1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,
求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.
4.充分、必要条件与集合的关系,p ,q 成立的对象构成的集合分别为A 和B .
(1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.
(2)若A ?≠
B ,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件.(3)若A =B ,则p 是q 的充要条件
.
高一数学单元知识梳理:集合与常用逻辑用语
5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.
6.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题的区别;否定的规律是“改量词,否结论”.
一、数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法和思想,认识数学结构与体系.在本章中,主要表现在集合概念的理解及应用中.
【典例1】(1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )
A .1
B .3
C .5
D .9
(2)若-3∈{x -2,2x 2+5x ,12},则x =________.
【答案】(1)C (2)-2
3 【解析】(1)①当x =0时,y =0,1,2,此时x -y 的值分别为0,-1,-2;
②当x =1时,y =0,1,2,此时x -y 的值分别为1,0,-1;
③当x =2时,y =0,1,2,此时x -y 的值分别为2,1,0.
综上可知,x -y 的可能取值为-2,-1,0,1,2,共5个,故选C.
(2)由题意知,x -2=-3或2x 2+5x =-3.
①当x -2=-3时,x =-1.
把x =-1代入,得集合的三个元素为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;
②当2x 2+5x =-3时,x =-2
3或x =-1(舍去), 当x =-23时,集合的三个元素为-27,-3,12,满足集合中元素的互异性,由①②知x =-23.
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养,主要表现为:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.在本章中,主要表现在集合的交、并、补运算中.
【典例2】(1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()
A.{1,-3} B.{1,0}
C.{1,3} D.{1,5}
(2)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}
【答案】(1)C(2)A
【解析】(1)由A∩B={1}得1∈B,
所以m=3,B={1,3}.
(2)A∩B={x|-2<x<-1}.
(3)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.
①求A∪B,(?R A)∩B;
②若A∩C≠?,求a的取值范围.
【解析】①因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},
所以A∪B={x|2≤x<10}.
因为A={x|2≤x<7},
所以?R A={x|x<2或x≥7},
则(?R A)∩B={x|7≤x<10}.
②因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠?,所以a>2,
所以a的取值范围是{a|a>2}.
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养,主要表现为:掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出问题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.
【典例3】(1)集合A={x|x=a2-4a+5,a∈R},B={y|y=4b2+4b+3,b∈R},则下列关系正确的是()
A.A=B B.B A
C.A?B D.B A
(2)已知集合A={x|0<x<4},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是()
A.{a|0<a<4} B.{a|-8<a<4}
C.{a|a≥4} D.{a|a>4}
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)A={x|x=(a-2)2+1,a∈R},即A中的元素x≥1;而B={y|y=(2b+1)2+2,b∈R},即B中的元素y≥2,∴B A.
(2)在数轴上标出A,B两集合如图所示,
结合数轴知,若A?B,则a≥4.
【典例4】设x∈R,则“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由-1≤x-1≤1,得0≤x≤2,因为0≤x≤2?x≤2,x≤20≤x≤2,故“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的必要不充分条件,故选B.
【典例5】若a ,b 都是实数,试从①ab =0;②a +b =0;③a (a 2+b 2)=0;④ab >0中选出满足下列条件的式子,用序号填空:
(1)使a ,b 都为0的必要条件是________;
(2)使a ,b 都不为0的充分条件是________;
(3)使a ,b 至少有一个为0的充要条件是________.
【答案】(1)①②③ (2)④ (3)①8
【解析】①ab =0?a =0或b =0,即a ,b 至少有一个为0;
②a +b =0?a ,b 互为相反数,则a ,b 可能均为0,也可能为一正数一负数;
③a (a 2+b 2)=0?a =0,b 为任意实数;
④ab >0????>>00b a 或?
??<<00b a 即a ,b 同为正数或同为负数. 综上可知:(1)使a ,b 都为0的必要条件是①②③;
(2)使a ,b 都不为0的充分条件是④;
(3)使a ,b 至少有一个为0的充要条件是①.
