第一次作业（库仑定律和电场强度叠加原理）
一 选择题
[ C ]1下列几个说法中哪一个是正确的？
(A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向.
(B) 在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同．
(C) 场强可由q F E / =定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F
试验电荷所受的电场力．
(D) 以上说法都不正确．
[ C ]2 在边长为a 的正方体中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为： (A)
2012a Q επ． (B) 2
06a Q
επ．
(C)
2
03a Q επ． (D)
2
0a Q
επ．
[ B ]3图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋
λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E
为
(A) 0．
(B)
i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a
+π04ελ． 【提示】根据)sin (sin 4120θθπελ-
=a E x )cos (cos 4210θθπελ
-=a
E y
对＋λ均匀带电直线2
,021π
θθ==
对—λ
均匀带电直线0,2
21==θπ
θ
在（0，a ）点的场强是4个场强的矢量和
[ A ]4电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图放置，
置坐标
x 变化的关系曲线为：(设场强方向
向右为正、向左为负)
(B)
σ(D)
【提示】依据0
2εσ
=
E 及场强叠加 二．填空题
5. 电荷为－5×10-9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到 20×10-9 N 的向下
的力，则该点的电场强度大小为_____________________，方向____________．
4N / C 2分 向上 1分
6. 电荷均为＋q 的两个点电荷分别位于x 轴上的＋a 和－a 位置，如图所示．则y 轴上各点电场强度的表示式为
E
＝
()
j y a qy 2
/322042+πε， (j
为y 方向单位矢量) ，场强最大
值的位置在y ＝2/a
±
7.两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其电荷线密度分别为λ1和λ2如图所示，则场强等于零的点与直线1 的距离a 为
d 2
11λλλ+
三计算题
8.如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E =σ / (2ε0) 2分
以图中O 点为圆心，取半径为r →r ＋d r 的环形面积，其电量为
d q = σ2πr d r 2分
它在距离平面为a 的一点处产生的场强
+q +q
-a
+a
O
x
y
(
)
2
/322
02d r
a a r d r
E +=
εσ 2分
则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为
()
?+=R r a r r a E 02
/3220d 2
εσ
?
??? ?
?+-=
220
12R a a εσ 2分
由题意,令E =σ / (4ε
0)，得到R ＝a 3
2分
9.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．
解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强： ()204d d x d L q E -+π=ε()
2
04d x d L L x
q -+π=ε 2分
总场强为 ?+π=L
x d L x
L q E 020)
(d 4－ε()d L d q +π=04ε
3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
10.一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度． 解：把所有电荷都当作正电荷处理.
在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π
它在O 处产生场强
θεεd 24d d 2
0220R
Q
R q E π=π=
2分
按θ角变化，将d E 分解成二个分量：
θθεθd sin 2sin d d 2
02
R
Q E E x π=
=
O
θθεθ
d c o s 2c o s d d 2
02R Q E E y π-=-= 3分
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
??
?
???-π=??π
ππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R Q
E x ＝0 2分 2022/2/0202d cos d cos 2R Q
R Q E y εθθθθεπ
πππ-=??
????-π-=?? 2分 所以
j R
Q j E i E E y x
2
02
επ-=+= 1分 第三次作业答案（高斯定理和电势2）
1. 以下各种说法是否正确？(回答时需说明理由)
(1)场强为零的地方，电势也一定为零。电势为零的地方，场强一定为零。
(2)电势较高的地方，电场强度一定较大。电场强度较小的地方，电势也一定较低。 (3)场强大小相等的地方，电势相同。电势相等的地方，场强也都相等。 (4)带正电的物体，电势一定是正的；带负电的物体，电势一定是负的。 (5)不带电的物体，电势一定等于零。电势为零的物体，一定不带电。 (6)在静电场中，任一导体都是等势体。
【解】（6）是正确的
2. 在均匀电场中各点，下列物理量中：(1)电场强度；(2)电势；(3)电势梯度，哪些是相等的？
(A)1 ; 3 (B) 1 ; 2 (C) 3 (D) 2 ; 3
【解】（A ）是正确的
3. 在一个平面上各点的电势满足下式：
2
1)()(2222y x b
y x ax U +++=
x 和y 为这点的直角坐标，a 和b 为常数。求任一点电场强度的E x 和E y 两个分量。 (A)()()
[]
()
2
22
2
/12222
y
x
y x bx y x
a +++- ,()
[
]
()
2
22
2
/12
22y x
y x b ax y +++
(B)
()()2
2
2
22y x y x a +- ,()
2
22
2y x axy
+
(C) ()()
2
22
2
2
y x y x a +-,
()[]
()
2
22
2
/12
22y x
y x b ax y +++
【解】由x
U
E x ??-
= y U E y ??-= 知 正确的答案是（A ）
4. 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷． 【解】：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为
2
04r Q
E επ=
(R 1＜r ＜R 2) 两球的电势差 ?
