当前位置：文档之家› 对称性在积分计算中应用

对称性在积分计算中应用

毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用

学院：数理学院

专业名称：信息与计算科学

学号：0741210102

学生姓名：鲍品

指导教师：张晓燕

2011年5 月20 日

对称性在积分计算中的应用

摘要

对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。

积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。

利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。

关键词

定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性

Abstract

The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation.

Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time.

More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what.

Key words

definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity

1、绪论 (1)

1.1 研究背景 (1)

1.2 研究意义 (1)

1.3 研究的思路及结构的安排 (2)

2、对称性在定积分计算中的应用 (2)

3、对称性在重积分计算中的应用 (3)

3.1 二重积分计算 (3)

3.2 三重积分计算 (6)

4、对称性在曲线积分计算中的应用 (9)

4.1 第一型曲线积分计算 (9)

4.2 第二型曲线积分计算 (10)

5、对称性在曲面积分计算中的应用 (11)

5.1 第一型曲面积分计算 (11)

5.2 第二型曲面积分计算 (13)

6、对称性解题方法总结 (15)

7、致谢 (16)

8、参考文献 (17)

1、绪论

1.1 研究背景

众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性。自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法[25] 。所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性。

事实上。数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如几何图形中的轴对称、中心对称、镜像对称、正弦曲线等无不呈现出对称性[6,7]；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的思想方法与常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法。

目前，数学教材一般只给出定积分理论中的对称性结论的例题，对于重积分、曲线积分以及曲面积分大都要求转化为定积分后再利用对称性求解。那么, 对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论呢？

1.2 研究意义

积分在微积分学中占有极为重要的地位, 它与微分相比, 难度大, 方法灵活。掌握常见的积分方法如换元法和分部积分法是十分必要的, 但是只掌握这些方法是远远不够的, 在某些复杂的微积分计算和证明过程中，特别是涉及三元及三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求多元函数微积分的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率。对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。

其实，对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论[8]。对称性在定积分计算中的应用在许多课题研究上已经介绍得很全面，然而对于对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，相关的文献对其也有探讨，但都相对比较零散，有的甚至很少涉及[9]。本文将把重点放在研究对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来简化积分计算的相关结论。

1.3 研究的思路及结构的安排

本文将首先指出所要研究的方向，指出其研究意义。其次利用对称性相关结论来简化定积分计算，然后从重积分，曲线积分和曲面积分三大方面，分别证明对称性相关性质，并结合实例加以验证。最后对本文内容进行分析总结。

本文一共六章，其结构安排如下:第一章绪论，主要阐述研究背景，研究的意义以及研究的方法。第二章，在遇到定积分计算问题上，利用对称性能简化计算，节省时间，提高效率。第三章，第四章以及第五章，先分别证明其对称性相关性质，然后例举实例加以验证。第六章，分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结应用对称性解题时要注意哪些方面。

2、对称性在定积分计算中的应用

性质2.1[10] ()[,]f x a a -设在区间上可积：

(1)()()0;a

a f x f x dx -=?若为奇函数，则

(2)()()2().a

f x f x dx f x dx -=??若为偶函数，则

(1)()()()()()()a

a a

f x x t f x dx f t d t f t dt f x dx

-----==--=-=-?

??证明：当为奇函数时：令则

2()0,()0.a a

f x dx f x dx --==??所以即

000

(2)()()()()()()()a

a a

f x f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx

--=+=--+?

????当是偶函数时：

()()a a

f x dx f x dx =+??

()2().a a

f x dx f x dx -=??所以

20.

2cos .

2cos 2cos()2cos 1

()2cos d f

x d dx dx

f x x f x x

ππππθ

θπθθπ--+=-=-=-++--=-????例2.1：计算积分解：令则

其中为偶函数，则

2cos 2cos()

d dx

x π

ππθθπ-=-++-?

? =022cos 2cos 2cos dx dx dx

x x x

πππ

π---

==---??? tan

t =令则 22220

0022

2111224112cos 2211dx t t dx dx t t x

t t π

+∞+∞++==-----++?

?? 20

1244arctan 3.01333

dt t t π+∞

+∞===+?