【典例6】已知集合A ={x ∈R |2x +m <0},B ={x ∈R |x <-1或x >3}.
(1)是否存在实数m ,使得x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件?
(2)是否存在实数m ,使得x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件?
【解析】(1)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件, 则只要}2{m x x -{x |x <-1或x >3},则只要-2
m ≤-1即m ≥2, 故存在实数m ≥2时使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件.
(2)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件, 则只要}2
{m x x -
{x |x <-1或x >3},则这是不可能的,故不存在实数m ,使x ∈A 是x ∈B 成立
的必要条件.
【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,判断真假,并写出它们的否定:
(1)空集是任何一个非空集合的真子集.
(2)?x∈R,4x2>2x-1+3x2.
(3)?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
(4)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.
【解析】(1)该命题是全称量词命题,是真命题.该命题的否定:存在一个非空集合,空集不是该集合的真子集.
(2)该命题是全称量词命题,是假命题.
因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
所以当x=1时,4x2=2x-1+3x2.
该命题的否定:?x∈R,4x2≤2x-1+3x2.
(3)该命题是存在量词命题,是真命题.
因为当x=1时,|x-2|=1<2.
该命题的否定:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.
(4)该命题是全称量词命题,是假命题.当a≠0时,方程ax+b=0才恰有一解.该命题的否定:?a,b∈R,方程ax+b=0无解或至少有两解.
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养,主要表现在:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题,在本章主要表现在集合的实际应用问题中.
【典例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
【答案】8
【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,
解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.
2020-2021学年高一数学晚练(一) 命题人:范修团 时间:45分钟 满分:80分 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中,能组成集合的是( ) A .高一(3)班的好学生 B .嘉兴市所有的老人 C .不等于0的实数 D .我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}<
《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中,真命题是 ( ) A .221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B .(0,),sin cos x x x π?∈> C .2,1x R x x ?∈+=- D .(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?(”为假命题,则( ) A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题: 1p :?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是( ) (A )1p ,4p (B )2p ,4p (C )1p ,3p (D )2p ,4p 4、给出下列命题: ①在△ABC 中,若∠A >∠B ,则sin A >sin B ; ②函数y =x 3 在R 上既是奇函数又是增函数; ③函数y =f(x)的图象与直线x =a 至多有一个交点; ④若将函数y =sin 2x 的图象向左平移π4个单位,则得到函数y =sin ? ????2x +π4的图象. 其中正确命题的序号是( ) A .①② B .②③ C .①②③ D .①②④
5、若命题p :圆(x -1)2+(y -2)2 =1被直线x =1平分;q :在△ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则A =B ,则下列结论中正确的是( ) A .“p∨q”为假 B .“p∨q”为真 C .“p∧q”为真 D .以上都不对 6、已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数;p 2:函数y =2x +2-x 在R 上为减函数, 则在命题q 1:p 1∨p 2,q 2:p 1∧p 2,q 3:(?p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(?p 2)中,真命题是( ) 7、下列命题中的假命题... 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 ( ) A .?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C .? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题: ①ABC ?中,“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件; ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>; ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立; ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件
集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 . 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ; ②空集是任何集合的子集,记为A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ,同时A B ,那么A=B. 如果C A C B B A ,那么,. [注]:①Z ={整数}(√)Z ={全体整数}(×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例: S=N ;A=N , 则C s A={0}) ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A =,C A B =C S (C A B )=D (注:C A B =). 3.①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R 二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R }一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:1323 y x y x 解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是.(例:A={(x ,y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =) 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n -1个.