毕业设计（论文）
基于彩色图像压缩编码中量化的研究Quantization Research Based On Color Image Compression
Coding
长春工程学院
摘要
图像量化是图像压缩中的一项重要技术, 如何准确、快速地进行图像压缩一直是国内外研究的热点。本文概要叙述了彩色图像压缩的大体过程，介绍了量化的概念和特点。主要就彩色图像压缩变换编码中量化的问题进行了研究，并用C 语言程序进行了算法仿真, 取得了较为理想的效果。此外，就量化部分的过程进行了多数据对比，从而得出针对彩色图像比较高质量的量化方案。
关键词
图像压缩正交变换量化峰值信噪比
Abstract:
Image Quantization is an important technology of image compression. How to comprss image accurately and quickly has been a hot internal and external research.This paper briefly described the general process of color image compression and introduced the concept and the characteristics of quantization. Mainly , conducted a study on the color image compression coding quantized transform. And took a simulation program based C language algorithm, and achieved satisfied results.Besides, part of the process of the quantization multi-comparison of the data has been made to arrive at the relatively high quantization for color image quantization scheme.
Keywords：Image Compression Orthogonal Transform Quantization Peak Signal to Noise Ratio (PSNR)
目录
第一章绪论 (1)
1.1 研究的背景 (1)
1.2 研究的概况和国内外现状 (1)
1.3 研究的目的与意义 (3)
1.4 数字图像处理的优点 (3)
第二章彩色图像压缩的基本介绍 (4)
2.1 图像压缩分类 (4)
2.2 彩色图像的色彩模型 (4)
2.3 图像分辨率 (5)
2.4 数字图像的分类 (5)
2.5 彩色图像压缩编码步骤 (7)
第三章变换 (10)
3.1 图像变换的意义 (10)
3.2 正交阵的定义及正交变换的种类 (10)
3.3 多维矢量矩阵正交变换 (14)
第四章量化 (19)
4.1 图像信号量化的分类 (19)
4.2 量化的过程 (21)
第五章实验结果分析 (23)
5.1 峰值信噪比定义 (23)
5.2实验结果与分析 (23)
5.3结束语 (25)
参考文献 (27)
致谢 (28)
第一章绪论
数字图像是把需要处理的模拟图像数字化。简单的说就是用网格把欲处理的图像罩上，把每一个小格中的模拟图像的各个灰度取平均值，并且作为该小格中点的值。由此就可以把一副模拟图像变成只用小格中点的值来表示的离散值图像，采用某一种形式去抽取模拟图像的代表点的值成为抽样。抽样后形成的图像为数字图像。量化是数字图像处理中的一个重要问题，是一个综合了计算机视觉，计算机图像处理，计算机图形学和人工智能等各个学科的交叉课题。
图像量化技术研究了几十年，取得了很大的进步，但仍有许多不足，值得进一步研究。均匀量化简单、易实现、编解码的很容易，但是但要达到相同的信噪比占用的带宽要大，而非均匀量化克服均匀量化的缺点。矢量量化的好处是引入了多个决定输出的因素，并且使用了概率的方法，一般会比标量量化效率更高。各种量化方法各有优缺点今后应与人眼视觉特性相结合。图像量化是一个非常有发展前途的研究领域．这一领域的突破会对信息生活和通信事业的发展具有深远的影响。
