高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版)
编写:邓军民
一,复习
1.不等关系:参考教材73页的8个性质;
2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
之间的关系：
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?0
0a >???
2
0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立?00a
．
4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：
y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；
y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
5.基本不等式：
(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22
2
≥+．
(2).
≤
2
a b
+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”）
二.例题与练习
例１． 解下列不等式：
(1) 27120x x -+>； (2) 2
230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2
220x x -+<．
解：(1)方程2
7120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式2
7120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或． (2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2
230x x +-≤． 方程2
230x x +-=的解为123,1x x =-=．
根据2
23y x x =+-的图象，可得原不等式2
230x x --+≥的解集是
{|31}x x -≤≤．
(3)方程2
210x x -+=有两个相同的解121x x ==．
根据2
21y x x =-+的图象，可得原不等式2
210x x -+<的解集为?．
(4)因为0?<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据2
22y x x =-+的图象，可
得原不等式2
220x x -+<的解集为?． 练习1. （1）解不等式
073
<+-x x ；（若改为
307
x x -≤+呢？） （2）解不等式
23
17
x x -<+；
解:(1)原不等式?
?
?>-<+???<->+?03,
0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<< (该题后的答案:{|73}x x -<≤).
(2)
10
07
x x -<+即{|710}x x ∴-<<. 例2.已知关于x 的不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．
解： 不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤
∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根，
∴由韦达定理知：5151m n -+=??-?=?∴4
5
m n =-??
=-?． 练习2．已知不等式2
0ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2
0cx bx a -+>的解集．
解：由题意 23230
b a
c a a ?
+=-??
??=??
， 即560b a c a a =-??
=??
代入不等式20cx bx a -+>得： 2
650(0)ax ax a a ++><．
即2
6510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-．
例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??
+≤??≥?
，求z 的最大值和最小值．
解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，
20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，
作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，
可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >， 而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知， 当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，
所以，max 25212z =?+=，min 2113z =?+=．
O y x A C
B 430x y -+= 1x = 35250x y +-=
练习3．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??
+≤??≥?
，求z 的最大值和最小值．
解：当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，
∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =?+?=．
例4．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
22
证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 22
2
>+，2
2
2b c bc +>，
ca a c 222>+，以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++
所以，ca bc ab c b a ++>++2
22．
练习4．若21x y +=，求11
x y
+的最小值。
解：∵21x y +=，∴1122x y x y
x y x y
+++=+
22123()3y x y x x y x y
=+++=++≥+当且仅当221
y x
x y x y ?=?
??+=?
，即122
x y ?=??=??
∴当1,x y ==时，11x y +
取最小值3+.
三.课堂小结
1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等
式的解法；
2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;
3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;
4.掌握好基本不等式及其应用条件；
四.课后作业
1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ A ）
（A ）
11
a b < （B
（C ）22a b < （D ）||||a b > 2.不等式11
2
x <的解集是（ D ）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(0,2)
D ．(,0)-∞?(2,)+∞
3. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( C ) （A ）
b
a 1
1<. （B ）22b a >. （C ）1122
+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 4. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( D )
（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2
5. 不等式1201x x -≥+的解集是_________ .(KEY:1
{|1}2
x x -<≤) 6.已知实数,x y 满足3025000
x y x y x y +-≥??+-≤?
?≥??≥?，则2y x -的最大值是_________.(KEY:0)
7.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1
2
1)(--
=x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．
解：（Ⅰ）};2
3|{}032|{>=>-=x x x x M
}13|{|}01
3|{}0121|{<≥=≥--=≥--
=x x x x x x x x N 或 （Ⅱ）};3|{≥=?x x N M }2
3
1|{><=?x x x N M 或.
8. 若1->x ，则x 为何值时1
1
++
x x 有最小值，最小值为多少？ 解：∵1->x ， ∴01>+x ， ∴011>+x ，∴11++x x =1
111
x x ++-+
1211≥=-=，
当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x .
高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(学生版) 一,复习
1.不等关系:参考教材73页的8个性质;
2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
之间的关系：
20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?0
0a >???