?
π=
=
2
1
2
1
20
124d R R R R r dr Q r E U ε???? ??-π=
21
114R R Q ε
∴ 1
2122104R R U R R Q -π=
ε＝2.14×10-9 C
5. .图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
【 提示 】由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，
各点电势均为U 。 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为 d q = ρ 4πr 2d r
该薄层电荷在球心处产生的电势为
()00/d 4
/d d ερεr r r q U =π= 整个带电球层在球心处产生的电势为 ()212
20
002d d 2
1
R R r r U U R R -=
=
=?
?ερερ 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U 为
()212
20
02R R U U -=
=ερ 另外：根据场强的分布及电势定义??=l E U
d 计算，也可（此处略）。
3. 教科书P95-----1-52（公式巨多，待我不懒时打出来给你们）
第四次作业答案
一．选择题
［ C ］1如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ．A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关
系是 (A) U A = U B = U C ． (B) U B > U A = U C ．
(C) U B > U C > U A ． (D) U B > U A > U C ．
【提示】首先根据静电感应确定空间电荷的分布；再由电荷的分布画出电场线的分布，依电场线判断电势的高低。 ［ C ］2 半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q '为： (A) 0． (B)
2q ． (C) -2
q
． (D) -q ．
【提示】静电平衡以后金属球是等势体，且由于接地球体上电势处处为零。
依据球心电势为零有：
0442q o o dq q
R R πεπε'
'+=? R q R q d o q o
o 244πεπε-='?'
R q R q 2-
=' 2
q q -='∴
［ B ］3一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有
一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：
(A) σ
1 = - σ， σ
2 = + σ． (B) σ 1 = σ21-， σ 2 =σ2
1
+． (C) σ 1 = σ21-
， σ 1 = σ21
-． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【提示】静电平衡以后，平面导体板B 内部的场强为零，则有关系式
02220
2010=-+εσεσεσ
（1） 又由电荷守恒定律，根据原平面导体板B 电量为零有关系式
σ 1S+σ 2S=0 （2）
联立（1）（2）便得 二．填空题
4.地球表面附近的电场强度约为 100 N /C ，方向垂直地面向下，假设地球上
的电荷都均匀分布在地表面上，则地面带__负___电，电荷面密度σ =________． (ε
0 = 8.85×10-12 C 2/(N ·m 2) )
【提示】根据电场方向，判断地球表面带负电；静电平衡以后，地表面附近的场强为0
εσ
=
E ，由此得出电荷面密度σ（略） 5．在一个不带电的导体球壳内，先放进一电荷为+q 的点电荷，点电荷不与球壳内壁接触。然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q 取走。此时，球壳的电荷为__-q ________，电场分布的范围是______球壳外的整个空间_______________________。
6．一孤立带电导体球，其表面处场强的方向___垂直于 _________表面；当把另一带电体放在这个导体球附近时，该导体球表面处场强的方向__仍垂直于_______________表面。 三计算题
7.两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？
A +σ2
d
【提示】因两球间距离比两球的半径大得多,这两个带电球可视为点电荷.