1.1 研究的背景
进入21世纪，随着计算机技术的迅猛发展和相关理论的不断完善，数字彩色图像处理技术在许多重要领域得到了广泛的关注并且取得了重大的开拓性成就。这些领域包括了航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人图像识别、军事科学、文化艺术等。该技术成为一门引人注目、前景远大的新型学科。随着多媒体和通信技术的快速发展，多媒体信息的传输对数据的存储和传输提出了更高的要求，也给现有的有限带宽以严峻的考验，特别是具有庞大数据量的数字图像通信，更难以传输和存储，极大地制约了图像通信的发展，因此图像压缩技术受到了越来越多的关注。图像压缩的目的就是把原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输，并且要求复原图像有较好的质量。利用图像压缩，可以减轻图像存储和传输的负担，使图像在网络上实现快速传输和实时处理[4]。
1.2 研究的概况和国内外现状
从20世纪八十年代开始，由于超大规模集成电路突飞猛进的发展以及软件技术和概念的进步，人们对图形和图像作为计算机输入/输出的新信息媒体进行了研究，让计算机的应用更加直观、容易和生动。1984年苹果公司研制的Macintosh个人计算机首次引进了位映射的概念来进行图像处理工作，用户开始用鼠标驱动的窗口和图标技术一改DOS文字界面单调乏味的风格。1987年RCA公司推出了交互式数字系统，它以计算机技术为基础，用标准光盘来存储和检索静止图像和其他数据。1995年微软公司推出windows95操作系统，其以
友善的界面、简便的操作和全面支持多媒体功能，越来越被用户采用。之后又推出了windows98、windows2000、windowsXP等，使图像处理技术进一步增强[6]。
彩色图像是具有高度冗余的高相关性的数据，但是在缺少多维矩阵理论的情况下，只能在二维的空间中处理它们，在现有的国际彩色图像编码标准JPEG中，先将彩色图像R、G、B数据转换成Y、U、V数据，然后将灰度图像的压缩编码方法独立地应用于各个分量。该方法不能充分利用彩色图像中各分量间潜在的相关性，即不能去除视觉冗余，限制了彩色图像压缩性能的进一步提高。离散余弦变换（DCT）自从1974年被提出后，在图像和视频编码领域得到了广泛的应用，其变换性能在所有次优变换中非常显著，能够极大地去除图像元素在变换域中的相关性，为高效率的图像压缩奠定了基础。
数字图像的冗余主要表现在以下几种形式：
空间冗余：规则物体和规则背景的表面物理特性都具有相关性，数字化后表现为数字冗余。例如：某图片的画面中有一个规则物体,其表面颜色均匀,各部分的亮度、饱和度相近,把该图片作数字化处理,生成位图后,很大数量的相邻像素的数据是完全一样或十分接近的,完全一样的数据当然可以压缩,而十分接近的数据也可以压缩,因为恢复后人亦分辨不出它与原图有什么区别,这种压缩就是对空间冗余的压缩，空间冗余是静态图像中存在的最主要的一种数据冗余。同一景物表面上采样点的颜色之间往往存在着空间连贯性，但是基于离散像素采样来表示物体颜色的方式通常没有利用这种连贯性。
时间冗余：序列图像是由一组连续画面组成其中的相邻帧往往包含相同的背景和移动物体只不过移动物体所在空间位置略有不同这就产生了大量的数据冗余，序列图像(如电视图像和运动图像)和语音数据的前后有着很强的相关性,经常包含着冗余。在播出该序列图像时,时间发生了推移,但若干幅画面的同一部位没有变化,变化的只是其中某些地方,这就形成了时间冗余。
统计冗余：空间冗余和时间冗余是把图像信号看作概率信号时所反应出的统计特性，因此，这两种冗余也被称为统计冗余。
编码冗余：同样长度的编码可以表示不同的信息。
结构冗余：相似的，对称的结构如果都加以记录就出现结构冗余。结构冗余是在某些场景中，存在着明显的图像分布模式，这种分布模式称作结构。图像中重复出现或相近的纹理结构，结构可以通过特定的过程来生成。例如：方格状的地板，蜂窝，砖墙，草席等图结构上存在冗余。已知分布模式，可以通过某一过程生成图像。
知识冗余：由图像的记录方式与人对图像的知识差异而产生的冗余。人对许多图像的理