2
0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立?00a
．
4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：
y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；
y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式：
(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22
2≥+．
(2).
≤
2
a b
+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”）
二.例题与练习
例２． 解下列不等式：
(1) 2
7120x x -+>； (2) 2
230x x --+≥； (3) 2
210x x -+<； (4) 2
220x x -+<．
练习1. （1）解不等式
073
<+-x x ；
（若改为307
x x -≤+呢？） （2）解不等式
23
17
x x -<+；
例2.已知关于x 的不等式2
0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．
练习2．已知不等式2
0ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2
0cx bx a -+>的解集．
例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??
+≤??≥?
，求z 的最大值和最小值．
练习3．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??
+≤??≥?
，求z 的最大值和最小值．
例4．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
22
练习4．若,0x y >,且21x y +=，求11
x y
+的最小值。
三.课堂小结
1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；
2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;
3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;
4.掌握好基本不等式及其应用条件；
四.课后作业
1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A ）
11
a b
< （B （C ）22a b < （D ）||||a b >
2.不等式
11
2
x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞?(2,)+∞
3. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）
b
a 1
1<. （B ）22b a >. （C ）1122
+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 4. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( )
（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2
5. 不等式1201
x
x -≥+的解集是_________ . 6.已知实数,x y 满足3025000
x y x y x y +-≥??+-≤?
?≥??≥?，则2y x -的最大值是_________.
7.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1
2
1)(--
=x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．
8. 若1->x ，则x 为何值时1
1
++x x 有最小值，最小值为多少？
高一数学必修5不等式与不等关系专题练习
一、选择题
1. 已知a,b,c ∈R,下列命题中正确的是
A 、22bc ac b a >?>
B 、b a bc ac >?>22
C 、b
a b a 1
133
> D 、||22b a b a >?> 2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ）
A 、2b a ab 122+<<
B 、2b a 1ab 2
2+<<
C 、12b a ab 22<+<
D 、1ab 2
b a 2
2<<+ 3．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是( )
A ．31a -<<
B ．20a -<<
C ．10a -<<
D ．02a <<
4．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+
B ．1sin sin y x x =+，(0,)2
x π∈ C ．2
y = D ．1y x =- 5．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a
的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．[)2,3
D ．[]
1,3 6．不等式组1
31
y x y x ≥-???≤-+??的区域面积是 ( )
A ．
12 B ．32 C ．5
2
D ．1 7、已知正数x 、y 满足81
1x y
+=，则2x y +的最小值是（ ）
Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10
8．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为
A 、11{|}32x x -
<< B 、11
{|}32
x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 ( )
二、填空题
9．不等式
01
21>+-x x
的解集是 10．已知x ＞2，则y ＝2
1
-+x x 的最小值是 ．
11．对于任意实数x ，不等式23
208
kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是
12、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。 三、解答题
13．解不等式22
3
2142-<---<-x x
14、正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 。
15．已知x 、y 满足不等式??
?
??-≥≥+-≤-+1030
3y y x y x ,求z =3x +y 的最大值与最小值。
16. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
高一数学必修5不等式与不等关系专题练习KEY
一、选择题
B,B,C,D,B,B,A,B
二、填空题
9．1{|1}2
x x -<< 10.4,11.30k -<≤,12.2,
三、解答题
13.解:因为2
22221342101322
241322250222
x x x x x x x x x x ?++??<++??
所以有
11
,11
x x x ?>
<
(1,1)11)x ∴∈
14.证明：∵ a+b+c=1∴ 1-a=b+c ，1-b=a+c ，1-c=a=b
∵ a>0，b>0，c>0∴ b+c ≥2bc >0, a+c ≥2ac >0, a+b ≥2ac >0 将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc, 即 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 15.(过程略)max min 11,13z z ==-
16.解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f
()2(1)(3),0.f x x a x x a +=--<且
.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
由方程.09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2
=?-+-=?a a a ，
即 .5
1
1.