3、对称性在重积分计算中的应用

3.1 二重积分计算

1把性质2.推广到二重积分的计算中有下面的性质

D x (,)(,)f x y f x y -=-性质3.1.1 若关于轴对称，当时，(,)0;D

f x y d σ=??有

(,)(,),(,)2(,)D

f x y f x y f x y d f x y d σσ-==????当有，

D1D 其中是的上半部分. D D ,()(),x x b x y x φφ≤≤-≤≤证明: 因为关于轴对称,所以不妨设：a 从而

()

(,)(,),x b

x f x y d dx f x y dy φφσ-=????

(,)f x y y 如果函数是关于的奇函数,由上述定理1可知

()

(,)0x x f x y dy φφ

-=?

()

(,)(,)0x b

x f x y d dx

f x y dy φφ

σ-==????故;

(,)f x y y 如果函数是关于的偶函数,由上述定理1可知

()

(,)2

(,)x x x f x y dy f x y dy φφφ

-=??

()()

()

(,)(,)2(,)x x b

b D

x a

f x y d dx

f x y dy dx

f x y dy φφφ

σ-==??????

故1

2(,),.D f x y d σ=??结论得证

类似性质3.1.1的有：

D (,)(,),(,)0;D

y f x y f x y f x y d σ-=-=??性质3.1.2若区域关于轴对称，当有

(,)(,)(,)2(,)D

D f x y f x y f x y d f x y d σσ-==????当时，有，

D1D .其中是右半部分

D (,)(,),(,)0D

f x y f x y f x y d σ--=-=??性质3.1.3 若关于原点对称，当有；

(,)(,)(,)2(,)D1D D

D f x y f x y f x y d f x y d σσ--==????当时，有，其中是的上半部分.

[11]:D D3D4,3P x y D ∈证明设可分为关于原点对称的两个区域和，且任意的() 1111

(,)4,.x x P x y D y y Jacobi =-?∈?=-?关于原点对称则由行列式

111

110(,)101(,)x x y x y x J y y x y x

??-???==

==??-??? D4

(,)(1,1)11(,).f x y dxdy f x y dx dy f x y Jdxdy ==--??????而

(,)(,)(,)f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+??????

=D3

(,)(,)f x y dxdy f x y Jdxdy +--????

(,)(,).f x y dxdy f x y dxdy +--????

(,)f x y 由此可知：当为奇函数时

(,)0D

f x y dxdy =??

(,)f x y 当为偶函数时

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =????

D (,)(,).D

y x f x y d f y x d σσ==????性质3.1.4 设关于直线对称，则

2222

1,D {(,)1,0}1D

I dxdy x y x y y x y

+=+≤≥++??

例3.1.1 计算二重积分=其中

1,11D

I dxdy dxdy x y

x y

=+++++??

??解： 22

1D (,)1y f x y x y =

++因为关于轴对称，并且函数是关于的偶函数，

(,)1xy

g x y x x y

++而函数是关于的奇函数，从而由性质3.1.2知， 1

122ln 2,1112D

D r dxdy dxdy d dr x

x y

r π

θ===+++++?????? 222210,ln 2112D D

xy xy dxdy dxdy x y x y π

+==++++????故 . [11]222222()2z a x y x y y =++=例3.1.2求圆锥截圆柱面的有界部分立体的体积. 22D 2,xy x y y +≤解：立体在平面上的投影：

22()y f x a x y x =+根据积分区域是关于轴对称并且被积函数是偶函数

22V 2.D

a x y dx =+??那么所得立体体积 cos ,sin .x r y r θθ==令

{}D (,)0,02sin r r θθπθ≤≤≤≤则变为

2sin 22

0166422sin .39

a V a x y dx d arrdr d a θ

θθ=+===????

? 2

,D .y D

dxdy y x y x -==??例3.1.3 计算其中为直线与曲线围成的有界闭区域

222(),1

(1).

y y

y y D

D y

y t D

y e

dxdy e

dxdy dy e

dx y y e dy

t y e

dxdy t e dt e ------===-=-=??????????解：由积分区域关于原点对称及被积函数为关于的偶函数知

令则

3.2 三重积分计算

0x ΩΩ=积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质性质3.2.1 若关于坐标面对称，则有

(,,)(,,)(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,)f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv

