二维图形基本变换规则及应用
（07级信息与计算科学傅强070350221）
摘要
利用计算机绘制的图形与我们日常见到的图片、照片是有相似之处。除图片、照片等图形外，自然界中还存在丰富多彩的有形物体。一般，根据图形所在空间的不同，可将图形分为：三维图形和二维图形。图片、照片属二维图形，自然界中形形色色的物体属于三维图形。在计算机绘图的过程中，二维图形的绘制是绘制三维图形的基础，研究计算机图形的生成必须从研究二维图形开始。计算机绘制图形时，无论图形多么复杂，都是利用一些相应图形基元经过图形变换组成的。在计算机绘图中，经常用到图形变换，图形变换是指图形信息经过几何变换后产生新的图形。基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、旋转和变比等规则。本文主要介绍二维图形的一些基本变换规则及其应用
关键词：直角坐标系内；平移；旋转；应用
ABSTRACT
Using the computer graphics and see our daily drawings, photographs are similarities. Besides the drawings, photographs and other graphic, nature also exist rich and colorful tangible objects. In general, according to the different space, the graphics can be divided into: 3d graphics and 2d graphics. The drawings, photographs of 2d graphics, all kinds of objects in the nature belongs to 3d graphics. In computer graphics, the process of 2d graphics rendering 3d graphics drawing is the basis, research of computer graphics generation must start from the 2d graphics. Computer graphics, no matter how complex, graphics are using some corresponding graphic element composed by graphical transformation. In computer graphics, often use graphics transformation, graphics transform refers to the graphical information through after new graphics geometry transform. The basic research object coordinate geometry transform in cartesian coordinate system in translation, rotation and change rules than etc. This paper mainly introduces some basic transformation of 2d graphics and its application in the rules.
Keywords: a cartesian coordinate system, Translation, Rotating, application
1用户坐标到屏幕坐标的变换
实际图纸上坐标系是实数域中的直角坐标系或极坐标系，统称为用户坐标系；计算机设备（如屏幕）上采用的坐标系为整数域（如屏幕一般为直角左手系），称为设备坐标系。因此用户坐标系中图形需经过变换才能绘制在
图2-1 窗口区和视口区示意图
设备（如屏幕）上。用户坐标系中图形一般只有部分图形需要在设备上显示（或绘制），用户坐标中需要显示的图形（矩形区域）称为窗口，在设备（屏幕）上，显示（或绘制）图形的区域（矩形区域）称为视口。在计算机上绘制图形时，实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。
1.1窗口到视口的变换内容
图形从窗口到视口的变换亦称为数据规格化。窗口到视口变换包括以下内容：
（1）窗口逻辑坐标与设备坐标的转换，当把用户坐标系（逻辑单位）中的图形变换到视口中，视口中的坐标单位不再为逻辑单位，而是设备坐标（以像素为
