T
是 系、空关系、全关系、恒等关
P （A ）-p （B ） = {{3},{1,3}, {2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。
2、 学握求复合关系与逆关系 的方法。
3. 理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性）
? 掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。
4、 掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的
方法。
5、 理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜?界、 最小上界、最人下界的求法。
6、 理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、 理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25, 1； P32?33, 4, 8, 10； P43, 2, 3, 5； （Au~ B ）c （~ 注J 8）P59, 1,
2； P64, 3
；
P74?75,
2, 4, 6, 7； P81, 5,
7：
=
（（An ?A 曲鑑咖血c 肛（~ 3 c B ）） =（①遊:縱璇憾"） =（An 圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、
图表 示。
2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、
等价关系、半序 关系的基础。对丁?四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点：一是不破
坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是 介绍-?种判定传递性的“跟踪 法” ， 即 若
（a l9a 2）e R. \a 2,a 3）e R, ,则（R 。如若 （a,b ）w R, R ,
则有,且 （b,b ）w R 。例题
一、各章复习要求与重点
第一章集合
［复习知识点］ 1、 集合、元索、集合的表示 方法、子集、空集、全集、集 合的包含、相等、幕集 2、 集合的交、并、差、补等 运算及其运算律（交换律、结 合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等）,文氏（Venn ） 图 3、 序偶与辿卡尔积 本章重点内容：集合的概 念.集合的运算性质、集合恒 等式的证明
［复习要求］ 1、 理解集合、元素、子集、 空集、全集、集合的包含、相 等、幕集等基本概念。 2、 学握集合的表示法和集合 的交、并、差、补等基本运算。 3、 掌握集合运算基本规律， 证明集合等式的方法。
4、 了解序偶与迪卡尔积的概 念，掌握辿卡尔积的运算。 ［疑难解析］
1、 集合的概念 因为集合的概念学生在 中学阶段已经学过，这里只多 了一个幕集概念，重点对幕集 加以掌握，一是掌握幕集的构 成.一是掌握幕集元数为2"。
2、 集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明 的练习?既町以加深对集介性 质的理解与学握；又可以为第 三章命题逻辑中公式的基本 等价式的应用打下良好的基 础。实际上,本章做题是一种 基本功训练，尤其要求学生重 视吸收律利重耍等价式在 A — B = A c ~ B 证明中 的特殊作用。
［例题分析］
例1设A, B 是两个集合， A={1,
2, 3}, B={1, 2）,则 p （A ） — p
（B ） =
例 2
A = {a,b,{a 9b},},
求：
(1) A-{a,b} ⑵ A -① ⑶ A - {O}；
⑷{{tz,/?}} — A ⑸ ①一 A
⑹{①} - A 。
解
(1) A-{a,b} = {{a,b}^} ⑵ A
-①=A
⑶ >4-{o} = (4)
{{a,b}}-A =①
⑸
①一 4二①
(6) A 二① 例 3 试证明
第二章二元关系
［复习知识点］ 1、 关系、关系矩阵与关系图
2、 复合关系与逆关系
3、 关系的性质（自反性.对 称性、
反对称性、传递性） 4、 关系的闭包（自反闭包、 对称闭包、传递闭包） 5、 等价关系与等价类
6、 偏序关系与哈斯图
（Hasse ） ＞极大/小元.最大/
小元、上/下界、最小上界、最 大
下界
7、 函数及其性质（单射、满 《离散数学（第三版）》 期末复习知识点总结含
解 P （A ） = {0,{1},{2},{3},{1,2},{1|删{辆,曲3 料序关系、 映射
的概念
p （B ）二{0,{1},{2},{1,2}}［复习要求］
1、理解关系的概念：二元关
证明
P86, 1, 2o
射、双射）
