高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)
301. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面三条对角线AB 1、BC 1、CA 1中，AB 1⊥BC 1.求证：AB 1⊥CA 1.
解析：方法1 如图，延长B 1C 1到D ，使C 1D ＝B 1C 1.连CD 、A 1D.因AB 1⊥BC 1，故AB 1⊥CD ；又B 1C 1＝A 1C 1＝C 1D ，故∠B 1A 1D ＝90°，于是DA 1⊥平面AA 1B 1B.故AB 1⊥平面A 1CD ，因此AB 1⊥A 1C. 方法2 如图，取A 1B 1、AB 的中点D 1、P.连CP 、C 1D 1、A 1P 、D 1B ，易证C 1D 1⊥平面AA 1B 1B.由三垂线定理可得AB 1⊥BD 1，从而AB 1⊥A 1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB 1⊥A 1C. 说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法： (1)利用线面垂直的定义；
(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线； (3)证明直线平行于平面的垂线；
(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.
302. 已知：正三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AB ′⊥BC ′，BC ＝2，求：线段AB ′在侧面C C BB ''上的射影长.
解析： 如图，取BC 的中点D.∵AD ⊥BC ，侧面''B BCC ⊥底面ABC ，∴AD ⊥侧面''B BCC D B '是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC ′，∴D B '⊥BC ′.
设BB ′＝x ，在Rt ΔBD B '中，BE ∶BD ＝'BB ，D B '＝2
1x +.
∵E 是ΔBB ′C 的重心.∴BE ＝
3
1BC ′＝3
12
4x +
∴x ＝
3
12
1x +·
42
+x ，解得：x ＝2.
∴线段AB ′在侧面的射影长为2.
303. 平面α外一点A 在平面α内的射影是A ′，BC 在平面内，∠ABA ′＝θ，β=∠BC A '，∠ABC ＝γ，求证:cos γ＝cos θ·cos β. 解析： 过A ′作''C A ⊥BC 于C ′，连AC ′.
∵AA ′⊥平面α，BC 垂直AC 在平面α内的射线''C A .
∴BC ′⊥AC ′，cos γ＝AB
C B '.
又∵cos θ＝
AB
B A ',cos β＝
B
A C
B ''，
∴cos γ＝cos θ·cos β.
304. ΔABC 在平面α内的射影是ΔA ′B ′C ′，它们的面积分别是S 、S ′，若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S ′＝S ·cos θ. 证法一 如图(1)，当BC 在平面α内，过A ′作A ′D ⊥BC ，垂足为D.
∵AA ′⊥平面α，AD 在平面α内的射影A ′D 垂直BC.
∴AD ⊥BC.∴∠ADA ′＝θ.
又S ′＝2
1A ′D ·BC ，S ＝2
1AD ·BC ，cos θ＝AD
D A ',∴S ′＝S ·cos θ.
证法二 如图(2)，当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S ′＝S ·cos θ.
305. 求证：端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.
证明 如图，设异面直线a 、b 的公垂线段是PQ ，PQ 的中点是M ，过M 作平面α，使PQ ⊥平面α，且和AB 交于R ，连结AQ ，交平面α于N.连结MN 、NR.∵PQ ⊥平面α，MN ?α，∴PQ ⊥MN.在平面APQ 内，PQ ⊥a,PQ ⊥MN,∴MN ∥a,a ∥α，又∵PM ＝MQ ，∴AN ＝NQ ，同理可证NR ∥b,RA ＝RB.
即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.
306. 如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.
解析：不难看出B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥AB 1，只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.
证：连AC 1，在直角ΔABC 中，BC ＝1，∠BAC ＝30°，
∴ AC ＝A 1C 1＝3. 设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β
∴ tan α＝
1
11C A AA ＝
3
6＝2,
tg β＝
111
C A MC ＝3
26
＝22
.
∵cot(α+β)＝
β
αβαtan tan tan tan 1+-＝
2
2211+
-＝0,
∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M.
∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影. ∵AC 1⊥A 1M ，∴由三垂线定理得A 1M ⊥AB 1.
