《运筹学1》复习提纲
第一章线性规划和单纯形法
1. 规划问题的三要素
2. 线性规划问题的条件
3. 线性规划问题的标准形式
4. 标准化方法
5.
作用在目标函数中的系数
松弛变量化不等式约束为等式约束0
人工变量使系数矩阵有单位矩阵-M（大M法）
6. 可行解、可行域、最优解
7. 基、基向量、基变量、非基变量、基解、基可行解（至多
个）、可行基、最优基
8. 各种解之间的关系
9. 图解法
10. 检验数
11.
线性规划问题
解的类型
用最终表判别的方法
无可行解有非0人工变量
有可行解有唯一最优解无非0人工变量，非基
变量的检验数全为负数
有无穷多最优解无非0人工变量，非基变量的检验数全非正，且有一个非基变量的检验数为0
有无界解无非0人工变量，有一个
非基变量的检验数为正
数且这一列的系数全非
正
12. 单纯形表的结构：前两行，后一行，前三列，后一列，主体部分
13. 单纯形法的步骤
14. 人工变量法（1）大M法
（2）两阶段法
15. 单纯形法的向量矩阵描述（不考）
初始表中的基变量在最终表中的矩阵是B-1
最终表中的基变量在初始表中的矩阵是B 课后练习
1.1,1.2(b,1.3(a,1.6(a,1.7(a,1.8,1.12,1.14
第二章线性规划的对偶理论
1、原问题的基本形式
对偶问题的基本形式
2、原问题与对偶问题的互化
3、对偶问题的基本性质
1 弱对偶性
2 最优性
3 无界性
4 强对偶性
5 互补松弛性（由松得紧性）
6 互补的基解
4、利用对偶理论求最优解的方法
5、影子价格
6、灵敏度分析（不考）
1 分析Cj，可使最优解不变
2 分析bi，可使最优基不变
3 增加一个变量的分析
课后练习
2.1(a,b,2.2,2.4,2.9(a,b,c
第三章运输问题
1、运输问题的已知条件：产销平衡表，单位运价表
运输问题有最优解的条件：产销平衡
2、m产n销的运输问题有mn个决策变量，有m+n个约束条件，有m+n-1个基变量（有数字格），有mn-(m+n-1个非基变量（空格）
3、调运方案表（基可行解）：有数字格，空格
4、空格的闭回路的构成
闭回路的作用：
1 计算检验数
2 改进方案
5、利用检验数判断调运方案的最优性
若有负检验数，则此方案要改进；
若无负检验数，则此方案为最优方案。
6、表上作业法的步骤
1 确定初始方案：最小元素法或沃格尔法
2 求检验数：闭回路法或位势法
3 判断最优性
4 改进方案
7、产销不平衡的运输问题的处理
若产大于销，则增加虚拟的销地，其销量为总产量-总销量，从各产地至该销地的单价为0；
若销大于产，则增加虚拟的产地，其产量为总销量-总产量，从该产地至刚性销地的单价为M，至弹性销地的单价为0.
课后练习
3.1,3.5(a,b,c,3.6,3.7,3.10
第四章整数规划与分配问题
1、整数规划
2、整数规划的分类：纯整数规划和混合整数规划
3、整数规划的松弛问题
4、松弛问题的最优解与整数规划最优解的关系
5、0-1变量（逻辑变量）
0-1规划
6、0-1变量在建模中的作用
7、分配问题
已知条件：m阶的效率矩阵，独立0元素
M阶标准分配问题有m2个0-1变量，有2m个约束条件，是特殊的LP/IP/TP/0-1规划，一定有最优分配方案
8、匈牙利法
1 适用范围
2 步骤：造0，划直线，打破僵局
3 两个说明：
对于目标极大化的分配问题；
当人数大于工作数时，增加虚拟的工作，每个人完成虚拟工作的时间为0；
当工作数大于人数时，增加虚拟的人，虚拟的人完成各项工作的时间为0或M或其它。
课后练习
4.1，4.2，4.3，4.5，4.6，4.13，4.16
第六章图与网络分析
1. (无向图G={V,E},点,边,点与边之间的关联关系
2. 图的阶
3. 网络图(赋权图
4. 简单图
5. 连通图
6. 零图,完全图,完全偶图,树
7. 点的次,孤立点,悬挂点
8. 子图,部分图,部分树
9. 树的相关结论
10. 最小部分树的求法:避圈法,破圈法
11. 最短路或最短距离的求法:狄克斯屈拉(dijkstra标号算法
12. 有向图D=｛V,A｝，点的分类，弧的容量，弧的流量，可行流的条件，总流
量，网络的最大流，割，割的容量，前向弧，后向弧，增广链的条件，
重要结论：最小割的容量=最大流的流量；
最大流的判断方法：是否有增广链
13. 最大流的求法：标号算法
14. 最小割的求法：标号中断时，从已标点指向未标点的前向弧课后练习
6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.7,6.14
皮革厂租用厂库安排 刘梦瑶 12211222 一、研究目的及问题表述 （一）研究目的：在生活中，厂商通常面临货物存储问题，有时便需要租借仓库进行货物存储，而租金也会随着租借时间的长短而有所改变。这时我们就可以运用运筹学算出最优的租借方案，使租金最小，减少存储成本。 （二）1、问题表述：广东黄埔区的某皮革代理商需要寻租可存储采购到的皮革的仓库，并在广州58同城网上找到了位于黄埔区中心地带的具有6000平方米的高标准仓库。出租商原定价1.2元/平方米/天，后经协商，双方同意如下：租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。 2、皮革代理商根据经验预测租赁期间所需仓库大小，其预测结果如下： 第一个月2000平方米；第二个月3000平方米 第三个月2500平方米；第四个月3500平方米 第五个月1600平方米 将租赁合同设为每月初办理，每月签订合同份数不限，每份所选租期不限。 