8、复合函数与反函数
木章重点内容：二元关系 的
概念、关系的性质、关系的 (Au ?B)c(?AuS)= ((Au^ff
R =心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的
基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2 ,
= R 5A；定理3, s（R）= R o R
' ；定理4,
n
推论/（/?） = Ijx。
/=1
4、半序关系及半序集中特
殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极人（小）
元也就容易了。这里
要注意,最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界町在子集z外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集小的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类
的判定
映射的种类主耍指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，对借助于关系图.而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系农示进行，尤其是对各种初等函数。
［例题分析］
例1 设集合A = {a,b,c,d},判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：
& = {（d,Q）,（b,d）} R2= R,=仏c）,（b,d）} 解:均不是自反的;&是对称的；
R15R2 ,R3,R4，R5是反对称的；R| ,R2 ,R S , R4R5 是传递的。
例2 设集合A = {1,2,3,4,5}, A 上的二元关系R为
（1）写出R的关系矩阵,画出R 的关系图;
（2 ）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图;
（3 ）若B Q A,且B = {2,3,4,5},求B 的最大元,最小元,极大元,极小元, 最小上界和最人下界。
解（1）R的关系矩阵为
<1
1
0]
M R =00110
00010
<0011
R的关系图略
（2）因为R是H反的，反
/合取范式法）
5、公式的蕴涵与逻辑结果结词、
公式与解释、析取范式与合取范
式.公式恒真性的判定、形式演绎
［复习要求］
1、理解命题的概念；了解命题
联结词的概念；理解用联结词产
生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念；掌
握求给定公式真值表的方法，用
基本等价式化简H他公式，公式
在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概
念；理解极大（小）项的概念和
主析取（合取）范式的概念；掌
握用基本等价式或真值表将公式
化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算
法和主析取/合取范式的唯一性判
別公式类型和公式等价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果的
概念，学握基木蕴涵式。
6、学握形式演绎的证明方法。
［本章重点习题］
P93, 1；P98, 2, 3；
P104, 2, 3：P107, 1,
3； P112, 5； P115, 1, 2, 3。
［疑难解析］
K公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判
定公式是恒真的或是恒假的。具
体方法有两种，一?是真值表法，
对于任给一个公式,主要列出该公
式的真值表，观察真值表的最后
一列是否全为1 （或全为0）,就
可以判定该公式是否恒真（或恒
假），若不全为0,则为可满足的。
二是推导法，即利用基木等价式
推导出结果为1，或者利用恒真
（恒假）判定定理: 公式G是恒真
的（恒假的）当且仅当等价于它
的介取范式
这里要求的析取范式中所
含有的每个短语不是极小项，一
定耍与求主析取范式和区别，对
于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、
合収范式、主析取范式和主合取
范式。关键有两点：一是准确理
解学握定义；另-?是
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概
o 4
。1
。3
o 2
o 5
对称的和传递的，所以R是A 上的半序
关系。（A,R）为半序集，（A,R）的
哈斯图如下
（3）当 B = {2,3,4,5},
B叶极大元为2,J；极小匹为
2, p； B无最人元与最小元；B也无上
界与下界，更无最小上打与最大下界。