评注：本题在证AC 1⊥A 1M 时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不
太相同.
307. 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.
(1)求证：CD ⊥AB ；
(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值
.
(1)证明 如图所示，∵CM ⊥面ABD ，AD ⊥AB ， ∴CD ⊥AB
(2)解：∵CM ⊥面ABD
∴∠CDM 为CD 与平面ABD 所成的角，
cos ∠CDM ＝
CD
DM
作CN ⊥BD 于N ，连接MN ，则MN ⊥BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得 DM ∶CD ＝CD ∶CA ＝AB ∶AD ＝2∶3.
∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为3
2
308. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.
解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°
在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ，
则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中，
∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.
∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝2
2PC PA +＝2
2)3(a a +＝2a
(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ， ∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角
∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°. (2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a. ∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM.
∴AB ⊥平面PCM.
说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
309. 在空间四边形ABCP 中，PA ⊥PC ，PB ⊥BC ，AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°。(1)直线PC 与AB 能否垂直?证明你的结论；(2)若点P 到平面ABC 的距离为h ，求点P 到直线AB 的距离.
解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.
解 (1)AB 与PC 不能垂直，证明如下：假设PC ⊥AB ，作PH ⊥平面ABC 于H ，则HC 是PC 在平面ABC 的射影，∴HC ⊥AB ，∵PA 、PB 在平面ABC 的射影分别为HB 、HA ，PB ⊥BC ，PA ⊥PC. ∴BH ⊥BC ，AH ⊥AC
∵AC ⊥BC ，∴平行四边形ACBH 为矩形. ∵HC ⊥AB ，∴ACBH 为正方形. ∴HB ＝HA
∵PH ⊥平面ACBH.∴ΔPHB ≌ΔPHA.
∴∠PBH ＝∠PAH ，且PB ，PA 与平面ABC 所成角分别为∠PBH ，∠PAH.由已知∠PBH ＝45°，∠PAH ＝30°，与∠PBH ＝∠PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于AB.
(2)由已知有PH ＝h,∴∠PBH ＝45°
∴BH ＝PH ＝h.∵∠PAH ＝30°，∴HA ＝3h.
∴矩形ACBH 中，AB ＝2
2
HA
BH
+＝2
2)3(h h +＝2h.
作HE ⊥AB 于E ，∴HE ＝
AB
HA HB ?＝
h
h
h 23?＝
2
3h.
∵PH ⊥平面ACBH ，HE ⊥AB ，
由三垂线定理有PE ⊥AB ，∴PE 是点P 到AB 的距离.
在Rt ΔPHE 中，PE ＝2
2
HE
PH
+＝2
2)2
3(
h h +＝
2
7h.
即点P 到AB 距离为
2
7h.
评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.
310. 平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影.(1)求证：NH ⊥SB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线? 解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.
解 (1)连AM ，BM.∵AB 为已知圆的直径，如图所示. ∴AM ⊥BM ，
∵SA ⊥平面α，MB ?α， ∴SA ⊥MB.
∵AM ∩SA ＝A ，∴BM ⊥平面SAM. ∵AN ?平面SAM ，
∴BM ⊥AN.
∵AN ⊥SM 于N ，BM ∩SM ＝M ， ∴AN ⊥平面SMB.
∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影 ∴NH ⊥SB.
(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM.AN ⊥平面SMB. ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN. ∴SB ⊥平面ANH.
∴图中共有4个线面垂直关系 (3)∵SA ⊥平面AMB ，
∴ΔSAB 、ΔSAM 均为直角三角形.
∵BM ⊥平面SAM ，∴ΔBMA ，ΔBMS 均为直角三角形. ∵AN ⊥平面SMB.∴ΔANS 、ΔANM 、ΔANH 均为直角三角形. ∵SB ⊥平面AHN. ∴ΔSHA 、ΔBHA 、ΔSHN 均为直角三角形 综上所述，图中共有10个直角三角形.