求租金最小。 3、将各方条件汇表如下 （三）数据来源：在58同城网上找到相关的仓库租赁信息，其中发现位于黄埔区中心地带，107国道旁有高标准仓库招租，并标明其有6000平方米的仓库可供出租，1.2元/平方米/天。经过在网上联系该出租商，了解到其出租价格为按天数算的短期出租，若存储时间长，可另外折扣。于是我便假定租期为两个月可打九折，3个月打八折，4个月打七折，5个月打6.5折。而由于能力有限，尚未查出有公司或厂商具体需要租借仓库并有具体租借时长与租借大小的数据资料，于是按照课本题目例子，假定了如上的皮革代理商与其的租借要求。 二、方法选择及结果分析 （一）方法选择：该问题的目标能为求租金最小，可用线性函数描述该目标的要求，且有多个方案可选。达到目标具有一定的约束条件，且这些条件可用
四 川 大 学 网 络 教 育 学 院 模 拟 试 题( A ) 《管理运筹学》 一、 单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标 函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2. 下列说法中正确的是（ ）。 Ａ．基本解一定是可行解 Ｂ．基本可行解的每个分量一定非负 Ｃ．若B 是基，则B 一定是可逆 Ｄ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） 多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 Ａ．多重解 Ｂ．无解 Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验 但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 Ａ．多余变量 Ｂ．自由变量 Ｃ．松弛变量 Ｄ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8. 树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（ ）。 Ａ．边 Ｂ．初等链 Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G 中不存在流f 增流链，则f 为G 的 （ ）。 A ．最小流 B ．最大流 C ．最小费用流 D ．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（ ） Ａ．等式约束 Ｂ．“≤”型约束 Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有 （ ） A ．松弛变量 B ．剩余变量 C ．非负变量 D ．非正变量 E ．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有 （ ） A ．画出可行域 B ．求出顶点坐标 C ．求最优目标值 D ．选基本解 E ．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有 （ ） A ．判断检验数是否都非负 B ．选最大检验数 C ．确定换出变量 D ．选最小检验数 E ．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有 （ ） A ．人工变量 B ．松弛变量 C. 负变量 D ．剩余变量 E ．稳态 变量 5．线性规划问题的主要特征有 （ ）
运筹学复习提纲 第一章线性规划 1、线性规划的三个要素 目标函数、决策变量、约束条件 一般形式，标准形式（转化） 2、求解线性规划的图解法 3、线性规划解的可能性 唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解(原因) 4、单纯形法（必考点） 基，基变量，基本解，基本可行解，可行解，最优解，最优基单纯形法解题思路、步骤，最优解的判定定理，单纯形法的管理启示 大M法的可能结果 图解法。大M法。 线性规划数学模型的建立？（建模） 第二章线性规划讨论 1、线性规划灵敏度分析 价值系数、资源向量
第三章 对偶规划 1、对偶模型 2、对偶性质 对称性定理，弱对偶定理，强对偶定理，互补松驰定理 3、影子价值 对偶问题的最优解，影子价值的经济含义 （课后习题69页，5） 1、 求该问题产值最大的最优解和最优值 2、 求出该问题的对偶问题和最优值 3、 给出两种资源的影子价格，说明其经济含义：第一只能够资源 限量由2 变为4 ，最优解是否改变？ 4、 代加工产品丁，每单位产品需要消耗第一种资源两单位，消耗 第二种资源3单位，应该如何定价？ 解：1、先转化成标准型： 利用单纯形法求解： 1231231231 23max 42832..68,,0 Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤?? ++≤??≥?1234512341235max 4200832..680;1,2,,5j Z x x x x x x x x x s t x x x x x j =++++?+++=?+++=??≥=?
