）
（10
-=其中s =n +1, n +2, , n +n +(1+2+ +n )=2n +2(1+2+ +n )= 2n +偶数。
即有()2
10
n A B C B C =-.
4 利用分块矩阵求逆矩阵
定理4.1[]6 设A B P C D ??
= ???
是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵，C 为k 阶
方阵，当B 与 ()1
C DB A --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且有
()()()()11111111111111
C DB A DB C DB A P B B A C DB A DB B A C DB A --------------??---??=??+---????
特别地（1）当0,0A D ==，B 与C 都可逆时，有11
1O C P B
O ---??= ???；
（2）当0,0A D =≠，B 与C 都可逆时，有1111
1
C DB C P B O -----??
-= ???
(3)当0,0A D ≠=，B 与C 都可逆时，有11
111O C P B
B A
C -----??
= ?-?? 证明 设P 可逆，且1X Y P Z W -??
= ???，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.
则应有1X Y A B P P E Z W C D -????
== ???????
,即
k r E O XA YC XB YD O E ZA WC ZB WD ++??
??= ? ?++????
于是得到下面等式
(1)(2)(3)(4)
k r XA YC E XB YD O ZA WC O ZB WD E +=??+=?
?
+=??+=? 因为B 可逆，用1B -右乘（2）式可得1X YDB -=-，代入（1）式得
()1
11X C DB A DB ---=--
用1B -右乘（4）式可得
()1
1
1
r Z E WD B B WDB ---=-=-，代入（3）式得()1
1
1
W B A C DB A ---=--，则可得
()1
1111Z B B A C DB A DB -----=+-.
所以我们有，
()()()()11111111111111C DB A DB C DB A X Y P Z W B B A C DB A DB B A C DB A --------------??---????== ?????+---????
. 定理4.2 设A B Q C D ??
= ???
是一个四分块方阵，
其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与 ()1
D CA B --都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵，并且有
()()()()1111111111111
A A
B D CA B CA A B D CA B Q D CA B CA D CA B -------------??
+---??=??---????
特别地（1）当0,0B C ==，A 与D 都可逆时，有1
11A O Q O
B ---??=
???
； （2）当0,0B C ≠=，A 与D 都可逆时，有1111
1
A A BD Q O D -----??
-= ??? (3)当0,0B C =≠，A 与D 都可逆时，有1
1
11
1A O Q D CA
D -----??= ?-??
注 此定理的证明与定理4.1的证明完全类似，在这里我们就不再赘述. 定理4.3 设()12,,,n A diag A A A = 块对角矩阵，那么A 可逆?12,,,n
A A A
可逆。且()111
11112121,,,n n A A A diag A A A A -------??
?
??
?==???????
?
. 推论4.3.1 对于块反对角矩阵()1212,,,n n
B B B diag B B B B ??
????=??????
，其逆矩阵()11111121
211
,,,n n B B diag B B B B B -------??
?
??
?==????????
.
5 利用分块矩阵处理矩阵的秩的相关问题
秩作为矩阵理论的一个基本概念，在矩阵计算中有着相当重要的作用。而在线性代数的学习中涉及到矩阵或矩阵的秩的命题的证明时因为本身的抽象性而感到困难。利用矩阵的分块方法可以使这些命题的证明简单而直观。一般的采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来构成矩阵来证明；二是将已知矩阵拆分成级数低的矩阵来证明。
定理5.1
[]
7 设A 为n m ?矩阵，B 为m s ?矩阵，则有
()()()(),R AB R A R AB R B ≤≤即()()()min(,)R AB R A R B ≤. 证明
设1112
111
12121
2222122212
1
2
,m s m s n n nm m m ms a a a b b b a a a b b b A B a a a b b b ????
?????
???==????
?
??
?
????
. 令C AB =，12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C 的行向量， 则有()11221,2,,i i i im m C a B a B a B i n =++= ，即AB 的行向量组可经B 的行向量组线性表示。所以()()R AB R B ≤
同理令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示AB 的列向量，可得
()11221,2,,i i i mi m D b A b A a A i s =++= ，得()()R AB R A ≤ 综合得到()()()min(,)R AB R A R B ≤.