解与某些基础知识有很大的相关性。许多规律性的结构，人可以由先验知识和背景知识得到。而计算机存储图像时还得把一个个像素信息存入，这就形成冗余。
视觉冗余：视觉系统对于图像场的注意是非均匀和非线性的，视觉系统不是对图像的任何变化都能感知。视觉冗余是人类的视觉系统对图像场的敏感性是非均匀和非线性的。对亮度变化敏感，而对色度的变化相对不敏感；在高亮度区，人眼对亮度变化敏感度下降；对物体边缘敏感，内部区域相对不敏感；对整体结构敏感，而对内部细节相对不敏感。可以根据这些视觉特性对图像信息进行取舍。
近年来，计算机相关技术的发展为图像压缩处理技术提供了必要的技术手段，短短几年中，超大规模集成电路密度不断增加，低成本大容量的只读存储器与大容量硬盘和数据压缩技术的结合已经初步解决了图像信息的存储问题。作为计算机心脏的CPU更是得到了高速发展。所有这些都表明，图像压缩处理技术正进入一个快速发展的时代[1]。
1.3 研究的目的与意义
信息时代带来了“信息爆炸”，使数据量大增，因此，无论传输或存储都需要对数据进行有效的压缩。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。数据压缩的目的就是通过去除这些数据冗余来减少表示数据所需的比特数。由于图像数据量的庞大,在存储、传输、处理时非常困难,因此图像数据的压缩量化就显得非常重要[1]。
1.4 数字图像处理的优点
显然一副图像M N的点数可以增加，其亮度划分为的n也可以增加。所以图像处理精读可以随着应用的要求而增加；另一方面是由于计算机运算过程精度非常高，因此有效位数可以增加，使其计算精度不断提高，这是优点之一。优点二是计算机数字图像处理的灵活性高[2] 。它可以对图像的任意灰度，任意尺寸进行专门的处理，从内及外，从静及动等各种处理都能灵活快捷方便地执行。
第二章彩色图像压缩的基本介绍
2.1 图像压缩分类
目前看来，可以把图像压缩分成无损压缩和有损压缩两种方法：
2.1.1 无损压缩
无损压缩的根本原理是将相同或者类似的数据归类，使用少量的数据量描述原来数据，达到减少数据量的目的。其实就是去掉或者减少了图像中的冗余数据，这些数据是根据相关性去除的，可以根据一定的相关性进行恢复，所以无损压缩是一个可逆的过程。
2.1.2 有损压缩
有损压缩的原理是利用人眼的视觉特性有针对性的简化不重要数据，以减少总的数据量，这种简化是直接把信息丢弃，所以解压缩时信息不能完全恢复到解压的状态。这种压缩是不可逆的，所以称之为有损压缩。虽然图像在压缩过程中会有数据的丢失，但是由于去除的是一些不重要的数据，在压缩时可以减少更多的冗余，所以有损压缩可以大幅度减小图像需要的存储的数据量。一般说来都比无损压缩要低，所以经常用于图像的网络存储和传输[7]。
2.2 彩色图像的色彩模型
在进行图像处理的时候，常常会涉及到几种不同的色彩模型来表示图像的颜色。使用彩色模型的目的就是尽可能多的描述各种颜色，以方便需要时能加以选择。
2.2.1 RGB模型
自然界常见的各种颜色都可以由红（R）绿（G）蓝（B）三种中的颜色光按照不同比例相配而成的，如图
2-1所示。同样绝大多数颜
色光也可以分解为红、绿、蓝三种颜色。由于
人眼对这三种色光最为敏感，R,G,B三种颜色
相配所得到的的彩色范围也最广，所以一般都
选择这三种颜色所谓基色，这就是色度学的基
本原理一一三基色原理。
因为计算机的色彩显示输入需要R,G,B三个彩色分量，通过三个分量的不同比例，在显示屏幕上合成所需要的任意颜色。所以可以把一副彩色图像分解成R,G,B三种基色，每一种基色的数据代表一个特定的颜色的强度，当这三种基色的数据在计算机中从新混合时又显示出来它原来的颜色[7]。
2.2.2 HSL模型
图2-1 RGB模型
HSL 模型是使用H 、S 和L 三个参数来生成颜色。H 为颜色的色调，改变它的数值可生成不同的颜色表示；S 为颜色的饱和度，改变它可使颜色变亮或者变暗；L 为颜色的亮度参量。
用HSL 模型描述颜色时更加自然，符合人眼对颜色的认知，但是却不方便使用，所以显示的时候要转换成RGB 模型。
2.2.3 CMY 模型
CMY 模型是采用青、品红、黄三种基本
颜色按照一定比例合成颜色的方法。CMY 和
