第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞
x n +k =a .
证:由lim n n x a →∞
=,知0ε?>,1N ?,当1n N >时,有
取1N N k =-,有0ε?>,N ?,设n N >时(此时1n k N +>)有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列
x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立.
证:
而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>,,使当时,有N n N ?>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞
=,
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明:
(1) lim n →∞2221
11(1)
(2)n n n ??+++ ?+??L =0; (2) lim n →∞2!n n =0. 证:(1)因为
222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n
++≤+++≤≤=+L 而且 21lim
0n n →∞=,
2lim 0n n
→∞=, 所以由夹逼定理,得
222111lim 0(1)(2)n n n n →∞??
+++= ?+??
L . (2)因为22222240!1231n n n n n
<
=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =
1
1
n e +,n =1,2,…;
(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证:(1)略。
(2)因为12x =<,不妨设2k x <,则
故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,
又 1n n x x +-=
,而0n x >,2n x <,
所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列。
综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明:0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证:先证充分性:即证若0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==,则0
lim ()x x f x a →=. 由0
lim ()x x f x a -→=及0
lim ()x x f x a +
→=知: 10,0εδ?>?>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,
20δ?>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<, 于是0,0εδ?>?>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性:即若0
lim ()x x f x a →=,则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==, 由0
lim ()x x f x a →=知,0,0εδ?>?>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ?>?>,当
00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→== 综上所述,0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2+a ),和0
lim x -
→1
e x
; (2) 设f (x )= 1
2
e ,0,,0,x
x x a x ???+≥?
,问常数a 为何值时,0lim x →f (x )存在.
解:(1)因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2
0lim()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时,1
e x
的值无限接近于0,故1
lim e 0x
x -
→=. (2)若0
lim ()x f x →存在,则0
0lim ()lim ()x x f x f x +-
→→=, 由(1)知 2
2
lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--
→→→=+=+=, 所以,当0a =时,0
lim ()x f x →存在。
3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解:因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞
不存在。
习题2-3
1. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.
解:例1:当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由
sin cos tan x
x x
=(当0x →时,cos 1x →)不是无穷大量,也不是无穷小量。
例2:当x →∞时,2x 与x 都是无穷大量,但22x
x
=不是无穷大量,也不是无穷小量。
例3:当0x +
→时,tan x 是无穷小量,而cot x 是无穷大量,但tan cot 1x x =g 不是无穷大量,也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确:
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量; (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量; (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量; (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量; (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量;
(6) y =x sin x 在(-∞,+∞)内无界,但lim x →∞
x sin x ≠∞;
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量; (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解:(1)错误,如第1题例1; (2)正确,见教材§2.3定理3; (3)错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 是有界函数,cot sin cos x x x =g 不是无穷大量;
(4)正确,见教材§2.3定理2;
(5)错误,例如当0x →时,1
x 与1x -都是无穷大量,但它们之和11()0x x
+-=不是无穷大量;
(6)正确,因为0M ?>,?正整数k ,使π
2π+
2
k M >,从而ππππ
(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222
f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,
又0M ?>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞
≠∞;
(7)正确,见教材§2.3定理5;
(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f (x )=
2
3
4
x -,x →2; (2) f (x )=ln x ,x →0+,x →1,x →+∞; (3) f (x )= 1e x
,x →0+,x →0-; (4) f (x )=
2π
-arctan x ,x →+∞;
(5) f (x )=
1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21x
x →∞. 解:(1)2
2
lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,2
4x -是无穷小量,所以
2
1
4
x -是无穷小量,因而
23
4
x -也是无穷大量。 (2)从()ln f x x =的图像可以看出,1
lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +
→→+∞
→=-∞==+∞,所以,当0x +
→时,x →+∞时,()ln f x x =是无穷大量;
当1x →时,()ln f x x =是无穷小量。
(3)从1
()e x f x =的图可以看出,110
lim e ,lim e 0x x
x x +-
→→=+∞=, 所以,当0x +
→时,1()e x
f x =是无穷大量;
当0x -
→时,1()e x
f x =是无穷小量。 (4)πlim (arctan )02
x x →+∞
-=Q ,
∴当x →+∞时,π
()arctan 2
f x x =
-是无穷小量。
(5)Q 当x →∞时,
1
x
是无穷小量,sin x 是有界函数, ∴
1
sin x x
是无穷小量。 (6)Q 当x →∞时,
2
1
x
∴
习题2-4
1.若0
lim x x →f (x )存在,0
lim x x →g (x )不存在,问0
lim x x →[f (x )±g (x )], 0
lim x x →[f (x )·g (x )]是否存在,
为什么?