Ω-=-=-==?????????当时，有当时，有

11{(,,)|0}x y z x ΩΩΩ=∈Ω≥其中是的前半部分： 0y Ω=性质3.2.2 若关于坐标面对称，则有

(,,)(,,)(,,)0;f x y z f x y z f x y z dv Ω

-=-=???当时，有

(,,)(,,)(,,)2(,,)f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv Ω

Ω-==??????当时，有

11{(,,)|0}x y z y ΩΩΩ=∈Ω≥其中是的前半部分：

0(,,)(,,)(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,)11{(,,)|0}

z f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv

x y z z Ω

ΩΩ=-=-=-==ΩΩΩ=∈Ω≥?????????性质3.2.3 若关于坐标面对称，则有当时，有当时，有其中是的前半部分：

[12]将以上性质推广使其具有一般性

(,,)(),()u f x y z f M M M M M ππ==Ω∈Ω性质3.2.4 设是定义在以平面为对称平面的三位区域上的三元函数，于关于互为对称点，

(),()()(),()f M u f M f M f M u f M ππ?-=Ω?=?=Ω??则称为上关于平面的奇函数

若则称为上关于平面的偶函数

'111πΩΩΩΩ=若以为对称平面将区域分为与两部分，则的体积'1Ω的体积， ''11,M M ∈Ω∈Ω当且有

0,(,,)(,,)2(,,),(,,)f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z Ω

ΩΩ??

=?Ω?????

???为上的连续奇函数

为上的连续偶函数

'''''

00010001'000

0(,,),(,,),Ax By Cz D M x y z M x y z M M l l l x x y y z z A B C

ππΩ+++=∈Ω∈Ω---==证明：设区域以平面：为对称平面，则设过点与的直线为由于与平面垂直，因此直线的方程为：

000

(,,),0l p x y z Ax By Cz D x x y y z z A

B C π+++=??

---?==??设直线与平面的交点为解方程组

200020002000(1)(1)(1)x A x ABy ACz AD p y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αα

αααααααα?=----?

=-+---??=--+--?得点的坐标为

1A B C

α=

++其中

'00

00'00222x x x y y p M M y z z z ?+=

+?=??

?+=

由于点又是与连线的中点,所以

'20000'

0000'20000(12)2222(12)2222(12)2x A x AB y AC z AD y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αααα

αααααααα?=----?=-+---??=--+--?从而进一步得：

''''''''

'''''

(,,)(,,)(,,)(,,)f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dx dy dz f x y z dx dy dz Ω

ΩΩΩ=+????????????而对做变换：

'2'2

'2(12)2222(12)2222(12)2x A x AB y AC z AD y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αααα

αααααααα?=----?=-+---??=--+--?

雅克比式：

222122*********A AB AC J AB B BC AC BC C α

ααα

--=------222

(1)21A A B AC AB

B B

C AC

C α=--=- '''(,,)(,,)(,,),f x y z f x y z f x y z Ω=-当为上的奇函数时，

''''''(,,)(,,)f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz ΩΩ=-??????因此1

(,,)f x y z dxdydz Ω=-???

'''(,,)(,,)(,,),f x y z f x y z f x y z Ω=当为上的偶函数时，

''''''(,,)(,,)f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz ΩΩ=??????因此1

(,,)f x y z dxdydz Ω=???

故有

0,(,,)(,,)2(,,),(,,)f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z Ω

Ω??

=?Ω?????

???为上的连续奇函数为上的连续偶函数 222222

222

ln(1),1.1z x y z dv x y z x y z Ω

+++Ω++=+++???例3.2.1计算其中是由球面围成的闭区域222222ln(1)

z x y z x y z x y z +++Ω+++解：积分区域关于平面对称，而被积函数是关于的奇函数

222222222

222()ln[()1]ln(1)

()110.

z x y z z x y z x y z x y z -++-++++=-++-++++即由性质3.2.3知故所求积分为

222, 1.z

e dv x y z Ω

Ω++≤???例3.2.2 计算其中是球体

02z

z e z z e dv e dv Ω

ΩΩ==??????解：被积函数是的偶函数，积分区域关于平面对称，故

222110.x y z z z Ω++≤≥其中是上半球：，注意到被积函数只是的函数， 222111(,),[0,1]:1,x y D z D x y z Ω∈∈+≤-采用截面法，将表示为：其中

22z z

z D e dv e dv e dz dxdy Ω

Ω==?????????因此

2(1)2z e z dz ππ=??-=?