单位），根据设备的无关性，图形映射在视口上的图形大小应是不变的，这要求有像素与逻辑单位的转换比例（这一比例的大小随屏幕的大小和分辨率的高低有关）。
（2）用户坐标系所选区域内图形的坐标转换到屏幕上坐标不一定为整数，对转换后坐标值取整。可通过四舍五入的方法将实型值的绝对值圆整化，最简单的方法是用赋值的类型转化规则来实现实型到整型的变换。
（3）用户坐标系到设备（屏幕）坐标系，坐标轴方向变换。
（4）屏幕坐标系水平方向与垂直方向刻度若不等（即像素间距不等）时，为保证图形不走样，还要进行比例变换。
1.2窗口区到视图区的坐标变换
如图2-1 所示，根据图中比例关系，窗口区到视图区的坐标变换公式可写为：
其中：
总之，用矩阵表示为：
2二维几何变换
图形基本变换是指图形的比例变换、对称变换、旋转变换、错切变换、平移变换等。通过对原图形上二维向量引进第三个坐标即三维点向量（又称齐次坐标点），简称齐次坐标，在三维齐次坐标下，二维几何变换都可统一用矩阵表示。
所谓齐次坐标就是将一个原本是n 维的向量用一个n+1 维向量来表示。
如向量的齐次坐标表示为，其中h 是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h 取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。
引进齐次坐标的优点：
A.提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一
个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
B.可以表示无穷远的点。n+1 维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n 维
空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b 不变，
的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线
ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。
2.1基本变换
2.1.1.平移变换
若图形上任意一点的坐标为(x, y) ，通过沿x和y 轴分别平移Tx和Ty后成为
新图形上的一点( x′, y′) ，坐标变换
用齐次坐标表示的平移变换：
其中平移变换矩阵为
2.1.2 比例变换
若图形上任意一点的坐标为(x, y) ，通过沿x和y轴分别变比变换S x和S y后成为新图形上的一点(x2, y2) ，坐标变换：
用齐次坐标表示的比例变换为：
其中比例变换矩阵为：
2.1.3 旋转变换
若图像上任一点的坐标为（x,y），通过将对象上的各点（x,y）围绕原点逆时
针转动一个角度θ，后成为新图像上的一点，
坐标变换：
用齐次坐标表示的旋转变换为：
其中旋转变换矩阵为
2.1.４对称变换
若图形上任意一点的坐标为（x，y），关于x，y和原点分别作对称变换后成
为新图像上的一点，对称变换可分别表示为：
关于x坐标对称变换
用齐次矩阵表示的对称变换：
其中关于x作对称变换矩阵为
关于y坐标对称变换
用齐次矩阵表示的对称变换：
其中关于y作对称变换矩阵为
关于原点坐标对称变换：
用齐次矩阵表示的对称变换：
其中关于原点作对称变换矩阵为
2.1.５错切
1、沿x方向错切：
沿+x方向错切，坐标变换
沿-x方向错切，坐标变换
用齐次矩阵表示的对称变换：
2、沿y方向错切：
沿+y方向错切，坐标变换
沿-y方向错切，坐标变换
用齐次矩阵表示的对称变换：
2.2二维几何变换的级联
（1）实际中的几何变换一次有若干个;（2）基本形式有局限性。图形的级联变换是指图形作一次以上的基本变换，变换结果为每次基本变换矩阵乘积。
设图形经过n 次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1, T2,…, Tn
则：经T1后：
经T2后：
经T3后：称T=T1·T2…·Tn 为级联变换的变换矩阵。下面介绍几种常见级联变换。
2.2.1复合平移
若对图形首先做平移变换T1，然后再做平移变换T2，相应的平移变换矩阵分别为：
变换结果为复合平移变换T，其复合平移变换矩阵为：
2.2.2复合比例
设比例变换T1矩阵为：
设比例变换T2矩阵为：
则复合比例变换T矩阵为：
2.2.3复合旋转
设比例变换T1矩阵为：
设比例变换T2矩阵为：
则复合比例变换T矩阵为：
旋转变换和比例变换都与参考点有关，上面的旋转合比例变换均是相对与原点的。如果相对于某一参考点（x0,y0）作比例和旋转变换，则其变换过程是先将坐标原点平移到（x0,y0），在再新的坐标系下作比例、旋转变
