1. 设A B C
,,是三个事件，则A B C
,,至少有一个发生表示为 .
2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的
概率为，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 .
3. 设),
,2(
~2σ
N
X且3.0
}4
2{=
<
P，则= <}0 {X P________. 4. 且和相互独立，则＝_______，＝________. 5. 若) ,( ~p n b X，且,6.1 ) (= X E28.1 ) (= X D，则= n，= p_ . 6. 设),3,10( ~N X)2,1( ~N Y，且X和Y相互独立，则 = -) 2 3(Y X D . 7. 设)4,( ~μ N X，容量9= n，均值2.4 = X，则未知参数μ的置信度0.95 的置信区间为_________. (查表 0.025 1.96 Z=) 8. 设 3 2 1 , ,X X X是来自正态总体) , ( ~2 σ μ N X的样本,则当= a， 3 2 12 1 3 1 ?aX X X+ + = μ是总体均值μ的无偏估计. 二、选择题（每题3分，共18分） 1. 设事件A与B互斥，,0 ) ( ,0 ) (> >B P A P则下列结论中一定成立的有( ) (A) A与B互不相容(B) A,B为对立事件 (C)A与B相互独立(D) A与B不独立 2.设)1,1( ~N X，概率密度为)(x f，分布函数为)(x F，则有( ) ) (A}1 { }1 {≥ = ≤X P X P) (B}0 { }0 {≥ = ≤X P X P ) (C) ( ) (x f x f= -) (D) ( 1 ) (x F x F- = - 3. 设随机变量X与Y的方差满足()() 25,36, D X D Y ==()85 D X Y+=， 则相关系数= XY ρ( ) ) (A0.2 ) (B0.3 ) (C0.4 ) (D0.5 4. 设D是由直线x y=,0=y和2 =x围成的平面区域，二维随机变量) , (Y X 在区域D上服从均匀分布，则) , (Y X关于X的边缘概率密度在1=x处的值 为 ( ) ) (A 2 1) (B 3 1) (C 4 1) (D 5 1 5. 设 n X X X,... , 2 1 是正态总体) ,( ~2σ μ N X的样本,其中μ已知,σ未知,则 下列不是统计量的是( ) ) (A k n k X ≤ ≤1 max) (B k n k X ≤ ≤1 min) (Cμ - X) (D∑ = n k k X 1 σ 6. 设随机变量) , (Y X满足方差) ( ) (Y X D Y X D- = +，则必有( ) ) (A X与Y独立) (B X与Y不相关 ) (C X与Y不独立) (D0 ) (= X D或 三、计算题（每题10分，共60分） 1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2 个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子， 再从中任取1球. (1) 求此球是白球的概率； (2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率. 2 1 2. 设随机变量 X 的概率密度为x Ae x f -=)( ，求 (1) A 值； (2)X 的分布 函数)(x F ；(3)X 落在区间)1,1(-内的概率. 3. 设),(Y X 的联合密度函数为 ? ??≤≤≤≤-=其他 ,00,10),1(),(x y x x Ay y x f ，求 (1)常数A ; (2) 边缘概率密度; (3) X 和Y 是否独立？ 4.设 X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ?? ?≤≤=其他,01 0,1)(x x f X ，???>=-其他 ,00,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度。 5. 设随机变量X 具有密度函数?????≤<-≤≤=其他 ,021,21 0,)(x x x x x f ，求)(X E 及)(X D . 6. 设总体 X 的概率密度为 ?????<<=-其他,01 0,1);(/)1(x x x f θθθθ ，0>θ， n X X X ,...,,21是取自总体X 的样本。（1）求θ的最大似然估计量θ?。（2）证明 θ?是θ的无偏估计量。 概率论与数理统计 2 2 《概率论与数理统计》试卷A 标准答案 一、填空题（每空2分，共28分） 1.C B A ?? 2. 8.0，75.0 3．2.0 4. 9/2, 9/1 5. 2.0,80 6. 35 7.)51.5,89.2( 8.61 二、选择题（每题2分，共12分） 1. D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 三、计算题（每题10分，共60分） 1. 设事件A 为“取到白球”，321,,B B B 分别表示：取到第一个盒子、第二个盒子和第三个盒子”. （ 1） )()()(3 1 i i i B A P B P A P ∑== (2) 分 6 3 3162316431?+?+?= …………………4分 2 1 = …………………5分 （2） ) () ()()(111A P B A P B P A B P = …………………7分 94 2 164 31=? = ……………… …10分 2. （1）由? +∞ ∞-=1)(dx x f ，得 ? ? ∞ -+∞-==+0 12A dx Ae dx Ae x x ， 2 1 = A ………………3分 （2） ? ∞ -= x dt t f x F )()( ?????>-=+≤==???∞---∞-000 ,211212 10,2121x x t t x x t x e dt e dt e x e dt e ………………7分 （ 3 ） 11)1()1(}11{--=--=<<-e F F x P ………………10分 3. (1) 由 1 ),(?? +∞∞-+∞ ∞ -=dxdy y x f ， 得 …………………1分 124 )1(21)1(21 01 ==-=-? ? ?A dx x x A dy x Ay dx x ， 得 24=C …………………3分 ? +∞∞ -=dy y x f x f X ),()( ?? ???≤≤-=-=?其他,010),1(12)1(2420x x x dy x y x ……………6分 ? +∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()( ?? ???≤≤-=-=?