(4)由SA ⊥平面AMB 知：SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ； 由BM ⊥平面SAM 知：BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ； 由AN ⊥平面SMB 知：AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ； SB ⊥平面AHN 知：SB ⊥AH ，SB ⊥HN ； 综上所述，图中有11对互相垂直的直线.
311. 如图，在棱长为a 的正方体AC 1中，M 是CC 1的中点，点E 在AD 上，且AE ＝3
1AD ，F
在AB 上，且AF ＝
3
1AB ，求点B 到平面MEF 的距离.
解法一：设AC 与BD 交于O 点，EF 与AC 交于R 点，由于EF ∥BD 所以将B 点到面MEF 的距离转化为O 点到面MEF 的距离，面MRC ⊥面MEF ，而MR 是交线，所以作OH ⊥MR ，即OH ⊥面MEF ，OH 即为所求. ∵OH ·MR ＝OR ·MC ，
∴OH ＝
59
118a .
解法二：考察三棱锥B —MEF ，由V B-MEF ＝V M-BEF 可得h. 点评 求点面的距离一般有三种方法： ①利用垂直面；
②转化为线面距离再用垂直面；
③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.
312. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1C 1和平面AB 1C 间的距离. 解法1 如图所示，A 1C 1∥平面AB 1C ，又平面BB 1DD 1⊥平面AB 1C. 故若过O 1作O 1E ⊥OB 1于E ，则OE 1⊥平面AB 1C ，O 1E 为所求的距离 由O 1E ·OB 1＝O 1B 1·OO 1，
可得：O 1E ＝
3
3a
解法2：转化为求C 1到平面AB 1C 的距离，也就是求三棱锥C 1—AB 1C 的高h.
由 V C
AB C
11-＝V 1
1
CC B A -，可得h ＝
3
3a.
解法3 因平面AB 1C ∥平面C 1DA 1，它们间的距离即为所求，连BD 1，分别交B 1O 、DO 1与F 、G(图中未画出)。易证BD 1垂直于上述两个平面，故FG 长即为所求，易求得
FG ＝
3
3a .
点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.
313..已知：α∩β＝CD ，EA ⊥α，EB ⊥β，求证：CD ⊥AB.
314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.
已知：a ∥b ，a ∩α＝A 1,b ∩β＝B 1，∠θ1、∠θ2分别是a 、b 与α所成的角.如图，求证：∠θ1＝∠θ2.
证：在a 、b 上分别取点A 、B.如图，且AA 1＝BB 1，连结AB 和A 1B 1. ∵AA ∥BB 1
∴四边形AA 1B 1B 是平行四边形.∴AB ∥A 1B 1 又A 1B 1?α ∴AB ∥α.
设AA
2⊥α于A
2
，BB
2
⊥α于B
2
，则AA
2
＝BB
2
在RtΔAA
1A
2
与
2
1
B
BB
Rt?中 AA2＝BB2，AA1＝BB1
∴RtΔAA
1A
2
≌RtΔBB
1
B
2
∴∠AA
1A
2
＝∠BB
1
B
2
即∠θ
1＝∠θ
2
.
315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.
已知：∠ABC?α,Pα,∠PBA＝∠PBC,PQ⊥α，Q∈α，如图.
求证：∠QBA＝∠QBC
证：PR⊥AB于R，PS⊥BC于S.
则：∠PRB＝∠PSB＝90°.
∵PB＝PB.∠PBR＝∠PBS
∴RtΔPRB≌RtΔPSB
∴PR＝PS
∵点Q是点P在平面α上的射影.
∴QR＝QS
又∵QR⊥AB，QS⊥BC
∴∠ABQ＝∠CBQ
316.如图，E、F分别是正方体的面ADD
1A
1
，面BCC
1
B
1
的中心，则四边形BFD
1
E在该正方体
的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)
解 ∵四边形BFD 1E 在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E 、F 的射影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上，E 、F 的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为②.故应填②③.
317. 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )
A.
10
30 B.
2
1 C.
15
30 D.
10
15
解 连D 1F 1，则D 1F 1⊥A 1C 1，又BC ⊥CA ，所以BD 1在平面ACC 1A 1内的射影为CF 1，设AC ＝2a ，则BC ＝CC 1＝2a.取BC 的中点E ，连EF 1，则EF ∥BD 1.