4、对称性在曲线积分计算中的应用

4.1 第一型曲线积分计算

(,)f x y L L x 性质4.1.1 为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于轴对称，

(,),(,)(,),(,)0;L

x y L f x y f x y f x y ds ?∈-=-=?若则

12(,)(,),(,)2(,).L

L f x y f x y f x y ds f x y ds L L x -==??若则，其中和是关于轴对称的两部分

(,)f x y L L y 性质4.1.2设为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于轴对称，

(,),(,)(,),(,)0;L

x y L f x y f x y f x y ds ?∈-=-=?若则

12(,)(,),(,)2(,).L

L f x y f x y f x y ds f x y ds L L y -==??若则，其中和是关于轴对称的两部分

[13]

(,)f x y L L 性质4.1.3设为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于原点对称，

(,),(,)(,),(,)0;L

x y L f x y f x y f x y ds ?∈--=-=?若则

12(,)(,),(,)2(,)L

L f x y f x y f x y ds f x y ds L L --==??若则，其中和是关于原点对称的两部分

121:(),(),[,],L L L L x x t y y t t αβ=+==∈证明：因为关于原点对称，所以不妨设 2(),(),[,],L x x t y y t t αβ=-=-∈则：于是有

(,)(,)(,)L

L L f x y ds f x y ds f x y ds =+???

'2'2

'2'2((),())()()((),())()()f x t y t x t y t dt f x t y t x t y t dt ββ

--+?

'2'2

[((),())((),())]()()f x t y t f x t y t x t y t dt β

=+--+?

(,)(,)(,)0;L

f x y f x y f x y ds --=-=?故，当时，有

(,)(,)f x y f x y --=当时，有

'2'2(,)2((),())()()2(,)L

L f x y ds f x t y t x t y t dt f x y ds β

=+=?

221,,(345).43l x y l a x y xy ds +=++?例4.1.1设为椭圆其周长为计算曲线积分

2222(345)(34)5l

x y xy ds x y ds xyds ++=++???解：，

22(34)1212,(,)5l

x y ds ds a l x f x y xy y +===??其中因为关于轴对称，是关于的奇函数，

50l

xyds =?所以由性质4.1.1知

22(345)12.l

x y xy ds a ++=?故

4.2 第二型曲线积分计算

1L x L L 性质4.2.1 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在上半平面部分 2L L 与在下半平面部分的方向相反，则

(,)(,)0L

P x y y P x y dx =?若关于变量是偶函数，则

(,)(,)2(,)L

L P x y y P x y dx P x y dx =??若关于变量是奇函数，则

12112221(),(),,L L L L y y x x x x L y y x x x x =+==-证明：由，：从变到：从变到则

2(,)(,)(,)L

L L P x y dx P x y dx P x y dx =+??

[,()][,()]x x x x P x y x dx P x y x dx =

+-??

{[,()][,()]}x x P x y x P x y x dx =--?

(,)(,)(,)0L

P x y P x y P x y dx =-=?当时，则

(,)(,)(,)2[,()]2(,)x L

L x P x y P x y P x y dx P x y x dx P x y dx =--==???当时,则

L y L L 与性质4.2.1类似有

性质4.2.2 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在右半平面部分

2L L 与在左半平面部分的方向相反，则

(,)(,)0L

Q x y x Q x y dy =?若关于变量是偶函数，则

(,)(,)2(,)L

L Q x y x Q x y dy Q x y dy =??若关于变量是奇函数，则

2,(1,1)(1,1)L

x y dx L y x A B =-?例4.2.1计算其中是抛物线上从到的一段弧.

12,x L L L =+解：化成对的定积分计算， 12:,10;

:,01L y x x L y x x =-=从变到从变到，则

L L x y dx x y dx x y dx x x dx x xdx =+=-+?

????

0x xdx x xdx =-+=??

22()

22[cos(2)sin(2)],1,x y C

xy dx xy dy C x y -+++=?例4.2.2 求曲线积分是单位圆周

.方向逆时针方向

(,)(,)C x y x y -解：积分曲线可分为上，下两个对称的部分.在对称点与上，

2()

cos(2),.x

y e xy dx -+函数大小相同但投影元素在上半圆为负，下半圆为正 2

2()

cos(2)x y e xy dx -+因此，在对称的两个半圆上大小相等，符号相反

2()

cos(2)0x

y C

e xy dx -+=?故

2()

sin(2)0x

y C

e xy dy -+=?类似可知

2()

[cos(2)sin(2)]0x

y C

e xy dx xy dy -++=?