设两球各带电荷Q , 若选无穷远处为电势零点, 则两带电球之间的电势能为
（ 式中d 为两球心间距离）
当两球接触时，电荷将在两球间重新分配。因两球半径之比为1 : 4，故两球电荷之比Q l : Q 2 = 1 : 4。
Q 2 = 4 Q l
Q l +Q 2 =Q 1+4Q 1 =5Q 1 =2Q Q l = 2Q/5, Q 2 = 8Q / 5
此时的电势能为 002125
16
4W d Q Q W ==
πε
8.有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷。如图所示，试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布；(2) 面上感生电荷的总电荷。
【提示】
金属板接地使其左壁面电荷密度为零。设A 为右壁上任意一点，在右壁上取包含A 点的面
元S ?，在板内极近A 处取一点B （正对A 点），其场强)(B E
（静电平衡时场强为零）看
作三个部分叠加而成： （1） 点电荷激发的场
（2） 面元S ?上的电荷)(/
A σ激发的场——相对于
B 点而言是无限大带电平面 （3） 金属板右壁上除S ?外的全部电荷激发的场——场强方向都在金属板平面内，即垂
直与金属板方向无场强贡献。
故B 点场强在垂直于金属板方向的平衡方程为：
02)
(cos 40
/3
20=+εσθπεA b q
（设O 点是从电荷q 向金属板做的垂线的垂足，θ为qA 与qo 连线的夹角） 所以 θπσ3
2
/
cos 2)(b
q A -
= 可见，金属板右壁的感应电荷，在以O 为圆心的同一圆周上有着相同的电荷密度。 感应电荷的总量为
q rdr b
q rdr A q -=?-
=?=??πθππσ2cos 22)(3
2
// （r 为金属板上任意一点到O 点的距离，在那里取宽为dr 的“圆周”，其上有相同的面电荷
密度）
第五次作业答案
三．选择题
［ C ］1 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则
(A) 空心球电容值大． (B) 实心球电容值大． (C) 两球电容值相等． (D) 大小关系无法确定．
［ C ］2 两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2μF ，分别把它们充
电到 1000 V ，然后将它们反接(如图10-8所示)，此时两极板间的电势差为：
(A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【提示】
C U C U C Q Q Q 32121106-?=-=-=
V F
C C C Q C Q U 600101106''5
321=??=+==--
四．填空题
3. 如图所示，电容C 1、C 2、C 3已知，电容C 可调，当调节到A 、B
两点电势相等时，电容 C =_________________．
C 2 C 3 / C 1 3分
4. 一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极板间相
互作用力为F ．则两极板间的电势差为______________，极板上的电荷为
______________．
C Fd /2 2分
FdC
2 2分
三、计算题
5..三个电容器如图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6
F ，
C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：
(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ 【提示】(1) ()F C C C C C C C C C C C AB μ72.33
213213123
12=++?+=+?=
(2)如果当C 3被击穿而短路，则电压加在C 1 和C 2上，
C U C q V U 31111101,100-?===
6. 两导体球A 、B 的半径分别为R 1=0.5m ，R 2 =1.0 m ，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R =1.2 m 的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场强为3×106 V/m ，今使A 、B 两球所带电荷逐渐增加，计算：(1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值?(2) 击穿时两球所带的总电荷Q 为多少？(设导线本身不带电，且对电场无影响。)
【解析】(1) 两导体球壳接地，壳外无电场．导体球A 、B 外的电场均呈球对称分布．今先比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最大处．设击穿时，两导体球A 、B 所带的电荷分别为Q 1、Q 2，由于A 、B 用导线连接，故两者等电势，即满足：
R
Q R Q R Q R Q 02
202011014444εεεεπ-+π=π-+π
7/1/21=Q Q
两导体表面上的场强最强，其最大场强之比为
7
4
4/42
122
2122022101max 2max 1==ππ=R Q R Q R Q R Q E E εε B 球表面处的场强最大，这里先达到击穿场强而击穿，即
m V R Q E /10346
2
2
02max 2?=π=
ε （2）C Q 4
2103.3-?=，C Q Q 4211047.07
1
-?==
击穿时两球所带的总电荷为C Q Q Q 4
211077.3-?=+=。
第六次作业题答案
1、把C 1=2.0微法和C 2=8.0微法的电容串联后加上300伏的直流电压。
（1） 求每个电容器上的电量和电压。
（2） 去掉电源，并把C 1 和C 2彼此断开，然后把它们带正电的两极接在一起，求每个电容器上的电量
和电压。