该问题有唯一最优解： 2、利用对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值： 第一种资源影子价格为2，表明第一种资源增加1个单位，产值(或 利润)增加2个单位，即第一种资源为紧缺资源(x 4 = 0)； 第二种资源影子价格为0，表明第二种资源增加1个单位，产值(或利润)增加0个单位，第二种资源有剩余(x 5 = 6) 。 3、对偶问题数学模型： 其对偶模型为： *(0,0,2,0,6)T X =*4 Z =*(2,0,12,5,0)Y =*4 Z =123123123123max 42832 ..68 ,,0 Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤?? ++≤??≥?121212 min 28864 31W y y y y y y =++≥??+≥?
^ 高等教育《运筹学》模拟试题及答案 一、名词解释 运筹学：运筹学主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案。为决策者提供科学的决策依据 线性规划：一般地，如果我们要求出一组变量的值，使之满足一组约束条件，这组约束条件只含有线性不等式或线性方程，同时这组变量的值使某个线性的目标函数取得最优值（最大值或最小值）。这样的数学问题就是线性规划问题 可行解：在线性规划问题的一般模型中，满足约束条件的一组 12,,.........n x x x 值称为此线性规 划问题的可行解， 最优解：在线性规划问题的一般模型中，使目标函数f 达到最优值的可行解称为线性规划问题的最优解。 运输问题：将一批物资从若干仓库（简称为发点）运往若干目的地（简称为收点），通过组织运输，使花费的费用最少，这类问题就是运输问题 闭回路：如果在某一平衡表上已求得一个调运方案，从一个空格出发，沿水平方向或垂直方向前进，遇到某个适当的填有调运量的格子就转向前进。如此继续下去，经过若干次，就一定能回到原来出发的空格。这样就形成了一个由水平线段和垂直线段所组成的封闭折线，我们称之为闭回路 二、单项选择 1、最早运用运筹学理论的是（ A ） A 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 2、下列哪些不是运筹学的研究范围（ D ） A 质量控制 B 动态规划 C 排队论 D 系统设计 3、对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D 上述说法都正确 4、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（ C ） A 所有的变量必须是非负的 B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D 求目标函数的最小值 5、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（ D ） A 西北角法 B 位势法 C 闭回路法 D 以上都是 6、在用单纯形法求解线性规划问题时，下列说法错误的是（ D ）
运筹学课程的知识体系 吴思杰 计算生物所 运筹学是系统工程的最重要的理论基础之一。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：生产计划，运输问题，人事管理，库存管理，市场营销，财务和会计，另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。 运筹学的具体内容包括：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、决策论、对策论、排队论、存储论、可靠性理论等。 对于规划问题，来源于生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益。当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）规划问题数学模型有三个要素:1.决策变量，2.目标函数，3.约束条件。接下来将介绍规划论中的线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划。 线性规划 线性规划： 运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划的特征： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 线性回归的数学模型： 线性规划问题的求解方法： 1）图 解 法:两个变量、直角坐标 个变量、立体坐标。其优点：只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。缺点是只适用于两个变量。 2）单纯形法：适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式 线性规划问题的标准形式： )21(j 0 )21(i )( Z (min) max 1 1n x m b x a x c j n j i j ij n j j j ?=≥?=≥?=≤=∑ ∑==