因此

5、对称性在曲面积分计算中的应用

5.1 第一型曲面积分计算

第一曲面积分类似于三重积分有以下性质:

[14]0x ∑=性质5.1.1 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则

(,,)(,,)(,,)0;f x y z f x y z f x y z ds ∑

-=-=??当时，

(,,)(,,)(,,)2(,,).f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds ∑

∑-==????当时，

11{(,,)|0}x y z x ∑∑∑=∈∑≥其中是的前半部分：

110(,,)(,,)(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,).

{(,,)|0}

y f x y z f x y z f x y z ds f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds x y z y ∑

∑

∑∑=-=-=-==∑∑∑=∈∑≥??????性质5.1.2 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则当时，当时，其中是的右半部分：

110(,,)(,,)(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,).

{(,,)|0}

z f x y z f x y z f x y z ds f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds x y z z ∑

∑

∑∑=-=-=-==∑∑∑=∈∑≥??????性质5.1.3 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则当时，当时，其中是的上半部分：

22222(),.I ax by cz d ds x y z R ∑

=+++∑++=??例5.1.1计算曲面积分其中是球面

2()I ax by cz d ds ∑

=+++??解：

2222[()()()222222]ax by cz d abxy aczx bcyz adx bdy cdz ds ∑

=+++++++++??

根据曲面积分的对称性及被积函数的奇偶性可知：

0xds yds zds xyds yzds xzds ∑

∑

=====????????????

2222222

,,x y z R x y z x ds y ds z ds ∑

∑

++===??????因为球面关于具有对称性所以

2()I ax by cz d ds ∑

=+++??因此

22222221()()43a b c x y z ds R a π∑

+++++?? 2

22214[()]3

R R

a b c a π=+++

5.2 第二型曲面积分计算

12(,,)(,,),

(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,).

xoy R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z dxdy xoy xoy ∑

∑

∑∑-==-=-=∑∑∑∑??????性质5.2.1设分片光滑的曲面关于平面对称，则若若，其中取在平面的上半空间，取在平面的下半空间.

[15]12

1212(,),(,),,,xy z z x y z z x y xoy D ∑=∑+∑∑=∑=-∑∑证明：

由：取定上侧;：取定下侧又在平面上的投影域为则

(,,)(,,)(,,)R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy ∑

∑∑=+??????

[,,(,)][,,(,)]xy

D D R x y z x y dxdy R x y z x y dxdy =

--????

{[,,(,)][,,(,)]}xy

D R x y z x y R x y z x y dxdy =

--??

(,,)(,,)(,,)0R x y z R x y z R x y z dxdy ∑

=-=??当时，则；

(,,)(,,)(,,)2(,,)=2(,,).xy

D R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy ∑

∑=--=??????当时，则

类似性质5.2.1的有：

yoz ∑性质5.2.2设分片光滑的曲面关于平面对称，则 1

12(,,)(,,),

(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,).

R x y z R x y z R x y z dydz R x y z R x y z R x y z dydz R x y z dydz yoz yoz ∑

∑

∑-==-=-=∑∑∑∑??????若若，其中取在平面的前半空间，取在平面的后半空间.

12(,,)(,,),

(,,)0;

(,,)(,,)(,,)2(,,).

xoz R x y z R x y z R x y z dxdz R x y z R x y z R x y z dxdz R x y z dxdz xoz xoz ∑

∑

∑∑-==-=-=∑∑∑∑??????性质5.2.3设分片光滑的曲面关于平面对称，则

若若，其中取在平面的右半空间，取在平面的左半空间.