（3） 如果去掉电源，并把C 1 和C 2彼此断开后，再把它们带异号电荷的的两极板接在一起，求每个电
容器上的电压和电量。 解：（1）串联电容器每个电容器上的电量相同，设为)(21
Q Q Q ==（此即串联电容器的总电量），
而串联电容器的总电容为2
12
1C C C C C +=
，
故
4108.4-?==CU Q 库仑
两个电容器上的电压比为
4U U 1
2
21==C C 而30021=+U U 伏
所以
2401=U 伏 602=U 伏
（2）这种联法是电容器的并联，并联后每个电容器上的电压相同，设为/
U
题示的接法中，总的电量是421/
106.92)(-?==+=Q Q Q Q
库仑
（若其中一个电容器1带正电的一极与另外一个电容器2带负电的一极连接在一起，而使电容器1带负电的一极与另外一个电容器2带正电的一极连接在一起，也是并联，只是并联后电容器的总电量为
2
1Q Q Q -=），
总的电容为
21/C C C +=
所以，并联后总的电压（亦即每个电容器上的电压）为96/
/
/
==C Q U 伏 每个电容器上的电量比为
4121/
2
/1==C C Q Q 每个电容器上的电量为
4/11092.1-?=Q 库仑4/
2
1068.7-?=Q 库仑 （3）这种情况下，电荷全部中和，电量为零，所以每个电容器上的电压也为零。
2、面积为S 的平行板电容器，两板间距为d
（1）插入厚度为d/3,相对介电系数为εr 的电介质，其电容改变多少？ （2）插入厚度为d/3的导体板，电容改变多少？
（3）上下移动电介质或导体板，对电容变化有无影响？ （4）将导体板抽出，是否要做功？功的数值是多少？ 解：（1）设电容器上板为A 面，下板为B 面，电介质上表面为C 面，下表面为D 面。
未插入电介质前，电容器的电容为Ed
Q
U U Q d
S
C BO AO =
-=
=
00
ε
插入后，两板的场改变（各点的D 值不变，但E
值不同），因此电压也改变。电压变为
)
12(3)12(313
33r
BO AO r r B D D C C A B A U U Ed d
E d E d E U U U U U U U U εεε+-=+??=?+?+?=-+-+-=-
d/3
劳的精神、勇职业的信念。一、 不断学习，理论是行纸、电视、网重要思想、科针、政策的自助人为乐；积理化建议；关连续几年参与人先的良好精二、 严格教书育教师的主量饱满。教学能力，处理问够做到认真备
劳的精神、勇于承
职业的信念。 不断学习，提
理论是行动的纸、电视、网络等重要思想、科学发针、政策的自觉性助人为乐；积极组理化建议；关心集连续几年参与的活人先的良好精神风二、 严格教书育人
教师的主要任量饱满。教学中始能力，处理问题的够做到认真备课、内容，并耐心细致劳的精神、勇于职业的信念。 一、 不断学习，提理论是行动纸、电视、网络重要思想、科学针、政策的自觉性助人为乐；积极理化建议；关心连续几年参与的人先的良好精神二、 严格教书育人教师的主要量饱满。教学中能力，处理问题
所以，插入后，两板间的电容为0213)
1
2(3C U U Q
U U Q
C r
r BO AO r
B
A εεε+=-?+
=
-=
电容的改变量为00211
C C C C
r
r εε+-=
-=?，可见，插入电介质后电容增加。
（2）若C 、D 为导体板，则C 、D 为等电势（静电平衡导体的内部场强为零，导体为等势体），此时两板 间
的
电
势
差
为
3
)(232
303BO AO B D D C C A B A U U Ed d E d E U U U U U U U U -==?++?
=-+-+-=-所以，插入导体后，两板间的电容为
02
3
23C U U Q U U Q C BO AO B A =-?=-=
电容的改变量为002
1
C C C C
=
-=? 可见，无论插入导体还是插入电介质后电容都增加。 （3）从（1）（2）可见，C 与插入的导体或是电介质的位置无关
（4）导体板抽出，外力要作功，根据功能原理，此功等于系统能量的增加。
未抽出导体时，系统的能量为Sd E C Sd E W 202203
1)2Q )(32(21εε==
=或 抽出导体后，系统的能量为Sd E C Sd E W 20022
0/2
1)2Q )((21εε===或
所以外力作的功为Sd E W W A 20/6
1
ε=-=
3.一个半径为R 的金属球带有电量q 0，浸埋在均匀无限大电介质中（电容率为ε），求球外任意一点P 的电场强度和极化电荷分布
解;带有电量为0q 的金属球，静电平衡以后电荷都在外表面，且在空间激发电场，该电场与电介质相互作
用，结果使电介质表面出现极化电荷（由于是均匀电介质，极化后电荷体密度为零），设靠近金属球表面的电介质表面的面电荷密度为/
σ（另一个电介质表面在无穷远处）
根据有介质时的高斯定理，过电介质中一点A 作半径为r 的高斯面S ，由对称性可知S 面上的各点的D
大
小相同且沿径向，根据高斯定理有2
4r q D π=
再由E D ε=知2
04r q E πε=
由于n P ?=/
σ及E P r
)1(0-=εε
可知：2
0/
4r q πεεεσ
?--
=（注意：靠近金属球表面的电介质表面的外法线方向指向金属球）
（D 和E 的方向以及/
σ的正负取决于0q 的正负）
4．如图所示，均匀极化的电介质球的极化强度为P
求在球心产生的退极化场。
解：设电介质球的球心为O ，过球心且与P
方向一致为正x 方向，电介质表面任意一点A 的面电荷密度
为θσ
cos /
P =（θ为P
与面法线方向的夹角），且面电荷密度相同的点构成半径为θsin R 的圆周（圆
环带），即相同圆环带上的面电荷密度相同。
为求极化电荷产生的电场，将极化后的带电介质球分割成无数个带电圆环，每个圆环在轴线上一点（O ）
产生的E
叠加即可。
任取θ处的带电圆环，电荷量为θ
θπθσRd R P dS dq
??==)sin (2cos //
该带电圆环在O 处产生的电场大小为
θθθεθπεd P R dq dE 2
2
0//
cos sin 2cos 4== 方向沿x 轴负向
20//3cos sin 2εθθθεπ
P d P dE E ===??