换，然后将坐标原点平移回去，即复合变换。
2.2.4相对于点（x0,y0）的比例变换
2.2.5相对于点（x0,y0）的旋转变换
对于复合变换问题，关键是将其分解为一定顺序的基本变换，然后逐一进行这些基本变换，最终得到复合变换结果；或者求出这些基本变换矩阵乘积，亦可得到复合变换。
综上所述，可以证明利用齐次坐标表示方法，二维图形几何变换矩阵的一般变换过程为：
，其中称为二维几何变换的一般表达时，进一步可以分为以下四个矩阵：
对图像进行比例、旋转、对称等变换；
对图像进行平移变换；
对图像做投影变换。
产生整体比例变换。
3二维图像变换在实际中的应用
3.1二维裁剪
在二维图形的绘制或显示处理中，有时需要给出或显示某一部分原始图形。这可在适当位置按一定边界范围定义一个矩形区域(即窗口)，使窗口内图形为所需部分，将其保留下来作为绘制或显示之用，而窗口边界以外的图形则予以舍弃。这种对二维原始图形的处理称为二维裁剪。
二维裁剪处理主要是判断图形元素是否在所开的窗口内，若在内则进一步求出窗口内的那一部分。也就是说裁剪处理工作有两点：第一是窗口内外的判断；第二是计算图形元素与窗口边界的交点。
在定义一个窗口时，一般规定窗口为矩形框。它在用户坐标系中的位置和大小用窗口对角点坐标或右下角点坐标(x1,y1)和右上角点坐标(x2,y2)来表示，有时也可用窗口原点(左下角点或右上角点)和窗口边长来表示。在某些情况下，用户也可以用圆心和半径来定图形窗口，或定义其它窗口。
在实际应用中，往往需要观察某一图形的各个细部，或切产生不同比例的显示图形，这些都需要对原图形作二维处理。裁剪处理是把每个图形元素分成窗口内的与窗口外两部分，舍弃窗口外部分。虽然对不同的图形元素(如点、线段、多边形等)有不同的裁剪算法，但它们的原理都是一致的。都是一对简单的不等式，由这对不等式来确定图形上的点(x,y)是否位于窗口内。在选定窗口的情况下，如窗口的四条边线是x=x1,x=x2,y=y1,y=y2时，不等式为
x1≤x≤x2
y1≤y≤y2
根据此式对图形进行逐点裁剪，不满足其中任何一个不等式的点就不在窗口内，应舍弃。显然这种算法效率很低。因此要另外设计对较大图形是行裁剪的算法，如对线段、多边形进行裁剪的算法，下面分别介绍。
3.1.1线段裁剪
裁剪处理的关键是如何去掉窗口外的图形，这要设计出相应的算法。在线段裁剪算法中，需要检查线段相对于窗口的位置关系。对整个位于窗口内的线段须全部保留，对整个位于窗口外的线段要全部予以舍弃。对于部分位于窗口内而其余部分位于窗口外的线段
则须计算出该线段与窗口边的交点作为线段的分段点，保留位于窗口内的那部分线段，舍弃其余部分线段。一般线段两端点相对于窗口的位置有下面几种情况：
1、两端点均在窗口外同一侧位置。如图2-6中线段CD，这时线段全部位于窗口之外，故整个线段舍弃。
2、两端点均在窗口内，如图2-6中线段MN，显然整个线段位于窗口内，应全部保留。
3、两端点线段中，一点在窗口内，另一点在窗口外，如图2-6中线段PQ，在这种情况应计算出线段PQ与窗口边的交点T，保留窗口内部分线段TQ，舍弃其余部分线段PT。
4、两端点均不在窗口内，但又不处于边界外同一侧位置，如图2-6中线段AB和线段EF，这时线段可能穿过窗口(如线段AB)也可能全部位于窗口之外(如线段EF)，因此需要根据线段与窗口边界的交点来判断。若线段与窗口边线的交点中有两个交点处于窗口上，则此两交点间线段位于窗口内，予以保留，线段的其余部分位于窗口外，应舍弃；若线段与窗口边界的所有交点均在之外，则整个线段位于窗口外，应予全部舍弃。
下面介绍线段裁剪算法(编码裁剪法)。
由上面线段相对于窗口的位置的几种情况讨论可以得知，有些线段被窗口边界切割后会产生一条以上的窗口外的线段，而窗口内的线段却只有一条。这一点很重要，它意味着要确定窗口内的线段，只要计算出它位于窗口内的两个端点。丹科恩和伊凡.瑟萨兰德就根据这一思路设计出了线段裁剪的算法。这种算法分为两步：第一步先确定该线段是否整个位于窗口内或全部位于窗口外，若属于这两种情况，则全部保留或全部舍弃；第二步对不属于第一步那两种情况的线段，则被窗口某一边界线分成两部分，再对每一部分进行第一步。具本这两步留舍测试如下进行：延长窗口各边界，将窗口及其周围共划分为九个区域，中央就是所要裁剪的区域。每个区域各用一个四位二进制数组成的代码(即代码中每一位分别为0或1)来表示，如图2-7所示。
当线的一端点位于某一区域时，便将该区域的代码赋予端点。然后根据线从而段两端点代码就能很方便地判断出线段相对于窗口的位置关系，并决定对该线段如何进行裁剪。四位代码中每位(位的顺序由右向左排序)代码的意义如下：