I第三章命题逻辑
［复习知识点］
1 ＞命题与联结词（否定、析仏飙鏗'（竊}
"% /c’d）}
2、命题公式与解释，真值表，公式分类
（恒真、恒假、可满足），公式的等价
3、析取范式.合取范式，极小（人）项，
主析取范式、主合取范式
4、公式类别的判别方法（真值表法、
等值演算法、主析取
否定。
巧妙使用基本等价式中的分 配律、同一律和互补律,结果 的前-?步适当使用等邪律，使 相同的短语(或子句)只保留 一个。
另外，由已经得到的主 析取(合取)范式，根据 G v = 1,「(「G )=
G 原理，参阅《离散数学学习指 导书》P71例15,可以求得主 合取(析
取)范式。
3.形式演绎法
学握形式演绎进行逻辑 推理时，一是要理解并掌握14 个基本蕴涵式，二是会使用三 个规则:规则P 、规则Q 和规 则D,需要进行一定的练习。 ［例题分析］ 例 1 求
G =《P 八Q 卜 的主析取范式与主合
取范式。 解(1)求主析取范式， 方法1:利用冀值表求解
因 此 ，
((PAg)v-1/?)^P = (Pv
方法厶利用已求出的主析取 范式
求主合収范式
己用去6个极小项，尚有 2个极小项，即
-iP A —\Q A -J? -nF A 2 A i/?于是
1、谓词、量词、个体词、个
自由
2. 谓词公式与解释，谓词公 式
的类型(恒真、恒假、可满 足) 3. 谓词公式的等价和蕴涵 4. 前束范式
本章重点内容：谓词与量 词、公式与解释、前束范式 ［复
习要求］
(「P 如镂解関和)屋词、个体词、 -个岳爲送处的瞬；理解也 冰丿M 侏強險鈿词就;
G = (-P A -Q A -R)7 \
G = -1(-iG )= -1((-iP A —\Q /\'H
=(P V 2 V /?) A (P V
<7^单命题；了解命题符号
化。
2、 理解公式与解释的概念；
］限个体域下消去公 _____ 衆公式在给定解释下 真值的方法；了解谓词公式的 类型。
3、 理解川解释的方法证明等 价
式和蕴涵式。 4、 学握求公式前束范式的方
2试证明公式 百陽丹左 G = ((p T Q )人(Q T /?)) T (g 就崗 为恒真公式。
证法一：见〈离散数学学习 指导书〉卩6()例6(4)的解答。
(真值表法) 证法二:
仲僉R ^-lQ )v(琲-iR) v-iP' ((PvQ )f\ (P —R) r
Q) A
(—iQ (y-R ))v —i 1 >vQv-,P)XXPv^Rv-1
gR —Pl ) vR 人(-iQ\z-ik\z-iP ) ) J )G 法。
P A QG* V-G-rP =(P 章重点习题］
P120, 1, 2： P125?126, 3; 隹解析］
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引
J 总义，概念的含义及在谓 田. ? 诃胡量词作用下变量的自由 内此( 、( =^n v ^Rv^PvR 性、约束炸与戍名规则。、 G = (-1P A -I <2 A 7?)V (-1P A Q A =R )V (p A -12 A -I /?)V (P A -I Q 办岡肚偽陈Q a 「R) 故G 为恒虫公式。
例3利用形式演绎法证明
{ P T (Q T R),-
G = ((p A Q)R V 「R )T P =副:W) V -J?) =((「P v^e )A/?)vP = (^PA R^Q A/?)v^P
=((「P A R)A (「Q v e))v((^2 A ^)A (2P V M) S V ^A ^V ^A ^V -./?)):则 D3)p =(iP A 2 A A-，2 A R )则 @，也快(R )\/ (I P A
.............................................................................
V (P A 2A /?)V (P A 2A 「斥)v (彳补心用/弓A -yQ 如-^ ［严I 卜一个解释： = (^P A Q A /?)V (^P A -1 住艸陶 V (P
A ^2A 7?)V (P A Q 紅碎3
(
x /
\ ( 5 ) Q T R
… f (3
V
V A0
A -10
根据⑶，
( 6 )
0 0 0 0 1 1 0 0 I 1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1 1 /R V (P A Q A 7?) 方法2：推导法 (2)求主合取范式 方法1:利用上面的真值表 ((P A Q)v ―R)—> P 为 0
的有两行，它们对应的极大项 分
别
为
PvQvR, P\z 「Qv R
(「Q\ vR =((: A (Y P) 0 1 0 1 1 1 1 1 P137, 1。
SvP, Q) VP
(4)
能将一阶逻辑公式表达 式屮的量词消除，写成与Z 等 价的公式，然后将解释I 中的 数值代
入公式,求出真值。
3、前束范式
在充分理解拿握前束范 式概念的基础上，利用改名规 则.