另法：参照教材230页例题4
第七次作业答案
1、 置于球心的点电荷Q +被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为r
ε的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。 求出（1）电位移矢量D
的分布并做出D 随空间位置变化的曲线
（2）电场强度矢量E
的分布并做出E 随空间位置变化的曲线 （3）极化强度矢量P
的分布并做出P 随空间位置变化的曲线
（4）附加电场强度矢量/E
的分布并做出/E 随空间位置变化的曲线 （5）电荷密度的分布并做出σ随空间位置变化的曲线
解：置于球心处的点电荷Q +产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应， 其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场
（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：
当c r <或d r > 2
4r
Q
D π= 当d r c << 0=D 随r 的变化曲线从略
（2）由E D r
εε0= 可知
当a r <或c r b <<或d r >时 2
04r Q E πε=
当b r a <<时 2
04r
Q
E r επε=
当d r c << 0=E E 随r 的变化曲线从略
（3）由E P r 0
)1(εε-= 可知， 电介质球壳以外 1=r ε ， 所以 0=P
电介质球壳以内 E P r 0)1(εε-= P 随r 的变化曲线从略
（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场/
E 的方向与0E
（点电荷产生的电场）的方向相反。
在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场0/
E E E -=
（式中 2
004r
Q E πε=
2
04r Q E r επε=
）
在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场/
E 与0E
大小相等，方向相反，
即 0/E E -= /
E 随r 的变化曲线从略
（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为/
σ ，则
当b r =时 P =/
σ
当a r =时 P -=/
σ
对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为0σ ，则
当d r =时 D =0σ
当c r =时 D -=0σ /σ随r 的变化曲线从略
2．在介电系数为r εεε0=的无限大均匀电介质中，存在均匀电场0E
。在电介质中挖一个球形空穴，求这空穴中心的电场强度E
解：设均匀外电场的方向水平向右，由于极化，电介质的空穴表面，左半球面带正的极化电荷，右半球面带负的极化电荷，电荷的分布如同均匀极化的介质球表面的电荷分布， 故 极化电荷在球心处产生的电场为0
/
3εP E =
其方向与外电场的方向一致（注意：这不同于极化电荷在介质内产生的附加电场）
而 00)1(E P r εε-= 所以 0/
31
E E r -=
ε
所以 球心处的场为0/
03
2
E E E E r +=
+=ε
第七次作业答案
2、 置于球心的点电荷Q +被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为r
ε的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。
求出（1）电位移矢量D
的分布并做出D 随空间位置变化的曲线
（2）电场强度矢量E
的分布并做出E 随空间位置变化的曲线
（3）极化强度矢量P
的分布并做出P 随空间位置变化的曲线 （4）附加电场强度矢量/
E 的分布并做出/
E 随空间位置变化的曲线
（5）电荷密度的分布并做出σ随空间位置变化的曲线
解：置于球心处的点电荷Q +产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应，
其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场
（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：
当c r <或d r > 2
4r
Q
D π= 当d r c << 0=D 随r 的变化曲线从略
（2）由E D r
εε0= 可知
当a r <或c r b <<或d r >时 2
04r Q E πε=
当b r a <<时 2
04r Q
E r επε=
当d r c << 0=E E 随r 的变化曲线从略
（3）由E P r 0
)1(εε-= 可知， 电介质球壳以外 1=r ε ， 所以 0=P
电介质球壳以内 E P r 0)1(εε-= P 随r 的变化曲线从略
（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场/
E 的方向与0E
（点电荷产生的电场）的方向相反。
在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场0/
E E E -=
（式中 2
004r
Q E πε=
2
04r Q E r επε=
）
在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场/
E 与0E
大小相等，方向相反，
即 0/E E -= /
E 随r 的变化曲线从略
（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为/
σ ，则
当b r =时 P =/
σ
当a r =时 P -=/
σ
对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为0σ ，则
当d r =时 D =0σ
计算电磁学课程作业(二) 1. 电磁场的线性系统（满足标量亥姆霍兹方程的系统）与一般电 子线性系统有何异同点？ 2. 试阐述格林函数对工程电磁场计算和求解的意义。 3. 任何源函数都可很方便地表示为基本函数（一般为函数）的线 性组合。任何波函数都可很方便地表示为基本函数（各种谐函 数）的线性组合。利用电磁场线性系统的函数和格林函数， 对于矢量磁位的亥姆霍兹方程： ，其在自由空间的解为 试写出两个有关矢量磁位的结论。 4. 对于无源区，电场、磁场、矢量磁位、标量电位、矢量电 位、标量磁位以及德拜位、赫兹矢量位等波函数，在时 域均可以写成矢量达朗伯方程的形式： 或标量达朗伯方程的形式。 对于矢量达朗伯方程，也常常只对标量达朗伯方程进行讨论和求解。这是因为：一方面矢量方程可以通过分离变量法后看做各个坐标分量标量方程的叠加；另一方面不同的波函数（平面波、柱面波、球面波）之间可以相互转换表达或相互展开表示（通过广义傅里叶变换）。 试写出无源区标量达朗伯方程的一个通解形式及其推导过程，并阐述通解的物理含义。 5. 类似地，在无源区，频域中波函数的波动方程可以表达为标量 亥姆霍兹方程（谐方程）： （） 其解在为谐函数（正弦函数、余弦函数、指数函数或柱谐函数、 球谐函数）。 电磁波在无限空间传播与存在的是连续谱；而电磁波在有限空 间传播与存在的是分立谱。试分别写出无源区的标量亥姆霍兹方程在直
