第八章
1、向量在轴上的投影：
性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a
与u 轴的夹角；
u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a
+ Prj u b ）；
u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a
）.
2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x
++=，k b j b i b b z y x ++=，则
=?b a
x x b a i
y y b a j z
z b a k
=1
1)
1(+-y y b a z z
b a i +21)1(+-x x b a z z
b a j +3
1)1(+- x x b a
y
y
b a k
=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y
)()()(-+-+-
注：a b b a
?-=?
3、二次曲面
（1） 椭圆锥面：222
22z b
y a x =+；
（2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面：
z a y x =+2
2
2（把把xOz 面上的抛物线z a
x =22
绕z 轴旋转））
（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：
122
222=++c
z a y x （把xOz 面上的椭圆122
22=+c
z a x 绕z 轴旋转））
（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122
2
22=-+c
z a y x （把xOz 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕z 轴旋转））
（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：12
2
222=+-
c z y a x （把xOy 面上的双曲线122
22=-c
z a x 绕x 轴旋转））
（6） 双曲抛物面（马鞍面）：z b
y a x =-22
22；
（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：122
22=-b
y a x ； 抛物柱面：ay x =2
4、平面方程
（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中
),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =
为平面的一个法向量.
（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =
为平面的一
个法向量.
注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =
若D =0，则平面过原点；
若???≠==轴，则平面平行于轴
则平面过x D x D A 0,0,0
若?
?
?≠===面，则平面平行于面
，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：
1=++c
z
b y a x ，其中
c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.
5、两平面的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=
θ
特殊：0212121=++?C C B B A A 两平面互相垂直 2
1
2121C C B B A A ==?两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面
0=+++D Cz By Ax 的距离公式：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
7、空间直线方程
（1） 空间直线的一般方程：???=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A
（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-，其中),,(p n m s =
为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点
（3） 空间直线的参数方程：??
?
??+=+=+=pt
z z nt y y mt x x 000
8、两直线的夹角：2
2
2
22
22
12
12
12
12121cos p n m p n m p p n n m m ++?++++=
?
特殊：0212121=++?p p n n m m 两直线互相垂直 2
12121p p n n m m ==?
两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
?
特殊：p
C n B m A ==?
直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：
设直线L 由方程组???=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不
成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）
第九章
1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点
2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在
3、偏导数：求x f
??时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数；
求
y
f
??时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；
（2）x
z
??为整体，不可拆分；
（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求
4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数
x
z
??、y z ??必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy y
z dx x z dz ??+??=
5、若函数),(y x f z =的偏导数
x
z
??、y z ??在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：
（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ?=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数
)](),([t t f z ψ?=在点t 可导，且有
dt
dv v z dt du u z dt dz ??+??= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ?=及),(y x v ψ=都在点
),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导
数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
x v v z x u u z x z ????+
????=??；y
v
v z y u u z y z ????+????=?? （3）其他情形：若函数),(y x u ?=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数
)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合
函数)](),,([y y x f z ψ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
x
u
u z x z ????=
??；y
v v z y u u z y z ????+????=?? 8、隐函数求导公式： （1）函数),(y x F ：
y
x F F dx dy
-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=??，z
y F F y z
-=??
9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为
??
?
??===),(),(),
(t z t y t x ωψ? ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点 假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零
则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψ?=
为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：
)
(')(')('00
0000t z z t y y t x x ωψ?-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψ? 如果空间曲线Γ的方程以???==),(),
(x z x y ψ?的形式给出，
则Γ在点M 处的切线方程为：
)
(')('100
000x z z x y y x x ψ?-=-=-， 法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψ?
如果空间曲线Γ的方程以???==,0),,(,
0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方
程为：
M
y
y
x x M x x z z M
z z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 0
00-=-=-
法平面方程为：0)()()(000=-+
-+
-z z F F G F y y G F G F x x G F G F y
y x x M
x
x z z M
z
z y y
10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：
0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程
为：
)
,,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=-
11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f l
f
+=??，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x
),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ?或，
即),(),(000y x f y x gradf o ?==j y x f i y x f y o x
),(),(000+
13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又
0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取
得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：
第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；
第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值 注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数极．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．值时，除了考虑函数的驻点．．．．．．．．．．．．外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．要考虑．．．
16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ?下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λ?+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ?联立起来：
?
??
??==+=+0
),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ?，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ?下的可能极值点
第十章
1、二重积分的性质
性质1：设βα、为常数，则
??????+=+D
D
D
d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.
性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）
性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则
????=?=D
D
d d σσσ1
性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ?≤则有：????≤D
D
d y x d y x f .),(),((σ?σ
特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则
??
??≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(.
性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有??≤≤D
M d y x f m σσσ),(.
性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得???=D
f d y x f σηξσ),(),(.
2、二重积分直角坐标的计算法：
（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ??≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中
)
(1x ?、
)
(2x ?在区间],[b a 上连续.则
????=D
x x b
a
dy y x f dx d y x f )
()
(21.),(),(??
σ
（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中
)
(1x φ、
)
(2x φ在区间],[d c 上连续.则
???
?