基本等价式与蕴涵式(一 阶逻辑中)，将给肚公式中量 词提到默 Z 前称为首标。
规则P
( 7
) 规则Q,根据(5),
( 8 )
规则D,根据(2),
(6) S->R (7)
I j F(3) P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2) Q(33)
110 1 求 3xVy(P (x )A Q (F (x), y)) 的真值。
解
第四章谓词逻辑 ［复习知识点］
例2试将一阶逻辑公式化成 前束范式。 解
第五章图论
［复习知识点］ 1、 图.完全图.子图、母图、 支撑子图、图的同构 2、 关联矩阵、相邻矩阵
3、 权图、路、最短路径，迪 克
斯特拉算法（Dijkstra ） 4>树.支撑树.二叉树 5、 权图屮的最小树，克鲁斯 卡尔算法（Kruskal ） 6、 有向图.有向树
木章重点内容：权图的最 短路、二义树的遍历、权图中 的最优支撑树
［复习耍求］ 1、 理解图的冇关概念：图、 完全图.子图.母图.支撑子 图、图的同构。
2、 掌握图的矩阵表示（关联 矩
阵、相邻矩阵）。 3、 理解权图、路的概念，学 握用Dijkstra 算法求权图中最 短路的方法。 4、 理解树、二叉树与支掠树 的冇关概念；掌握二叉树的三 种遍历方法，用Kruskal 算法 求权图屮般小树的方法。
5、 理解有向图与有向树的概 念。 ［本章重点习题I
P221, 2； P225, 1； P231, 2, 3； P239, 5； P242, L 2o
［疑难解析］
1 ?本章的概念较多，学习 时需要认真比较各概念的含 义，如：图.子图.有向图. 权图；树、支撑树、二叉树、 有向树；路、简单路、回路等,
mxVy （P （x ）/\Q （F （x ）, y ））= mx （（P （x ）
心郴砌的俚俟腿
叙玲领3））） = （（P （2）A Q （ V （（P （3）
A Q
= 0vl =1
= （（0A0）A （0Ai ）Kt 执 uM 刺痂特拉
（Dijkstra ）算法步骤，从起点
起，到每一点求出最短路，然 后进行仔细比较，放厉到达终 点，算出最小权和。
3、权图中的最优支撑树 权图中的最优支撑树是 图小所带权和最小
的支撑树，
G =女念）卜（-a ）f （y ）谢槪胪卡尔Eska 】）算
=晌Pg >0v WQ （z ）xW ））豔珞瑟專 =3x3yVz （P （^, y ）
v-ig （^）v R （兀）施才能得到树?
解：n 个顶点的完全图?中共 有 nx
（n-I ） /2 条边.
n 个顶点的树应有n-1条 边， 于是，删去的边有：nx （n-1） /2?（I 卜 1） = （n-1 ） x （n-2） /2
例2 求下而有限图中点u
到各点间的最短路。 （图上数字见教材 P231,
第 3 题。
U->Uj , d(u,
八11)
u->
d(u, U 2)=9,
路(U, *
113, U7, u )
U-> ?3， d(u, 113)=5
, 路(u, S u 3 J UT U4 , d(u. 114)=3
,
路(u, U 4)
u->
d(u, U 5)=H,
路a U],U5)或路(u, U4, U
,u 7, u 2 >u 5) u-> u 6 ， d(u, 116)= 路a U h u 5,1 %) UT U?, d(u, U7)=&
路(u. ?4,5 , U 7)
u-> U 8 , d(u, U8)=H, 路(U ，U4, u 8)
UTV,
d(u, v)=15,
路(u, U], u 5 > U 6 ,v)
或路(u, u 4, U3, U7,
3.
2.
u 6 ,v)
解 路（U )
20% o
况见课
图论约占
空题］
列
附录:
1?