推论
5.1.1 假设A 为s n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则
()()
()R A R B n R A B
+-
≤. 证明 作分块矩阵n
E
O C O AB ??
=????
，并对其作分块矩阵的初等变换得： n n
n
E O E O E B C O
AB A
AB A
O -??????
=→→?
???????????
所以()()()R C R A R B ≥+，又()()R C R AB n =+， 所以()()()R A R B n R AB +-≤.
特别的，当AB O =时，()()R A R B n +≤.
定理 5.2 矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和，即：
()()()
R A B R A R B +≤+.
证明 设A O G O B ??
=????，我么对其作分块矩阵的初等变换得：
A O A O A
B B G O B B B B B +??????=→→???????????? ， 所以()()A B B R G R R A B B B +??=≥+????， 又()()()R G R A R B =+， 所以()()()R A B R A R B +≤+.
定理5.3 任意方阵A 都可以写为A BC =，其中2,B B C =可逆.
证明 设()R A r =，则存在n 阶可逆矩阵,P Q ，使得E O PAQ O O ??=??
??
，
所以11111
()r
r
E
O E O A P Q P P P Q BC O O O O -----????===????????
. 其中：111,r
E
O B P P C P Q O O ---??
==????
，且2,B B C =可逆. 推论5.3.1 A 为m n ?矩阵，()R A n =，则存在矩阵(),n m B R B n ?=，使
n BA E =.
证明 因为()R A n =，所以存在可逆阵,P Q ，使得n E PAQ O ??
=????
，
所以1
111E Q A P Q P O O ----????
==????????
.
取(),,B Q O P =则()(),,n m R B R Q O n B B ?=== .
且()11
,0n Q BA Q PP E O --??
==????
.
推论5.3.2 A 是m n ?矩阵， ()R A n =，则存在矩阵(),m r B R B r ?=与矩阵(),r n C R C r ?=，使A BC =.
6 应用举例
例1 计算：
31122
434
10230114
的值 解 直接利用定理3.1的结论：原式A B C
D =
其中：3124A ??= ??? ，1234B ??= ???，1001C ??= ???，2314D ??
= ???.
又因为A
=10≠0 ，而 AC CA =.
所以原式=AD CB -=3123101224140134????????- ??? ???????????
=611
58=53.
例2 证明0
1
2
1
111
1
001
n
P a
a
a
a
=
=12011
()n
n i i
a a a a a =-∑
证明 令0A a =，()111B = ,11
1C ??
?
?= ?
??? ,12
n D a a
a ??
?
?= ? ? ??
?
则由定理3.2得：
可知P A =1
D CA B --=1
D A BD C --=12111n n i i a a a a =??
+ ? ??
?∑
例3 计算0000
x y x
x x y
P y x x x y x =
解 由定理3.3我们可令 00x A x ??= ???，y
x B x y ??
=
???
则有A B P C
D
=
=.A B A B +-=
22y x x y 0
0y y --=()2224y x y -.
例4 计算 11121315
1621222326
31
32
33
5161
62
0000000000000
a a a b
b
b
a a a a
a a
a a a
a
a a
a a
a
解 直接利用定理3.4的结论可得
A B P C
D =
.
其中：111213
21
22233132
33A a a a a a a a a
a
??
?= ? ???，5161
62
000b C b
b a a a
??
?= ? ???
， 15
16
260
00
a B a
a a
a a
?? ?= ? ??
?
，000000000D ?? ?
= ? ???
所以2
31P C B =-（）
=-5161
62
000b b
b a a
a
15
1626
00
a a a
a
a a
=-33
a b
例5 求矩阵000120
00354
00000200003400M ??
?
?
?= ?
? ??
?
的逆矩阵.
解 设4000000012A ,020,000003503400B C D ????
???? ? ?
==== ? ? ? ????? ? ?
????
，. 则111
004521,003123108
4B C --?? ?
?-?? ?== ? ?-??
? ?- ??
?
. 由定理4.1可得，11
1
100004100002M =3100
08452000310
0O
C B
O ---?
? ?
? ?
???=
? ? ???-
? ?- ? ?-?
?
.
例6 求n 阶方阵H 的逆矩阵，其中11232n n H n ????-??????