第一位，点在窗口左边界线之左为1，否则为0； 第二位，点在窗口右边界线之右为1，否则为0； 第三位，点在窗口底边界线之下为1，否则为0； 第四位，点在窗口顶边界线之上为1，否则为0。
对线段进行测试时，首先对全部保留和全部舍弃线段这两种情况进行判断，即
1、当线段两端点的四位代码全由零组成时，则表示两端点均在窗口内，
要全
部保留该线段。
2、当线段的四位代码逻辑乘不等于零时，则表示两个端点的代码中有一相同位，同时为1；若线段两个端点在侣边界线外的同侧位置，则整个线段在窗口之外，应予全部舍弃。如图2-6中各线段端点代码(或称编码)逻辑乘如表2-1所示。 表 2-1 线段端点代码及其逻辑
AB 0001 00100000部分可见CD 0100 01000100不可见EF 0001 10000000不可见MN 0000 00000000可 见PQ
0010 0000
0000
部分可见线段（见图2-6）
端点代码
（见图2-7中代码规则）
逻辑乘注释
（窗口内为可见）
由表2-1可得知，当线段两端点逻辑乘非零时，则线段不可见。但当线段两端点逻辑乘为零时，则有三种情形：可见，部分可见与不可见，因此这时不需要对端两端点代码分别进行检查。
如果线段不能通过上述两种测试判断为保留或舍弃，则必须求出线段与窗口边界线的交点，即分割线段 ，舍弃在窗口外同侧的部分线段，对留下的线段重复进行上述两种情况的判断，直到留下的线段符合上述两种情况之一为止。
3.1.2 多边形裁剪
多边形裁剪比线段裁剪要复杂许多。多边形裁剪需要解决两个问题：一是一个完整封闭的多边形经剪裁后不再是封闭的，需要用窗口边界的适当部分来封闭它；二是边界线段的边接，不适当的连接会产生错误。另外如果对多边形相对于窗口的四条边同时进行裁剪，那么很难算出应该使用窗口的哪些边界线段来封闭图形。但相对于窗口的一条边界线来裁剪多边形就比较容易，并由此可提出多边形裁剪算法。
下面介绍多边形裁剪算法(逐边裁剪法)。
伊凡.瑟萨兰德和格雷霍奇曼1974年对多边形裁剪提出了逐边裁剪算法。他们的思路是，把多边形裁剪这样一个整体问题分割成一系列简单问题，这些简单问题解决了，对整体也解决了。具体算法是：把整个多边形先相对于窗口的第一条
边界线进行裁剪，形成一个新的多边形；然后再把这个新的多边形相对于窗口的第二条边界线进行裁剪、再次形成一个新的多边形；接着用窗口的第三条边、第四条边依次进行如此剪裁，最后形成一个整个多边形经过窗口的四条边界线裁剪后的多边形。这个多边形裁剪过程如图2-8所示。
图2-8 多边形裁剪过程
这个算法看起来好像要很大的内存保留中间数据，其实不然，它可以采用递归方式调用同一算法，整个裁剪过程由四级同样的算法组成。每一级相对于窗口的四条边界线之一来剪裁，第一级输出的顶点传送给第二级(即把多边形每个顶点相对于第一条边界线裁剪，所形成的多边形顶点作为下一步裁剪过程输入)，第二级的顶点输出传送给第三级，依此类推，最后一级产生的顶点就构成经过裁剪的多边形。具体实现采用一个数组存放原始多边形的顶点坐标，再设置一个待裁剪多边形顶点坐标数组，用来存放经某条窗口边界线裁剪后所生成的顶点坐标，不妨把这个数组称为新多边形数组，最后新多边形数组存放的是经所有窗口边界裁剪完毕而得到的结果多边形的顶点坐标。
设与多边形的顶点为P1、P2、P3、......Pn，多边形的各条边线分别为顶点P1与P2、P2与P3、......、Pn与P1的连线，其中Pn与P1的连线为多边形的封闭边。多边形在裁剪后应得到一个或几个新的多边形，其顶点为Q1、Q2、Q3......、Qn，主要任务就是求得这些新的顶点。其过程是，首先依次按照窗口的一条边界线L 对多边形的顶点Pi(i=1,2,3...,n)进行检查。若顶点在边界L以内，则保留该顶点作为裁剪后新的顶点，反之则予以舍弃。同时对于顶点Pi是否与前一顶点Pi-1
处于窗口边解甲归田线L的同侧位置，还须进行检查。若它们分别位于窗口边蜀线的两侧，则应计算边线Pi-1Pi与窗口边线L的交点，并将交点保留下来作为裁剪后新的顶点输出。显然对于多边形的第一个顶点P1来说，上述后一顶检查无意义可以省略。当检查最末一个顶点Pn时，除了进行上述检查外，还须对多边形的封闭边PnP1进行检查。若封闭边PnP1与窗口边界线L相交，则应计算这一点并予以保留。这样通过以上检查便保留并输出各顶点Q1、Q2、Q3、......Qn，在这些顶点之间依次联成边线，即可得到裁剪后新的多边形。
【参考文献】
计算机图形学的算法基础[M]，David F. Rogers著，（中文版）石教英，彭群生译，机械工业出版社，2002.1 计算机图形学（第二版）[M], 孙家广等编著, 清华大学出版社，2000.1
David F.Rogers.计算机图形学算法基础[M].北京:电子工业出版社,2002.