二、考核说明
木课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。形成性考核占总成绩的20%,以课程作业的形式进行（共三次，由屮央电人统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。总成绩为100分, 60分及格。
期末考试实行全国统一闭卷考核，试卷满分为100。由中央电大统一命题,统一评分标准，统-考试时间（考试时间为120分钟）。
1、试题类型
试题类型冇填空题（分数约占20% ）.单项选择题（分数约占14%）、计算题（分数约占50%）和证明题（分数约占16%） O
填空题和单项选择题主耍涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论.公式及其简单计算。计算题主要考核学生的基本运算技能，耍求书写计算、推论过程或理由。证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是：集合论约i' 40% ,数理逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元关
系，如果关系R同时具有
_________ 性.对称性
和_______ 性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（P A Q）->R,则G 共冇_________________ 个
不同的解释；把G在其所
有解释下所取真值列成一
个表，称为G 的 ___ ;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
1 , 0）使G的真值为，
设G二（P, L）是图.如果G 是连通的，并口 ,则G
是树。如果根树T的每个
点V最多有两棵子树, 则
称T 为_____________ O
［单项选择题］（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列各式
正确的冇
( )O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c,
d)±的两个关系，其中
Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) ,
(d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
(b, c) , (c, b) , (d, d)),则
R2是&的 ( )闭包。
A.自反B?对
称 C.传递
D?以上都不是
3.设G是由5个顶点纽成
的完全图，则从G屮删去(
)条边可以
得到树。
A. 4
B. 5
C 6
D?10
I计算题］
1.化简下式：
(A-B-C) u ( (A-B) cC ) u
( AnB-C ) u (AcBcC)
2.通过求主析取范式判断下
列命题公式是否等值。
(1 ) (P A Q)v
C-I P A Q A R):
(2) (Pv (Q A R)) A (Qv
(-.P A R))；
3.求图中A到其余各顶点的
最短路径,并写出它们的
权。
［证明题］
1.利用基本等价式证明下面命题
公式为恒真公式。
((P T Q) A (Q T R))
->(P T R)
2.用形式演绎法证明：{P->Q,
R T S,P V R}蕴涵QvSo
试题答案及评分标准
［填空题］
自反；传递
8：真值表；1 无回路；二叉
树
［单项选择题］(选择一个正确答
案的代号，填入括号小)
1、A
2、B 3.
C
［计算题］
1.解：
(A-B-C) u ( (A-B) cC ) u
( AnB-C ) u
(AcBcC)
=(Ac?Be?C ) v (Ac ?
BeC ) u (AcBc~C ) u
(AcBcC)
=((Ac~B)c(?CuC))
5 (AcB)c(~CuC)) =((Ac?
B ) cE ) u ((AcB ) cE ) E为
全集
=(Ac?B) u (AnB)
=Ac (~BuB)
=AnE
=A
2.解：
(P A Q) v (^P A Q A R)<=>(P A Q A
(-I R V R) ) v (-.P A Q A R)
O (P A Q A-I R ) v (P A Q A R )
v ( -I P A Q A R)
o m6vm7vm3
<=>
(Pv (Q A R) ) A (Qv
(-)P A R))
O (P A Q) v (Q A R)V
(P A-I P A R ) v ( -I P A Q A R)(分
配律)
<=>(P A Q A(-iRvR ) ) v
((iPvP ) A Q A R) V (-,P A Q A R)
u> (P A Q A-I R) 7
(P A Q A R)v ( —)P A Q A R ) v
(P A Q A R) v (-I P A Q A R)o
m6vm7vni3vin7vm3 0
mjvnvvmv
由此可见(P/\Q) v
(-)P A Q A R)o (P V(Q A R))A(Qv
(-,P A R))
3.解：
A到B的最短路径为