=??????
??
??-??
.
解 令A O H O B ??=????，其中12,12n O A B O n n ?
???????==????-??
??-?? ， 得1
1
121
,11
121
n O n A B O n --?
?
?
?
-????
??
??==?
?????
?
?
??-?
??
?
????
由定理4.3得：11
11
1213
121
n n n H -??????????-?????
?
-=?
???
??
???????????
?
. 例7[]
8 设A 为n n ?矩阵，证明：如果2A E =，那么()()R A E R A E n ++-=. 证明 由2A E =得()()A E A E O -+= . 又由2A A =得()()2E E A E A =++-，
由推论5.1.1及定理5.2得()()R A E R A E n ++-≤，
()()()()()()()
2n R E R E A E A R E A R E A R A E R A E ==++-????
≤++-=++-，
所以()()R A E R A E n ++-=.
例8 设A 为n n ?矩阵，证明：如果2
A A =，那么()()R A R A E n +-=.
证明 由2A A =得()A E A O -=.
由推论5.1.1及定理5.2得()()R A R A E n +-≤，
()()()()()()n R E R E A A R E A R A R A E R A ==-+≤-+=-+????)， 所以()()R A R A E n +-=. 例9
[]
9 设B 为r r ?矩阵，C 为r n ?矩阵，且()R C r =.
证明：如果BC O =，那么B O =. 证明 ()R C r =，得r n ≤；
r n =，C 可逆，所以1B OC O -==；
r n <，C 中存在一个r 阶子式不为0，假设前r 列构成的子式不为0. 设()12,C C C =，其中1C 为r r ?矩阵，2C 为()r n r ?-矩阵。 由()()1212,,BC B C C BC BC O ===得12,BC O BC O ==. 又1C 为r 阶可逆矩阵，所以11B OC O -==.综合得B O =.
7 结束语
在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师甘爱萍热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中，甘老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了甘老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，这些在我的人生道路上给
予了决定性的帮助，另外教务处在我们的整个过程中提供了巨大的帮助和支持，这对我今后走向社会有着重要的影响，也是我人生中的一笔财富。在此表示真诚地感谢和深深的谢意。
在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，同时还到许多在工作过程中许多同事的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。
最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！
参考文献：
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矩阵特征值的运算性质及推广 摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。 由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用. 关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式 The Operation Properties and Promotion of Eigenvalue Cui haiyang (Institute of Computer Science, Math) Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues. Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial 1引言 矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.
浅谈矩阵的特征向量特征值的意义 描述了矩阵的特征向量和特征值的定义，简述了矩阵的特征向量特征值在数学、物理、信息和哲学上的一些意义，对于从多角度深入理解矩阵的特征向量特征值有积极意义。 标签：线性代数；矩阵；特征向量；特征值 1 线性变换与矩阵的特征向量特征值[1] 线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。即 Y=AX （Y，X∈Rn A=（aij）A=（aij）n×n） 如果对于数λ，存在一个n维零列向量X（即X∈Rn且X≠0），使得 AX=？姿X 则称数λ为矩阵A的一个特征值，X为矩阵A对应于λ的特征向量。 在线性代数中研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。 2 在数学上的意义 矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。所以特征向量也叫线性不变量。特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）[2]。 对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。 例如，对于x，y平面上的一个点（x，y），我对它作线性变换A， 这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵A的特征向量
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
一、分4块的矩阵求逆 对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。 本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：
注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。 二、分9块的矩阵求逆 对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆
可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。
浅析分块矩阵的性质和应用 作者姓名：周甜 河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班 性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。 性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。 摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。 关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆 Tentative Analysis of Properties and Applications of Block Matrices Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
毕业论文文献综述 数学与应用数学 分块矩阵的应用研究 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关 主题争论焦点） 本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念： 分块矩阵的概念[] 1： 当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块. 如对矩阵A 分块如下 ? ? ??? ???? ???-=1011 012100100001A 其中记? ? ? ???-=??????=???? ??=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵??????=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下: ? ? ??? ???? ???-=1011012100100001 A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问 题的评述） 作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的. 但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年. 1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德?威廉?莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔?克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉?若尔当建立了高斯—若尔当消去法. 1848年詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉?卢云?哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯?诺伊曼. 分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用. 预备知识[][]32- 分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种： （1）列向量分法 ),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量. （2）行向量分发 ),,2,1(21n i A i n ΛM =???? ? ? ??????=ββββ为A 的行向量. （3）分成两块 ),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and
eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组 一、 问题 化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。 二、 实验目的 学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握 用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。 三、 预备知识 1． 线性代数知识： （1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2． 本实验所用Matlab 命令提示： （1）输入语句：input('输入提示')； （2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）； （6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。
1引言 在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组 我们可以构成一个矩阵 因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成. 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主. 在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下： （1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. （2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用. 如：设A B M C D ??=???? 是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ?(),r n r ?-(),n r r -?()n r -?()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.
