九年级数学一元二次方程单元测试卷附答案
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=??+++=?
解之得：108
a b =??=? 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=
解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意
答：x 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使
1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k ＞﹣
13
且k ≠0；（2
）存在，7k =±详见解析 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．
（2）利用根与系数的关系，根据211212
11,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．
【详解】
解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0
∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，
即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，
∴12k ＞﹣4
解得：k ＞13
-且k ≠0
（2
）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k
+-+=
= 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=
22222121122,x x x x x x ∴-+=
22121212()4(),x x x x x x ∴+-=
2222441()(),k k k k k k
+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-
21430,k k ∴--=
1,14,3,a b c ==-=-
24208,b ac ∴?=-=
1472
k ±∴==± k ＞1
3
-且k ≠0， 172130.21,3-≈-
-＞ 17.3
+-
∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
3．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%
（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．
（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．
【详解】
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为
（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．
根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：
10（1+x ）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：
2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，
∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．
【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤
（3）-4 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a 的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，
（x +3）（x ﹣4）=0，
x +3=0或x ﹣4=0，
∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，
∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0， 解得54
a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数
根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，
，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，
∴221122229x x x x ????+-+-=????，
把22112211x x a x x a -=--=-，代入，
得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，
解得：a =﹣4，a =2（舍去），
所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
6．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA 、OC 的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．
（1）求点A ，C 的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值；
（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、A （12，0），C （﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q 1（10，﹣12），Q 2（﹣3，6﹣3
）.
【解析】
试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA ＞OC 求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO 的正切值求出OB 的长度，根据Rt △AOB 得出AB 的长度，作EM ⊥x 轴，根据三角形相似得出点E 的坐标，然后求出k 的值；(3)、分别以CE 为矩形的边，在点C 、E 处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P ，进而得到点Q ；以CE 为矩形对角线，则以CE 的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P ，再得点Q.
试题解析：（1）由题意，解方程得：x 1=6，x 2=12． ∵OA ＞OC ， ∴OA=12，OC=6． ∴A （12，0），C （﹣6，0）；
（2）∵tan ∠ABO=，∠AOB=90°
∴∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20
∵BE=5，∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，
∴，即：
∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．∴k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，
x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；
方法：如下图
①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）
如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG?GP，∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ是中心对称，
∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，
∴Q（10，﹣12），
如图②作MN∥x轴，交EG于点N，
EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴CE=15，
∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，
同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），
考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.
7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）2cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴2cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB?BC=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP?CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y 1
=6，y 2=-
23（舍去）； ③223
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP?CB=12
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．
考点：一元二次方程的应用．
8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．
①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣
32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
12a b c c b a ++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=12OB?OC+12AD?PD+12(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222
x y y x ???+++-=333222
x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-
时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32
-，154）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
9．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（6，4），动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO 运动，当Q 到达O 点时，P ，Q 同时停止运动，运动时间是t 秒（t ＞0）．
（1）如图1，当时间t ＝ 秒时，四边形APQO 是矩形；
（2）如图2，在P ，Q 运动过程中，当PQ ＝5时，时间t 等于 秒；
（3）如图3，当P ，Q 运动到图中位置时，将矩形沿PQ 折叠，点A ，O 的对应点分别是D ，E ，连接OP ，OE ，此时∠POE ＝45°，连接PE ，求直线OE 的函数表达式．
【答案】（1）t ＝2；（2）1或3；（3）y ＝
12
x ． 【解析】
【分析】 先根据题意用t 表示AP 、BQ 、PC 、OQ 的长．
（1）由四边形APQO 是矩形可得AP ＝OQ ，列得方程即可求出t ．
（2）过点P 作x 轴的垂线PH ，构造直角△PQH ，求得HQ 的值．由点H 、Q 位置不同分两种情况讨论用t 表示HQ ，即列得方程求出t ．根据t 的取值范围考虑t 的合理性． （3）由轴对称性质，对称轴PQ 垂直平分对应点连线OC ，得OP ＝PE ，QE ＝OQ ．由∠POE ＝45°可得△OPE 是等腰直角三角形，∠OPE ＝90°，即点E 在矩形AOBC 内部，无须分类讨论．要求点E 坐标故过点E 作x 轴垂线MN ，易证△MPE ≌△AOP ，由对应边相等可用t 表示EN ，QN ．在直角△ENQ 中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t ．
【详解】
∵矩形AOBC 中，C （6，4）
∴OB ＝AC ＝6，BC ＝OA ＝4
依题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t （0＜t≤3）
∴PC ＝AC ﹣AP ＝6﹣t ，OQ ＝OB ﹣BQ ＝6﹣2t
（1）∵四边形APQO 是矩形
∴AP ＝OQ
∴t ＝6﹣2t
解得：t ＝2
故答案为2．
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H
∴四边形APHO 是矩形
∴PH ＝OA ＝4，OH ＝AP ＝t ，∠PHQ ＝90°
∵PQ ＝5
∴HQ 22PQ PH 3-=
①如图1，若点H 在点Q 左侧，则HQ ＝OQ ﹣OH ＝6﹣3t
∴6﹣3t ＝3
解得：t ＝1
②如图2，若点H 在点Q 右侧，则HQ ＝OH ﹣OQ ＝3t ﹣6
∴3t ﹣6＝3
解得：t ＝3
故答案为1或3．
（3）过点E作MN⊥
x
轴于点N，交AC于点M
∴四边形AMNO是矩形
∴MN＝OA＝4，ON＝AM
∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E
∴PQ垂直平分OE
∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE
∵∠POE＝45°
∴∠PEO＝∠POE＝45°
∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部
∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°
∴∠MPE＝∠AOP
在△MPE与△AOP中
PME OAP90
MPE AOP
PE0P
?
?∠=∠=
?
∠=∠
?
?=
?
∴△MPE≌△AOP（AAS）
∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t
∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t
∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2
∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2
∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝
4
3
∴AM＝
4
3
+4＝
16
3
，EN＝4﹣
4
3
＝
8
3
∴点E坐标为（
16
3
，
8
3
）
∴直线OE的函数表达式为y＝
1
2
x．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．
10．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216
k k k -+-的值． 【答案】0.
【解析】
【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-????-≥?
＝＝＝ ， 由条件，知121212
11x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94
a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106
k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178
k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216
k k k -+-无意义. 综上，代数式2216
k k k -+-的值为0 【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，