③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例:①若325b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②,且21y x 3y x . 解:逆否:x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3.例:若255x x x 或,. 4.集合运算:交、并、补. 5.主要性质和运算律 (1)包含关系:,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C (2)等价关系:U A B A B A A B B A B U I U U C (3)集合的运算律: 交换律:. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律:,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律:. ,A A A A A A 求补律:A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式: (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; (为了统一方便)
专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语 2019年 1.(2019全国Ⅱ理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.(2019北京理7)设点A ,B ,C 不共线,则“ 与 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2019天津理3)设x ∈R ,则“2 50x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2010-2018年 一?选择题 1.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2018天津)设x ∈R ,则“11 ||22 x - <”是“31x <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2018上海)已知a R ∈,则“1a >”是“ 1 1a <”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(2018浙江)已知平面α,直线m ,n 满足m α?,n α?,则“m ∥n ”是“m ∥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A.1p ,3p B.1p ,4p C.2p ,3p D.2p ,4p 6.(2017浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2017天津)设θ∈R ,则“ππ||1212θ- <”是“1 sin 2 θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2017山东)已知命题p :0x ?>,ln(1)0x +>;命题q :若a b >,则2 2 a b >,下列命题为真命 题的是 A.p q ∧ B.p q ?∧ C.p q ?∧ D.p q ??∧ 9.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容,命题较稳定,难度较小,常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低,其中充分必要条件的判断需要关注,常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题. 考点一集合的概念与运算 要点重组 1.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2. 2.A∩B=A?A?B?A∪B=B. 3.若已知A∩B=?,要注意不要漏掉特殊情况:A=?或B=?; 若已知A?B,要注意不要漏掉特殊情况:A=?. 1.(2020·全国Ⅱ)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则?U(A∪B)等于() A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3} 答案 A 解析∵A={-1,0,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,0,1,2}. 又U={-2,-1,0,1,2,3}, ∴?U(A∪B)={-2,3}. 2.(2020·全国Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为() A .2 B .3 C .4 D .6 答案 C 解析 A ∩B ={(x ,y )|x +y =8,x ,y ∈N *,y ≥x }={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4个元素. 3.(2020·聊城模拟)已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x 2-x -6≥0},则A ∩(?R B )等于( ) A .{x |2≤x <3} B .{x |2 学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.命题“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是() A.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数 D.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数 【解析】命题“若p,则q”的逆否命题为“若綈q,则綈p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”,不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”. 【答案】 A 2.(2016·济宁高二检测)命题“已知a,b都是实数,若a+b>0,则a,b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数是() A.0B.1 C.2D.3 【解析】逆命题“已知a,b都是实数,若a,b不全为0,则a +b>0”为假命题,其否命题与逆命题等价,所以否命题为假命题.逆否命题“已知a,b都是实数,若a,b全为0,则a+b≤0”为真命题,故选C. 【答案】 C 3.(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是() A.原命题为真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0” B.原命题为真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0” C.原命题为假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0” D.原命题为假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0” 【解析】逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab >0,则a>0且b>0”,故选B. 【答案】 B 4.(2016·潍坊高二期末)命题“若x=3,则x2-2x-3=0”的逆否命题是() A.若x≠3,则x2-2x-3≠0 B.若x=3,则x2-2x-3≠0 C.若x2-2x-3≠0,则x≠3 D.若x2-2x-3≠0,则x=3 高中数学 课间辅导----常用逻辑用语 1.设5 :(1,)2 p x ?∈使函数22()log (22)g x tx x =+-有意义,若p ?为假命题,则t 的取值范围为_____________. 2.