角坐标、柱坐标和球坐标下的的一般解（通解）形式。 以下题目需提交作业： 6. 当矢量位为 （1），； （2），； 时，分别推导由矢量位计算电磁场各直角坐标和圆柱坐标分量的关系式，并且讨论其电磁场特点。 7. 对于TEM 波（横电磁波），标量电位函数满足拉普拉斯方 程：，即在横街面上具有静电场的行为特征，这种特征给电磁场 的数值计算带来很大的方便，试证明之。 电场E和磁场H满足此关系吗？ TE波（横电波）和TM 波（横磁波）的情况如何呢？ 8. 电磁场中的标量格林函数满足亥姆霍兹方程： 对于无界空间，标量格林函数是关于源点球对称的，标量格林函数对应的亥姆霍兹方程可以变化为： 其中。其通解为：，试将通解代入上式求出。注意到一般边值问题的特解是将通解代入到边界条件（时域还需知道初始条件）中得到的，此问题的另外一个边界在无限远。能不能利用索莫菲辐射条件求出？为什么？ 下题选做： 9. 试说明准静态场的概念，并分别推导磁准静态场和电准静态场的场波动方程及其通过矢量磁位求解的过程。
一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I
电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大 小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线， 其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平
外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时 的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =3.0cm ．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm ，长4.0cm ，厚1.0×10-3cm 的导体，沿长度 方向载有3.0A 的电流，当磁感应强度大小为B =1.5T 的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10-5V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场
一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）
7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E ? 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ d 2. 一带有电荷q ＝3×10-9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10-5 J ，粒子动能的增量为4.5×10-5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10-12 C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷 相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10-6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10 -12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在此区域有 一静电场，场强为j i E ? ??300200+= .试求穿过各面的电通 量． 10. 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： E x ＝bx ， E y ＝0， E z ＝0．高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数ε0＝8.85×10-12 C 2 ·N -1 ·m -2 ) 11. 有一电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分 布． 12. 如图所示，在电矩为p ? 的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之 间距离)移到B 点，求此过程中电场力所作的功． 13. 一均匀电场，场强大小为E ＝5×104 N/C ，方向竖直朝上，把一电荷为q ＝ 2.5×10-8 C 的点电荷，置于此电场中的a 点，如图所示．求此点电荷在下列过程中电场力作的功． (1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b 点，ab ＝45 cm ； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c 点，ac ＝80 cm ； (3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d 点，ad ＝260 cm(与水平方向成45°角)． 14. 两个点电荷分别为q 1＝＋2×10-7 C 和q 2＝－2×10-7 C ，相距0.3 m ．求距q 1为0.4 m 、距q 2为0.5 m 处P 点的电场强度． ( 41επ=9.00×109 Nm 2 /C 2 ) 15. 图中所示， A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上电荷面密度σA ＝－17.7×10-8 C ·m -2 ，B 面的电荷面密度σB ＝35.4 ×10-8 C ·m -2 ．试计算两平面之间和两平面外的电场强度．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2 ·N -1 ·m -2 ) 16. 一段半径为a 的细圆弧，对圆心的张角为θ0，其上均匀分布有正电荷q ，如图所示．试以a ，q ，θ0表示出圆心O 处的电场强度． 17. 电荷线密度为λ的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB R ，试求圆心O 点的场强． E ? q L d q O x z y a a a a A B R ? Ⅰ Ⅱ Ⅲ d b a 45?c E ? σA σB A B O a θ0 q A R ∞ ∞ O 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿 磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的) (2)若存在电流，上述结论是否还对 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点 的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的水平外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4 T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =．已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) 试画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽，长，厚×10-3 cm 的导体，沿长度方向载有的电流，当磁 感应强度大小为B =的磁场垂直地通过该导体时，产生×10-5 V 的横向电压．试求： (1) 载流子的漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目． 8 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U ． 图 9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R ．求：感应电流的最大值． 《电磁学》计算题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E ? 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ d +q 2. 一带有电荷q ＝3×10-9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10-5 J ，粒子动能的增量为4.5×10-5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 =Ar (r ≤R ) ， =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度的值． (0 ＝8.85× 10-12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10-6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量 ＝8.85×10 -12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E ? ??300200+= .试求穿过各面的电通量． E ? q L d q O x z y a a a a 电磁学 一、填空题 1、离无限长均匀带电直线距离为r处的电场强度与r 成比。 半径为R的均匀带电量Q的细圆环环心处的电势为。 2、球形电容器（内外半径分别为R1和R2），充电后与电源断开，若将电容器充满相对电容率为 r ε的各向同性均匀电介质，其电容将，该球形电容器电容的表达式为。 3、平行板电容器充电后与电源断开，然后充满相对电容率为 r ε的各向同性均匀电介质，其电容将，两极板间电势差将。（填减小、增大或不变） 4、半径为R的均匀带电Q的球面，若取无穷远处为零电势点，则球表面处的电势U= ；球面外离球心r处的电势U r= 。 5、静电场的电场线有如下的性质：电场线形成闭合曲线；任何两条电场线相交。 6、在磁场中载流导线上出现横向电势差的现象称为，此电势差与电流强度成比。此电压的测量可以确定载流子的。 7、半径为R的均匀带电球面（电量为Q）内部是一个， 球心处的电势为（ ε已知）。 8、地表附近，晴天大气平均电场强度约为120V/m，大气平均电流密度约为412 10- ?A/m2。则大气电导率是若电离层和地表之间的电势差为45 10 ?V，大气的总电阻是。9、边长为a的正三角形，其三个顶点各放置q，q-和q2-的点电荷，三角形重心上的电势为，将一电量为Q +的点电荷由无限远移到重心上，外力做功为。 10、一半导体薄片在如图所示的磁场中，薄 片中电流的方向向右，则可知是空穴导电， 上、下两侧的霍耳电势满足 a ?< b ?。（填“>” 或“<”） 11、静电场的高斯定理说明静电场是，静电场的场强环路定理说明静电场是。 12、带电粒子垂直射入均匀磁场，电荷受到的洛仑兹力其速度的大小(填“改变或不改变”，电荷所受洛仑兹力做功。 13、电量和符号都相同的三个点电荷q放在等边三角形的顶点上。为了不使它们由于斥力的作用而散开，可在三角形的中心放一符号相反的点电荷q′。则q′的电量应为。14、两平行长直载流直导分别通有电流I1和I2，它们相距为d，导线直径远小于d，则根据定律，可得每根导线单位长度线段受的磁场作用力为。 15、设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ，A、B两点分别在线的两侧，它们到线的距离分别为a和b，则根据定义式可得A、B两点间的电势差为。 16、平行板空气电容器极板面积S、间距d，电源充电后两极板带电分别为±Q。断开电源再把两极板距离拉开到2d，外力克服两极板吸引力所作功为；两极板间相互吸引力为。 17、分子的正、负电荷中心重合的电介质叫电介质， 第一章静电场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 思考题： 1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等？ 答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。 2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果？ 答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。 7、两个点电荷带电2q 和q，相距l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？ 解：设所放的点电荷电量为Q。若Q与q同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故Q 只能与q异号。当Q在2q和q联线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有Q与q异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡。设Q到q的距离为x. 8、三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？ 解：设所放电荷为Q，Q应与顶点上电荷q异号。中心Q所受合力总是为零，只需考虑q 受力平衡。 平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡。 9、电量都是Q的两个点电荷相距为l，联线中点为O；有另一点电荷q，在联线的中垂面上距O为r处。（1）求q所受的力；（2）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。 