第三章 向量空间
一、单项选择题
1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）
A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关
B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关
D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关
2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法
惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）
A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ）
A.α1，α3线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性无关
C.α1，α2，α3，α4线性相关
D.α2，α3，α4线性相关
5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）
A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组
B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量
C ．s ααα,,,21 全是非零向量
D ．s ααα,,,21 全是零向量
6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ）
A.-32
B.-4
C.4
D.32
7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ）
A. α1，α2，α3，α4一定线性无关
B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C. α1，α2，α3，α4一定线性相关
D. α1，α2，α3一定线性无关
8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.下列命题中错误．．
的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）
A.α1必能由α2,α3，β线性表出
B.α2必能由α1,α3，β线性表出
C.α3必能由α1,α2，β线性表出
D.β必能由α1,α2,α3线性表出
11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )
A.α1，α2，α3，α4线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
二、填空题
1．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.
2.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =________.
3.向量组的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321-===ααα_____________。
4．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______.
5．设向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则向量组21,ββ的秩为______.
6.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.
7.设4维向量=α（3,-1,0,2）T ,β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2+αγ=3β，则γ=__________.
8.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
9.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________.
三、计算题
1．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.
2.求向量组1α=(1,1,1,3)T ，2α=(-1,-3,5,1)T ，3α=(3,2,-1,4)T ，4α=(-2,-6,10,2)T 的一个极大无关
组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
3.设向量组为 )3,1,0,2(1-=α
)1,1,2,3(2--=α
)9,5,6,5(3--=α )5,3,4,4(4--=α
求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。
4．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，
求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
5.设向量α=（3，2），求（αT α）101.
6.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.
（1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
7.设向量组,,,,T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)=α=α=α=α求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
8.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
四、证明题
1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量
组β1，β2，β3线性无关.
2. 证明：若向量组,,,,,,,3232121121 ααβααβααβααα+=+=+=n n 而线性无关 1-=n n αβ+αn ，则向量组为奇数线性无关的充要条件是n n βββ,,,21 。
3．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组
32,,ααβ也线性无关．
4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.
5. 若α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.
行列式 1. 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零. 如a b c a b c 0a b c '''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 如11 121311121321 222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零． 如a b c a b c 0ka kb kc '''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和. 如11 12131112131112 13 2121 2222 2323 21222321 222331 32 33 31 32 33 31 3233 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. 如11 121311121321 222321222331 32 33 3111 3212 3313 a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++ 2. 余子式与代数余子式 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j ij ij A (1) M +=-叫做元素ij a 的代数余子式． 如11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为11 122331 32a a M a a = ， 元素23a 的代数余子式为111223 232331 32 a a A (1)M a a +=-=- .
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 课后训练 1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若＝，则点B的坐标为( ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( ) A．6,15 B．6， C．3,15 D．3， 3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( ) A．l⊥α B．l∥α C．lα D．l∥α或lα 5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A．(2,3,3) B．(3，－3,4) C．(－1,1,0) D．(－2,0,1) 6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，＝α＋β，那么α＋β ＝__________. 7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y ＝__________，z＝__________. 8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________． 9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C. 10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B 上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 参考答案 1.答案：B 由＝得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)． 2.答案：B a∥b，故x，y的值分别是6，.
