高二下文科期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合{}
12x x A =-<<，{
}
2
30B x x x =-<，则R C A B =（ ）
A.()1,3-
B.()1,2-
C.()0,2
D.[)2,3
2.某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A.该超市2018年的12个月中11月份的收益最高
B.该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低
C.该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益
D.该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约71.4%
3.已知集合(]2,5A =-，{}
121B x m x m =+≤≤-，若B A ?，则实数m 的取值范围是（ ） A.(]3,3-
B.[]3,3-
C.(],3-∞
D.(),3-∞
4.某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
附：22
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，则下列结论正确的是（ ）
A.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
B.有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关 5.给出如下四个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-” ③“2
,11x R x ?∈+≥”的否定是“2
,11x R x ?∈+≤” ④“0x >”是“1
2x x
+
≥”的充分必要条件 其中正确的命题个数是（ ） A.4
B.3
C.2
D.1
6.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A.65.5万元
B.66.2万元
C.67.7万元
D.72.0万元
7.已知复数z 满足3z z i +=+，则z 对应点所在的象限是（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.命题p ：“2
[1,2],0x x a ?∈-≥”，命题q ：“2
,220x R x ax a ?∈++-=”.若命题“p q ?∧”是真命题，则实数a 取值范围是（ ） A.2a ≤或1a =
B.2a ≤
C.21a -≤≤
D.1a >
9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ??=??=+?
（?为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ?
?
-
= ??
?
，射线5:6
OM π
θ=
与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长为（ ）
A.
12 C.1 D.2
10.把22149x y +=上各点的横坐标压缩为原来的14
2C 为（ ）
A.22
1241x y +=
B.2
24413
y x += C.2
2
13
y x += D.22
341x y +=
11.已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[]1,1-有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p q ∨”是假命题，则a 的取值范围（ ） A.0a >
B.1a >或1a <-
C.2a >或2a <-
D.1a <-
12.在极坐标系下，过直线cos sin ρθρθ+=M ，作曲线1ρ=的两条切线，则这两条切线的夹角的最大值为（ ） A.
6
π
B.
3
π C.
2
π D.
23
π 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若命题“x R ?∈，使2
(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 14.若“x a >”是“2560x x -+≥”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________. 15.下列共有四个命题：
（1）命题“2
000,13x R x x ?∈+>”的否定是“2
,13x R x x ?∈+<”；11..以下四个命题中真命题的个数是
（ ）
①“若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数,a b ，使得()lg lg lg a b a b +=+；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在ABC △中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件.其中正确的序号为___________________.（写出所有正确命题的序号）
16.某校成立了舞蹈、机器人和无人机三个兴趣小组，甲、乙、丙名同学均报名参加，三人在不同的小组，且每人只参加一个兴趣小组，对于他们参加兴趣小组的情况，有如下三种猜测，每种猜测都只猜对了一半. 第一种：甲参加了舞蹈组，乙参加了机器人组；第二种：丙没参加机器人组，乙参加了舞蹈组；第三种：甲没参加舞蹈组，乙参加了无人机组，则甲、乙、丙三名同学分别参加的是_________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）已知m R ∈，命题p ：对任意[]1,1x ∈-，不等式2214x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]
1,1x ∈-使得ax m ≥成立.
（Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（Ⅱ）当2a =，若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.
18.（12分）2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
（1）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（提示数据：
7
1
1372i i
i x y
==∑）
（2）（Ⅰ）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（Ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在(]0,50内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5浓度平均值在(]50,100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆
为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是???y bx a =+，其中()()
()
1
1
2
22
1
1
?n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nxy x x y y b
x
nx
x x ====---==
--∑∑∑∑，
??a
y bx =-. 19.（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500mL 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖）：
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为15
. （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中n a b c d =+++）
20.（1）当0n ≥
<；
（2）已知x R ∈21a x =-，22b x =+，求证：,a b 中至少有一个不小于0.
21.（12）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标
方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l
的参数方程为222
x t y t ?=-+????=??（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为()2,π
，PM PN +=a 的值. 22.（12分）在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos sin x t
y t
=-+??