解:若0
lim x x →f (x )存在,0
lim x x →g (x )不存在,则
(1)0
lim x x →[f (x )±g (x )]不存在。因为若0
lim x x →[f (x )±g (x )]存在,则由
()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得
lim x x →g (x ),与题设矛盾。
(2)0
lim x x →[f (x )·g (x )]可能存在,也可能不存在,如:()sin f x x =,1
()g x x
=
,则0
limsin 0x x →=,01lim x x →不存在,但0lim x x →[f (x )·
g (x )]=01
lim sin 0x x x →=存在。 又如:()sin f x x =,1()cos g x x =
,则π2
limsin 1x x →=,π2
1
lim cos x x →
不存在,而
lim x x →[f (x )·
g (x )]π
2
lim tan x x →
=不存在。 2. 若0
lim x x →f (x )和0
lim x x →g (x )均存在,且f (x )≥g (x ),证明0
lim x x →f (x )≥0
lim x x →g (x ).
证:设0
lim x x →f (x )=A ,0
lim x x →g (x )=B ,则0ε?>,分别存在10δ>,20δ>,使得当
010x x δ<-<时,有()A f x ε-<,当020x x δ<-<时,有()g x B ε<+
令{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<时,有
从而2A B ε<+,由ε的任意性推出A B ≤即
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
3. 利用夹逼定理证明:若a 1,a 2,…,a m 为m 个正常数,则
lim
n
→∞
A , 其中A =max{a 1,a 2,…,a m }.
≤≤,即
而lim n A A →∞
=,1
lim n
n m A A →∞
=g ,由夹逼定理得
n A =. 4※
. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明:若x 1
,x 2
,…,
x n +1
n =1,2,…),则lim n →∞
x n 存在,并求该极限.
证:因为12x x ==有21x x >
今设1k k x x ->
,则1k k x x ->=,由数学归纳法知,对于任意
正整数n 有1n n x x +>,即数列{}n x 单调递增。
又因为12x =,今设2k x <,
则12k x -=<
=,由数学归纳法
知,对于任意的正整数 n 有2n x <,即数列{}n x 有上界,由极限收敛准则知lim n n x →∞
存在。
设lim n n x b →∞
=
,对等式1n x +=
两边取极限得b =
,即22b b =+,
解得2b =,1b =-(由极限的保号性,舍去),所以lim 2n n x →∞
=.
5. 求下列极限:
(1) lim n →∞33232451n n n n n +++-+; (2) lim n
→∞1cos n ????? ???
; (3) lim n →∞
(4) lim
n →∞11
(2)3(2)3n n
n n ++-+-+; (5) lim n →∞1112211
133
n
n
++++++L L .
解:(1)原式=23232433lim 111
55n n n n n n
→∞+
+=+-+;
(2
)因为lim(10n →∞
=,即当n →∞
时,1-是无穷小量,而cos n 是有界变
量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得:lim (10n n →∞
??
-
=????
; (3
)2n n →∞
=Q
而2lim
lim 0n n n →∞→∞==,
2n n →∞
∴==∞;
(4)11
11121(1)()(2)31333lim
lim
2
(2)33
(1)()13
n n n n n n n n n n ++→∞→∞++-+
-+==-+-+g g g ; (5)1
11111()21111114[1()]
42222lim lim lim 11
11
3
11()3[1()]33
33113
n n n
n n n n n n
++→∞→∞→∞++-+++--===+++---L L .
6. 求下列极限: (1) 3
lim
x →239
x x --; (2) 1lim
x →22354x x x --+; (3) lim x →∞3426423x x x ++; (4) 2
lim
x π→
sin cos cos 2x x
x -; (5) 0lim h →33
()x h x h
+-; (6) 3lim
x
→;
(7) 1lim x →21
n x x x n x +++--L ; (8) lim x →∞sin sin x x
x x +-;
(9) lim x
→+∞ (10) 1lim x →3
13(
)11x x ---; (11) 0lim x →2
1(sin )x x
.