秋季流行服饰与衣料的准备（五人） 目从办公室的十层大楼里，凯瑟琳·拉里俯视着下面忙忙碌碌的人流，在充塞着黄色出租车的街道以及乱放着一些买热狗的摊位的人行道上，成群的纽约人来来往往，好不热闹。在这闷热的暑天里，她注视着各类女性的穿衣时尚，心里想的却是这些人在秋季将会选择怎样的款式。这并非是她的一时的灵感，而是她工作的重要的一部分因为她拥有并经营着一家妇女精品时装公司――时尚隧道（TrendLines）公司。 今天对她来说是很重要的，因为她将与生产部经理泰德·罗森碰面，一起商讨下一个月秋季生产线的生产计划，特别是在一定的生产能力的基础上确定要各种服装的生产量。制定下个月的周密的生产计划对于秋季的销售是至关重要的，因为这些产品在9 月份将会上市，而妇女们通常在服装一上市时就会购买大部分的秋天的服饰。 凯瑟琳回转身，走到宽大的玻璃台旁去看铺上面的大量的资料及设计图。她扫视着6个月以前就设计出来的服装图样，各种样式所需要的材料，以及在时装展上通过消费者调研取得的各种样式的需求预测。现在，她还记得当时是如何设汁图样并将样品在纽约，米兰和巴黎的服装展上展出，那些天可真是既兴奋而又痛苦。最后，她付给六个设计者的总酬金为$860,000。除此外，每次时装展的费用为$2,700,000，包括雇用职业模特、发型师、化妆师，以及衣服的裁制与缝纫、展台背景的设计、模特的走步与排练、会场的租用。 她研究着衣服的样式和所需的材料。秋季的服装包括职业装和休闲装，而每种服装的价格是由衣服的质量、材料的成本、人工成本、机器成本，以及对该产品的需求与品牌的知名度等因素来确定的。
她知道已经为下个月采购了下面的这些材料：羊毛45,000码、开司米28,000码、丝绸18,000码、人造纤维30,000码、天鹅绒20,000码、棉布30,000码。各种材料的价格如下图所示： 多余的材料（不包括下脚料）可以运回给衣料供应商，并得到全额的偿还。 凯瑟琳知道生产丝绸上衣和棉汗衫会产生相当的多余边料。每件丝绸上衣和每件棉汗衫分别需要2 码的丝绸和棉布，而其中分别有0.5 码的边料。她不希望浪费这些衣料，因此打算利用矩形的丝绸和棉布的边料来生产丝绸女背心和棉的迷你裙。这样，每生产一件丝绸上衣就可以生产一件丝绸女背心。同样，每生产一件棉汗衫就可以生产一件迷你裙。要注意的是，生产背心和迷你裙并不一定需要首先生产相应数量的丝绸上衣和棉汗衫。 需求的预测表明其中一些产品的需有限的。天鹅绒的裤子和衬衫因为是一时的流行，预测分别只能销售5,500 和6,000件。公司不会生产超过预计需求的产品数量，因为，一旦该式样不再流行，就很难再卖出去。并且，因为公司并不需要满足所有的需求，所以，公司可以生产少于需求数量的产品。开司米汗衫因为价格较高，预计也只能销出4,000。丝绸上衣和背心的需求也是有限的，因为很多女性认为丝绸较难护理。公司预计大约可销出12,000的丝绸上衣和15,000丝绸背心。 预测表明羊毛裤，剪裁考究的衬衫，羊毛夹克的需很大的，因为这些是职业行头的必需品。羊毛裤和羊毛夹克的需求分别为7,000和5,000。凯瑟琳认为必须满足该部分60%的需求，以保持客户的品牌忠诚度，为以后的业务考虑。尽管剪裁考究的衬衫的需无法预测的，凯瑟琳认为必须至少生产2 , 800件。 a ．泰德打算说服凯瑟琳不生产天鹅绒衬衫，因为，这种流行服装的需很少的。而它的固定设计费用和其他成本高达$ 500,000，销售该样式的净贡献（售价－材料成本－人工成本）必须能够抵消总成本，他认为，即便是满足了最大的需求，该产品也不能产生一点的利润。你认为泰德的观点如何？ 解：净贡献=6000×（200－1.5×12－160）=132000<500000 由上式得，泰德的观点正确的，因为根据软件求解的结果，最优生产计划中X10的最优解为0，因此最好不要生产天鹅绒衬衫。
模拟试题一 一、单项选择题：(共7题，35分) 1、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（C） A. 多余变量 B. 松弛变量 C. 自由变量 D. 人工变量 2、约束条件为AX=b，X≥0的线性规划问题的可行解集是（B ） A. 补集 B. 凸集 C. 交集 D. 凹集 3、线性规划的图解法适用于( B ) A. 只含有一个变量的线性规划问题 B. 只含有2～3个变量的线性规划问题 C. 含有多个变量的线性规划问题 D. 任何情况 4、单纯形法作为一种常用解法,适合于求解线性规划(A ) A. 多变量模型 B. 两变量模型 C. 最大化模型 D. 最小化模型 5、在单纯性法计算中，如果检验数都小于等于零，而且非基变量的检验数全为负数，则表明此问题有（D ）。 A. 无穷多组最优解 B. 无最优解?? C. 无可行解 D. 唯一最优解 6、在线性规划中,设约束方程的个数为m,变量个数为n,m＜n时,可以把变量分为基变量和非基变量两部分,基变量的个数为m个,非基变量的个数为(C ) A. m个 B. n个 C. n-m个 D. 0个 7、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题(D ) A. 有唯一的最优解 B. 有无穷多最优解 C. 为无界解 D. 无可行解 二、填空题：(共5题，25分) 1、运筹学是一门研究如何有效地组织和管理决策的科学. 2、线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法,其基本特点是模型中的目标函数和约束方程都是线性表达式. 3、线性规划模型由三个要素构成：决策变量、目标函数、约束条件。 4、可行域中任意两点间联结线段上的点均在可行域内，这样的点集叫凸集。 5、线形规划的标准形式有如下四个特点：目标函数的最大化、约束条件为等式、决策变量费非负、右端常数项非负。 三、简答题：(共3题，40分) 1、简述线性规划模型的三个基本特征。 （1）每一个问题都有一个极大或极小的目标且能用有一组线性函数表示出来。 （2）问题中有若干约束条件且可用线性等式或不等式表示。 （3）问题中用一组决策变量来表示一科方案。 2、简述单纯型法的基本思想。 （1）确定初始基可行解（2）检验是否最优，由一个基可行解变换到另一个基可行基，直至找到最优解。 3、简述如何在单纯型表上判别问题有无界解。 答：如果存在一个非基变量的检验数为正数，但此变量当前系数中无正系数存在即可证明。 模拟试题二 一、单项选择题：(共5题，30分) 1、对偶问题的对偶是（D ）
