因式分解的基本方法概述
A.因式分解的一般步骤
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
B. 因式分解的基本方法
一．提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二．运用公式法：
（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；
(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；
(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
三．分组分解法.
能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
【例题1】分解因式：ay ax y x ++-22
解：原式=)()(22ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+
=))((a y x y x +-+
【例题2】分解因式：2222c b ab a -+-
解：原式=222)2(c b ab a -+-
=22)(c b a --
=))((c b a c b a +---
【例题3】分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：原式=)5()102(bx by ay ax -+-
=)5()5(2y x b y x a ---
=)5)(2(y x b a --
解法二：原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)2(5)2(b a y b a x ---
=)5)(2(y x b a --
四．十字相乘法.
一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成11
22a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就
得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分
解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
【例题1】分解因式：652
++x x
解：652++x x =32)32(2?+++x x =)3)(2(++x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
【例题2】分解因式：101132+-x x
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：101132
+-x x =)53)(2(--x x
（三）二次项系数为1的齐次多项式
【例题3】分解因式：221288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -?+-++
=)16)(8(b a b a -+
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
【例题4】22672y xy x +-
解：原式=)32)(2(y x y x --
分解因式：
（1）224715y xy x -+
（2）8622+-ax x a
（1）1783
6--x x
（2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x
（4）344)(2+--+b a b a
五、换元法。
【例题1】分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22
=))(1(a x ax -+
=)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672+=++
∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++
=2)(x A +=22)66(++x x 【例题2】分解因式262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +-
--=[]6)1()1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x
x ∴原式=[
]6)2222---t t x （
=()10222--t t x =()()2522+-t t x =??
? ??++??? ??-+215222x x x x x =??
? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 六．添项、拆项、配方法。
【例题1】分解因式（1）4323+-x x
解：原式=33123+-+x x
=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x
=)331)(1(2+-+-+x x x x
=2
)2)(1(-+x x
【例题2】3369-++x x x 解：原式=)1()1()1(3
69-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x
=)111)(1(3363+++++-x x x x
=)32)(1)(1(362++++-x x x x x
七．待定系数法。
【例题】分解因式613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项2
26y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得??
???-==-=+613231mn m n n m ，解得???=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x