RGB 模式不同之处在于色彩的产生不适直接
来自光线的色彩，而是来自于照射在颜色上放
射回来的光线。
虽然理论上利用CMY 三基色混合可以制
作出所需要的各种颜色，但是实际上同量的
CMY 混合后并不能产生完善的黑色或者是灰
色，因此在印刷的时候必须加上一个黑色
（Black ）。
2.3 图像分辨率
图像分辨率是指数字化图像的大小，以水平的和垂直的的像素点表示，图像分辨率实际上决定了图像的显示质量，也就是说，即使提高了显示分辨率，也无法真正改善图像的质量
[1]。本文采用256*256的lena 图像作为研究对象，同时用256*256的pepper 图像和256*256的dog 图像作为参考图像。
2.4 数字图像的分类 图像在存储媒体中的存储格式成为文件格式。图像文件的存储格式有多种：
2.4.1 RAW
RAW 的原意就是
“未经加工”。可以理解为：RAW 图像就是CMOS 或者CCD 图像感应器将捕捉到的光源信号转化为数字信号的原始数据。RAW 文件是一种记录了数码相机传感器的原始信息，同时记录了由相机拍摄所产生的一些原数据（Metadata ，如ISO 的设置、快门速度、光圈值、白平衡等）的文件。RAW 是未经处理、也未经压缩的格式，可以把RAW 概念化为“原始图像编码数据”或更形象的称为“数字底片”。
2.4.2 JPEG
JPEG 是Joint Photographic Experts Group （联合图像专家小组））的缩写。JPEG 的压缩方式通常是破坏性资料压缩（lossy compression ），意即在压缩过程中图像的品质会遭
图2-2 CMY 模型
受到可见的破坏，有一种以JPEG为基础的标准Progressive JPEG是采用无失真的压缩方式，但Progressive JPEG并没有受到广泛的支援。
2.4.3 BMP
BMP（全称Bitmap）是Window操作系统中的标准图像文件格式，可以分成两类：设备相关位图（DDB）和设备无关位图（DIB），使用非常广。它采用位映射存储格式，除了图像深度可选以外，不采用其他任何压缩，因此，BMP文件所占用的空间很大。BMP文件的图像深度可选lbit、4bit、8bit及24bit。BMP文件存储数据时，图像的扫描方式是按从左到右、从下到上的顺序。由于BMP文件格式是Windows环境中交换与图有关的数据的一种标准，因此在Windows环境中运行的图形图像软件都支持BMP图像格式。
2.4.4 PCX
PCX是一种由美国佐治亚州的ZSoft公司所开发的图像档格式，原本是该公司的PC Paintbrush软件的文件格式（PCX代表PC Paintbrush Exchange），却成了最广泛接受的DOS图像标准之一，然而这种使用格式已经被其他更复杂的图像格式如GIF、JPEG、PNG 渐渐取代。
PCX格式是ZSOFT公司在开发图像处理软件Paintbrush时开发的一种格式，基于PC 的绘图程序的专用格式，一般的桌面排版、图形艺术和视频捕获软件都支持这种格式。PCX 支持256色调色板或全24位的RGB，图像大小最多达64K*64K像素。不支持CMYK或HSI 颜色模式，photoshop等多种图像处理软件均支持PCX格式，PCX压缩属于无损压缩。
2.4.5 GIF
GIF(Graphics Interchange Format)的原义是“图像互换格式”，是CompuServe公司在1987年开发的图像文件格式。GIF文件的数据，是一种基于LZW算法的连续色调的无损压缩格式。其压缩率一般在50%左右，它不属于任何应用程序。目前几乎所有相关软件都支持它，公共领域有大量的软件在使用GIF图像文件。GIF图像文件的数据是经过压缩的，而且是采用了可变长度等压缩算法。GIF格式的另一个特点是其在一个GIF文件中可以存多幅彩色图像，如果把存于一个文件中的多幅图像数据逐幅读出并显示到屏幕上，就可构成一种最简单的动画。
GIF分为静态GIF和动画GIF两种，扩展名为.gif，是一种压缩位图格式，支持透明背景图像，适用于多种操作系统，“体型”很小，网上很多小动画都是GIF格式。其实GIF是将多幅图像保存为一个图像文件，从而形成动画，最常见的就是通过一帧帧的动画串联起来的