解:23
333311
(1)lim
lim lim 9(3)(3)36
x x x x x x x x x →→→--===--++ (2)2
1
1
lim(54)0,lim(23)1x x x x x →→-+=-=-Q
(3)3
4
422
6464lim lim 03
232x x x x x x x x
→∞→∞++==++; (4)π2
ππ
sin
cos sin cos 22lim
1cos 2cos π
x x x
x →
--=
=-; (5)[]22
3300()()()()lim lim
h h x h x x h x h x x x h x h h
→→??+-+++++-??= 222
lim ()()3h x h x h x x x →??=++++=??; (6
)
3
(23)92)x x x →→+-
=
34
3
x x →→===;
(7)2211(1)(1)(1)
lim lim 11
n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--L L
1
123(1)2
n n n =++++=
+L ; (8)sin lim
0x x x →∞=Q (无穷小量1
x
与有界函数sin x 之积为无穷小量)
sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x x x x x x
x x x
→∞→∞+
+
∴==--
; (9
)22lim lim
x x →+∞
=
lim
lim
1x x ===;
(10)1lim x →313
()11x x
---231(1)3lim 1x x x x →++-=- (11)Q 当0x →时,2
x 是无穷小量,1
sin x
是有界函数, ∴它们之积2
1sin
x x 是无穷小量,即2
01lim sin 0x x x →??= ??
?。
习题2-5
求下列极限(其中a >0,a ≠1为常数): 1. 0
lim
x →sin 53x x
; 2. 0lim x →tan 2sin 5x
x ; 3. 0lim x →x cot x ;
4. 0lim x
→x ; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1x
x x ??
?+??
; 7. 0
lim x →()
cot 13sin x
x +; 8. 0lim x →1
x a x
-; 9. 0lim x →x x a a x --;
10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222x
x x -??
?-??
; 12.lim x →∞211x
x ??+ ???; 13. 0lim
x →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan x
x
; .
解:1. 000sin 55sin 55sin 55
lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===g ;
2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x
→→→==g g g 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55
x x x x x x x x →→→==g g ; 3. 0000
lim cot lim cos lim limcos 1cos01sin sin x x x x x x
x x x x x x →→→→=?==?=g ;
4. 0
000sin
2lim
lim 22
x x x x x x x
→→→→===g
0sin
212
x
x →===
5. 2200073732sin
sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→??-??-==-????????
??
0073sin sin 212122lim
lim 7322
22
x x x x x x →→=-?=-; 6. 111lim lim lim 111e
(1)x
x
x x x x x x x x x →∞→∞→∞?? ???=== ? ?++?? ?+??
; 7. 3cos cos 1
cot sin 3sin 0
lim(13sin )
lim(13sin )
lim (13sin )x
x x
x
x x x x x x x →→→??+=+=+????
8.令1x
u a =-,则log (1)a x u =+,当0x →时,0u →,
1
11
ln log e
limlog (1)
a u
a u a u →=
=
=+. 9. 000(1)(1)
11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x x
x ---→→→??------==+ ?-?? (利用了第8题结论01
lim ln x x a a x
→-=);
10. ln(1)ln 11lim
lim ln
x x x x x
x x x
→+∞→+∞+-+=? 1111
lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞=+=+=; 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x x
x
x
x
x x x x x x x --→∞→∞→∞??-??????=+=+?? ? ? ?---???????
???
1
232lim e 22x
x x x -→∞-??∴= ?-??
; 12. 1
22
1222
1
11ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim e
e x x x
x
x x
x x x x
x x x x x →∞?
?++
??
??
→∞→∞→∞?
?+=+==????
2
12
1lim lim ln(1)0lne 0e e e 1x
x x x x
→∞→∞
+
?====;
13.令arcsin x u =,则sin x u =,当0x →,0u →,
000arcsin 1
lim
lim 1sin sin lim
x u u x u u x u u
→→→===;
14.令arctan x u =,则tan x u =,当0x →,0u →,
00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u u
u
→→→→→====g g . 习题2-6
1. 证明: 若当x →x 0时,α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0,则当x →x 0时,α(x )~β(x )的充要条件是0
lim
x x →()()
()
x x x αβα-=0.