∴cos θ1＝cos ∠EF 1C ＝
1
1EF CF ＝
a
a 65＝
6
5，
cos θ2＝cos ∠AF 1C ＝
a
a a a a 552)
2()5()5(2
22??-+＝
5
3，
∴ cos θ＝cos θ1·cos θ2＝
6
5·
5
3＝
10
30，应选A.
318. (1)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的( )
A.垂心
B.重心
C.外心
D.内心
(2)设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC 的内心，因此选D.
(2)如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.
∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.
∴OA＝OB＝OC
∴应选B.
说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.
319.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC ＝2，求点B到平面EFG的距离.
解析：注意到直线BD ∥平面EFG ，根据直线和平面的距离在BO 中点O 的距离等于B 到平面EFG 的距离.
解 连结AC 、BD ，设交于O ，∵E ，F 分别是AB 、AD 的中点. ∴EF ∥BD
∴BD ∥平面EFG ，设EF ∩AC ＝M. 则M 为OA 的中点.
又AB ＝4 ∴AC ＝42，MO ＝4
1AC ＝2,MC ＝4
3AC ＝32
∵GC ⊥平面ABCD ∴GC ⊥CA ，GC ⊥EF 又EF ⊥AC ，GC ∩AC ＝C. ∴EF ⊥平面GCM.
∴过O 作OH ⊥GM 于H ，则OH ⊥EF. 又OH ⊥GM 故OH ⊥平面EFG.
在Rt ΔGCM 中，GM ＝2
2
CM
GC
+＝2
2)23(2+＝22.
又∵OH ⊥GM.∴sin ∠GMC ＝
GM
GC ＝sin ∠HMO ＝
OM
OH ＝
2
OH
∴OH ＝2·
22
2＝
11
112
∴B 点到平面GEF 的距离为
11
112
说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.
320. 已知两条异面直线a,b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA 1的长度为d ，在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 1E ＝m ，AF ＝n.求证：EF ＝θcos 2222mn d n m ±++
解 过A 作a ′∥a. ∵AA 1⊥a, ∴A 1A ⊥a ′ ∴AA 1⊥b,a ′∩b ＝A
∴A 1A 垂直a ′、b 所确定的平面α.
∵a ∥a ′ ∴a 、a ′能确定平面β，在β内作EH ∥A 1A ，交a ′于H. ∵a ∥a ′，∴A 1AME 为平行四边形. ∴A 1A ＝EH ＝d,AH ＝A 1E ＝m ∵A 1A ⊥α ∴EH ⊥α. ∵FH ?α， ∴EH ⊥FH.
在Rt ΔFHE 中，EF ＝2
2
FH
EH
+＝2
2FH
d +
∵a ′∥a ∴a ′与b 的夹角为θ. 即∠HAF ＝θ，此时AH ＝m,AF ＝n. 由余弦定理得 FH 2＝m 2+n 2-2mncos θ
∴EF ＝θcos 22
22mn d n m -++ 当F(或E)在A(或A 1)的另一侧时，同理可得
EF ＝)cos(2222θπ--++mn d n m ＝θcos 2222mn d n m +++
综上所述，EF ＝θcos 2222mn d n m ±++
321. 如图，ABCD 和ABEF 均为平行四边形，M 为对角线AC 上的一点，N 为对角线FB 上的一点，且有AM ∶FN ＝AC ∶BF ，求证：MN ∥平面CBE.
解析：欲证MN ∥平面CBE ，当然还是需要证明MN 平行于平面CBE 内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化. 证：连AN 并延长交BE 的延长线于P. ∵ BE ∥AF ，∴ ΔBNP ∽ΔFNA.
∴ NB FN ＝NP AN ，则NB
FN FN +＝NP
AN AN +.
即 FB FN ＝AP AN .
又 FN AM ＝BF AC ，
AC
AM ＝
BF
FN ，
∴ AC
AM ＝AP
AN .