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
河南成功学院 线性代数 .选择题：（每题4分，共20分） 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D .填空题（每题4分，共20分） .计算（5 10分=50分）: 1 +a 2 … n 1 2 … n ‘ m 1 2+a … n n （n +1） 1 2 + a … n 1.解：D = + =[+a] + ■. ■ .■ ■ 2 … ■ A * ■ 1 ^2 ? n + a 1 ^2 ■■亠 n + a （5 分） （10 分） 13 2.解: （ AI ） 0 3 -2 -2 0 3 1 -2 0 5 15 5 2 2 3 5 5 5 9 4 6 （8 分） 所以A 4二 4 5 3 5 6 5 13152 - 5 4 5 6 5 25（10 分） 3?解：t = — 2, 1时有 解; t = — 2时，通解 为 （4 分） （7 分） 2012— 2013学年第一学期期末考试试卷 A 答案 1. -186; 2. 2』 3. 3 4. k = -1 5. 0 n （n 1） a] a]
2 0 0 单位化得 0 2 42. 12」 豆 2 旦 12」 （8 分） 2 、 2 （10 分） 3_k 1 4.解：A —A E ；= —4 —1—人 4 —8 （4 分） 「3、 人=1时，特征向量为k -6 k^0 I 20」 -1 = 1, '2 = 2, '3 = 3 「0 ' 几=1时，特征向量为 -1 扎=2时，特征向量为 J 丿 1°丿 o A 丸=3时，特征向量为 1 （6分） ￡ t=1时，通解为 0 + k 1 ? 2 （10 分） 0 —-1）2「2） 一2 - （7 分） ? 丸=-2时,特征向量k 为 k 式0 （10 分） 2 -丸 0 5?解： A-^E = 0 2-& 0 = 一（扎 一1）（人 _2）（九-3）
第三章 空间向量与立体几何(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC → 为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、 C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面 2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45° 3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC → 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋x AB →＋y AD → ，则x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝1，y ＝1 2 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 3 5．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD → ＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP → 是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD → .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝??? ?－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－23612 11．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB → 取得最小值时，点Q 的坐标为( )
第三章 向量空间 一、单项选择题 1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关 2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法 惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列命题中错误．． 的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：https://www.doczj.com/doc/347398438.html, §3.1.1空间向量及其运算 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 8486 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,. a b a b +- a .b 2. 点C 在线段AB 上，且5 2 AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1'2 AB AD CC ++ ⑶ 1(')2 AB AD AA ++ ⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和 'DB . 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：
第三章 行列式及其应用 §3-1 行列式的定义 一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1 - C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵??? ? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
第三章空间向量与立体几何 § 3.1空间向量及其运算 § 3.1.1空间向量的线性运算 一、空间向量的概念 1、空间向量：空间中既有______ 又有_______ 的量 __ 」 A ? B T彳 2、空间向量的表示：AB = a （）（） 3、零向量：________________________________ 记作： _______ 4、向量的模（长度）：________________________________ 记作：___________ 5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线 6、相等向量：_____________________________________________ 7、共线向量（平行向量）：基线互相________ 或______________ 记作：______________ 规定：零向量与任意向量平行。 二、空间向量的线性运算已知向量a，b 1、加法 2、减法 4 4^ T T T a - b 二a （-b） =0A AB 二_________ 二________ 屮寸 T T 即a -b = OA -OC二 __________ （三角形法则） 3、数乘 （1）---------------- | a ■+4 i，扌（2）__________________________________ ■ ^0 时，a 与a 方向 _____ ；' =0 时，a=；' :：0 时，a 与a 方 向______ ； 4 4 注：a//a 三、空间向量运算律 的向量叫做共线向量或平行向量。 a b =0A AB a b =0A OB ________ （三角形法则） _______ 平行四边形形法则） 注：若M为LOAB的边AB的中点，则OA 0B-
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关
第三章 向量空间 习题一 向量空间 一、证明集合 ?????? ==∑=-n i i n n x x x x x V 11210) ,,( 是一个向量空间，并求它的一组基及其 维数. 二、在四维向量空间R 4内，证明 α1=(1，1，1，1)，α2=(1，1，-1，-1)， α3=(1，-1，1，-1)，α4=(1，-1，-1，1) 构成一组基，并求向量β=(1，2，1，1)在这组基下的坐标． 三、设4 R 中的两个向量T )1,0,2,1(1=α,T )1,1,1,1(2-=α线性无关，试将其扩充为4 R 的一组基. 四、在线性空间V 4中，证明下列两组向量各构成一组基． α1=(1，2，-1，0)，α2=(1，-1，1，1)， α3=(-1，2，1，1)，α4=(-1，-1，0， 1)； β1=(2，1，0，1)，β2=(0，1，2，2)， β3=(-2，1，1，2)，β4=(1，3，1，2) 并求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，又如向量γ在基α1，α2，α3，α4下的坐标为(1，0，0，0)，求γ在基β1，β2，β3，β4下的坐标．
习题二 向量的内积 一、设n 维实向量βα,的内积组成的行列式),(),() ,(),(),(ββαββαααβα= G ，则0),(=βαG 的 充要条件是βα,线性相关. 二、利用施密特的正交化方法，试由向量组α1=????? ??110，α2=????? ??011，α3=????? ??101构造出一组标准正 交基． 三、已知向量α=(1，2，-1，1)、β=(2，3，1，-1)、γ=(-1，-1，-2，2)，求α、β、γ的长度，每个向量的内积及两个向量间的夹角．(指通常意义下的内积)． 四、用施密特正交化方法将线性无关的向量组n ααα,,,21 化为正交向量组n βββ ,,21，试问这个向量组是否唯一，并证明你的结论.