=?（t 为参数），圆2C 与圆1C 外切于原
点O ，且两圆圆心的距离123C C =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；
（2）过点O 的直线1l ，2l 与圆2C 异于点O 的交点分别为点A ，D ，与圆1C 异于点O 的交点分别为点C ，B ，且12l l ⊥，求四边形面积ABCD 的最大值.
答案 1-5 DDCAC 6-10 ADACB 11CB
13a -≤≤ 14.3a ≥ 15.②③ 16.无人机组 机器人组 舞蹈组
17.（1）13m ≤≤（5分）（2）1m <或23m <≤（10分） 18.【答案】解：（1）由数据可得：1
(1234567)47
x =
++++++=， 1
(28303541495662)437y =++++++=，71
1372i i i x y ==∑，7
21140i i x ==∑，
1
2
2
1
13721204?6140112
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-?-==
=--∑∑，??434619a y bx =-=-?=， 故y 关于x 的线性回归方程为?619y
x =+.（6分） （2）（i ）当车流量为12万辆时，即12x =时，?6121991y
=?+=. 故车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米.（9分） （ii ）根据题意信息得：619100x +≤，即13.5x ≤，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.…（12分） 19.解：（Ⅰ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，
24
x +=，6x =.…………（1分）
…………………………（3分）
（Ⅱ）由已知数据可求得：2
2
30(61824)8.5227.879
1020822
K ?-?=
≈>???.…………（9分） 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关………………………………（12分） 20.证明（1<
<只要证22
<
即证2244n n ++<+
1n <+ 只要证22221n n n n +<++ 而上式显然成立
<
6分）
（2）假设0a <且0b <（8分） 由210a x =-<得11x -<<（9分） 由220b x =+<得1x <-，（10分） 这与11x -<<矛盾（11分） 所以假设错误
所以a 、b 中至少有一个不小于0（12分）
21.【分析】（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>，得2
2sin 2cos (0)a a ρρθρθ=+>，由此可求曲线C 的直角坐标方程，消去参数可得直线l 的普通方程；
（2）将直线l
的参数方程222
x y ?=-+???
?=??代入2222x y y ax +=+并化简，整理，
得2
)440t t a -++=.因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.所以0?>，解得1a ≠.因为点P 的
直角坐标为()2,0-，在直线l 上，所以12PM PN t t +=+，即可求出a 的值. 【详解】（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>，得2
2sin 2cos (0)a a ρρθρθ=+>， 所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
22x y y ax +=+， 即2
2
2
()(1)1x a y a -+-=+，（3分） 直线l 的普通方程为2y x =+（6分）
（2）将直线l
的参数方程222
x y ?=-+????=??代入22
22x y y ax +=+并化简、整理，
得2
)440t t a -++=
（8分）
因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.
所以2
)4(44)0a ?=-+>，解得1a ≠.（9分）
由根与系数的关系，得21t t +=，2144t t a =+ 因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上，
所以12PM PN t t +=+==， 解得2a =，此时满足0a >且1a ≠，（11分） 故2a =.（12分）
22.解：（1）圆1C 的普通方程为()2
211x y ++=，
圆1C 的一般方程为：22
20x y x ++=，∴圆1C 的圆心为()11,0C -，半径11r =，
圆1C 的极坐标方程为2
2cos 0ρρθ+=，即2cos ρθ=-.（3分） 圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆心的距离123C C =， 圆2C 的圆心()22,0C ，半径22r =.
圆2C 的标准方程为()2
224x y -+=，化为一般式方程为2
2
40x y x +-=.
圆2C 极坐标方程为2
4cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=
（2）设直线1l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=??=?
（t 为参数）
把cos sin x t y t αα
=??
=?代入22
40x y x +-=得24cos 0t t α-=，
∴4cos OA α=
2l 的参数方程为sin cos x t y t α
α
=-??=?（t 为参数）（7分）（直接写出OA 也给分）
同理可得||2cos ,||4sin OC OD αα==（10分） ∵AD BC ⊥
11
()()36sin cos 9sin 222
S OA OC OB OD a a a =++=??=
∴当4
π
α=
时，四边形ABCD 的面积取得最大值9.（12分）