∴ MN ∥CP ，CP ?平面CBE. ∴ MN ∥平面CBE.
322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行. 已知：α∩β＝a,l ∥α,l ∥β.求证：l ∥a.
解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.
证明：过l 作平面交α于b.∵l ∥α，由性质定理知l ∥b. 过l 作平面交β于c.∵l ∥β，由性质定理知l ∥c. ∴ b ∥c ，显然c ?β.∴ b ∥β. 又 b ?α，α∩β=a ，∴ b ∥a. 又 l ∥b. ∴ l ∥a.
评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.
323. 如图，在正四棱锥S —ABCD 中，P 在SC 上，Q 在SB 上，R 在SD 上，且SP ∶PC ＝1∶2，SQ ∶SB ＝2∶3，SR ∶RD ＝2∶1.求证：SA ∥平面PQR.
解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR 内找一条直线与AS 平行即可. 证：连AC 、BD ，设交于O ，连SO ，连RQ 交SO 于M ，取SC 中点N ，连ON ，那么ON ∥SA.
∵SB
SQ ＝SD
SR ＝3
2
∴RQ ∥BD
∴
SO SM ＝
3
2而
SN
SP ＝
3
2
∴SO
SM ＝
SN
SP ∴PM ∥ON
∵SA ∥ON.∴SA ∥PM,PM ?平面PQR ∴ SA ∥平面PQR.
评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.
三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
324. 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.
证明 如图，设直线a ∥平面α，点A ∈α,A ∈直线b,b ∥a ，欲证b ?α.事实上，∵b ∥a ，可确定平面β，β与α有公共点A ，∴α，B 交于过A 的直线c ，∵a ∥α,∴a ∥c ，从而在β上有三条直线，其中b 、c 均过点A 且都与a 平行.于是b 、c 重合，即b ?α.
325. S 是空间四边形ABCD 的对角线BD 上任意一点，E 、F 分别在AD 、CD 上，且AE ∶AD ＝CF ∶CD ，BE 与AS 相交于R ，BF 与SC 相交于Q.求证：EF ∥RQ.
证 在ΔADC 中，因AE ∶AD ＝CF ∶CD ，故EF ∥AC ，而AC ?平面ACS ，故EF ∥平面ACS.而RQ ＝平面ACS ∩平面RQEF ，故EF ∥RQ(线面平行性质定理).
326. 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，面对角线AB ′、BC ′上分别有两点E 、F 且B ′E ＝C ′F 求证：EF ∥平面AC.
解析： 如图，欲证EF ∥平面AC ，可证与平面AC 内的一条直线平行，也可以证明EF 所在平面与平面AC 平行.
证法1 过E 、F 分别做AB 、BC 的垂线EM 、FN 交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ∵BB ′⊥平面AC ∴ BB ′⊥AB ，BB ′⊥BC ∴EM ⊥AB ，FN ⊥BC
∴EM ∥FN ，∵AB ′＝BC ′，B ′E ＝C ′F ∴AE ＝BF 又∠B ′AB ＝∠C ′BC ＝45° ∴Rt ΔAME ≌Rt ΔBNF ∴EM ＝FN
∴四边形MNFE 是平行四边形 ∴EF ∥MN 又MN ?平面AC ∴EF ∥平面AC
证法2 过E 作EG ∥AB 交BB ′于G ，连GF
∴A
B E B ''＝B
B G B ''
∵B ′E ＝C ′F ，B ′A ＝C ′B
∴B
C F C ''＝B
B G B '' ∴FG ∥B ′
C ′∥BC
又∵EG ∩FG ＝G,AB ∩BC ＝B
∴平面EFG∥平面AC
又EF?平面EFG
∴EF∥平面AC
327.如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB ∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH
证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，
∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB.
∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.
(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.
评析：由线线平行?线面平行?线线平行.
328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.
已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交.
证明：假设b?α或b∥α.
若b?α，∵b∥a，∴a∥α.