证:先证充分性. 若0
lim
x x →()()()x x x αβα-=0,则0lim x x →()
(1)()
x x βα-
=0, 即0
()1lim
0()
x x x x βα→-=,即0
()
lim 1()x x x x βα→=.
也即0
()
lim
1()
x x x x αβ→=,所以当0x x →时,()()x x αβ:. 再证必要性:
若当0x x →时,()()x x αβ:,则0
()
lim
1()
x x x x αβ→=, 所以0
lim
x x →()()()x x x αβα-=0lim x x →()(1)()x x βα-
=0
()1lim ()x x x x βα→-=0
1
1110()lim
()
x x x x αβ→-=-=. 综上所述,当x →x 0时,α(x )~β(x )的充要条件是
lim
x x →()()
()
x x x αβα-=0.
2. 若β(x )≠0,0
lim x x →β(x )=0且0
lim
x x →()
()
x x αβ存在,证明0lim x x →α(x )=0.
证:0
()()lim ()lim
()lim lim ()()
()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==g g 0
()
lim 00()x x x x αβ→==g
即 0
lim ()0x x x α→=.
3. 证明: 若当x →0时,f (x )=o (x a ),g (x )=o (x b ),则f (x )·g (x )=o (a b
x
+),其中a ,b 都大于
0,并由此判断当x →0时,tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量.
证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a ),g (x )=o (x b )
∴00()()
lim
(0),lim (0)a b
x x f x g x A A B B x x →→=≠=≠
于是: 0000()()()()()()
lim lim lim lim 0a b a b a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x
+→→→→?=?=?=≠ ∴当x →0时, ()()()a b
f x
g x O x
+?=,
∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-
而当x →0时, 2
tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=, 所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量. 4. 利用等价无穷小量求下列极限: (1) 0
lim
x →sin tan ax bx (b ≠0); (2) 0lim x →21cos kx
x
-; (3) 0
lim
x
→; (4) 0lim
x
→
(5) 0lim x →arctan arcsin x
x ; (6) 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx
-- (a ≠b );
(7) 0lim
x →ln cos 2ln cos3x x ; (8) 设0lim x →2()3
f x x
-=100,求0lim x →f (x ). 解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a
bx bx b
→→==
(8)由20()3lim 100x f x x
→-=,及2
0lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 0
lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,
所以 0
lim ()3x f x →=.
习题2-7
1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:
(1) f (x )= 31,01,3,12;x x x x ?+≤-≤≤? (2) f (x )=,11
1,1 1.x x x x -≤?<-≥?,或
解: (1) 3
lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++
→→=+==Q ∴ f (x )在x =0处右连续, 又1
1
lim ()lim(3)2x x f x x ++
→→=-=Q
∴ f (x )在x =1处连续.
又 2
2
lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --
→→=-== ∴ f (x )在x =2处连续.
又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1 (2) 1
1
lim ()lim 1x x f x x --
→→==Q ∴ f (x )在x =1处连续.
又1
1
lim ()lim 11x x f x -+→-→-==
故1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠
∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点. 又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.
综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:
图2-2 2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系? 略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明. 解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如0(),01
x x f x x x x
≤??
==?>??是其的一个第二类间断点,但0
lim ()lim 0x x f x x --
→→==即在0x =处左极限存在,而0
1
lim ()lim x x f x x
++
→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型:
(1) f (x )= 22132x x x -++; (2) f (x )=sin sin x x
x
+;
(3) f (x )= ()
1
1x
x +; (4) f (x )=
22
4
x x +-; (5) f (x )= 1sin
x x
. 解: (1)由2
320x x ++=得x =-1, x =-2 ∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数. ∴ x =0是跳跃间断点. (4)由x 2-4=0得x =2,x =-2.
∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. (5) 0
1
lim ()lim sin
0,()x x f x x f x x
→→==Q 在x =0无定义 故x =0是f (x )的可去间断点.
5.适当选择a 值,使函数f (x )= ,0,
,0
x e x a x x ?+≥?在点x =0处连续.
解: ∵f (0)=a ,
要f (x )在x =0处连续,必须0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-
→→==. 即a =1.
