初中数学数与式总复习
注意：1.最简分数是有理数。2. n 、最简根式、e 等是无理数。
(2) 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
(画数轴时，要注意
上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是 ---------- 对应的。数轴上任一
点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
(3) 相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反 数是零). 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(4) 绝对值
a(a 0)
|a |
0(a
0) a(a 0)
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(5) 倒数
实数a(a 工的倒数是丄(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数.
【例题经典】
理解实数的有关概念 例1①a 的相反数是-丄,则a 的倒数是
5
----- 4 --------- 4 ---- *
②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： b 0 a
则化简 |ba |+ ―b)2 = __________ . ③去年泉州市林业用地面积约为
10200000亩,用科学记数法表示为约
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空,让学生加强对实数有关概念的理
解. 例 2.(-2)3 与-23().
(A)相等
(B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16
分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
实数的有关概念 ⑴实数的组成 正整数
整数
有理数 实数 分数
负整数
正分数 负分数
有尽小数或无尽循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无尽不循环小数
例3.-.、3的绝对值是；-3丄的倒数是；4的平方根是?
2 9
分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案：,3 , -2/7,切3
例4.下列各组数中，互为相反数的是()
A. -3 与3 B -3 | 与一- C.| -3 | 与- D . -3 与，(-3)2
3 3
分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念掌握实数的分类
例1 下列实数22、sin60 ° —、(0) °、3.14159、-宾、(-厲)-2、V8 中无7 3理数有()个
A. 1
B. 2 C . 3 D. 4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断.
实数的运算
(1) 加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
(2) 减法a-b=a+(-b)
⑶乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即
|a| |b|(a,b同号)
ab | a | | b | (a,b异号)
0(a或b为零)
a 1
⑷除法—a -(b 0)
b b
(5) 乘方a n aa a
n个
(6) 开方如果x2= a且x>0那么Q a = x；如果x3=a，那么Va x
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面.
3.实数的运算律
(1) 加法交换律a+b= b+a
(2) 加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
(3) 乘法交换律ab= ba
(4) 乘法结合律(ab)c=a(bc)
(5) 分配律a(b+c)=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数?运用运算律有时可使运算简便.
【例题经典】
例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4C,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22C, 则冷冻室的温度
「C)可列式计算为
A. 4—22 =—18
B. 22-4= 18
C. 22— (—4) = 26
D. —4—22= —26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调列式”即过程。
例2.我国宇航员杨利伟乘神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为
6.71X103千米，总航程约为(取 3.14,保留3个有效数字)()
A. 5. 90 X05千米 B . 5. 90 X06千米
C. 5. 89 X05千米
D. 5. 89X106千米
分析：本题考查科学记数法
例3?化简3的结果是().
J7 2
(A)、7 -2 (B) 7 +2 (C)3( . 7 -2) (D)3( 7 +2)
分析：考查实数的运算。
例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有().
①b+c>0 ② a+b>a+c③ bc>ac④ ab>ac
C b a
一20 -12 3 1
(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小
1
例5 计算：--+ (-2) 2X(-1) 0- 1 —12 | .
3
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例5?校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食.请你帮他把标语中的有关数
分析：本题考查实数的运算。
例7?阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1, 2，3，5，8，13, 21,...???(这就是著名的斐波那契数列).请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有_________________________________________________ 种上法.
分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和
例8?观察下列等式(式子中的“!是一种数学运算符号)
1!=1, 2!=2 >1, 3!=3 )2X 1, 4!=4 >3X2X 1,…，
【回顾与思考】
知识点
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幕的 运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幕、零指数幕、 负整数指数幕。 大纲要求 考查重点
1 ?代数式的有关概念.
(1) 代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示 数的字母
连结而成的式子?单独的一个数或者一个字母也是代数式.
(2) 代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果
p 叫做代
数式的值.
求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简 再求值.
(3) 代数式的分类 2. 整式的有关概念
1、 单项式的有关概念
(1) 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。单独的一个数或字.. 母也叫做单项式。例如：3a, m 2n, abx,4x 3,9,a
注意：单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法(包括乘方)运算 (2) 单项式的系数：单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。例如：单项式 丄x 2y, 7xy 2的系数分别是】7 ,当单项式系数是1或一1时，“ 1通常省略不写，
2 2
如ab 就是1 ab ，系数是1 ； n 就是1 n ，系数是一 1.
计算:
100!=
98!
分析：阅读各算式，探究规律，发现
100! =100*99*98 !
(3) 单项式的次数(指数)：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数。如
4x 的次数是1, 3x 2y 3z 的次数是2+3+1= 6;数学的次数是0,如3, —9等可以当作0次单项
式。
一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如 则-a 2b 2是四次单项式。
3
例1:指出下列各单项式的系数和次数
2 3
a
,5ab 2,a 2bc ,—— 3 7
提示：圆周率 是常数，当单项式中含有 项式的次数时应注意不要加上 的指数。
2、多项式的有关概念
(1) 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项， 不含字母的项叫做常数项。如3x 2 2x 5是多项式，它的项分别是3x 2 , 2x 和 5,其中5是常数项。 (2) 多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。如 2y 4 3x 2 2的次为是3,即2x 3”的次数。一个多项式中含有几项，最高次数是 几次就叫几次几项式。如2y 4 6y 3
6叫做四次三项式。
1
『2b 2中, a 与b 的指数和为4,
时， 是单项式的系数，且在计算单
在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。如3a2b 2ab b 5
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析
(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即ax bx (a b)x 其中的X 可
以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
3．整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再
用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
(i) 如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+号”去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(ii) 合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
(2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：
a m a n a m n(m,n是整数)
a m a n a mn(a 0,m, n 是整数)
中，3a2 b就是它的三次项，二次项是3、整式的概念
单项式与多项式统称为整式。
判断一个式子是不是整式应注意几点( 母2ab，一次项是b,常数项是—5.
1)分母不含字母；(2)根号里面不含字
①单项式
②多项式
多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
(x a)(x b) x(a b)x ab,
(a b)(a b) a2b2I
(a b)2 a 2ab b21
(a b)(a2ab b2)33 a b .
(3)整式的乘方