练习1：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为侧棱PD 的中点，证明：PB ∥平面EAC 练习2：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为AB 的中点，证明：1BC ∥平面CM A 1 练习3：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为BC 的中点，证明：C A 1∥平面M AB 1 练习4：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为PA 、BC 的中点，证明：EF ∥平面PCD 练习5：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 、N 分别为AC 、11C B 的中点，证明：MN ∥平面
11A ABB 练习6：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为PC 、AD 的中点，证明：MN ∥平面PAB 练习7：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为1CC 的中点，N 为AB 的中点，证明：CN ∥平面M AB 1 练习8：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ， 090=∠BAD ，BC AB AD 22==，AB PA 2=，E 为PC 的中点，证明：AE ⊥DE
练习9：如图：直三棱柱ABC —111C B A 中，0 90=∠ACB ，1112C A AA =，E 、F 分别为1CC 、 1BB 的中点，Q 为E A 1的中点，证明：Q C 1⊥FQ 练习10：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥ AD ，BC AB PA ==， 060=∠ABC ，DC ⊥AC ，AF ⊥PD ，E 为PC 的中点，证明：EF ⊥PD 练习11：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，证明：平面PBC ⊥平面PAB
1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点． （1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ． 2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。 （1）求证：MN //平面PAD ；（2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ； F C B A E D
A B C D E F 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ；（2）平面⊥EFC 面BCD ． 4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1； （2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ； （3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由 ] 立体几何大题训练(3) C 1
5. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ；（2）MN ⊥平面B 1BG ． 6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 立体几何大题训练(4) 7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G _ M _ D _1 _ C _1 _ B _1 _ A _1 _ N _ D _ C _ B _ A B A 1 F
专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1．直线12,l l 和α，12//l l ，a 与1l 平行，则a 与2l 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ．1 3 B ． 3 C ．2 D ．23 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15o B ．30o C ．45o D ．60o 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里，则升高了 A ．米 B ． 米 C ．米 D ． 500米 6．已知三条直线,,a b l 及平面,αβ，则下列命题中正确的是 A ．,//,//b a b a αα?若则 B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ． 若,a b ααβ?=I ，则//a b D ．若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7．已知P 是△EFG 所在平面外一点，且PE=PG ，则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边EG 的垂直平分线上 C ．边EG 的中线上 D ．边EG 的高上 8 ．若一正四面体的体积是3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． C ．12cm D ．9．P 是△ABC 所在平面α外一点，PA ，PB ，PC 与α所成的角都相等，且PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF= 32 ，C D E F
N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线
与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
(2012XX省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 2012，(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面 BEC. BC 2012XX20．（本题满分15 分）如图，在侧棱锥垂直 A D 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B C E 与直线AA1 的交点。 1 1 A1 B1 D1 ( 第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i ）E F//A1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 1 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA'B'C'D'中，点M是棱AA' 的中点，点O是对角线BD'的中点， （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'与BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角MBC'B'的大小； 2010XX文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B （Ⅰ）证明：平面A B C平面A1BC1； 11 （Ⅱ）设D 是A C上的点，且 11 AB1//平面BCD，求 1 A1D :DC1的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/// ABCABC，BAC90， ABAC2,AA′=1，点M，N分别为/ AB和// BC的中点。 (Ⅰ)证明：MN∥平面// AACC;
2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直
F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
2015年高考立体几何大题试卷 1. 【2015高考新课标2，理19】 如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8，点E , F 分别在AB , C1D1上，A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （1题图） （I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （n ）求直线AF与平面〉所成角的正弦值. 2. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱ABC—中，已知AC丄BC ,
BC =CC 1，设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 . （2题图） （3题图） C C 第的题图
