向量空间的基与维数
结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.
(i)零向量可由唯一地线性表示；
(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；
(iii).
结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则
，且.
例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.
域F是F上向量空间，基是{1}，.
C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.
R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.
令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.
1)1,线性无关：
设，. 则(否则，,矛盾)，因此.
2) 1,,线性无关：
设，，i=1,2,3 . ( 1 )
,
两端平方得
,
由于1,线性无关，故
假如，则，且，即. 矛盾.
因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而
将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.
3) 1,,,线性无关：
设，，i=1,2,3,4 . 则有
. ( 2 )
假如不全为零，则
得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得
又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.
故{1,,,}是F的一个基..
例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.
对任意的正整数n，可证得线性无关：
设，使( 3 )
取n+1个实数，使
a b.
由(3)知
.
即
其中
而
. 用左乘(4)两端，得
这说明线性无关.
故C[a,b]是R上无限维向量空间.
引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明
证对s作数学归纳.
当s=1 时，结论显然成立.
设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.
下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在
1) 当时，，故；
2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，
使（否则，如果,,…,，, ,
,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样
，故
例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.
证取V的一个基，令. 对任意从中删
去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则
由引理知, 故存在
令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.
设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.
对任意，有
.
这样的子空间共有个. 由引理知
存在
令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.
这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.
另证：设是V的一个基，令
令
让,,…,F互不相同，则
由于
其行列式是Vandermonde行列式，即
故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.
例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.
证：对s作数学归纳.
当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,
设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,
由归纳假设知存在V的一个基，使
1）如果，那么即满足要求;
2）如果. 不妨设∈, , 由
最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的
之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使
显然易证线
性无关，是V的基，且满足要求.
例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明
证
令
(j)
是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.
对, i≠t,
对, (j) ∈W.
(j)
容易验证}是线性无关的（共个向量）
故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故
引理 设是向量空间V 的子空间，则
(i)
(ii)
例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.
(i) 证明：
(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证
(i)
=
=
=
(ii) 在
中，令
1w +2w +3w
=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ?2w =2w ?3w =1w ?3w ={0}, 1w ?2w ?3w =={0},此时∑=3
1
dim i i w =2<3=∑=3
1
dim i i w -()∑≤≤≤?n
j i j
i
w w 1dim +dim(1
w
?2w ?3w ).
例7 设A )(F M m s ?∈,B )(F M n m ?∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10?s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).
证 显然10?n ∈0w ,故B 10?n =10?m ∈1w ,即1w ≠?, ?1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,
?1α,2α∈F,
AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,
∴2211ααa a +∈ 0w ,
∴B(2211ααa a +)∈1w ?2211B B ααa a +∈1w ,
因而1w 是m F 的子空间 .
01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1?n X =10?s 与B 1?n X =10?m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩
B －秩(AB).
02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.
)1秩B=n.
此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,
其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,
故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.
dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).
)2秩B 令' 0w ={γ∈n F B γ=10?m }，'0w 是B 1?n Y =10?m 的解空间，dim ' 0w =n- 秩B>0. 显然'0w ?0w . 由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是' 0w 的一个基. P=n-秩B>0. 扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而 1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设 j j t p j B b β∑ +=1 =0， j b ∈F, j=p+1,…,t. 则B( j j t p j b β∑ +=1 )=0. 即 j j t p j b β∑ +=1 ∈' w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使 j j t p j b β∑ +=1=i i p i b β∑=1. i i p i b β∑ =1 + j j t p j b β )(1 ∑+=-=0. 而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB). 例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ?2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ?2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ?2w =1w . 向量空间的基与维数 结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则 ，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关： 设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故 假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则 得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得 又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即 其中 而 . 用左乘(4)两端，得 这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明 证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在， 使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样 ，故 例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删 去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在 令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 . 线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有 n 个向量n αα,,1 满足: (1)n ααα,2,1 线性无关。 (2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称 n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。 如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。 例1 设{} 0V X AX ==，A 为数域P 上m n ?矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。 解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。 例2 数域P 上全体形如0a a b ?? ?-?? 的二阶方阵， 对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。 解 易证0100,1001???? ? ? -????为线性空间0,a V a b p a b ????=∈?? ?-???? ｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ?? ?-??有00100+1001a a b a b ?? ????= ? ? ?? ????? 按定义0100,1001???? ? ????? 为V 的一组基，V 的维数为2。 方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。 例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()() 2 1 1,1,1, ,1n x x x ----构成[]n R x 的基。 证明 考察()() 1 121110n n k k x k x -?+-+ +-= 由1 n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====， 线性空间维数与基的求法 维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。 同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。 一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色 凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。 1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响 例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A 解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A α ai b --=， 而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。 例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A 解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。 可见，同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的，有些不是线性的。 2.数域P 对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响 文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式ξλξ0=A 中的0λ是取自线性向量空间的基与维数
基与维数的几种求法
线性空间维数与基的求法
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