22,10

x y x dydz y dxdz z dxdy z a b z ∑

++∑+===??例5.2.1计算其中是椭圆柱面介于和之间部分的外侧 22

(,,)0

(,,),0

P x y z x x yoz x dydz Q x y z y y xoz y dxdz ∑

∑

=∑==∑=????解：因为是的偶函数，关于平面对称

所以由性质5.2.2知

类似地，因为是的偶函数关于平面对称所以由性质5.2.3知

2210x y xoy a b

∑+=又在平面上的投影为一头圆周，投影区域的面积为

20z dxdy ∑

=??所以由性质5.2.1知

22()()(),(0).

y z dydz z x dzdx x y dxdy z x y z h h ∑

-+-+-∑=+=>??例5.2.2计算其中为曲面

及平面所围成立体的表面外侧

221212:z x y z h ∑=∑+∑∑=+∑=解：由，：取定下侧;取定上侧

12(,,)P x y z y z x yoz yoz =-∑∑因为是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为0

()()()0y z dydz y z dydz y z dydz ∑

∑∑-=-+-=??????所以由性质5.2.2知

1(,,)Q x y z z x y xoz =-∑类似地，因为是的偶函数，关于平面对称， 20xoz ∑又在平面上的投影域面积为

()()()0z x dzdx z x dzdx z x dzdx ∑

∑∑-=-+-=??????所以由性质5.2.3知

12,

()()()xy xoy D x y dxdy x y dxdy x y dxdy ∑

∑∑∑∑-=-+-??????又记，在平面上的投影区域为由性质5.2.1知

()()0xy

D D x y dxdy x y dxdy =--+-=????

()()()0.y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-=??所以

6、对称性解题方法总结

常见的积分计算方法有换元法和分部积分法，这些方法比较基础同时也是必要的，对于解决一些简单的积分计算问题有效。但是当遇到复杂的微积分计算和证明问题，特别是涉及到三元或三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。

针对这种情况，本文提出了利用对称性解题的方法，分别从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四大方面来讨论了对称性，并对同一类型的性质给出了证明，同时也列举了相应的实例，的确通过本文我们可以清楚地看到利用对称性解题，非常奏效，极大地简化了积分计算。不论是在二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分中，它的这种简化作用都十分明显。

用对称性解题的同时我们要注意另一个问题，防止滥用对称性。应用对称性计算积分时应注意以下两方面：

1、必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性，这时需根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用相关性质。

2、对于第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，需要考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，这些地方容易出错，需谨慎。

222,1(0,0).

00=0.

xyzdxdy x y z x y x y x y xyz z xyzdxdy ∑

∑

∑++=≥≥∑∑∑∑∑∑∑????下下上上上例6.1计算其中为球面的外侧解：几分曲面被平面分为上下两部分、，且、关于平面对称，而被积函数是关于的奇函数，则由对称性知其实，仔细分析这种做法是错误的.这是第二曲面积分，利用对称性时却忽视了第二类与第一类曲面积分的本质差别：也就是第二类曲面积分中积分曲面是有向的，2222222222222

.=1,=-1,0:1(0,0)

1(1)212xy

xy D D D z x y z x y x y D x y x y xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy

xy x y dxdy xy x y dxdy

xy x y dxdy

d πθ∑

∑∑∑∑--∑--+≤≥≥=+=------=--=?????????????下

上

下下上和的方向相反，所以不能按第一曲面积分对称性来解题正确做法如下：

：：它们在平面上的投影区域都是1

220

311

222222

00sin cos 11

2sin cos [(1)(1)](1)

2215

r r rdr

d r r d r π

θθθθθ-?=----=???

12,V 1,2,0,.:{(,)|0,12}

(,)0,(,),dxdydz

x x z y x z y x y

V xy D x y y x x x z x y z x y y =====+=≤≤≤≤==???

例6.2计算其中为由平面与所围的区域解在平面上的投影区域

是型区域，该积分区域不具有对称性这里故

22222222

10010V

2221

111=ln()ln 202

ln 22

x y x dxdydz dz ydy dx dy dx x y x y x y x x y dx dx ==++++==

??????????