3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 AEDQCBA ，四边形AABB , ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为Bp 的中点，过 A,D,E 的平面交CD ,于F. (I)证明：EF //BQ ； (□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA _平面ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形，.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2 (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； (2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 (4题图) 5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB A 平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (I 求证：GF //平面ADE ; (^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中，.BAC =90；, AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点. (5题图) D
高中数学立体几何大题训练 1. 如图所示,在长方体 1111ABCD A B C D -中, AB=AD=1, AA 1=2, M 是棱 CC 1的中点 (Ⅰ求异面直线 A 1M 和 C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ证明:平面 ABM ⊥平面 A 1B 1M 1 2. 如图, 在矩形 ABCD 中,点 , E F 分别在线段 , AB AD 上, 243 AE EB AF FD ===
=. 沿直线 EF 将 AEF V 翻折成 ' A EF V , 使平面 ' A EF BEF ⊥平面 . (Ⅰ求二面角 ' A FD C --的余弦值; (Ⅱ点 , M N 分别在线段 , FD BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 ' A 重合,求线段 FM 的长。 3. 如图, 直三棱柱 111ABC A B C -中, AC BC =, 1AA AB =, D 为 1BB 的中点, E 为 1AB 上的一点, 13AE EB =. (Ⅰ证明:DE 为异面直线 1AB 与 CD 的公垂线; (Ⅱ设异面直线 1AB 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 111A AC B --的大小. 4. 如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA ⊥平面 ABCD , AP =AB , BP =BC =2, E , F 分别是 PB , PC 的中点 . (Ⅰ证明:EF ∥平面 PAD ;
(Ⅱ求三棱锥 E — ABC 的体积 V. 5. 如图,棱柱 111ABC A B C -的侧面 11BCC B 是菱形, 11B C A B ⊥ (Ⅰ证明:平面 1 ABC ⊥平面 11A BC ; (Ⅱ设 D 是 11AC 上的点, 且 1//A B 平面 1B CD , 求 11 :A D DC 的值 . 6. 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ⊥ ABC , AB ⊥ AC , PA=AC=?AB ,
立体几何专题练习 1、如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 8+43 B. 8+23 C. 4+43 D. 4+23 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ） A. 822+ B. 1122+ C. 1422+ D. 15 3、某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积 A. B. C. D. 4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A. 32316+3π B. 16833 π+ C. 3236π+ D. 836π+ 5、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. 2π B. 3π C. 5π D. 7π 6、如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（） A. B. 2 C. 4 D. 7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( ) A. B. 18 C. 20 D. 24 8、如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（） A. 7 3 π B. 28 9 π C. 147π D. 4 3 π 9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 A. B. C. D. 10、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（） A. B. C. D.
11、如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB （1）证明：BE⊥平面BB 1C 1C; （2）求点B 1到平面EA 1C 1的距离. 12、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=,又PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上. （1）证明：平面BEF ⊥平面PAD . （2）试探究F 在棱PC 何处时使得//PA 平面BEF .
高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体 几何类问题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
【知识梳理】 一、空间向量的概念及相关运算 1、空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ ,,a b c 称为基向量。 2、空间直角坐标系的建立 分别以互相垂直的三个基向量k j i ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。则 a xi y j zk =++（x,y,z ）称为空间直角坐标。 注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。 3、空间向量运算的坐标表示 (1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±± ()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ?=++ 12121200a b a bx x y y z z ⊥??=?++= 121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?=== 21a a a x =?=+ a b ?=a cos ,b a b ??．cos ,a b a b a b ???= 2 1 cos ,a b a b a b x ???= = + (2)设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=--- (3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =二、应用： 平面的法向量的求法： 1、建立恰当的直角坐标系 2、设平面法向量n =（x ，y ，z ） 3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3） 4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =0 5、解方程组，取其中一组解即可。 应用1：证明空间位置关系
立体几何周练 命题人---王利军 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成 60o 角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 A 、l ∥a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ， a ∥ b ，则a ∥M ；③若a ⊥ c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个
必修二立体几何典型例题 【知识要点】 1．空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： ①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交． ②无公共点：平行或异面． 平行，记作：a∥b． 异面中特殊位置关系：异面垂直． (2)空间直线与平面： ①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交． 直线在平面内，记作：a?α ． 直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交． ②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ． (3)空间两个平面： ①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交． ②无公共点：平行，记作：α ∥β ． 2．空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： ①判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． ②性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行． 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图： 【例题分析】
