科组长签字:
高中数学必修4 平面向量
基本知识回顾:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示-----AB u u u r
(几何表示法);
②用字母a r 、b r
等表示(字母表示法);
③平面向量的坐标表示(坐标表示法):
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r
作为基底。任作一个向量a
,由平
面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得a xi yj r r
,),(y x 叫做向量a 的(直
角)坐标,记作(,)a x y r
,其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特
别地,i r (1,0) ,j r (0,1) ,0(0,0) r
。a r ),(11y x A ,),(22y x B ,则
1212,y y x x
,
AB
3.零向量、单位向量:
①长度为0的向量叫零向量,记为0;
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.|
|a 就是单位向量)
4.平行向量:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行,记作a r ∥b r ∥c r
.共线向量与平行向量
关系:平行向量就是共线向量.
性质://(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一)||b a b a a b
u r r
u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---
1221//(0)0a b b x y x y r u r r r (其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r
)
5.相等向量和垂直向量:
①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2
性质:0a b a b r u r r r
g
1212
a b x x y y
r u r
(其中
1122
(,),(,)
a x y
b x y
r u r
)
6.向量的加法、减法:
①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则:
AC a b
u u u r r r
(起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形)
DB a b
u u u r r r
三角形法则
,
加法首尾相连
减法终点相连方向指向被减数
——加法法则的推广:
112
n
AB AB B B
u u u u r u u u r u u u u r
……
1
n n
B B
u u u u u u r
即n个向量
12
,,
a a
u r u u r
……
n
a
u u r
首尾相连成一个封闭图形,则有
12
a a
u r u u r
0
n
a
u u r r
②向量的减法向量a
r
加上的b
r
相反向量,叫做a
r
与b
r
的差。即:a
r
b
r
= a
r
+ ( b
r
);
差向量的意义:OA
= a
r
, OB=b
r
, 则BA=a
r
b
r
③平面向量的坐标运算:若
11
(,)
a x y
r
,
22
(,)
b x y
r
,则a b
r
r
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
,a b
r
r
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
,(,)
a x y
r
。
④向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+) +=+ (+)
⑤常用结论:
(1)若
1
()
2
AD AB AC
u u u r u u u r u u u r
,则D是AB的中点
(2)或G是△ABC的重心,则0
GA GB GC
u u u r u u u r u u u r r
7.向量的模:
1、定义:向量的大小,记为 |a
r
| 或 |AB
u u u r
|
2、模的求法:
若 (,)a x y r
,则 |a r |22x y
若1122(,),(,)A x y B x y , 则 |AB u u u r |22
2121()()x x y y
3、性质:
(1)2
2||a a r r ;
22||(0)||a b b a b r r (实数与向量的转化关系) (2)22
||||a b a b r r r r ,反之不然
(3)三角不等式:
||||||||||a b a b a b r r r r r r (4)||||||a b a b r r r r g (当且仅当,a b r r
共线时取“=”)
即当,a b r r 同向时 ,||||a b a b r r r r g
; 即当,a b r r 同反向时 ,||||a b a b r r r r
g (5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,
即
2222
2||2||||||a b a b a b r r r r r r 8.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa
(1)|λa |=|λ||a
|;
(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a 方向相反;λ=0时λa
=0;
(3)运算定律 λ(μa )=(λμ)a ,(λ+μ)a =λa +μa ,λ(a +b )=λa
+λb
交换律:a b b a r r r r g
g ; 分配律:()a b c a c b c r r r r r r r
g
g g ( )·b r = (·b r )=·( b r
); ——①不满足结合律:即()()a b c a b c r r r r r r g
g g g ②向量没有除法运算。如:a b c b a c r r r r r r g
g ,2a a a b b
r r r r r g 都是错误的 (4)已知两个非零向量,a b r r
,它们的夹角为 ,则
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1.1 任意角 教学目标 (一)知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三)情感与态度目标
1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B