第3讲圆锥曲线中的热点问题
考情解读(1)本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．(2)求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
(理用的内容)
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(理用的内容)
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(理用的内容)
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2
－x1|或|P1P2|＝1＋1
k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：
|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，
|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
3．弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
4．(理)轨迹方程问题
(1)求轨迹方程的基本步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．
④化简整理方程——简化．
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
(2)求轨迹方程的常用方法：
①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；
②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；
③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；
(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.
热点一圆锥曲线中的范围、最值问题
例1(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴
是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．
解 (1)由题意得?
???
?
b ＝1，a ＝2.
所以椭圆C 1的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离
d ＝1
k 2＋1，
所以|AB |＝24－d 2
＝2
4k 2＋3
k 2＋1
. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由?
????
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，
故x 0＝－8k
4＋k 2.
所以|PD |＝8k 2＋1
4＋k 2
.
设△ABD 的面积为S ，
则S ＝1
2
|AB |·|PD |
＝84k 2＋34＋k 2＝324k 2＋34k 2＋3＋13
，
所以S ＝
32
4k 2
＋3＋134k 2＋3
≤32
2
4k 2
＋3·13
4k 2
＋3
＝
1613
13
， 当且仅当k ＝
±
10
2
时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±
10
2
x －1. 已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为1
2
，且椭圆经过点P (1，
32
)． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →
，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．
解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32
)2
b 2＝1，
又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3，
∴椭圆标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，
当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S △PF 1Q ＝3；
当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，
Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 2
3＋4k 2.
S △PF 1Q ＝1
2
×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12
k 2＋k 4
(3＋4k 2)2
，
令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －3
4，
∴S △PF 1Q ＝3－3(1t ＋13)2＋4
3
，
∵0<1t <13，
∴S △PF 1Q ∈(0,3)，
∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，
则S △PF 1Q ＝1
2(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.
即r max ＝3
4
，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，
∴PF 2→＝F 2Q →
，∴λ＝1.
热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题
例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．
(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，
当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．
又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .
(2)证明 如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2
，①
x 1x 2＝b 2
k
2，②
∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1，
即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③
将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．
思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．
已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于1
2，它的一个顶点恰好是
抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
则b ＝2 3.由c a ＝1
2
，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，
∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0， 设直线P A 的斜率为k ，
则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)，
由?????
y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，
整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0，
x 1＋2＝8(2k －3)k
3＋4k 2，
同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，
可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)
3＋4k 2
.
∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k
3＋4k 2
， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2
＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2
＝12，
∴直线AB 的斜率为定值1
2.
热点三 圆锥曲线中的探索性问题
例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每
(1)求C 1，C 2的标准方程；
(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设抛物线C 2：y 2
＝2px (p ≠0)，则有y 2x ＝2p (x ≠0)，
据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x .
设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
把点(－2,0)，(2，2
2)代入得
?
??
4a 2
＝12a 2＋1
2b
2＝1，
解得?
????
a 2＝4
b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由?????
x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)
消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，
于是x 1＋x 2＝8k 2
1＋4k 2
，①
x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2
.②
所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝k 2[4(k 2
－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③
由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)
将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 2
1＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，
解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.
如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)．
(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程；
(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. (2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )．
又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k
1＋1＝k ＋1，
即k 3＝k ＋1.
把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知
x 1＋x 2＝2k 2＋4
k
2，x 1x 2＝1.
又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 2
1－x 2.
因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，
即
y 1x 1－1＝y 2
x 2－1
＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2
x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k 2－2)
1－2k 2＋4
k 2＋1
＝2k ＋2，
即k 1＋k 2＝2k ＋2.
又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.
即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．
1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法
定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法
探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.
真题感悟
(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，
所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2
.
(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0，
即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0
x 0
.
当x 0＝t 时，y 0＝－t
22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，
故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．
当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2
x 0－t (x －t )．
即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离
d ＝|2x 0－ty 0|
(y 0－2)2＋(x 0－t )2
.
又x 20＋2y 2
0＝4，t ＝－2y 0x 0
， 故d ＝?
???
2x 0＋2y 2
0x 0x 2
0＋y 20＋4y 2
0x 20
＋4＝???
?4＋x 2
0x 0x 40＋8x 2
＋162x 20
＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 押题精练
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l
交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP
→
(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<25
3
时，求实数t 的取值范围．
解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝2
2
，
∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝12
，即a 2＝2b 2.
又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1.
∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.
设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，
由?????
y ＝k (x －2)，x 22＋y 2
＝1，
得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<1
2
.
x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2
＝8k 2
－21＋2k
2，∵OA →＋OB →＝tOP →
， ∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2
t (1＋2k 2)
，
y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2)
.
∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2
[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2
＝2，
∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<25
3，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253
，
∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2
)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，
∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14 2. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－8 1＋2k 2 ， 又32<1＋2k 2<2，∴83 2<4，∴－2 3 ，2)． (推荐时间：50分钟) 一、选择题 1．已知点M 与双曲线x 216－y 2 9＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0 B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0 C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0 答案 C 解析 设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝2 3，将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2 ＝ 4 9 ，化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13 答案 A 解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3 ， |PF 2|＝4a 3 . 根据勾股定理得????2a 32＋??? ?4a 32＝(2c )2 ， 所以离心率e ＝c a ＝5 3 . 3．已知抛物线y 2 ＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) A.y 23－x 2＝1 B ．y 2－x 2 3＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 答案 C 解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)， 双曲线C ：y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2 ＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2a a 2＋b 2 ＝ 45 5 ，∴a ＝2b . ∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴FF 1＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24 －x 2 ＝1. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP → 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 答案 C 解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 2 03＝1，即y 2 0＝3－3x 204 ， 又因为F (－1,0)， 所以OP →·FP → ＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝1 4(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP → ∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6. 5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 C 解析 依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2， 又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在 点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3) C ．(3，＋∞) D ．(2＋1，＋∞) 答案 A 解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1| sin ∠PF 2F 1 ， 所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 可得a |PF 2|＝c |PF 1|， 即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|. 因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上． 又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ， 解得|PF 2|＝2a e －1， 因为|PF 2|>c －a ， 所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2 7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2 m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5 解析 ∵方程x 25＋y 2 m ＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5. ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12 m ≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________． 答案 (0,2) 解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝1 2 x ，则在点A 处 的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝1 2 x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝1 2 x 2t －y 2，则说明 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝1 2tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)． 9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 2 4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称 点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________. 答案 12 解析 椭圆x 29＋y 2 4 ＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ， 由? ???? y ＝x 2x 2＋(y －a )2 ＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0， 由已知? ??? ? a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题 11．如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线 段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . (1)求C 1，C 2的方程； (2)求证：MA ⊥MB ； (3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1 S 2 ＝λ，求λ的取值范围． (1)解 由题意，知c a ＝2 2， 所以a 2＝2b 2. 又2b ＝2b ，得b ＝1. 所以曲线C 2的方程y ＝x 2 －1，椭圆C 1的方程x 22 ＋y 2 ＝1. (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意，知M (0，－1)． 则????? y ＝kx ，y ＝x 2 －1 ?x 2－kx －1＝0， MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0， 所以MA ⊥MB . (3)解 设直线MA ：y ＝k 1x －1，MB ：y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1，M (0，－1)， 由????? y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得????? x ＝0，y ＝－1或????? x ＝k 1， y ＝k 2 1 －1， 所以A (k 1，k 21－1)． 同理，可得B (k 2，k 22－1)． 故S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 2 1·1＋k 22|k 1||k 2|. 由????? y ＝k 1x －1，x 22＋y 2 ＝1，解得????? x ＝0， y ＝－1或? ???? x ＝4k 11＋2k 21 ，y ＝2k 21－11＋2k 21 ， 所以D (4k 11＋2k 21，2k 21－1 1＋2k 21 )． 同理，可得E (4k 21＋2k 22，2k 22－1 1＋2k 22 )． 故S 2＝1 2|MD |·|ME | ＝121＋k 21·1＋k 22 |16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22) ， S 1S 2＝λ＝(1＋2k 21)(1＋2k 2 2)16＝5＋2(1k 21＋k 21)16≥9 16 ， 则λ的取值范围是[9 16 ，＋∞)． 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ ＝ 3 2 .以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E . (1)求椭圆E 的方程； (2)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率 之积为－1 4，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，请说明 理由． 解 (1)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距2 c ＝27， 则c ＝7，∴a 2＋b 2＝7.① 渐近线方程y ＝±b a x ， 由题意知tan θ＝b a ＝3 2.② 由①②得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)在(1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ， 由????? x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m ，消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－12 3＋4k 2， 又A (－2,0)， 由题意知k AP ·k AQ ＝ y 1x 1＋2·y 2x 2＋2 ＝－1 4， 则(x 1＋2)(x 2＋2)＋4y 1y 2＝0，且x 1x 2≠－2. 则x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋4k 2)x 1x 2＋(2＋4km )(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0. 则m 2－km －2k 2＝0. ∴(m －2k )(m ＋k )＝0.∴m ＝2k 或m ＝－k . 当m ＝2k 时，直线PQ 的方程是y ＝kx ＋2k . 此时直线PQ 过定点(－2,0)，显然不符合题意． 当m ＝－k 时，直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，此时直线PQ 过定点(1,0)． 当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点， P ，Q 点的坐标分别是(1，32)，(1，－3 2 )， 满足k AP ·k AQ ＝－1 4. 综上，直线PQ 恒过定点(1,0)．
相关主题
文本预览