第39卷 第7期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.7 2019年 7月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2019 文章编号：1007-9831（2019）07-0008-03 矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现 周琴 （湖南涉外经济学院 信息与机电工程学院，湖南 长沙 410205） 摘要：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要内容，在实际问题中的应用也很广泛．研究了矩阵的特征值和特征向量在循环比赛的排名问题和预测分析中的应用，并利用MATLAB软件实现了这些问题的快速求解． 关键词：特征值；特征向量；排名问题；预测分析 中图分类号：O151.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.003 Application and realization of matrix eigenvalue and eigenvector in practical problems ZHOU Qin （School of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Hunan International Economics University，Changsha 410205，China） Abstract：The eigenvalues and eigenvectors of matrices are important contents in matrix theory and are widely used in practical problems．Studies on the application of eigenvalues and eigenvectors of matrices in ranking of cyclic competitions and prediction analysis，and use software MATLAB to realize the rapid solution of these problems． Key words：eigenvalue；eigenvector；ranking issues；predictive analysis 1 引言及预备知识 矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛．文献[1-2]探索了特征值和特征向量的几何意义；文献[3]利用特征值与特征向量研究了纤维及大分子的可视化显示．在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和主成分分析法中，特征值和特征向量均有应用[4-6]． 定义[7-9]设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零列向量a满足l A a a，那么数l称为矩阵A的特征 = 值，a称为A对应于特征值l的特征向量． 在实际教学中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用MATLAB软件[10]自带的函数eig（A）实现矩阵A的特征值和特征向量的快速计算，再将其与实际应用相结合．本文介绍矩阵特征值和特征向量在排名问题和预测分析中的应用，给出了求解实际问题的MATLAB实现方法． 收稿日期：2019-03-02 基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（18C1097）；2017年度湖南涉外经济学院教学改革研究项目——数学实验在地方本科院校非数学专业 教学中的应用研究 作者简介：周琴（1984-）, 女, 湖南长沙人，讲师，硕士，从事计算数学和数学教育研究．E-mail：19891881@https://www.doczj.com/doc/3d6614080.html,
本科生毕业设计(论文) 题目：分块矩阵在高等代数中的应用 Title: Block Matrix Of Application in Advanced Algebra 学号 0508060357 姓名邹维喜 学院数信学院 专业数学与应用数学 指导教师甘爱萍 完成时间 2008.4.15
分块矩阵在高等代数中的应用 【摘要】高等代数以其独特的理论体系而引人入胜，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境。作为高等代数中的一个工具——分块矩阵，分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用，本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念和其的初等变换以及证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵来算矩阵的乘积，利用分块矩阵求逆矩阵的问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题. 【关键词】：分块矩阵；矩阵乘积得秩；逆矩阵；行列式
Block Matrix in Advanced Algebra Application 【Abstract】 Higher Algebra for its unique and fascinating theoretical system based on abstract knowledge, skills and strong problem-solving approach, a little carelessness will be in trouble. Advanced Algebra as a tool - sub-block matrix, block matrix is of higher algebra an important share in higher algebra very important applications, this paper discusses the detailed and comprehensive array block matrix of the concept and its elementary transformation matrix, as well as the sub-block in the application of higher algebra, including matrices to count the product matrix, the use of sub-block matrix inverse matrix problem, with sub-block matrix of the determinant of the matrix problem. 【Key words】: sub-block matrix; matrix product of a rank; inverse matrix; determinant