=D
x x d
c
dx y x f dy d y x f )
()
(21.),(),(φφσ
注：确定次序原则：
（1） 函数原则：内层积分可以积出；
（2） 区域原则； （3） 少分块原则.
3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）
若积分区域D 可用不等式)()(21x x ?ρ?≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ?、
)(2x ?在区间],[βα上连续.则：
??
??
??==β
α
θ?θ?ρρθρθρθθρρθρθρσ)
()
(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f D
D
（详见
P145,146）
4、确定上下限原则：
（1）每层下限小于上限；
（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.
5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：
??
????
??
??
?
=--=-=D
D y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1
),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D
（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：
??
????
??
??
?
=--=-=D
D y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1
),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：
（1）先一后二：若}{
xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域
}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：
?
?
????=Ω
)
,()
,(222
1
),,(),,(y x z y x z y y b
a
dz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）
（2）先二后一（截面法）：
S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；
S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ； S3：计算??z
D dxdy z f )(；
S4：计算?2
1
),(c c dz y x F
若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截
闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：
??????
=Ω
2
1
),,(),,(c c D z
dxdy z y x f dz dv z y x f
注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：
+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-z
ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面；
z =常数，即与xoy 面平行的平面
??
?
??===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=
??????Ω
Ω
=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=
再化为三次积分计算
?
?????=Ω
)
,()
,(2121
2
1
),,(),,(θρθρ??θθ
θρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿
z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解） 8、球面坐标三重积分的计算：
+∞<≤r 0，π?≤≤0，πθ20≤≤
??
?
??===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x
球面坐标系中的体积元素：θ??d drd r dv sin 2=
??????
Ω
Ω
=θ??θ?d drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2，
其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(?θ?θ?θ?r r r f r F =，再化为三次积分计算
???
???=Ω
2
1
21
21sin ),,(),,(2)
,()
,(θθ
??θ?θ??θ??θdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θ?r ，)
,(2θ?r 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）
典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）
解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示
xoy 上半面圆锥体 直角坐标：
3
22220
2
)12(3
4)2(1
1
a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V a
a
a
a
a
D a D -=-+=+==?
?
?????????Ω
πππ
柱面坐标：??
????-Ω
==a
a dz d d v d V 0
220
2
2ρρ
π
ρρθ
球面坐标：??
????==Ω
40
2220
sin π
π
??θa
o
dr r d d v d V
十一章
1、对弧长的曲线积分的计算法：
设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()
()
x t y t ?φ=??=? ，
()t αβ≤≤，其中(t ?），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且
22'()'()0t t ?φ+≠，则曲线积分
(,)L
f x y ds ?
存在，且
22(,)[(),()]'()'()L
f x y ds f t t t t dt β
α
?φ?φ=+?
? ()αβ<
同理：空间曲线Γ：()
()()x t y t z t ?φω=??
=??=?
222(,,)[(),(),()]'()'()'()f x y z ds f t t t t t t dt β
α
?φω?φωΓ
=++?
?
2、对坐标的曲线积分的计算方法：
设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为
()
()
x t y t ?φ=??
=?，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ?），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且
22'()'()0t t ?φ+≠，则曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?存在，且
(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}L
L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ?φ??φφ+=+?
?（下限α对应于
L 的起点，上限β对应于L 的终点）
同理：空间曲线Γ：()
()()x t y t z t ?φω=??
=??=?
(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}L
L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P t t t t Q t t t t R t t t dt
?φω??φωφ?φω++=++?
?
3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：
(cos cos )L
L
Pdx Qdy P Q ds αβ+=+?
?，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L
在点(,)x y 处的切向量方向角2
2
'()cos '()'()
t t t ?α?φ=
+，2
2
'()cos '()'()
t t t φα?φ=
+
同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓ
Γ
++=++?
?
4、格林公式：
设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有(
)L D
Q P
dxdy Pdx Qdy x y
??-=+?????，其中L 是D 的取正向的边界曲线
注：取,P y Q x =-=，则2L
D
dxdy xdy ydx =
-???
，左端表示闭区D 的面积A 的
两倍，因此，1
2
L
A xdy ydx =-?
5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：
（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0L
P x y dx Q x y dy +=?
（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?与路径无关
（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有
Q P
x y
??=??
6、对面积的曲面积分的计算法：
22
(,,)[,,(,)]1(,)(,)xy
x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑
=++??
??
22(,,)[,(,),]
1(,)(,)xz
x z D f x y z dS f x y x z z y x z y x z dxdz ∑
=++????
22(,,)[(,),,]1(,)(,)yz
y y D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz ∑
=++??
??
7、对坐标的区面积分的计算法：
(,,)[,,(,)]xy
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面上下侧
(,,)[,(,),]zx
D Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面左右侧
(,,)[(,),,]xy
D P x y z dydz P x x y y z dydz ∑
=±????，等式右端符号取决于积分曲面前后侧
8、两类曲面积分之间的联系：
cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑
∑
++=++????，
其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦
9、高斯公式：
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、
(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：
(
)(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS
x y z
αβγΩ
∑
∑
???++=++=++??????????
10、斯托克斯公式：
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，
Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：
(
)()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y
Γ
∑
??????-+-+-=++?????????