其他,01 0,)1(12)1(2421 y y y dx x y y ……………9分 由于)()(),(y f x f y x f Y X ≠，因此X 和Y 不是相互独立的. …………10分 4． dx x z f x f z f Y X Z )()()(-=? ∞ ∞ - 由 ?? ?>-≤≤0 10x z x ，得 ?? ?<≤≤z x x 1 0 …………………3分 原 式 = ? ?? ????≥< 0,10) (0 )(z dx e z dx e x z z x z =?????≥-<<---其他,01),1(10,1z e e z e z z …………………10分 5. ?+∞ ∞ -=dx x xf X E )()( (1) 分 = ?? -+2 1 1 2)2(dx x x dx x 1= …… ………4分 ?+∞ ∞ -=dx x f x X E )()(22 = ??-+2 121 03 )2(dx x x dx x = 67 ……………8分 6 1 )]([)()(22=-=X E X E X D ……… ……10分 6. 设n x x x ,...,,21是相应于n X X X ,...,,21的一个样本值 ……………1分 似然函数∏==n i i x f L 1 );()(θθ ??? ??<<=∏=-其他, 010,11/)1(n i i i n x x θ θθ ……… ……2分 ∑=-+-=n i i x n L 1 ln )1ln ln θ θθ（ ……………3分 ∑=--=n i i x n d L d 1 2 ln 1 ln θ θθ ……………4分 解得 ∑=-=n i i x n 1 ln 1?θ 因此θ的最大似然估计量 ∑=-=n i i X n 1 ln 1?θ. ……………6分 因 为 θθ θθ-==-?/)1(10 1 ln )(ln x x X E ， ……………8分 θθ=-=∑=)ln 1()?(1 n i i X n E E 可 知 θ? 是 θ 的无偏估计 量。 ……………10分 一．随机事件与概率 １．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端 的概率为 （10 1 ） 2. 若B A ?，则B A Y 是 （B ） 3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A Y Y ） 4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0< 5． 某射手射击时，中靶的概率为 4 3 ，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 4 3 )41(2? ） 5．设B A ?，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P 6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律 解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为Λ,2,1，即一切正整数，而： p p k X P k 1)1(}{--== Λ,2,1=k 上式即为X 的分布律。 7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。 解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和： 10A A A += 其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ： 028.0)(50100 5095 0==C C A P 153.0)(50 100 4995 151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P 8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。 解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则 ()53= A P ，()2011005==A B P ，() 52 =A P ， () 4001 1000025==A B P 于是，由全概率公式，有 ()()()()() A B P A P A B P A P B P +=1000 31 40015220153= ?+?=。 9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ?。（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。 解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率 4.0)()|()(=?=A P A B P AB P ，7.04.06.0 5.0)(=-+=?B A P 。 （2 ） 易 知 6 .0)(=A P ， 5 .0)(=B P ，由 )()(4.0)()()(AB P A P B A P B P B A P -===，可得2.0)(=AB P ， 从而 4.05 .02 .0)()()|(=== B P AB P B A P 。 10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例； （2）至少读一种报纸所占比例。 解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：C B A ,,，由已知条件，有 25.0)(=A P ，20.0)(=B P ，16.0)(=C P ，10.0)(=AB P ， 05.0)(=AC P ，04.0)(=BC P ，02.0)(=ABC P ，从而有 （1）))(()())(()(C B A P A P C B A P C B A P Y Y -== [][])()()()()()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P -+-=-=Y ()12.002.005.010.025.0=-+-= （2） ) (C B A P Y Y )()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++= ()44.002.004.005.01.016.020.025.0=+++-++=. 二．一维随机变量 1. 设随机变量X 的分布函数为? ? ?<≥+-=-0 00 )1(1)(x x e x x F x ，求}1{≤X P 。 （121--e ） 2．已知随机变量X 的密度为? ??<<=其它,01 0,)(x Ax x f ，求A 。 解 由 1 ()d d 12 A f x x Ax x +∞-∞ == =? ?