“三个数a ,b ,c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件.(填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”) 3.设实数1a >,1b >,则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的 条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空) 4.命题:p x R ?∈,()f x m ≥,则命题p 的否定p ?是 . 5.下列命题中为真命题的是 . ①命题“?x∈R,x 2+2>0”的否定; ②“若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 6.已知命题p :|x ﹣1|<2和命题q :﹣1<x <m+1,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围 . 7.命题“?x∈R,x 2+x+1≤0”的否定是 . 8.命题“0,21x x ?>>”的否定 . 9.已知命题:p 对任意的[]21,2,0x x a ∈-≥,命题:q 存在2,220x R x ax a ∈++-=,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是__________. 10.设p :3||>-a x ,q :0)12)(1(≥-+x x ,若p ?是q 的充分不必充要条件,则实数a 的取值范围是 . 11.已知命题p :“0>?x ,有12≥x 成立”,则p ?为_______. 12.给出下列五个命题: ①函数()ln 2f x x x =-+在区间()1,e 上存在零点; ②若()0'0f x =,则函数()y f x =在0x x =处取得极值; ③命题“2,0x R x x ?∈->” 的否定是“2,0x R x x ?∈->”; ④“12x <<” 是“21x >成立”的充分不必要条件 ⑤若函数()2y f x =+是偶函数,则函数()y f x =的图象关于直线2x =对称; 其中正确命题的序号是 (请填上所有正确命题的序号) 13.给出下列命题: ①半径为2,圆心角的弧度数为 12的扇形面积为12 ; ②在ABC ?中,A B <的充要条件是sin sin A B <; ③在ABC ?中,若4AB = ,AC =3B π= ,则ABC ?为钝角三角形; 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. (4)五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B (或B ?A ). (2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ,A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B . 两集合相等:A =B ?? ???? A ? B , A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性. (4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (2)已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中 元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. 集合及其表示方法 一、复习巩固 1.方程x 2-2x +1=0的解集中元素个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:方程x 2-2x +1=0有两个相等的实数根x 1=x 2=1,根据元素的互异性知其解集中有1个元素. 答案:B 2.下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A .P 是由元素1, 3,π构成的集合,Q 是由元素π,1,|- 3|构成的集合 B .P 是由π构成的集合,Q 是由3.141 59构成的集合 C .P 是由2,3构成的集合,Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D .P 是满足不等式-1≤x ≤1的自然数构成的集合,Q 是方程x 2=1的解集 解析:由于A 中P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合.而B ,C ,D 中P , Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A. 答案:A 3.若集合A 中有三个元素1,a +b ,a ;集合B 中有三个元素0,b a ,b .若集合A 与集 合B 相等,则b -a =( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2 解析:由题意可知a +b =0且a ≠0,∴a =-b ,∴b a =-1,∴a =-1,b =1,故b -a = 2. 答案:C 4.设集合A 只含有一个元素a ,则下列各式正确的是( ) A .0∈A B .a ?A C .a ∈A D .a =A 解析:由于集合A 中只含有一个元素a ,由元素与集合的关系可知,a ∈A ,故选C. 答案:C 5.已知集合A 中有四个元素0,1,2,3,集合B 中有三个元素0,1,2,且元素a ∈A ,a ?B ,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:∵a ∈A ,a ?B ,∴由元素与集合之间的关系知,a =3. 答案:D 6.若1-a 1+a 是集合A 中的元素,且集合A 中只含有一个元素a ,则a 的值为________. 解析:由题意,得1-a 1+a =a ,所以a 2+2a -1=0且a ≠-1,所以a =-1± 2. 答案:-1± 2 7.已知集合A 中的元素x 满足2x +a >0,且1?A ,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵1?A ,∴2+a ≤0,即a ≤-2. 答案:a ≤-2 8.用符号“∈”和“?”填空:0________N *,3________Z,0________N ,3+2________Q ,4 3 ________Q . 解析:只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断,故填?,?,∈,?,∈. 答案:? ? ∈ ? ∈ 9.若a 2=3,则a ________R ;若a 2=-1,则a ________R . 常用逻辑用语 常用逻辑用语 命题及其关系 命题 四种命题 四种命题间的相互关系 充分条件与必要条 件 充分条件与必要条件 充分条件、必要条件的四种类型简单的逻辑连接词 “且”“或”“非” 命题p∨q,p∧q ,?p 的真假判定 全称量词与存在量 词 全称量词与全程命题 存在量词与特称命题 含有一个量词的命题的否定 一、命题及其关系 1.命题 命题定义:能够判断真假的语句,即能够判断对错的陈述句. 真假命题:判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 一般形式:“若p ,则q ”,p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论. 例如: 命题:“太阳比地球大”(真命题),“若1x =,则13x +=”.(假命题) 非命题:“打篮球的个子都很高吗?”,“我到河北省来”.(不能判断真假) 2.四种命题 原命题:题目直接给的命题. 逆命题:把原命题反过来说. 否命题:把原命题条件和结论否了(用? p 和? q 表示,读作“非p ”和“非q ”). 逆否命题:把原命题反过来说,再把条件和结论否了. 例如: 3.四种命题的关系 关系图: 结论: 原命题和逆否命题真假性相同,逆命题和否命题真假性相同,即:如果两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. 