// 二维几何图形变换.cpp : 定义应用程序的类行为。 // #include "stdafx.h" #include "二维几何图形变换.h" #include "MainFrm.h" #include "二维几何图形变换Doc.h" #include "二维几何图形变换View.h" #ifdef _DEBUG #define new DEBUG_NEW #endif // CMyApp BEGIN_MESSAGE_MAP(CMyApp, CWinApp) ON_COMMAND(ID_APP_ABOUT, OnAppAbout) // 基于文件的标准文档命令 ON_COMMAND(ID_FILE_NEW, CWinApp::OnFileNew) ON_COMMAND(ID_FILE_OPEN, CWinApp::OnFileOpen) // 标准打印设置命令 ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_SETUP, CWinApp::OnFilePrintSetup) END_MESSAGE_MAP() // CMyApp 构造 CMyApp::CMyApp() { // TODO: 在此处添加构造代码， // 将所有重要的初始化放置在InitInstance 中 } // 唯一的一个CMyApp 对象 CMyApp theApp; // CMyApp 初始化 BOOL CMyApp::InitInstance() {
// 如果一个运行在Windows XP 上的应用程序清单指定要 // 使用ComCtl32.dll 版本6 或更高版本来启用可视化方式， //则需要InitCommonControls()。否则，将无法创建窗口。 InitCommonControls(); CWinApp::InitInstance(); // 初始化OLE 库 if (!AfxOleInit()) { AfxMessageBox(IDP_OLE_INIT_FAILED); return FALSE; } AfxEnableControlContainer(); // 标准初始化 // 如果未使用这些功能并希望减小 // 最终可执行文件的大小，则应移除下列 // 不需要的特定初始化例程 // 更改用于存储设置的注册表项 // TODO: 应适当修改该字符串， // 例如修改为公司或组织名 SetRegistryKey(_T("应用程序向导生成的本地应用程序")); LoadStdProfileSettings(4); // 加载标准INI 文件选项(包括MRU) // 注册应用程序的文档模板。文档模板 // 将用作文档、框架窗口和视图之间的连接 CSingleDocTemplate* pDocTemplate; pDocTemplate = new CSingleDocTemplate( IDR_MAINFRAME, RUNTIME_CLASS(CMyDoc), RUNTIME_CLASS(CMainFrame), // 主SDI 框架窗口 RUNTIME_CLASS(CMyView)); if (!pDocTemplate) return FALSE; AddDocTemplate(pDocTemplate); // 分析标准外壳命令、DDE、打开文件操作的命令行 CCommandLineInfo cmdInfo; ParseCommandLine(cmdInfo); // 调度在命令行中指定的命令。如果 // 用/RegServer、/Register、/Unregserver 或/Unregister 启动应用程序，则返回FALSE。if (!ProcessShellCommand(cmdInfo)) return FALSE; // 唯一的一个窗口已初始化，因此显示它并对其进行更新 m_pMainWnd->ShowWindow(SW_SHOW); m_pMainWnd->UpdateWindow();
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