7、致谢

通过这段时间的忙碌，毕业论文总算是完成了。从不会到会，一路走来，我学会了许多。

首先我了解了写一篇论文的大致流程，学会了如何去写一篇论文，假如哪天我真的有机会需要写论文，就不会再去查询写论文的格式规范；然后就是对积分的认识更深刻了，特别是积分计算上是获益匪浅；最后，我学会了在压力下成长，怎样去缓解和释放压力，是我们每个人都要去面对的，让我们在压力面前显得不再那么脆弱与无奈。

没有这次的论文，也就没有这些收获。所以要感谢张晓燕老师的督促指导，同时也要感谢数理学院能给我这次论文答辩的机会，好让我早点顺利毕业，最后要感谢所有曾经帮助过，关心过我的老师和同学！

积分对称性定理

关于积分对称性定理 1、定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。（2）如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分

()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.（二重积分的轮换对称性） (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特

二重积分对称性定理的证明及应用

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1．预备知识 (1) 2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用

摘要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题．关键词：对称性；积分区城；被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract ：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords ：Symmetry; Integral region; Integrated function 前言利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D 具有对称性，而且被积函数对于区域D 也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D 没有对称性，或者关于对称区域D 被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题． 1 预备知识对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当()f x 在区间上为连续的奇函数时，()0a a f x dx -=?．当()f x 在区间上为连续的偶函数时，0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??．这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分． 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

对称性在积分计算中应用修订版

对称性在积分计算中应用 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号： 02 学生姓名：鲍品指导教师：张晓燕 2011年 5 月 20 日

对称性在积分计算中的应用摘要对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。关键词定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性

Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity

巧用二重积分的对称性

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/355121020.html, 巧用二重积分的对称性作者：韩英裴丹妹刘庞凤宝杨竞艳邵诗雅吴婷婷来源：《中国科教创新导刊》2013年第17期摘要：利用二重积分被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，可以将一些繁琐的二重积分的计算简化. 关键词：二重积分，对称性，奇偶性中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（b）-0000-00 二重积分计算时，根据题目中的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.本文结合实例探讨二重积分的对称性的条件，结论和技巧. 1 二重积分的对称性基本性质运用 4 结束语计算二重积分是高等数学教学中的重要内容，利用二重积分积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性，往往能减少计算量. 需注意的是，只有具备积分域的对称性与被积函数的奇偶性两个条件才能使用对称性的结论。参考文献 [1] 吴传生主编.《经济数学——微积分》[M].高等教育出版社.2003.06：346-368 [2] 吴赣昌主编.《微积分（下册）》学习辅导与习题解答[M].中国人民大学出版社 2010.09：54-55 [3]薛春荣，王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程，2010.10（1）：172-174 [4] 隋梅真.对称区域上二重积分可以简化的条件和方法[J].山东建筑工程学院报，1995.10.（2）：76-81 [5]吴赣昌.微积分（下册）学习辅导与习题解答[M].中国人民大学出版社.2010.09：52-62. [6] 陈文灯主编，黄先开.《考研数学复习指南（经济类）》[M].北京理工大学出版社2012.01：265.

对称性在积分计算中应用

毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号：0741210102 学生姓名：鲍品指导教师：张晓燕 2011年5 月20 日

关于曲面积分对称性的研究

题目：关于曲面积分对称性的研究专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：

关摘要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。关键词：曲面积分；对称性；奇函数；偶函数 1 预备知识大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦，比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的 ] 2[。定义]5[1：设函数),,(),,(z y x f z y x f -=，则称),,(z y x f 关于x 为偶函数；若定义),,(),,(z y x f z y x f --=，则称),,(z y x f 关于x 为奇函数；类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数，偶函数。定义]7[2：设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，且D y x ∈?),(有),(),(21y x z y x z -=，1∑与2∑异侧，则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称；曲面1∑与2∑关于zox 面对称。命题]6][4[1：若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，则： 1 2 (,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-???? （1） 1 2 (,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--???? （2）

积分中的对称性

积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

积分对称性定理

关于积分对称性定理 1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则 2、二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数，即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶

数，即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx：y 2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。 3、三重积分： (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有

二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。例5 计算3()D I xy y dxdy = +??，其中D 为由2 2y x =与2x =围成的区域。解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则 2 2(,),(,)(,). (,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ???? 当当其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。例 6 计算2,D I x ydxdy = ??其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：