要点中的AAA,AA,A,B,C代表该要点的重要级别。AAA最高，C级最低。 第一章* AAA:线性规划图解法 AA:P10图解法所揭示的，线性规划解的四种情况。 AA:P13线规标准化的方法。 B:P14可行解，基，基可行解，可行基的概念。 A:P16凸集，凸组合的概念，以及第二节若干定理的结论（不看证明，只记结论）。 AAA:P24线规解的三种情况的判别，以及P32无解的判别。 AA:原始单纯形法P31。 B:P33，P34大M法和两阶段法。 C:P36避免死循环的勃兰特法则。 B:P36表1-9 求最大值的线性规划的迭代准则：先大后小。 重点例题：P31-P32对例1的迭代表。 重点书后习题：1.9-1.11 第二章* AA:P56例3，写出对偶线规的方法。口诀：大横小竖，等号对应无约束。A:P57对偶问题基本性质的结论。 B:互补松弛性。P59例5。 AA:检验数行和对偶问题最优解的对应关系。 B:影子价格和松弛变量检验数的对应关系，以及影子价格的经济解释。AAA:P62例6对偶单纯形法。 AAA:灵敏度分析中b的变化P65例7，和C的变化P66例6。
A:技术系数aij的变化。 求最小值的线性规划的迭代原则：双小原则。 对偶单纯形法的迭代原则：双小原则。 重点书后习题：2.2，2.6，2.9(1(2(3。 第三章运输问题* A:运输问题约束方程的秩为m+n-1 A:闭回路上的变量所对应的系数列向量线性相关。 运输问题的求解AAA 一，首先判断是否产销平衡 二，求初解： AAA:最小元素法， A:差额元素法 初解必须：是m+n-1个，不含闭回路。 三，求检验数： AAA:闭回路法， AAA:位势法，位势是对偶问题决策变量的取值，位势具有多解，通常令u1=0，或V1=0，求解位势。 四，调整：AAA闭回路法 五，如果出现退化现象要“补零”以保证基变量的个数为m+n-1不变。 单位运价表价格的设定A 六， A:通常虚拟产销地的运价定为零。 七， A:不论任何情况下，对于不可能和不允许的事情，单位运价要定为M。 八， A:对于有若干种要求的产销地要合理的拆分。 九， A:对单位运价表的行列“加减”任意常数，最优解不变。
案例四监理公司人员配置问题 某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。通常标准施工期需求的人数教容易确定。但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点： （1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。 （2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。 因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。 标准施工期所需监理工程师如表1所示。 表1 另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下： 第1和第2工地的总人数不少于14人； 第2和第3工地的总人数不少于13人； 第3和第4工地的总人数不少于11人； 第4和第5工地的总人数不少于10人； 第5和第6工地的总人数不少于9人； 第6和第7工地的总人数不少于7人； 第7和第1工地的总人数不少于14人。 问题： （1）高峰施工期公司最好配置多少个监理工程师 （2）监理工程师年耗费的总成本是多少
管理运筹学lindo案例分析 ⑻Lindo的数据分析及习题 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab , 在Dual Computations 列表框中，选择Prices and Ranges 选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 下面我们看一个简单的具体例子。 例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示： 用DESKS TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。 max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; 求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。Global optimal solution found at iteration:3 Objective value:280.0000 Variable Value Reduced Cost DESKS 2.0000000.000000 TABLES0.000000 5.000000 CHAIRS8.0000000.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1280.0000 1.000000 224.000000.000000 30.00000010.00000 40.00000010.00000 5 5.0000000.000000 “ Global optimal solution found at iteration: 3 ”表示 3 次迭代后得到全局最优解。 a Objective value:280.0000 ”表示最优目标值为280。“Value”给出最优解中各变量的值：造2个书桌（desks）, 0 个餐桌（tables ）, 8 个椅子（chairs ）。所以desks、chairs 是基变量（非0）, tables 是非基变量（0 ）。 “ Slack or Surplus ”给出松驰变量的值： 第1行松驰变量=280 （模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束） 第2行松驰变量=24 第3行松驰变量=0 第4行松驰变量=0 第5行松驰变量=5 “ Reduced Cost ”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目 标函数的变化率。其中基变量的reduced cost 值应为0, 对于非基变量X j,相应的reduced cost 值 表示当某个变量X j 增加一个单位时目标函数减少的量（ max 型问题）。本例中：变量tables 对应的
