第一章函数、极限与连续 内容概要 课后习题全解 习题1-1 ★1．求下列函数的定义域：
知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥W ④ arcsin W （W []1,1-∈）等 解：（1）[)(]1,00,11 10010112 2 ?-∈????≤≤-≠????≥-≠?--=x x x x x x x y ； （2） 3112 1 121arcsin ≤≤-?≤-≤-?-=x x x y ； （3） ()()3,00,030031 arctan 3?∞-∈?? ??≠≤????≠≥-?+-=x x x x x x x y ； （4） ()()3,11,1,,13 10301lg 3?-∞-∈????-<<=， 虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数； （2） 12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ； 12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+” 与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数； ★ 3．设??? ??? ? ≥<=3,03 ,sin )(ππ?x x x x ，求)2()4 ()4()6( --?π ?π?π ?，，，，并做出函数 )(x y ?=的图形
一． 一． 单项选择题（每小题3分,共45分） 1．若级数∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n au ()0≠a （① ） ① 一定发散 ② 可能收收敛，也可能发散 ③ a ＞0时收敛，a ＜0 发散 ④a ＞0时收敛，a ＜0 时发散。 2．级数∑∞ =1n n u 收敛的充要条件是（ ③ ） ①0lim =∞→u n n ② 11lim r u u n n n =+∞ → ③ s n n lim ∞→存在 ④ n u n 2 1 ≤ 3.利用级数收敛时其一般项必须趋于零的性质,指出下列哪个级数一定发散.( ④ ) ① ∑∞ =13s i n n n π ② ∑∞ =1 3 2sin n n n ③ ∑∞ =1 2 1a r c t a n n n ④ () +++-+--+n n n 13423111 4. 0lim =∞→u n n ,则级数∑∞ =1 n n u ( ③ ) ① 一定收敛 ② 一定发散 ③ 可能收敛,可能发散 ④ 一定条件收敛 5.在下列级数中,发散的是( ③ ) ① ∑ ∞ =13 1 n n ② ++++16 1 814121 ③ +++3001.0001.0001.0 ④ -+-+-535353535 4 3 2 53 6.下列级数中收敛的是( ④ )
① ∑ ∞ =+1 1 21 n n ② ∑∞ =+1 13n n n ③ ∑ ∞ =1 100 n q ④ ∑∞=-1 ` 13 2n n n 7. 下列级数中,收敛的是(① ) ① ∑∞ =-1521n n ② ∑∞=11 s i n n n ③ ∑∞=11s i n n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 35n n 8. 下列级数中,发散的级数的是( ① ) ① ∑∞ =1 2sin n n π ② () n n n 1 1 1 1∑-∞=- ③ ∑??? ??∞ =1 43n n ④ ∑?? ? ??∞ =1 3 1n n 9.级数∑ ∞ =+1 1 1 n p n 发散,则有( ① ) ① p ≤0 ② p ＞0 ③p ≤1 ④ p ＜1 10. 级数∑∞ =1 n n u 收敛(u n ＞0)则下列级数中收敛的是( ③ ) ①)1001 (∑∞=+n n u ② )1001 (∑∞=-n n u ③∑∞ =1 100n n u ④∑ ∞ =++11100 n n n u u 11.在下列级数中,条件收敛的是( ② ) ①() ∑-∞=+1 1 1n n n n ② () n n n 11 1∑-∞= ③ () n n n 2 1 1 1∑-∞= ④() () 11 1 1+∑-∞=n n n n 12. 在下列级数中,绝对收敛的是( ③ ) ①∑ ∞ =+11 21 n n ② ()?? ? ??∑-∞ =2311n n n ③ ()n n n 3 1 1 1 1∑-∞ =- ④()n n n n `11 1-∑-∞ = 13. 级数x n n n n ∑∞ =+12 2的收敛半径R 是( ③ ) ① 1 ② 2 ③ 2 1 ④ ∞ 14. 级数x n n n n ∑∞ =+13 3的收敛半径R 是( ③ )
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλ ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλ ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1