例如: 原命题:如果1 x=,那么2230 x x +-=(真命题) 逆命题:如果2230 x x +-=,那么1 x=(假命题) 否命题:如果1 x≠,那么2230 x x +-≠(假命题) 逆否命题:如果2230 x x +-≠,那么1 x≠(真命题) 如果两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系. 例如: 原命题:如果1x =,那么12x +=(真命题) 逆命题:如果12x +=,那么1x =(真命题) 否命题:如果1x ≠,那么12x +≠(真命题) 练习题: 第一章:集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 (1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。 (2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合,要么不属于,二者必居其一; 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的; 1.判断集合表示是否正确; 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关; 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法: 4.集合间的基本关系 (2)有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。符号表示为:5.集合的运算 集),写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 (1)元素与集合间关系问题 (2)集合与集合间关系问题 (3)集合的基本运算: ①有限集(数集)间集合的运算; ②无限集间集合的运算:数轴(坐标系)画图、定域、求解; ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A ,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ,则集合M 与P 之间的关系式为( ) 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面: 1、考察求几个集合的交、并、补集; 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力; 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系;4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容;5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定;6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合(数轴、韦恩图解),探究集合问题,把握充要条件,实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗(集合的运算) 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ,则 集合A B = ________。 〖基点问题2〗(充分必要条件) 例2、设0<x < 2 π,则“x sin 2x <1”是“x sinx <1”的 ( ) (A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗(复合命题真假的判定) 例3、已知命题p 1:函数y=2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y=2x +2-x 在R 上为减函数,则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨: 和412:p (p )q ∧?中,真命题是( ) A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗(命题的否定与否命题) 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ,且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,(1)求)(x f 的最大值及最小值 (2)若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围。 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.(集合的基本运算)已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥,集合{|01}B x x =<<,则() A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2.(集合的基本运算)若集合{}02A x x =<<,且A B B =I ,则集合B 可能是() A.{}0 2, B.{}0 1, C.{}0 1 2,, D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.(集合的基本运算)设集合{}|2M x x =<,{}1,1N =-,则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ,()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0,故个数为1,故选C. 4.(集合间的关系)已知集合 ,若,则() A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5.(充分条件和必要条件)设x R ∈,i 是虚数单位, 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-,得()()2 22332330x x +-=-+?--=,1314x -=--=-. 而由2230{ 10 x x x +-=-≠,得3x =-.所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件.故选C. 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质课时作业 文 A 组——高考热点基础练 1.(2016·济南3月模拟)函数y =log 32x -1的定义域为( ) A .[1,+∞) B .(1,+∞) C .? ?? ??12,+∞ D .? ?? ??12,1 解析:由log 3(2x -1)≥0得2x -1≥1,x ≥1.因此函数的定义域是[1,+∞),故选A. 答案:A 2.(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 则f (f (4))的值为( ) A .-1 9 B .-9 C.1 9 D .9 解析:因为f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 所以f (f (4))=f (-2)=1 9 . 答案:C 3.(2016·湖南东部六校联考)函数y =lg|x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 解析:因为lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |为偶函数,又函数y =lg|x |在区间(0,+∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称,可得y =lg|x |在区间(-∞,0)上单调递减,故选B. 答案:B 4.函数f (x )=2|log 2x |-? ??? ??x -1x 的图象为( )第1练 集合与常用逻辑用语
高中数学人教A版选修2-1 第一章 常用逻辑用语 1.1.2、1.1.3
高中数学专题练习常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
高中数学常用逻辑用语总复习
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
第1课 集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图