武城万事达酒水批发案例分析 导言：每个企业都是为了赚取利润，想要赚取更多的利润就要想办法节约自己的成本，那怎么节约自己的成本呢？运筹学是一门用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排的学科。运输是配送的必需条件，但是怎么才能让武城万事达酒水批发厂在运输问题是节约运输成本呢？我们就运用运筹学的方法来进行分析。我们对他原来的运输路线进行调查，计算原来需要的运输成本，对它的运输方式我们进行研究然后确定新的运输路线为他节约运输成本。 一、案例描述 武城万事达酒水批发有四个仓库存储啤酒分别为1、2、3、4,有五个销地A、B、C、D、E，各仓库的库存与各销售点的销售量（单位均为t)，以及各仓库到各销售地的单位运价（元/t）。半年中，1、2、3、4仓库中分别有300、400、500、300吨的存量，半年A、B、C、D、E五个销售地的销量分别为170、370、500、340、120吨。且从1仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别为300、350、280、380、310元，从2仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、270、390、320、340元，从3仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别290、320、330、360、300元，从4仓库分别运往A、B、C、D、E五个销售地的单位运价分别310、340、320、350、320元。具体情况于下表所示。求产品如何调运才能使总运费最小？
仓库 A B C D E 存量 销地 1 300 2 400 3 500 4 300 150销量170 370 500 340 120 武城万事达酒水批发原来的运输方案： E销售地的产品从1仓库供给，D销售地的产品全由2仓库供给，C销售地全由3仓库供给，A、B销售地产品全由4仓库供给。 即：产生的运输费用为Z1 Z1=310*120+320*340+330*500+340*370+310*170=489500 二、模型构建 1、决策变量的设置 设所有方案中所需销售量为决策变量X ij（i=1、2、3、4，j=A、B、C、D、E），即： 方案1：是由仓库1到销售地A的运输量X1A 方案2：是由仓库1到销售地B的运输量X1B 方案3：是由仓库1到销售地C的运输量X1C
复习资料 一、 建立线性规划模型，并用单纯形法求解之(20分) Keku 公司一直开始从事汽车零配件的设计、生产，最近公司设计了两种新型改良产品(产品I 和II)。根据以往新产品上市的经验和市场行情，Keku 公司预计每生产一件产品I 可获利2元，每生产一件产品II 可获利3元。公司准备利用现有的生产资源，在计划期内安排生产I 、II 两种新产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，如表1-3所示。Keku 公司想知道如何安排生产才能获利最多？为该问题建立数学模型，并化为标准形式。Keku 公司生产新产品I 、II 的设备台时与原材料消耗情况 建立线性规划数学模型，求获利最大的产品生产计划。 二、 线性规划问题的对偶问题及图解法(15分) 123 123123123min 81612422 243,,0 y y y y y y y y y y y y ω=++++≥?? ++≥??≥? 三、已知运输问题的最优调运方案（共20分）。
四、对整数规划问题进行分支定界(10分) 如果按照某个变量进行分枝，请问可以得到原问题的哪两个分支问题？ ??? ??≥≤+≤++=且为整数,0,14325.45.023x z max 2 1212121x x x x x x x 忽略原问题整数约束，求解得到最优解为：1x =3.25，2x =2.5，目标函数值为14.75。 五、已知某实际问题的线性规划模型。（15分） 12121212max z 3x 20.5 4.5(1) 2314(),0x x x x x x x =++≤?? +≤??≥? 资源资源2 将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型。假定重新确定这个问题的目标为： Ｐ1：z 的值不低于20； Ｐ2：资源1尽量节省； Ｐ3：资源2必须全用完； 六、求最小生成树（10分）。 七、用Dijkstra 算法求解最短路径问题(10分) v 3 v 2 v 6 20
运筹学案例 分析 指导老师： 班级： 姓名： 学号：
个人学习时间优化分配 设计总说明（摘要） 合理的安排时间方案，采取最优化的时间组合，有利于我们充分发挥各个时间阶段的学习效益。同时可以使我们的学习符合日常行为及自身特点，不仅使时间得到有效安排，也使得我们的身心得到和谐。此次，研究分配一天中四个阶段四门课程的学习时间，就是根据学生的身心特点，和各阶段对各课程学习的收获程度，采取获得程度量化的方法，设计出一个最优的时间组合方案，从而获得最大的收获效益。即获得学习的最大价值。 在这个过程中要将运筹学的各种理论知识与具体实际情况相结合。首先是确定所要研究的问题，考虑所需要的各种数据，根据实际需求确定所需要的数据和模拟量化的数据。将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。其次对已得模型利用计算机进行求解，得出方程的最优解。最后结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对解的实施与控制提出合理化的建议。 关键词：时间优化，线性规化，最优解，获得效益最大