第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
线性代数练习题 第三章 向量与向量空间 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 维向量 第二节 向量间的线性关系 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===ααα 则T )1,0,1(21-=-αα T )2,1,0(23321=-+ααα 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则(1,2,3,4)T α= 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2
三．计算题： 1． 设向量()T k 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T k k ),,(21=β，试问当k 为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一 （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一 （3）β不能由321ααα,,线性表示 (向量组的秩ppt) 21123 31 211131********* 100(3)1 1 1 3 1 1 0r r c c c r r k k k k k k k k k k k k k -++-++++=++= =++++ 2． 设向量T ),,,(32011=α，T ),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，T a ),,,(84214+=α T b ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示 （2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式并写出表达式。 31413212421 111 11111 1201121011212324301 2133 518502 252111111 02100112101121001 000102000100 0010r r a b a b r r a a r r r r a b a b r r a a ???? ? ? --- ? ? ? ? +++- ? ? +-+???? -???? ? ? --- ? ?- ? ++- ? ++???? ? ? (1) a= -1,b ≠0.
第三章空间向量与立体几何综合测试题 时间：120分钟 满分：150分 学号： 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ） A. ()()1,0,0,2,0,0a n ==- B. ()()1,3,5,1,0,1a n == C. ()()0,2,1,1,0,1a n ==-- D. ()()1,1,3,0,3,1a n =-= 2.已知向量(0,2,1),(1,1,2),==--a b 则a b 与的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．已知向量AM ＝(0，1，21)，＝(－1，2 1 ，1)，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4) D ．(－3,2，－4) 4．若{} ,,a b c 构成空间的一组基底，则( ) A. ,,b c b c a +-不共面 B. ,,2b c b c b +-不共面 C. ,,b c a a b c +++不共面 D. ,2,a c a c c +-不共面 5．在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，若OG ????? =1 3 OA ????? +x 4 OB ????? +x 4 OC ????? ，则使G 与M 、N 共线的x 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 4 3 6.如图1，在三棱锥A -BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB=DC ，E 为BC 中点，则AE ????? ·BC ????? 等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.若a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 11b a ＝22 b a ＝3 3b a 是a ∥b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 8.已知a =（-2，1，3），b ? =（-1，2，1），若a ⊥(a -λb ? )，则实数λ的值为（ ） A.-2 B.-143 C.14 5 D.2 9.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，平面OAB 的法向量为n =（2，-2,1），O 为坐标原点．已知P （﹣1，﹣3，8），则 P 到平面OAB 的距离等于（ ） A ．4 B ．2 C ．3 D ．1 10.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A -BD -C ，若AB=1，3,7 2 AC =,则平面ABD 与平面BCD 夹角为 （ ） A 030 B 060 C 090 D 0120
练习题线性代数
西南财经大学成人（网络）教育学院
线性代数 一、填空题 1、行列式D =111213 212223313233 a a a a a a a a a 的转置行列式T D = 2、若()ij n n A a ?=为n 阶矩阵，当满足 时，A 为对称矩阵。 3、A,B 是同阶可逆矩阵，则(AB)-1 = 4、设向量组1125α?? ?=- ? ???，2321α?? ?= ? ?-??，331017α?? ?= ? ?-??，42001089α?? ? = ? ??? ，则向量组1234,,,αααα线 性__________（填 线性相关或线性无关）。 5、二次型 222123123121323(,,)25226f x x x x x x x x x x x x =+++++的二次型矩阵 为 。 6、 若行列式13 1 500 2 2 x -=-，则x =________________。 7、 设A=1111-?? ??? ，则矩阵A 的逆矩阵1A - = ________________。 8、 设1(10 0)T ε=，2(010)T ε=，2(001)T ε=， 则向量组123,,εεε线性__________（填 线性相关或线性无关）。 9、设(110)α=，(030)β=，(12 0)η=，则324αβη+-=__________. 10、设阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的所有特征值为111 ,,234 ，则行列式B =_______。 11、设A 为3阶方阵，A =2，则4A =________________。 12、A *是A 的伴随矩阵，且A 可逆，则（A *）-1 =________________。
第三章综合素质检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．下列说法中不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行 C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确． 2．在下列条件中，使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 [答案] C [解析] ∵点M 在平面ABC 内，∴对空间任一点O ，有OM →＝xOA → ＋yAB →＋zAC → 且x ＋y ＋z ＝1，故A 、B 、D 均不对． 3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则
向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° [答案] A [解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． 4．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC → ，则λ等于( ) A ．28 B ．－28 C ．14 D ．－14 [答案] D [解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC → ＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0， 解得λ＝－14，故选D. 5．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2 －e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·(12b )等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3 D ．5 [答案] B [解析] (6a )·(1 2b )＝3a ·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2 ＝3. 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB → ＝a ，