01452
-===--a a a a 或解得
由于5
1
.1,0-== .5 3 5651)(2---=x x x f （Ⅱ）由a a a a a x a a x a ax x f 1 4)21(3)21(2)(222 ++-+-=++-= 及.1 4)(,02a a a x f a ++- <的最大值为可得 由?? ???<>++- ,0,01 42a a a a 解得 .03232<<+--- 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 数学必修5试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ） A ．12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C ．)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则公比q =（ ） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．2 1 3．已知ABC ?中，?=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4．在△ABC 中，若 2sin b B a =，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5. 在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 6．若?ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ） A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 8．等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且 1 32+= n n T S n n ， 则 5 5 b a =（ ） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根， 绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； 《不等式专题》 第一讲：不等式的解法 知识要点： 一、不等式的同解原理： 原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。 二、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。 二次函数 （） 的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注意： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三 种情况，得到一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。 三、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。 数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过” 四、分式不等式的解法： （1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化： ()()()()() ()()()()()()()()() ()()()()000;0.0000;0.0 f x g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ?≥?>??>≥??≠??≤?>?>><>?>>><>?<-><>?-<<>?<->?>或或 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。 数学综合试卷 一、 选择题（共10题，每题3分，总计30分） 1、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ D ） A. [6,2]-- B. [5,1]-- C. [4,5]- D. [3,6]- 2、一台机床有 的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工A 时，停机的概率是，加工零件B 时，停机的概率为 ，则这台机床 停机的概率为（ A ） A. B. C. D. 3、设集合{|32}M m m =∈-< 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用 培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共 14小题，每小题4分，共56分.在每小题的4个选项中，只 有一项是符合题目要求的? 1 ?在等差数列3, 7, 11,…中，第5项为（）? A. 15 B . 18 C. 19 D. 23 2?数列｛a n ｝中，如果a n = 3n （n = 1, 2, 3,…），那么这个数列是（）. A.公差为2的等差数列 C.首项为3的等比数列 B. 公差为3的等差数列 D.首项为1的等比数列 3.等差数列｛ sh ｝中，a 2 + a 6= 8, a 3 + a 4= 3,那么它的公差是（） 则c 的值等于（） A. 5 B . 13 C. ,13 D. . 37 5. 数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 = 2a n +1( n € N+)，那么 a 4的值为() A. 4 B . 8 C. 15 D. 31 6. A ABC 中，如果— = —^ = —，那么△ ABC 是 () . tan A tanB tanC A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰直角三角形 D.钝角三角形 7. 如果 a > b >0, t > 0,设 M= - , N= 口，那么() . b b t A. M >N B . M k N C. M = N D. M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 &如果｛a n ｝为递增数列，则｛a n ｝的通项公式可以为（）. 2 A. a n = — 2n + 3 B. a n = — n — 3n +1 1 C. a n = 一 D. a n = 1 + log 2 n 2n A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 4.A ABC 中，/ A Z B,Z C 所对的边分别为 a , b, c .若 a = 3, b = 4,Z C = 60° , 高一数学月考试题 1．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知数列{a n }中， a 1 2 ， a n 1 a n 1 2 (n N ) ， 则 a 101 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 2． 2 + 1 与 2 - 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ． - 1 C ． ± 1 D ． 1 2 3．在三角形 ABC 中，如果 a b c b c a 3bc ，那么 A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ．120 0 D ．150 0 4．在⊿ABC 中， c cos C b cos B ，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知 { a n } 是等差数列，且 a 2+ a 3+ a 10 + a 11 =48，则 a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列b n 中，若b 7b 83， 则 log 3 b 2 …… log 3 b 14 等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知 a , b 满足： a =3， b =2， a b =4，则 a b =( ) A ． 3 B ． 5 C ．3 D 10 8.一个等比数列{a n } 的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1 ＝2a n ＋1(n ∈N + )，那么 a 4 的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝ 6 ，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大 小 ( )． * 0 r r r r r r r r 高二数学（必修5不等式）专题练习 班级 姓名 一、选择题 1．若a>0，b>0，则不等式－b< 1 x 1b D.x<1b －或x>1a 2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ） A 、2b a ab 122+<< B 、2b a 1ab 2 2+<< C 、12 b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 2 2<<+ 3．二次方程22 (1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << ( ) 4．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2 x π∈ C ．2 y = D ．1y x =- 5．下列结论正确的是 （ ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值 6．已知函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则 a 的取值范围是A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 ( ) 7．不等式组1 31y x y x ≥-???