AB,权为1：
A到E的最短路径为ABE,
权为3；
A到F的最短路径为ABEF,
权为4；
A到C的最短路径为
ABEFC,权为7；
A到D的最短路径为
ABEFCD,权为9。
［证明题］
1.证明：
((P T Q)A(Q->R)) T
(P->R)
o( (iPvQ) A(-I Q V R))
T (-iPvR)
<=>->((-1P V Q)A(->Q V R))
v (-.PvR)
o (P/\「Q) v (Q A-,R)
V-I P V R
<=> ((P A-|Q) v—1P ) V
((Q A^R) vR)
O (I A (-iQv-iP ) ) v ((QvR)
A1)
o —iQv^PvQvR
O (-nQvQ) v-)P vR
<=> 1 v—iP vR
<=> 1
2.证明：
(1)PvR
规则p
(2)「R T P
规则Q ,根据
(1)
(3)P T Q规则p
(4)「R T Q
规则Q,根据
(2)(3)
(5)「Q T R
规则Q,根据
(4)
(6)R T S规则p
(7)「Q T S
规则Q,根据
(5)(6)
(8)QvS
规则Q ,根据
(7)
三、综合练习及解答
(一)填空题
1、集合的表示方法有两种:
2
C
3 E
法和
法。请把“大于3而小于或等
于7的整数集合”用任一种集
合的表示方法表示ill 來
A={
_____ }。
2、A, B是两个集合，A={1,
2, 3, 4}, B={2, 3, 5), 则
B ? A二 __________ , p
(B ) -p ( A )
,p ( B )的元素个数为__ O
3、设
A = {a,b}9
B = {1,2} ,则从
A到B的所有映射是8、将儿个命题联结起來，形成一
个复合命题的逻辑联结词主要
有否定* _______ 、
和等值。
9^表达式Vx3yL (x, y)中谓词的
定义域是{a, b, c), 将其中的量词
消除，写成与Z 等价的命题公式
为
p 1011)
1 0001
0 0011，则G
1 0101
J 1110>
有( )。
A.5点，8边
B. 6
点，7边 C.5点，7边
D.6 点，8边
MM?}二
e 忖帥}=4
6、
(
下列命题正确的是 )。
A
B
10、一个无向图表示为G=(P,
L )
的集合，
其屮P 是
L是
的集合, 7、
4、汝命题公式
G = P t「(Q t R)
,则使公式G为假的解释是
(-)单项选择题(选择一个正确答案的代号，填入括号中)
1.
和______________________ O 5、设G是完全二叉树，G有
15个点，其中8个叶结点，则G 的总度数为
______________ ，分枝点
数
为
设命题公式
G = (PV「戶)t ((Q A/?)v P用;
，则G是( )。
A/MiX的 B.恒假
的C?可满足的
D.析取范式
设集合A = {a.b.c}, A
的关系
2、
上
/?={(Q,a),(a,/?),(/?,
,则二(
6> 全集E={L 2, 3, 4, 5}, A={1,
5), B={1, 2, 3, 4), C={2, 5}, 求Ac~B=
,p (A) np (C)
7、设A和B是任意两个集合, 若序偶的第一个元素是A的一个元索，第二个元索是B的一个元素，则所冇这样的序偶集合称为集合A和B 的
记作AxB , 即
AxB=
____ o AxB的子集R称为
A ,
B 上的3、一个公式在等价意义下，下
而哪个写法是唯一的
( )O
A.析取范式
B.合取范式
C.
主析取范式D.以上答案都
不对
4、设命题公式G=-, (P T Q),
H=P-> (Q T「P),则G 与H 的关
系是(
A
B
C.G=H
上都不是
G=>H
H=>G
D.以
5、已知图G的相邻矩阵为
C ?{a}w{a , b , c)
D?(|)e{a, b, c| 设集合
A={a, b, c), A 上的关系
R={ (a> b),
(a, c) , (b, a) , (b,
c) , (c, a) , (c, b),
(c, c) }, 系的(
A. H反
则R具有关 )
性质。
B.对
传递
C.
D.反对称
8、设R为实数集，a(X)=
-X2+2X-1,
)
单
满
G=R->R,
则C是(
A .
B .
9、命
题。
映射
而
而
满单
k
r
h
r
tt
T-
射
射
是
C.双射单射，也不是满射
卜列语句中，( )是
y
f
<
沁姓镰肿◎}；C(功妙谶),(如0)
诫C, C)}. 把门关上。
卜?而给出的i阶逻辑等价
)是错的。
Vx(A(x)vB(x)) =VxA(x)
vVxB (x) A->VxB ( x ) =Vx
(A T B (x))
3x (A (x) vB (x))
=3xA (x) v3xB (x) -iVxA (x)
=3x (-1A
(x))
(三)计算题
1、设R和S是集合
A = {1,2,3,4} ±的关系，
英中
/? = {(!,1),(1,3), (2,3), (3,4)}
S = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,4)}
，试求：(1)写出1<和$的
关系矩阵:
10、
式中，(
A.
B.
C.
D.