目录 1．绪论 1.1研究的背景 (3) 1.2研究的主要内容与目的 (3) 1.3研究的意义 (3) 1.4研究的主要方法与思路 (3) 2．理论方法的选择 2.1 所研究的问题的特点 (4) 2.2 拟采用的运筹学理论方法的特点 (4) 2.3 理论方法的适用性及有效性论证 (5) 3．模型的建立 3.1 基础数据的确定 (5) 3.2 变量的设定 (6) 3.3目标函数的建立 (6) 3.4 限制条件的确定 (6) 3.5 模型的建立 (7) 4 .模型的求解及解的分析 4.1 模型的求解 (7) 4.2 解的分析与评价 (9) 5 .结论与建议 5.1 研究结论 (11) 5.2 建议与对策 (11)
《运筹学》复习资料 一、问答题（5选1）： 1、运筹学的主要内容有哪些？运筹学为什么在美国被称为管理科学，此名称合理吗？ 答：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有决策依据的最优方案，以实现最有效的管理。运筹学的研究内容包括规划论、图与网络分析、存贮论、排队论、对策论、决策论。规划论主要解决两大问题：如何有效利用现有的人力、物力去完成更多的任务；对于给定的任务或者目标。用最少的人力或物力如何去完成。图与网络分析主要解决生产组织、计划管理以及工程施工中的工序安排、工期控制、资源合理调配问题。决策论研究决策过程中方案的选择、度量和概率值选取问题。最终获得最优策略、最优方案。 定量分析技术作为管理工具，在美国的许多企业得到广泛的应用，量化管理或者精确管理是美国企业管理的重点，运筹学在美国被称为管理科学。此名称合理。 2、运筹学解决实际问题的过程可分为哪几个阶段? 答：运筹学解决实际问题的过程可分为5个阶段：（1）提出并形成问题。要解问题，首先需要提出问题，明确问题的实质及关键所在，这就要求对系统进行深入的调查和分析，确定问题的界限，选准问题的目标。（2）建立模型。运筹学模型是一个能有效地达到一定目标（或多个目标）行动的系统，因此，目标一经认定，就要用数学语言描述问题，建立目标函数，分析问题所处的环境，确定约束条件，探求与问题有关的决策变量等，并选用合适的方法，建立运筹学模型。（3）分析并求解模型。根据所建模型的性质及其数学特征，选择适当的求解方法。（4）检验并评价模型。模型分析和计算得到结果以后，尚需按照它能否解决实际问题，主要考虑达成目标的情况，选择合适的标准，并通过一定的方法对模型结构和一些基本参数进行评价，以检验它们是否准确无误，否则就要考虑改换或修正模型，增减计算过程中所用到的资料或数据。（5）应用或实施模型的解。经过反复检查以后，最终应用或实施模型的解，就是供给决策者一套有科学依据的并为解决问题所需要的数据、信息或方案，以辅助决策者在处理问题时作出正确的决策和行动方案。 3、试述线性规划模型建模的基本步骤及线性规划模型的构成要素的特征。 答：①建模基本步骤：确定决策变量、确定目标函数、确定约束条件。②线性规划模型的构成要素及特征：决策变量，是规划问题中要确定的未知量,用来表示规划问题中用数量表示的方案\措施，可以由决策者决定和控制。目标函数，是决策变量的函数，反映决策者对于规划规划问题结果的要求。约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,通常表达为含决策变量的等式或者不等式。 4、试述线性规划与对偶规划之间存在的关系。 答：线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。如果把其中一个叫做原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这互相联系的两个问题为一对对偶问题。根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等有价值的信息。 5、什么是资源的影子价格，它同相应的市场价格之间有何区别？ 答：在一对对偶问题（P）和（D）中，若（P）的某个约束条件的右端常数bi增加1个单位时，所引起的目标函数最优值Z﹡的改变量yi﹡成为第i个约束条件的影子价格。如果原规划模型属于在一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并寻求总体效益（如利润）目标函数最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价以便得出与最优生产计划相一致的一个企业的最低总价值。该对偶模型中资源的估价表现为相应的资源的影子价格。 影子价格不是市场价格，它是根据企业本身的资源情况bi、消耗系数aij和产品的利润cj计算出来的一种价格，是新增资源所创造的价值，是边际价格。不同的企业，即使是相同的资源，其影子价格也不一定相同。就是同一个企业，在不同的生产周期，资源的影子价格也不完全一样。企业决策者可以将企业资源的影子价格与市场价格相比较，买卖这种资源，使企业获利或降低成本，此时该资源的影子价格
管理运筹学模拟试题及 答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