搞笑gif图[1]，所以归根到底GIF仍然是图片文件格式。但GIF只能显示256色。和jpg格式一样，这是一种在网络上非常流行的图形文件格式。
2.4.6 TIFF
此图像格式复杂，存储内容多，占用存储空间大，其大小是GIF图像的3倍，是相应的JPEG图像的10倍，最早流行于Macintosh，现在Windows主流的图像应用程序都支持此格式. TIFF与JPEG和PNG一起成为流行的高位彩色图像格式。TIFF格式在业界得到了广泛的支持，如Adobe公司的Photoshop、Jasc的GIMP、Ulead PhotoImpact和Paint Shop Pro等图像处理应用、QuarkXPress和Adobe InDesign这样的桌面印刷和页面排版应用，扫描、传真、文字处理、光学字符识别和其它一些应用等都支持这种格式。
2.5 彩色图像压缩编码步骤
图2-3 彩色图像压缩变换框图
2.5.2 彩色图像三维模型
多维矢量矩阵正交变换核矩阵具有优秀的能量集中性和去相关性，为了有效利用变换核矩阵的这些优秀特性，需要对图像数据进行三维矢量分块建模。本文应用一下方法对彩色图像进行三维数据建模。给定一副256*256的彩色图像，它是由相同大小的R,G,B灰度图像组成的，根据此特点并结合三维矩阵理论[5]。建立了彩色图像的多维矩阵采样模型，如图2-4所示。
图2-4彩色图像的矩阵采样模型示意图
这种表示方法把各个像素的位置关系和各个颜色分量在子块中的对应关系建立在同一个三维矩阵模型中，为后面的进行多维矩阵正交变换打下基础。
在图像压缩技术中，多数技术都是分割成子块进行处理，本文不例外。本文把256*256的彩色原始图像采用8*8*3的子块分割方法，分割成8*8*3的三维立方体图像块。其原理如图2-5所示
图2-5 彩色图像的三维子块分割
当然图像不仅可以分割成8*8*3子阵，也可以按照实际需要分割成不同大小的子阵，如16*16*3的子阵、64*64*3的子阵等，如图2-6就是将一个三维矩阵分割成不同大小的子阵，子阵中包含8*8*3、16*16*3和64*64*3大小的。
分割后的彩色图像三维矢量矩阵的具体表达式为：
式子中：I、J为矢量，I=(8，8),J=(3)。把彩色图像的像素位置进行8×8的分块，3代
表彩色图像R、G、B三个颜色分量。
第三章变换
3.1 图像变换的意义
变换的基本方法是将数字图像分为一定大小的子图像块，用某种正交变换对子图像进行变换，得到变换域中的系数矩阵，然后选用其中的主要系数进行量化编码，由于在变换域中信号的能量比较集中，例如图像信号的能量主要集中于低频部分，若支队主要的低频分量进行编码并且做合理的位数分配，就可以使数据压缩量大量减少[1]。
正交变换是信号分析学科中的一个重要部分，图像通过一个系统引起的变优，变劣或者系统引起的中间变化，都可以将数字信号分析中的结论推广到二维来分析。图像仍看作是线性叠加系统，看成是许多点冲激函数的累加或者基波的叠加。信号分析的另一个重要概念是任何波形可由许多基波的加权和合成；反之任何波形分解为许多基波及其加权值。根据线性可叠加系统的结论，系统对某个波形的影响可看做是系统对各基波影响的累加[2]。
3.2 正交阵的定义及正交变换的种类
正交阵即N阶矩阵A满足：
（3-1）
就可称A为正交阵，其中为N阶的单位阵。
下面简单介绍几种正交变换方法：
3.2.1Hadamard变换（HT）
Hadamard变换（HT）就是按照Hadamard取序的walsh变换，HT的核矩阵产生非常简单所以得到了广泛的应用，甚至形成了一类变换HT，Hadamard变换用HT或者H变换表示。
H变换核矩阵的产生
H变换就是Hadamard序的walsh变换，但是其核矩阵用矩阵的方式产生既有规律又简单。
设H矩阵为H2,则条件下
，，
则阵为式子中为克罗内克乘积。
二维HT
(3-2)
（3-3）组成HT对
写成矩阵
F=HfH
f=HFH
Hadamard变换的优点：
①仅需实数运算；
②不需乘法运算，仅有加减法运算；
③有部分性质类似于离散傅立叶变换；
④正变换与反变换型式为相似式；
缺点：
①其收敛速度较离散余弦变换慢，因此对于频谱分析的效果较差；
②其加减法量较离散傅立叶变换、离散余弦变换多；