≤-+?? 的区域面积是 ( ) A ．12 B ．32 C ．5 2 D ．1 8．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ．32 B ．21 C ．2 D ．2 3 9、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，则2x y +的最小值是（ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10 10．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式 250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32 x x -<< B 、11 {|}32 x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 ( ) 二、填空题 11．设函数23 ()lg()4 f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。 12．已知x ＞2，则y ＝2 1 -+x x 的最小值是 ． 13．对于任意实数x ，不等式23 208 kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是 14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。 15．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5) 倒数法则：b a ab b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 002 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(0 2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 数学必修5测试题 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为()． A ．15B ．18C ．19D ．23 2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…)，那么这个数列是()． A ．公差为2的等差数列B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是()． A ．4B ．5C ．6D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于()． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为()． A ．4B ．8C ．15D ．31 6．△ABC 中，如果 A a tan ＝ B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是()． A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么()． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π 3的交点， 则φ的值是()． A ．2π3B ．π 4 C ．π3 D ．π6 9．如果a ＜b ＜0，那么( )． A ．a －b ＞0B ．ac ＜bc C ． a 1＞b 1 D ．a 2＜b 2 高中数学必修5 命题人：魏有柱 时间：100分钟 一、选择题 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（） （A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() （A ）第12项 （B ）第13项 （C ）第14项 （D ）第15项 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A ． B ． C ． D ． 4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5．△ABC 中，cos cos A a B b =，则△ABC 一定是() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于() A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 7.在△ABC 中，∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8．若110a b <<，则下列不等式中，正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 () A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11．不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( ) 不等式专题 一共分为6部分 1.不等关系与不等式 2.一元二次不等式及其解法 3.二元一次不等式组与平面区域 4.线性规划与实际应用 5.线性规划与基本不等式 6.不等式综合复习 第一部分不等关系与不等式 实数的符号： 任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>?+>； 0,00a b a b <>?>； 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab >?>； ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 1、某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为 218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过2 180m ； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： **1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+????? 即* *600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤??+? ???? 此即为所求满足题意的不等式组 1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5 (80.2)0.1 x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 (80.2)200.1x x -- ?≥ 2、某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解析：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆． 根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t 矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用下面的关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可， 91066836004,07,x y x y x x y x +≤???+?≥?? ≤≤∈??≤≤∈?N N ，即9 543004,07,x y x y x x y x +≤??+≥? ?≤≤∈??≤≤∈?N N 必修五不等式综合 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除， 但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 练习一、： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小 （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积 必修五-不等式知识点 汇总 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 试卷类型：A 2010-2011学年度上学期高二学分认定考试 数 学（必修5） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分.考试时间120分钟. 第I 卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的、号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上. 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设,>>a b c d 则下列不等式中一定成立的是 A ．d b c a +>+ B ．bd ac > C ．d b c a ->- D ．c b d a +>+ 2．数列{}n a 满足13(1)+-=-≥n n a a n ，17a =，则3a 的值是 A ． -3 B ． 4 C ． 1 D ．6 3．若1>a 则1 11 -+ -a a 的最小值等于 A ．a B C ．2 D ．3 4. 不等式3260-->x y 表示的区域在直线3260--=x y 的 A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方 5. 在?ABC 中，已知8=a ，0 60=B ，0 45=A ，则b 等于 A ．64 B ．54 C ．34 D ．3 22 6．已知{}n a 是等比数列，141 4,2 a a ==,则公比q 等于 A ．2 1- B ．-2 C ．2 D ． 2 1 7．若不等式2 8210++必修五-不等式知识点总结
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