四川大学网络教育学院模拟试题( A ) 《管理运筹学》 一、单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性 规划问题求解，原问题的目标函数值等于（C）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) 2.下列说法中正确的是（B）。 Ａ．基本解一定是可行解Ｂ．基本可行解的每个分量 一定非负 Ｃ．若B是基，则B一定是可逆Ｄ．非基变量的系数列向量一定是 线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（ D ） 多余变量 B．松弛变量 C．人工变量 D．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时， 可求得（A）。 Ａ．多重解Ｂ．无解Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满 足最优检验但不完全满足（ D ）。 A．等式约束 B．“≤”型约束 C．“≥”约束 D．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y是 （B）。 Ａ．多余变量Ｂ．自由变量Ｃ．松弛变量Ｄ．非 负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( C )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8.树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（B）。 Ａ．边Ｂ．初等链Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G中不存在流f增流链，则f为G的（ B ）。 A．最小流 B．最大流 C．最小费用流 D．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满 足最优检验但不完全满足（D） Ａ．等式约束Ｂ．“≤”型约束Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量 B．剩余变量 C．非负变量 D．非正变量E．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有（）
四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。 六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。 八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25 七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4 其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。 七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： 八、已知线性规划问题
案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团” 是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。
四川大学网络教育学院模拟试题( A ) 《管理运筹学》 一、单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标 函数值等于（）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2.下列说法中正确的是（）。 Ａ．基本解一定是可行解Ｂ．基本可行解的每个分量一 定非负 Ｃ．若B是基，则B一定是可逆Ｄ．非基变量的系数列向量 一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（） 多余变量B．松弛变量C．人工变量D．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得 （）。 Ａ．多重解Ｂ．无解Ｃ．正则解Ｄ．退化解5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（）。 A．等式约束B．“≤”型约束C．“≥”约束D．非负约束 y是（）。 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i Ａ．多余变量Ｂ．自由变量Ｃ．松弛变量Ｄ．非负变 量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8.树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（）。 Ａ．边Ｂ．初等链Ｃ．欧拉圈Ｄ．回路9．若G中不存在流f增流链，则f为G的（）。 A．最小流B．最大流C．最小费用流D．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验 但不完全满足（） Ａ．等式约束Ｂ．“≤”型约束Ｃ．“≥”型约束Ｄ．非负约 束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量B．剩余变量C．非负变量D．非正变量E．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有（） A．画出可行域B．求出顶点坐标C．求最优目标值 D．选基本解E．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有（） A．判断检验数是否都非负B．选最大检验数C．确定换出变量D．选最小检验数E．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有（）A．人工变量B．松弛变量 C. 负变量D．剩余变量E．稳态变量