除了Hadamard变换之外，还有其他变换方式，下面做个简单的介绍
3.2.2傅里叶变换
傅里叶变换是最早研究与应用的正交变换。六十年代用计算机实现快速傅里叶变换后才获得了广泛的推广。傅里叶变换后的变换域称之为频域。由于计算机只能处理数字信号即离散信号故此只介绍二维离散傅里叶变换（2DDFT）
M行N列的公式为
(3-4)
同理，其反变换为
(3-5)形成傅里叶变换对
系数可全加在正变换公式中，这样可避免正变换时计算机溢出，是反变换能回复原
。
3.2.3离散余弦变换（DCT）
一个N N像块的二维DCT变换公式定义为：
正变换：
（3-6）反变换：
（3-7）其中=
从傅里叶变换性质可以知道余弦变换后的能量是向低空间频率集中的。
DCT的优点很多，主要表现为：
①DCT可以将N N图像的空域转换为频域，只需要少量的数据点表示即可；
②DCT产生的系数很容易量化，所以很容易得到好的块压缩；
③DCT在软件和硬件中都很容易实现；
④由于DCT算法的是对称的，所以逆DCT算法可用来解压压缩图像。
3.2.4离散正弦变换
正弦变换的原理类似于余弦变换。它是利用奇函数来得到其原始结果。
二维离散正弦变换公式如下
正变换：
（3-8）反变换：
（3-9）3.2.5 W ALSH变换
傅里叶变换在图像信号处理方面有许多优点，但是计算机运算时虚，实部分开运算使其运算速度受到影响。因此科学家们设法要找到一种运算简单的正交变换，这种正交变换能计算简单且核矩阵产生方便的正交完备函数。沃尔什（Walsh Transform,WT）变换矩阵简单，只有1和-1，并且矩阵容易产生，有快速算法，所以得到了极为广泛的应用。
二维的W ALSH变换可以写成
正变换
（3-10）反变换
（3-11）形成Walsh变换对，记做
也可以写成矩阵形式：
F=WfW, f=WFW
3.2.6 Haar 变换
Haar 函数是在1990年提出，它的矩阵只有+1，-1和另一个以为基础的系数，计算十分简单。它是正交的稀疏矩阵，所以可以加快运算速度。Haar 函数的基向量是按顺序取序的。主要用在图像信息压缩和特征提取中。
二维Haar 变换
3.2.7离散小波变换（DWT ）
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform ）在数值分析和时频分析中很有用。第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出，1984年法国地球物理雪茄Morlet 在分析地震波的局部性质时发传统的傅里叶变换难以达到要求。因此引入小波概念于信号分析中。1987年Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思路引入小波分析中，其相应的算法（Mallat 算法）已经有效地应用于图像分析与重构中。但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系，只能以阶层式架构来表示。
由于小波变换继承了傅里叶分析的优点，同时又克服了它的许多缺点，所以小波变换在静态图像压缩领域得到了广泛的应用。
3.3 多维矢量矩阵正交变换
3.3.1多维矢量矩阵的定义
将通常二维矩阵的概念向多维方向扩展，建立了多维矢量矩阵的概念,在此基础上，讨论多维矩阵空间的若干性质。多维矢量矩阵模型的提出，是为了将多维数据表示在一个数学模型里，进行适当的运算、处理。
定义1-1： F 上的M ⅹN 数据排列(21i i a ) 称为二维矩阵,其全体组成的集合记为N M M ?，F 上的n I I I ??21多维数据排列表(n i i i a 21) 称为多维矩阵，其全体组成的集合记为
n I I I M ??? 21。
定义1-2：如果将多维矩阵的维数分成两组，分别用二个矢量表示，比如r K K K M ??? 21表示成()()n m J J J I I I M ?????? 2121，记为ΙJ M ，其中J I,为矢量，()m I I I ,,,21 =I ，
()n J J J ,,,21 =J ，则称多维矩阵M 为维数按照矢量J I,划分的多维矢量矩阵，简称多维矢量矩阵。显然一个多维矩阵可以表示成很多种的多维矢量矩阵，而一个多维矢量矩阵只对应唯一的多维矩阵。