； 可得2A =。 ３．随机变量X 的概率密度为??? ??<-=其它 ２ 11)(x x C x f 求C 。 （ π 1 ） 4．若),2(~2 σN X ，且{}3.042=< 解 0.3={}5.02222442-?? ? ??Φ=??? ??-Φ-??? ??-Φ=<<σσσX P 故 8.02=??? ??Φσ，{}2.02120=??? ??Φ-=??? ??-Φ=<σσX P 。 5．随机变量X 的概率密度为：?? ?<≥=-0 )(x x e x f x ，求随机变量12+=X Y 的概率密度。 解 设12+=x y ，则02>='y ，反函数2 1 -=y x ，于是12+=X Y 概率密度为： ?? ???<≥=???? ??-=--1 01212121)(2 1y y e y f y f y Y ，故 ??? ??<≥=--1 121)(2 1y y e y f y Y 。 6．设随机变量X 在]4,1[上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？ 解 X 的概率密度为：?????≤≤=其他0 4 131 )(x x f 。一次试验观察值大 于2的概率为： 3 2d 31}2{4 2==>? x X P 设3次独立试验观察值大于2的次数为Y ，则?? ? ? ? 32, 3~B Y ，从而： 2720323132}2{3 3322 3 =? ? ? ??+???? ??=≥C C X P 。 7．设随机变量),2(~2 σN X ，且3.0)42(=< 解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 )20()2()0(<≤-<= )42(5.0≤<-=X P )42(5.0<<-=X P 2.03.05.0=-= 8．如果函数x Ae x f -=)(，+∞<<∞-x ，为某个随机变量的概率密 度，求A 。 解 因为 ? ∞+∞ -=1d )(x x f ，而 ??? +∞-∞ -∞+∞ --+=0 d d d x A e x Ae x Ae x x x A A A 2=+=。 故2 1= A 。 9. 已知 X 的概率分布为 求 Y = X 2 的分布律. 解 X p k -1 0 1 2 2 14 18 18 1 三．二维随机变量 1．若),(ηξ的联合概率密度为：()1 ,0,0(,)0 , x y k e x y f x y -+?>>?=???其它 （1）确定常数k ；（2）求)2,2(<<ηξP 。 解 （1）??∞ +∞ +--== 00 1d d 11k y e x e k y x ，故1=k ； （ 2 ） ? ? ∞ -∞ -=<<22d d ),(}2,2{y x y x P ?ηξ222 2 )1(d d ----==??e y e x e y x 2．设随机变量),(Y X 的密度函数为 ?? ?<<<<=其他0 1 0,101),(y x y x f ，求概率}6.0,5.0{< ? ? ∞ -∞ -=<<6.05.0d d ),(}6.0,5.0{y x y x f Y X P ?? ==6.00 5.00 3.0d d x y 3．设二维随机变量(ηξ,)的分布函数 ()()()()()? ? ? ???--+++=y B A x B A y B A x B A y x F arctan arctan 211arctan arctan , (1)求常数B A ,；(2)求()0,0≥≥ηξP 。 解 (1)令1)2(211)2(),(22=?? ? ??-++ =∞++∞B A B A F ππ 0)2(211)2(),(22=?? ? ??++-=∞--∞B A B A F ππ，得 π 1,21==B A (2)()0,0≥≥ηξP )0()0(1<-<-=ηξP P ()0,0<<+ηξP 32 9 32921211)0,0()0,(),0(1= +-- =++∞-∞+-=F F F 4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为ξ,η，其分布函数均为 求系统的寿命短于1000小时的概率。 解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， )1000,1000()1000()1000(<<-<+<=ηξηξP P P p 2 )]1000([)1000()1000(F F F -+=()?????≤>-=-0 , 00 ,11000x x e x F x 221111)1(11-----=---+-=e e e e 四．随机变量的数字特征 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知 1)2)(1(=--X X E ，求λ 。 解 因λDX EX ==，有 2223)()23(1222+-=+-+=+-=λλλEX DX X X E ，从而 1=λ。 2．设随机变量X 服从参数为 1 的指数分布，求)(2X e X E -+。 解 3/13/d 3d 03022=?? ? ??== ??∞ --∞ --x e x e e Ee x x x X 从而3 4311)(2=+=+-X e X E 。 3．设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0==EY EX ， 222==EY EX ，求2)(Y X E +。 解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为 2 )(Y X E +=2 2 )(2EY XY E EX ++()EY EX Y X ?++=),cov(24 625.02424=??+=??+=DY DX XY ρ 说明：本题的核心是逆向思维，利用公式 EY EX Y X XY E ?+=),cov()(。 4．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为6和3，求随机变 量Y X 32-的方差。 解 由方差的性质，得51272494)32( =+=+=-DY DX Y X D 。 5．设连续型随机变量X 的分布函数为?? ???>≤≤<=1 11000)(3 x x x x x F ，则求EX 。 解 随机变量X 的概率密度为：?? ?≤≤='=其他 1 03)()(2 x x x F x f ， ?? ==∞+∞ -10 3d 3d )(x x x x xf EX ，故?1 3d 3x x ＝３／４。 5．设随机变量X 的方差为2，求根据切比雪夫不等式有估计 {}2)(≥-X E X P 。 解 由切比雪夫不等式，有{} 21 422 )(2)(2 ==≤ ≥-X D X E X P 。 6．