戴氏教育高考名校冲刺教育中心 数学思维训练反比例函数考点热点全攻略
【我生命中最最最重要的朋友们,请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤,相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用!!!】 一.考点,难点,热点;
1. 定义:一般地,形如x k y =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。x k y =
还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1.
⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法
① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,x
k
y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函
数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。 ⑷反比例函数x
k
y =
(0≠k )中比例系数k 的几何意义是:反比例函数上任取一点P ,作P Q ⊥x 轴于点Q ,PM ⊥y 轴于点M ,则
①k y x S =?=四边形OQPM ② k y x S 2
121OQP =??=
4.反比例函数性质如下表:
函数 图象 性质
反比例函数 y =k
x
(0k ≠)
k>0
双曲线,位于第一、三象限象限;在每个象限
内,y 值随x 的增大而减小,与x 轴,y 轴无交点 k<0
双曲线,位于第二,四象限,在每个象限内,y 值随x 的增大而增大,与x 轴,y 轴无交点
5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数x
k
y =中的两个变量必成反比例关系。
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P 为双曲线
上任意一点,过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ,垂足
分别为M 、N ,则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1:过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线,所得矩形的面积S 为定值|k|
对于下列三个图形中的情形,利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为:
结论2:在直角三角形ABO 中,面积S=
结论3:在直角三角形ACB 中,面积为S=2|k| 结论4:在三角形AMB 中,面积为S=|k|
二.典型例题讲解及思维拓展
例1. 下列各题中,哪些是反比例函数关系。
(1)三角形的面积S一定时,它的底a与这个底边上的高h的关系;
(2)多边形的内角和与边数的关系;
(3)正三角形的面积与边长之间的关系;
(4)直角三角形中两锐角间的关系;
(5)正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系;
(6)有一个角为30 的直角三角形的斜边与一直角边的关系。
例2. 在同一坐标系中,画出y
x
=
8
和
y x
=2的图象,并求出交点坐标。
例3. 当n取什么值时,y n n x n n
=++-
()
21
22是反比例函数?它的图象在第几象限内?在
每个象限内,y随x增大而增大或是减小?
例4. 若点(3,4)是反比例函数y m m x =
+-221图象上一点,则此函数图象必经过点
( )
A. (2,6)
B. (2,-6)
C. (4,-3)
D. (3,-4)
例5. a 取哪些值时,y a a x a a 231
22714
2+=--是反比例函数?求函数解析式?
例6. 若函数y m m x m m =+--()23
2
是反比例函数,求其函数解析式。
例7. (1)已知y y y =+12,而y 1与x +1成反比例,y 2与x 2
成正比例,并且x =1时,
y =2;x =0时,y =2,求y 与x 的函数关系式;
(2)直线l :y kx b =+与y x =2平行且过点(3,4),求l 的解析式。
例8. 一定质量的二氧化碳,当它的体积V m =53时,它的密度ρ=198
3
./kg m (1)求ρ与V 的函数关系式; (2)求当V m =93
时二氧化碳的密度ρ。
例9. 在以坐标轴为渐近线的双曲线上,有一点P (m ,n ),它的坐标是方程t t 2
420--=的两个根,求双曲线的函数解析式。
例10. 如图,Rt ABC ?的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线y m
x =
在第一象限的交点,
且S AOB ?=3
(1)求m 的值 (2)求S ABC ?的值
模拟试题一. 选择题
1. 函数y m x m m
=+--
()2229是反比例函数,则m的值是()
A. m=4或m=-2
B. m=4
C. m=-2
D. m=-1
2. 下列函数中,是反比例函数的是()
A. y
x
=-
2 B.
y
x
=-
1
2 C.
y
x
=-
1
1
D.
y
x
=
1
2
3. 函数
y kx
=-与
y
k
x
=
(k≠0)的图象的交点个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
4. 函数
y kx b
=+与
y
k
x
kb
=≠
()0
的图象可能是()
A B C D
5. 若y与x成正比,y与z的倒数成反比,则z是x的()
A. 正比例函数
B. 反比例函数
C. 二次函数
D. z随x增大而增大
6. 下列函数中y既不是x的正比例函数,也不是反比例函数的是()
A.
y
x
=-
1
9 B. 105
=-x y
: C. y x
=4
1
2
D.
1
5
2
xy=-
二. 填空题
7. 一般地,函数__________是反比例函数,其图象是_________,当k<0时,图象两支在__________象限内。
8. 已知反比例函数
y
x
=
2
,当
y=6时,x=_________
9. 反比例函数
y a x a a
=---
()3224的函数值为4时,自变量x的值是_________
10. 反比例函数的图象过点(-3,5),则它的解析式为_________
11. 若函数
y x
=4与
y
x
=
1
的图象有一个交点是(
1
2,2),则另一个交点坐标是_________
三. 解答题
12. 直线
y kx b
=+过x轴上的点A(
3
2,0),且与双曲线
y
k
x
=
相交于B、C两点,已知B点坐标为(
-
1
2,4),求直线和双曲线的解析式。
13. 已知一次函数y x
=+2与反比例函数
y
k
x
=
的图象的一个交点为P(a,b),且P到原
点的距离是10,求a、b的值及反比例函数的解析式。
14. 已知函数y m m x m m
=+-
+-
()
21
22
2
是一次函数,它的图象与反比例函数
y
k
x
=
的图象
交于一点,交点的横坐标是1
3,求反比例函数的解析式。