3.3.2多维矢量矩阵的初级运算准则
下面我们来定义多维矩阵的相等，加法，多维矩阵与数的乘法，并讨论相应的运算性质。
1、相等
如果多维矩阵n I I I A ??21=()n n I I I i i i a ??2121和n I I I B ??21=()n n I I I i i i b ??2121都是
n I I I ??21阶的多维矩阵，并且它们的对应元素相等，即
n i i i a 21=n i i i b 21 (1≤ 1i ≤1I ; 1≤ 2i ≤2I ; …;1≤ n i ≤n I ) (3-12)
我们就说多维矩阵A 与B 相等，并记之为A =B 。
如果1I =2I =…=n I ，多维矩阵n I I I A ??21叫做多维方阵。每一个元素都是零的多维
矩阵叫做零多维矩阵，仍用符号0来表示。
对于多维矩阵n I I I A ??21，不管按照何种方式划分成多维矢量矩阵，其相等准则不
变。
2、加法
设n I I I A ??21=()n n I I I i i i a ??2121和n I I I B ??21=()n n I I I i i i b ??2121都是n I I I ??21阶的多维
矩阵，，则n I I I ??21阶多维矩阵
n I I I C ??21 =()n i i i c 21=()n n n I I I i i i i i i b a ??+212121 (3-13)
称为A 与B 的和，记为C =A +B 。
多维矩阵的加法就是多维矩阵对应元素相加。因此相加的多维矩阵必须具有相同的维数，每一维数的阶数也必须相等。
由于多维矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以，不难验证，它满足以下运算性质：对于任意n I I I ??21阶多维矩阵A ，B
，C ：
1、 结合律： （A +B ）+C =A +（B +C ） (3-14)
2、 交换律：
A +
B =B +A (3-15)
3、A +0=A (3-16)
0是n I I I ??21阶多维零矩阵。
4、多维矩阵()n n
I I I i i i a ??-2121称为多维矩阵n I I I A ??21=()n n I I I i i i a ??2121的负矩
阵，记做-A ，显然: A +（-A ）=0 (3-17)
有了负矩阵概念，我们可以定义矩阵减法为：
A -
B =A +（-B ）
(3-18) 显然 A +B =C ? B =C -A 。
对于多维矩阵n I I I A ??21，不管按照何种方式划分成多维矢量矩阵，其加法结果不变。
3 、数乘
多维矩阵()n n I I I i i i a m ???2121称为多维矩阵n I I I A ??21=()n n I I I i i i a ??2121和实数m 的乘
积，记为m A 。
这就是说，数m 乘多维矩阵就是把多维矩阵的每一个元素都乘以m 。
不难验证，多维矩阵的数乘运算适合以下的运算规律：
(m+n) A =m A +n A (3-19)
m(A +B )=m A +m B (3-20)
m(n A )=(mn) A (3-21)
其中m ，n 是任意数，A ，B 是任意n I I I ??21阶多维矩阵。
对于多维矩阵和多维矢量矩阵来说，相等、加法、数乘的运算结果都是一样的，并不区分矢量的划分情况，而对于以下的运算，则必须事先将多维矩阵的维数进行划分，定义好矢量的维数。
3.3.3 多维矢量矩阵的转置运算准则
JI IJ A A T = (3-22)
对于任意多维矩阵IJ A 和IJ B , 我们可以得到以下性质
()IJ IJ A A T T = (3-23)
()JI JI IJ IJ IJ IJ B A B A B A T T T +=+=+ (3-24)
()JI IJ IJ mA mA mA T T == (3-25)
()JI JI IJ IJ IJ IJ A B A B B A T
T T
== (3-26) m 表示实数。
3.3.4多维矢量矩阵正交变换公式
正变换：
(3-27)
其反变换为：
(3-28)