6※
.设f (x )= lim x →+∞x x
x x
a a a a ---+,讨论f (x )的连续性.
解: 2210
1()lim lim sgn()10100
x x x x x x a a x a a a f x x x a a a x --→+∞→+∞---?
====>?++?
=?
所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞U 上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限: (1) 2
lim
x →222
x
x x +-; (2) 0lim x
→; (3) 2
lim x →ln(x -1); (4) 1
2
lim x →
(5) lim x e
→(ln x )x .
解: 22
2
222
(1)lim
1;2222
x x x x →?==+-+- 习题2-8
1. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根. 证: 令542
()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续, 且 (1)50f =-<, (2)50f =>
由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.
即 542
000031x x x x ---=,
即方程542
31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln (1+e x )-2x =0至少有一个小于1的正根.
证: 令()ln(1)2e x
f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续,
且 0
(0)ln(1)20ln 20e f =+-?=>
由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x
x +-=至少有一个小于1的正根.
3※
. 设f (x )∈C (-∞,+∞),且lim x →-∞
f (x )=A , lim x →+∞
f (x )=B , A ·B <0,试由极限及零点存在定
理的几何意义说明至少存在一点x 0∈(-∞,+∞),使得f (x 0)=0. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0
由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞
→+∞
=>=<,及函数极限的保号性知,10X ?>,使当
1x X <-,有()0,f x >
20X ?<,使当2x X >时,有()0f x <.
现取1x a X =<-,则()0f a >,
2x b X =>,则()0f b <,且a b <,
由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.
4.设多项式P n (x )=x n +a 11
n x -+…+a n .,利用第3题证明: 当n 为奇数时,方程P n (x )=0
至少有一实根.
证: 12
2()1n
n n n a a a P x x x x x ?
?
=+
+++ ???
Q L ()
lim
10n n
x P x x →∞∴=>,由极限的保号性知.
0X ?>,使当X x >时有()
0n n P x x
>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n 与
(-2X )n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
数学试题 热工二班 温馨提示:各位同学请认真答题,如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉,请不要激动也不要紧张,沉着冷静的面对,诚实作答,相信自己,你可以的。祝你成功! 一、填空题(共5小题,每题4分,共20分) 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=(2x-1)e x 1 的斜渐近线方程是( ) 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =( ) 4、 设y=x e x 1si n 1t an ,则'y =( ) 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ,求( ) ()x y 1001 二、选择题(共5小题,每题4分,共20分) 6、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →=( ) A.ln a B.Aln a C2Aln a D.A 7、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤=?-<≤?的连续区间为( ) A.[)0,1 B.[]0,2 C.[)(]0,11,2? D(]1,2 8、()f x 是连续函数,()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是
( ) A.当()f x 是偶函数时,()F x 必是偶函数 B.当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 C.当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 D.当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数 9、设函数()f x 连续,则下列函数中必为偶函数的是( ) A.2 0()x f t dt ? B.2 0()x f t dt ? C[]0 ()()x t f t f t - -?dt D.[]0 ()()x t f t f t + -?dt 10、设函数y=()f x 二阶导数,且 () f x 的一阶导数大于0, ()f x 二阶导数也大于0,x 为自变量x在0x 处得增量,y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分,若x >0,则( ) A.0<dy < y B.0<y <dy C.y <dy <0 D.dy < y <0 三、计算,证明题(共60分) 11、求下列极限和积分 (1)222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+(5分) (2)3 5 sin sin x xdx π -? (5分) (3)lim (cos 1cos x x x →∞ +-)(5分) 12.设函数()f x 具有一阶连续导数,且 " (0)f (二阶)存在,(0) f
《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -?
