2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合{}2
|560S x x x =--<，{}
|2|3T x x =+≤，则S T ?=（ ）
A 、{|51}x x -≤<-
B 、{|55}x x -≤<
C 、{|11}x x -<≤
D 、{|15}x x ≤< 2、正方体1111ABCD A BC D -中1BC 与截面11BB D D 所成的角是（ ） A 、
6π B 、4π C 、3π D 、2
π
3、已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的（ ）
A 、充分但不必要条件
B 、必要但不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 4、设正三角形1?的面积为1S ，作1?的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2?，面积为2S ，如此下去作一系列的正三角形34,,?? ，其面积相应为34,,S S ，设11S =,
12n n T S S S =+++ ，则lim n n T →+∞
=（ ）
A 、
65 B 、43 C 、3
2
D 、2 5、设抛物线24y x =的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则||
||
MO MF 的最大值为（ ）
A
B
C 、43 D
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的
一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A 、r
B 、r 2
C 、r 312
D 、r 315
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的
中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ?
的值是 ．
8、2
6
1()x x x
+-的展开式中的常数项是 ．（用具体数字
作答）
9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
(1)4
n n a S +=，则20S 的值为 ．
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,
]2
π
上的最大值与最小值；
（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求a
c
b cos 的值．
14、已知,,a b c R +∈，满足()1abc a b c ++=，
（I ）求()()S a c b c =++的最小值； （II ）当S 取最小值时，求c 的最大值．
15、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB 的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围．
16、设函数2()(1)n n f x x x =-在1
[,1]2
上的最大值为n a （1,2,3,n = ）． （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）求证：对任何正整数(2)n n ≥，都有2
1
(2)n a n ≤
+成立；
（III ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，都有7
16
n S <成立．
2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C
2、A
3、A
4、B
5、B
6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、32-
8、5- 9、0 10、14 11
、4
12、215 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I ）由条件知()2sin()13
f x x π
=++， （5分）
由02x π
≤≤
知，
5336x π
π
π≤+
≤
，于是1sin()123x π
≤+≤
所以2x π=时，()f x 有最小值1
2122
?+=；
当6
x π
=
时，()f x 有最大值2113?+=． （10分）
（II ）由条件可知
2sin()2sin()133
a x
b x
c a b ππ
+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333
a x
b x
c b x c a b π
ππ
+
++?-+?++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033
a b c x b c x a b π
π
+?+
-?+++-=
∴ cos 0
sin 010a b c b c a b +=??
=??+-=?
, （15分）
由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。
若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！ 若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-，
解得π)12(,21+===k c b a ，所以，1cos -=a
c
b ． （20分） 14、解：（I ）因为2
()()a c b c ab ac bc c ++=+++1()ab a b c c ab ab
=+++=+ （5分）
2≥=，等号成立的条件是1ab =，
当1,1a b c ===时，S 可取最小值2． （10分） （II ）当S 取最小值时，1ab =，从而()1c a b c ++=，
即2
()10c a b c ++-=，令t a b =+
，则2t ≥= （15分）
从而2t c -=
或者02
t c -=<（舍去）
故
2t c -+==
在[2,)t ∈+∞单减， 所以在2t =时，c
1． （20分）
15、解：将直线1y kx =+与双曲线2
2
1x y -=方程联立得22
1
1y kx x y =+??-=?
化简得22(1)220k x kx -++=① （5分）
由题设知方程①有两负根，因此2212212248(1)0201201k k k x x k x x k ?
??=-->?
?
+=-
?
?=>?-?
，解得1k <<．
（10分） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有122
21
k
x x k +=-
-， 212122222
()2211
k y y k x x k k +=++=-+=---
故AB 的中点为22
1(,)11
k k k -
---， 所以直线l 方程为21(2)22y x k k -=+--，其在y 轴的截距b 2
2
22
k k -=--，（15分）
当1k <<2
2117222()48
k k k --=--
，其取值范围是(1,2-
所以b 22
22
k k -=--
的取值范围是(,2(2,)-∞-+∞ ． （20分）
16、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---，
当1[,1]2
x ∈时，由'
()0n f x =知1x =或者2
n
x n =
+， （5分） 当1n =时，
11[,1]232n n =?+，又111()28f =，(1)0n f =，故11
8a =； 当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故21
16a =； 当3n ≥时，
1
[,1]22
n n ∈+，
∵1[,
)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2
n
x n ∈+时，'()0n f x <；
∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即22
24()()22(2)n
n n n n n a n n n +==
+++ 综上所述，21
,(1)84,(2)(2)n n
n n a n n n +?=??
=??≥?+?． （10分） （II ）当2n ≥时，欲证 2241
(2)(2)n n n n n +≤
++，只需证明2(1)4n n +≥ ∵0
1
1222
222(1)()()()n
n
n
n n n n C C C C n n n n
+=+?+?++?
2(1)4
1212142n n n
-≥++
?≥++= 所以，当2n ≥时，都有2
1
(2)
n a n ≤
+成立． （15分） （III ）当1,2n =时，结论显然成立； 当3n ≥时，由（II ）知3411
816
n n S a a a =+++++ 2221111181656(2)
n <
++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117
816416
<+
+=． 所以，对任意正整数n ，都有7
16
n S <成立． （20分）