专题三立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间 点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试 题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间 几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考 查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的 同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视 图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例 1（ 2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是 长为 a 和b的线段，则a b 的最大值为 A．22B．23C． 4D．25 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为 m, n, k ，由题意得m2n2k27 ，m2k26n 1 ， 1 k 2 a ， 1m2 b ，所以( a21)(b21)6 a2b28，∴ (a b)2a22ab b282ab8 a2b216 a b 4当且仅当 a b 2时取等号．
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积 22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式21 3602 n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1 )3 V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积 343 V R π= 222r rl S ππ+=
高三立体几何专题 1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由， 故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点，所以 又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为 . 2.如图 ，已知三棱柱，平面平面,， 分别是AC ，A 1 B 1的中点. （1）证明：； （2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 3 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥
一、线面平行专题 1.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，求证： EF ∥平面ABC ； 2.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 求证：1A B //平面1AD C ．（两种方法证明） 3．如图，在底面为平行四边行的四棱锥P ABCD -中，点E 是P D 的中点.求证：//PB 平面AEC ；（两种方法证明） 4.如图，E F O 、、分别为，，的中点，是的中点，求证：平面；（两种方法证明） 二、垂直专题 1.如图，在直三棱柱中，点在上， 。 求证：平面1A C D 平面. 111ABC A B C -E F 1A B 1A C P A P B AC G OC //FG BOE 111ABC A B C -D 11B C 11A D B C ⊥⊥11BB C C B D
2.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，AB a =． 求证：直线111A D B C ⊥； 3.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E 在棱PB 上. 求证：平面； 4.如图，直三棱柱中，AB =1，， ∠ABC=60.求证：； 5. 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===， M N 、分别是1BC CC 、的中点，求证：1B M ⊥平面AMN ； 6.如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形， ∠PAC =∠PBC =90o。 求证：AB ⊥PC P ABCD -PD ABC D ⊥底面AEC PD B ⊥平面111ABC A B C -1AC AA ==0 1AB A C ⊥P ABC -P A B C
2016年7月9日数学周测试卷 一、解答题（共25小题；共325分） 1. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2． （1）在图中找出平面ABCD，平面ADD1A1，平面BDD1B1的一个法向量； （2）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标． 2. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求BD与平面A1C1D所成角的余弦值． ，求异面直线l l和l2所成的 3. 设a?，b??分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，且cos?a?,b???=?1 2 角． 4. 如图，直三棱柱ABC?A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=√2，AA′=1，点M、N分别 S?，其中S为底面面积，?为高）为A′B和B′C′的中点．（锥体体积公式V=1 3 （1）证明：MN∥平面A′ACC′； （2）求三棱锥A′?MNC的体积． 5. 三棱锥P?ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3． （1）求证：AB⊥BC； （2）设AB=BC=2√3，求AC与平面PBC所成角的大小． 6. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°， E，F分别为AC，DC的中点．
（1）求证：EF⊥BC； （2）求二面角E?BF?C的正弦值 7. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1 2 PD． （1）证明：PQ⊥平面DCQ； （2）求棱锥Q?ABCD的体积与棱锥P?DCQ的体积比值． 8. 如图，在△ABC中，B=90°，AC=15 2，D，E两点分别在AB，AC上，使AD DB =AE EC =2，DE= 3．现将△ABC沿DE折成直二面角，求： （1）异面直线AD与BC的距离； （2）二面角A?EC?B的大小（用反三角函数表示）． 9. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． （1）证明：BC1∥平面A1CD； （2）设AA1=AC=CB=2，AB=2√2，求三棱锥E?A1CD的体积． 10. 如图，正四棱锥S?ABCD的所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．
立体几何练习题 1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ?α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ． B ． C D ． 3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为 的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个 球的体积为（） A ． 8π B ． C ． D ． 8 π 4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（） A ． 5 B ． 2 C ． 3 D ． 5 5.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ． AB∥平面SCD C ． SA 与平面SB D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1 C ． d 1＜1＜d 2 D ． d 2＜d 1＜1 7.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α?， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题： (1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线； (3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； E F A G α β