解： (1) (2)q与Q同号时，F背离O点，q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处。 q与Q异号时，F指向O点，q将以O为中心作周期性振动，振幅为r . <讨论>：设q 是质量为m的粒子，粒子的加速度为 因此，在r< 电磁学作业及解答精选 文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 电磁学习题 1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 2 如题图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线， 其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 图 3 在半径为R 的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r 的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a ,且a ＞r ，横截面如题9-17图所示．现在电流I 沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小． 4 如图所示，长直电流1I 附近有一等腰直角三角形线框，通以电流2I ，二者 共面．求△ABC 的各边所受的磁力． 图 5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I ，并把线圈放在均匀的 水平外磁场B 中，线圈对其转轴的转动惯量为J .求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T . 6 电子在B =70×10-4T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r =．已知B 垂直于 纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如图． (1) (2) 试画出这电子运动的轨道； (3) (4) 求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E ． 图 7 在霍耳效应实验中，一宽，长，厚×10-3cm 的导体，沿长度方向载有的电 流，当磁感应强度大小为B =的磁场垂直地通过该导体时，产生×10-5V 的横向电压．试求： (1) (2) 载流子的漂移速度； (3) (4) 每立方米的载流子数目． 第五章 静 电 场 5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202， 利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 P r λ2 λ1 R 1 R 2 1．坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强 度为E ρ 。现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么 位置才能使P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x >1。 (B) x 轴上0 电磁学第一次作业解答 第六章 真空中的静电场 6-1 在边长为a 的正方形四个顶点上各有相等的同号点电荷－q ．试求：在正方形的中心处应放置多大电荷的异号点电荷q 0，才能使每一电荷都受力为零？ 解：如图所示，由于对称分布，放在中心处的q 0无论电荷多少都能取得平衡.因四个定点上的电荷受力情况相同，因此只需考虑任一顶点上的电荷受力情况．例如考虑D 点处的电荷，顶点A 、B 、C 及中心处的电荷所激发的电场对D 处点电 荷的作用力的大小分别为： ( ) 2 002 0122 /24a qq a qq qE f εεπ=π= = ( ) 2 02 2 2 2824a q a q qE f B εεπ= π= = 2 02 34a q qE f A επ== 2 02 44a q qE f C επ= = 各力方向如图所示，α＝45°．D 处电荷的受力平衡条件为： ∑=0x f , ∑=0y f 用 0c o s c o s 123=-+=∑ ααf f f f x 将f 1，f 2，f 3式代入上式化简得： ()4/2210q q +=＝0.957 q 用∑=0y f 得同样结果． 6-4 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强： L q O () 2 04d d x d L q E -+π= ε() 2 04d x d L L x q -+π= ε 总场强为 ?+π= L x d L x L q E 0 2 ) (d 4－ε() d L d q +π= 04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向． 6-8 两根相同的均匀带电细棒，长为l ，电荷 线密度为λ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l ，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电 相互作用力． 解：选左棒的左端为坐标原点O ，x 轴沿棒方向向右，在左棒上x 处取线元 d x ，其电荷为d q ＝λd x ，它在右棒的x '处产生的场强为： () 2 04d d x x x E -'π= ελ 整个左棒在x '处产生的场强为： () ? -'π= l x x x E 0 2 04d ελ?? ? ??'--'π= x l x 11 40ελ 右棒x '处的电荷元 d x '在电场中受力为： x x l x x E F '?? ? ??'--'π= '=d 11 4d d 02 ελ λ 整个右棒在电场中受力为： ???'?? ? ??'--'π=l l x x l x F 3202 d 11 4ελ 34ln 402 ελπ=，方向沿x 轴正向． 左棒受力 F F -=' 6-14 一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度． 解： 选取坐标轴Ox 沿半球面的对称轴，如图所示．把半球面分成许多微小宽度的环带，每一环带之面积 θθθθd R R R S s i n 2d s i n 2d 2 π=π= 小环带上带电荷 θθσσd s i n 2d d 2R S q π== 该电荷元在O 点产生的场强 O R d E x d θ θ 电磁学第二章习题答 案 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球 壳内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 大学物理电磁学练习题及答案
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