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数=ρ0.5，则根据切比雪夫不等式求{} 6≥-Y X P 。 解 0)(=-Y X E ，关键要求Y X -的方差。 DY Y X DX Y X Y X Y X D +-=--=-),(cov 2),(cov )( 1415.0),cov(=?=?=DY DX Y X ρ 3421)(=+-=-Y X D ， 于是{} 1216 3 62 =≤≥-Y X P 。 六七章．数理统计 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线……………………………………………………… 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 一 填空 1．设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件，4.0)(,8.0)(==A P B A P ，则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立，则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，S 是样本标准差，则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ，从中随意取一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本，n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本，且这两种样本独立，则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ，则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13．已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===，则()P AB = ， ()P A B = 。 14．若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B ＝ 。 15．若随机变量X 服从(1,3)R -，则(11)P X -<<= 。 16．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝ 。 17．设随机变量,X Y 相互独立，且X 服从(2)P ，Y 服从(1,4)N ，则(23)D X Y -= 。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布 模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ，概率P{—0.5 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设事件A, B仅发生一个的概率为，且 P( A) P(B) 0.5 ，则 A, B 至少有一个不发生的概率为 __________. 答案： 解： P( AB AB)0.3 即 0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.52P( AB) 所以 P( AB) 0.1 P(A B) P( AB) 1 P(AB) 0.9. 2．设随机变量X服从泊松分布，且P ( X 1) 4P(X 2) ，则P(X 3) ______. 答案： 1 e1 6 解答： 2 P( X 1) P( X 0) P( X 1) e e , P( X 2) e 2 2e 2 由 P(X 1) 4P( X 2) 知 e e 即 2 2 1 0 解得1，故 1 P(X 3) e 1 6 3．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 2在区间(0,4) 内的概率密度为 f Y ( y) _________. 答案： 1 1 , 0 y 4, f Y ( y) F Y ( y) f X ( y ) 4 y y 2 0 , 其它. 解答：设 Y 的分布函数为F Y( y), X 的分布函数为 F X (x) ，密度为 f X (x) 则 F Y (y) P(Y y) P(X 2 y) P( y X y ) F X ( y) F X ( y ) 因为 X ~U(0, 2) ，所以F X( y ) 0 ，即 F Y ( y) F X ( y ) 故 1 1 , 0 y 4, f Y ( y) F Y ( y) 4 y f X ( y ) 2 y 0 , 其它 . 另解在 (0, 2) 上函数 y x2严格单调，反函数为h( y) y 所以 1 1 , 0 y 4, f Y ( y) f X ( y) 4 y 2 y , 其它 . 4．设随机变量X ,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，P( X 1) e 2，则_________，P{min( X ,Y) 1} =_________. 答案： 2 ，P{min( X ,Y) 1} 1 e-4 解答： P( X 1) 1 P( X 1) e e 2，故 2 P{min( X ,Y ) 1} 1 P{min( X ,Y ) 1} 1 P( X 1)P(Y 1) 1 e 4. 5．设总体X的概率密度为 ( 1) x , 0 x 1, f ( x) 1 . 0, 其它 X1 , X 2 , , X n是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为 _________. 答案： $ 1 1 n 1 ln x i n i 1 解答： 似然函数为 n 1)n ( x1 ,L , x n ) L( x1 ,L , x n ; ) ( 1)x i ( i 1 n ln L n ln( 1) ln x i i 1 d ln L n n ln x i @0 d 1 i 1 解似然方程得的极大似然估计为概率论与数理统计习题集及答案
概率统计试题和答案
09-10-1-概率统计A--期末考试试卷答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论复习题及答案
概率统计试题库及答案
概率论复习题及答案
概率统计习题含答案
概率论与数理统计期末考试
概率论与数理统计期末考试题及答案
概率统计试题及答案
概率统计考试试卷及答案
概率统计 期末考试试卷及答案
概率统计试题及答案
概率论试题及答案
概率统计试卷及答案
概率统计试卷A及答案
概率论与数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末考试试题及解答.doc
相关主题
文本预览