(2 ) 计算
R S, RuS, R
2、设A={a? b, c, d), R P
R2是A上的关系，其中
Ri={ (a, a) , (a, b),
(b, a) , (b, b) , (Ct
c) , (c, d) , (d, c), (d, d) ),
R2={ (a, b), (b, a) , (a, c) ?
(c,
a) r (b, c) , (cr b) r (a, a) , (b,
b) , (c,
C) }o
(1)画出R］和R2的关
系图；
(2)判断它们是否为等
价关系，是等价关
系的求A屮各元素
的等价类。
3、用真值表判断下列公式是恒
真？恒假？可满足？
(1)(P A-I P)㈠Q
(2)(P T Q) A Q
(3)((P->Q)A(Q->R))T
(P T R)
4、设解释I为：
(1)定义域D={-2, 3,
6};
(2) F (x) : x<3； G (x) :
x>5o
在解释I下求公式mx (F (x) vG (x))的真值。
5、求卜图所示权图中从u到V
的最短路，画出最短路并计
算它们的权值。
已知A=|l, 2, 3, 4, 5|, B={1, 2,
3}, R 是A 到B的二元关系，
并且R={ (x, y) IxwA 且
ywB 且2< x+y<4),画出R的
关系图,并写出关系矩阵。
画出下面偏序集(A, <) 的哈斯
图，并指出集合A 的最小元、
最大元、极人
元和极小元。其中A二{a,
1 ? R c, d, e), <={ (a? b), (a9c)
9 (a, d) , ( c) , (b, c) , (c, c), (d, e) )uI A o 求命题公式「(Px/Q) o (P A Q) 的析取范式与合取范式。 给定解释I如下： 定义域E>={2, 3}； 造价如下：(以百力元为单位) w (v P v2) =4, w (v P v3) =7, w (v P v4) = 16, w (v P v5) =10, w(V2, V3) =13, w(v2> v4) =8, w (v2, v5) = 17, w (\勺，v4) =3^ w (v3, v5, ) =10, w (v4, v气)=12 试求出连接5个城 市的且造价最低的铁路网。 (四)证明题 1 、证明等价式 (A-B ) -C二A- (BuC) 4、利用一阶逻辑的基本等价式， 证明： VxVy (F (x) T G (y)) =3xF (x) —>VyG (y) 练习解答 (-)填空题 1、列举；描述;A={4, 5, 6, 7}或A={xl3 (5}; {{5}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5|)； 8 Q]={ (a, 1), 02= { (a, 2), aj={ (a, 1), 2), 10、 点；连接某些不同点对的边; 一对不同点Z间绘多冇条边 (-)单项选择题(选择一个正确答 案的代号，中) 1 > C 3、C 5、C 6、 A 8、D 10、A (三)计算题 (2)R S={(1, 2), (3, 4)) RoS =( ( 1, 1) , (1, 2) , (1, 3), (2, 3) , (2, 4), (3, 4), 0) 7 2 . 4、 填入括号 7 > 9、 j 1 1 o- M K=, M s = 0001 0000 6、7、 9、 10、 f (2) f (3)F4) (2, 2) F (2, 3)F7、笛卡尔积(或直乘积)；{(x, (3, 2) F (3, 3)y) IxwA fl ywB}；二元关系 328、并且(或合取)：或者(或 00析取)；蕴涵 1 19、(L (a, a) vL (a, b) vL 求VxVy (F (x, y) ->F(a c) ) A (L (b, a) (f(x) , f (y) ) ) 0vL (b, b) vL (b, c)) 11、设有5个赢市Vp v2,V3,A (L (c, a) vL (c, b) Vy v5,任总两城市Z间铁路vL (c, c)) (「P 八 R)4 (Q 八 R)v (R袖)弋iff P T*S T7\ 2、 3、 4、 (b, 1))： (b, 2))； (b, 2))； (b, 1)) 04— { (a, (1,0, 1) (1, 0, 5、28； 6、{5}； (1,1,1)； 2、利用形式演绎法证明: {Pvg, - ((Au (B-C) ) nA) 证明: {5}}; {1, 3, (4,4)} R '={ (1, 1), (3,1),(3, 2), (4, 3)} S"?R~'={ (2, 1),(4,3)1 2、解: Ri和R2的关系图略。山关系图 可知,R,是等 (3)真值表迪克斯特拉算法添加边的次 =(|)u (Bn-A) =B— A 7、解： 3、价关系。 1、和{c ，所 类有两彳 d}o 由于R2不是口 以&不是等价炎系。解: (1)真值表 4. 因此公式(3)为恒真。 解： 3x (F (x) vG (x)) o (F (-2) vG (-2) ) V (F (3) vG (3) ) v (F (6) R={ (1, 1) , (1,2), (1, 3) , (2, 1 ), (2, 2) , (3, I)) R的关系图为 关系矩阵M R= 1厂1 1 、 1 1 0 1 0 0 0 <0 丿 0 0 1、解： (A, <)的哈斯图为: p Q-iRG (6) ) P AI P，P A「P)oQ 大元。 