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内) 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 (A ) 2π . (B )3π . (C )4π . (D )6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 (A )100(,)dy f x y dx ?? (B )1 00(,)dy f x y dx ?? (C ) 10 (,)dx f x y dy ? ? (D )10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= (A ) 12. (B )12-. (C )34. (D )3 4 -. [ ] <
安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A(三)》考试试卷(A 卷) (闭卷时间120 分钟) 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题(每小题2 分,共10 分)得分 1.设A为n阶可逆矩阵,则下列各式正确的是()。 (A)(2A)?1 =2A?1 ;(B)(2A?1)T=(2A T)?1 ;(C) ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ;(D)((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 ()。 βββ线性表示,则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示,则下列说法 正确的是 (A)r≤s;(B)r≥s; (C)秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ);(D)秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则下列说法正确的是()。 (A)λE?A=λE?B; (B)A与B有相同的特征值和特征向量; (C)A与B都相似于一个对角矩阵; (D)对任意常数k,kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基,则下列向量组中,()可作为R3 的另一组基。 (A)1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α;(B)ααα+α; (C) 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α;(D) 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ,P(B) =0.7 ,P(A| B) =0.8 ,则下列结论正确的是()。
《微积分(1)》练习题 一.单项选择题 1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A . ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B .()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C .()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D .()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2.下列极限不存在的有( ) A .201 sin lim x x x → B .12lim 2+-+∞→x x x x C . x x e 1 lim → D .() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3.设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A .x e 22-- B .x e 2- C .x e 24- D . x xe 22-- 4.函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A .跳跃间断点; B .无穷间断点; C .可去间断点; D .振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为(1,2),则lg x ?()的定义域为() A 、(0,lg2) B 、(0,lg2] C 、(10,100) D 、(1,2) 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于() A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=,求y '等于() A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射() A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题(每题2分) 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 (,则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(, )的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分) 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若,就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分) 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知),求 3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-(,总成本函数为2()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润 最大的情况下,总税额最大(8分) 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形(12分) 六、证明题(每题6分) 1、用极限的定义证明:设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为(1,2),则lg x ?()的定义域为() A 、(0,lg2) B 、(0,lg2] C 、(10,100) D 、(1,2) 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于() A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=,求y '等于() A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射() A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题(每题2分) 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 (,则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(, )的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)
大一微积分练习题及答案
《微积分(1)》练习题 一. 单项选择题 1.设()0 x f '存在,则下列等式成立的有( ) A . ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B .()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C . ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D .()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2.下列极限不存在的有( ) A . 201 sin lim x x x → B .1 2lim 2+-+∞ →x x x x C . x x e 1 lim → D .()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3.设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A .x e 22-- B .x e 2- C .x e 24- D . x xe 22-- 4.函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 ( )间断点。 A .跳跃间断点; B .无穷间断点; C .可去间断点; D .振
荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0大学高等数学上考试题库(附答案)
))))))))) 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( (A) y =x -1 (B ) y =—(x 1) 4?设函数f x =|x|,则函数在点X=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) -f 一丄 C (C ) f 1 C ( D ) -f - C I X 丿 I x 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 《高数》试卷1 ?选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共 (上) 30 分). 1 ?下列各组函数中,是相同的函数的是 (A) f x = In (C ) f x =x x 2 和 g(x) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=P 和 g (x ) =(V X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsin x +4 -2 x 式0 ? In (1+x ) 在X = 0处连续,则 a =( a x = 0 1 - (C ) 1 (D ) 2 ). ). (C ) y = Inx -1 x-1 (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点
《微积分(1)》练习题 一.单项选择题 1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B.()() ()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C.()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D.()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2.下列极限不存在的有( ) A.201 sin lim x x x → B.12lim 2+-+∞→x x x x C. x x e 1 lim → D.() x x x x +-∞ →6 3 2 21 3lim 3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( ) A.x e 22-- B.x e 2- C.x e 24- D. x xe 22-- 4.函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A.跳跃间断点; B.无穷间断点; C.可去间断点; D.振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0大学一级高等数学试题及答案
期 末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ,2b i j k =-+r r r r ,则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+(0≥y ),则曲线积分221 L ds x y +?= a π 5.交换二重积分的积分次序:?? --01 2 1),(y dx y x f dy = dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6.级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 ( B ) A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 ( C ) A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? ( A ) A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ,则??=D dxdy ( A ) A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是 ( A ) A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 222()()0 y y y '''+-=的阶数为 ( B ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7.下列表达式中,微分方程430y y y ''-+=的通解为
(3343).微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455).过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 2 1arcsin - =x x y 。 (4507).微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508).设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312,则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081).设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次方程的一个解为x y =3,则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725).设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476).微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474).微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477).函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532).若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ,则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808).设曲线积分 ? --L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶 连续导数,且0)0(=f ,则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。