对称性在积分计算中的应用

对称性在积分计算中的应用摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.本文总结了对称性在定积分、重积分、曲线积分以及曲面积分计算中的应用.对于积分区域不具有对称性的情形，文中总结了几种方法来创造对称性，如平移变换、伸缩变换、区域划分等.关键词：对称性；奇偶性；积分计算；轮换对称引言数学是一个充满了美的世界，对称性不仅是数学美的重要特征，也是一个非常重要的艺术要素，因此很有必要去探讨一下对称性在解题这门艺术中的应用.在学习的过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，就能简化计算.很多文献讨论了对称性在积分计算中的应用这个问题.如文献[3]和文献[4]主要讨论了二重积分的对称性定理及其应用，得出了当积分区域关于x轴（或y轴、或原点）对称且被积函数关于变量x（或y）为奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[5]讨论了轮换对称性在各类积分计算中的应用.文献[6]讨论了对称性在三重积分计算中的应用，得出了当积分区域关于某个坐标面对称且被积函数是关于某变量的奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[7]给出了积分区域关于变量x,y,z的轮换对称性定义.文献[13]将定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的对称性定理写成统一的形式.当积分区域不具有对称性时，不能直接利用对称性来简化计算，但有时可以通过适当的变换化积分区域为对称区域.本文总结了几种创造对称性的方法，如伸缩变换、平移变换、区域划分等，有时候可以将两种变换结合起来使用. 1.对称性在定积分计算中的应用在定积分的计算中，根据积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可以简化计算.定理1.1[1] 设f(x)在[?a,a]上连续，则当f(x)是奇函数时，?当f(x)是偶函数时，? a?aa?a f(x)dx?0； f(x)dx?2?f(x)dx. a 1 周口师范本科毕业论文（设计）证明 ? a?a f(x)dx? ? a f(x)dx? 0?a ? 0?a f(x)dx. 令x??t，有dx??dt.则?当f(x)为偶函数时，当f(x)为奇函数时， f(x)dx???f(?t)dt?

曲面积分对称性

2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有： ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds 若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0；若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有：结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用

对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数，即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具

关于重积分对称性的结论

考虑如何正确利用二重积分中的被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化二重积分的计算，主要结论如下：一般设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)D I f x y d σ=??存在。 1.若D 关于y 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么（1）当(,)f x y 在D 上为x 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；（2）当(,)f x y 在D 上为x 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有1 2(,)D I f x y d σ=??，其中 1{()|(),0}D x,y x,y D x =∈≥或者1{()|0}D D x,y x =≥。 2. 若D 关于x 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么（1）当(,)f x y 在D 上为y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；（2）当(,)f x y 在D 上为y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有2 2(,)D I f x y d σ=??，其中 2{()|(),0}D x,y x,y D y =∈≥或者2{()|0}D D x,y y =≥。 3. 若D 关于原点对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么（1）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y --=-时，有0I =；（2）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y --=时，则我们就有12 2(,)2(,)D D I f x y d f x y d σσ==????，其中1D 、2D 同上述1与2中所述。 4. 若D 关于直线y x =对称，那么我们有 (,)()D D f x y d f y,x d σσ=????，称此特性为积分区域D 关于积分变量具有对称性。

关于积分对称性定理

关于积分对称性定理 1、定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数, 为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。（2）如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分 ()()()()2 0, ,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数.

其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.（二重积分的轮换对称性） (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。 3、三重积分： (1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数，空间有界闭区域Ω关于xoy 坐标面对称，1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域，则

积分中的对称性

积分中的对称性个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a, a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x, y)dσ方面的应用。结论1: 若f(x, y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ① Df(x, y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数。 ② Df (x, y)dσ=2D1f(x, y)dσ,f(x, y)为关于x（或y）的偶函数。其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。结论2: 若f(x, y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ① Df(x, y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x, y)，即f(x, y)关于原点成奇对称； ② Df(x, y)dσ=2D1f(x, y)dσ=2 D2f(x, y)dσ,f(-x,-y)=f(x, y)，即f(x, y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。结论3 若f(x, y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有： ① Df(x, y)dσ=0,f(x, y)关于直线L奇对称； ② Df(x, y)dσ=2 D1f(x, y)dσ,f(x, y) 关于偶对称。其中D1为区域D被直线L所分割的两个对称区域之一。说明：若对D内关于直线L对称的任意两点P、Q，都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q))，则称f(x, y)关于直线L奇（偶）对称。特别地，若区域D关于直线y=x对称，则当点(x, y)∈D时，有(y, x)∈D，这时积分区域D关于x、y具有轮换对称性。这时我们有： Df(x, y)dσ=12D［f(x, y)+f(y, x)］dσ