001o (1 v0) v (0 v0 ) v (0v 1)9、解： 011o 1 0°(Pv( 1005.解：o 1 <->( -1( Pv 110从U到V的最短路为U- a J 因此公式(1)为可满足。 (2) a为A的极小元，也是故小 元； e为A的，也是最 )<-> (P A Q))T(P A Q ))(PvQ)) O ( (PvQ) v (P A Q)) 真值表/、 P Q P T Q->(P T Q) A Q 0 0 1 60 0 1100 1 0010 V]~*V2f V L V3~V。最短路权 V1 1 ① ② U 2 V3 2 ④ 3 v2③1 1值为9。 V. 1 A( (iPv-)Q) V(-I P A-)Q)))o (PvQ) A (「P—Q) 上面结果为合 取范式。利用人对V分配得： (PvQ) A (-iPviQ) o (P A-I P) V(P A-I Q)V(Q A-I P)v (Q A-^Q) <=> 上血结果如析取范式。 10、 解： VxVy (F (x, y) ->F (f (x) , f (y))) 0 0x( (F (x, 2) T F (f (x) , f (2) ) ) A (F (x, 3) T F (f (x) , f (3)))) o (F (2, 2) ->F (f (2) , f (2) ) ) A (F (2, 3) T F (f (2) , f (3) ) ) A (F (3, 2) T F (f (3) , f (2) ) ) A (F (3, 3) ->F (f (3) , f (3))) O (0->l ) A (0->l ) A (I T O) A (I T O) oO 11、 解：首先将本题用权图来 描 述，于是求解此题便成为求 权图屮的最优支撑树问题， 按克鲁斯卡尔算法， 下 图为求解故优支掠树的过 程： (4 ) ~yS T R 规则P ( 5 ) R 规则Q ，根据(3)、(4) 和基木蕴涵式(11) (6 ) P 规则P (7 ) 规则Q ，根据(5)、(6) 和基本蕴涵式(12) (8 ) PvQ 规则P < 9 ) 2 规则Q ，根据(7)、(8) 和基本蕴涵式(10) 3、证明: (A-B) -C= (Ac~B) c~C = Ac = Ac ? (BuC) =A- (BuC) 4、证明: VxVy (F (x) ->G (y)) =Vx (F (x) TVyG (y)) (—iP A (~i2 A 7?)) V G (y) 鋁(丫他㈱ s =((_1PA _ie )v(evP))A/? = (-(^v2)V(Pve))A/? =R 2、证明: ( ? 1 ) S —T 规则P ( 规则P 2 ) ( 3 ) 规则Q, 根据(1)、 (2)和 基木蕴涵式(12) (四)证明题 1、证明： =Vx (~iF (x) vVy G (y)) ( C ) d ) (e) 连接5个城市的造价最低 的铁路网总造价为24 (百万 元)。 (?Bc ? C) 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 最新初中数学九年级知识点汇总 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０° A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数，+a也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN = 中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. (1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心 考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念 考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用 考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点 考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数 考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像 考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质 考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14：圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2 初三知识整理 全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3）(a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种 r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r 初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O圆与方程知识点总结典型例题
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