4.4多边形与平行四边形
易错清单
1.平行四边形的性质.
【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().
A. AE=CF
B. BE=FD
C. BF=DE
D. ∠1=∠2
【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;
B. 当BE=FD,
∵平行四边形ABCD,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;
C. 当BF=ED,
∴BE=DF.
∵平行四边形ABCD,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;
D. 当∠1=∠2,
∵平行四边形ABCD,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;
【答案】 A
【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.
2.平行四边形的判定.
【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.
(1)求证四边形MNCD是平行四边形;
(2)求证BD=MN.
【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;
(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.
【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴MD=NC,MD∥NC.
∴四边形MNCD是平行四边形.
(2)如图,连接ND,
∵四边形MNCD是平行四边形,
∴MN=DC.
∵N是BC的中点,
∴BN=CN.
∵BC=2CD,∠C=60°,
∴△NCD是等边三角形.
∴ND=NC,∠DNC=60°.
∵∠DNC是△BND的外角,
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵DN=NC=NB,
【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.
名师点拨
1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.
2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.
名师点拨
1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.
2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.
提分策略
1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.
【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.
(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.
【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB=CD.
在△ABE和△CDF中,
∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,
即DE=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
2.平行四边形的判定.
利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证四边形DGFE是平行四边形.
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形证明即可;
【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,
∴DE∥GF且DE=GF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.
(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.
【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().
A. 正三角形
B. 正六边形
C. 正方形
D. 正五边形
【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.
【答案】 D
(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.
【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().
A. 正方形和正六边形
B. 正三角形和正方形
C. 正三角形和正六边形
D. 正三角形、正方形和正六边形
【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得
,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;
B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满; C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;
D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.
【答案】 A
专项训练
一、选择题
1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为().
A. 正八边形
B. 正九边形
C. 正十边形
D. 正十一边形
2.(2014·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().
A. 当AB=BC时,它是菱形
B. 当AC⊥BD时,它是菱形
C. 当∠ABC=90°时,它是矩形
D. 当AC=BD时,它是正方形
3.(2014·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().
A. 4
B. 6
C. 8
D. 不能确定
(第3题)
(第4题)
4.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是().
A. 70°
B. 110°
C. 140°
D. 150°
5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是().
A. 110°
B. 108°
C. 105°
D. 100°
(第5题)
(第7题)
6.(2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是().
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
7. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为().
A. 30°
B. 60°或120°
C. 60°
D. 120°
8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().
A. 1∶2∶3∶4
B. 2∶3∶2∶3
C. 2∶3∶4∶5
D. 1∶2∶2∶3
二、填空题
9.(2014·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.
(第9题)
10. (2013·湖北枣阳模拟)已知?ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .
三、解答题
11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证四边形ACEF是平行四边形.
(第11题)
12.(2014·广东深圳模拟)已知如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
(1)求证△AED≌△CFB;
(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?
(第12题)
13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,?ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.
(1)求证四边形EBFD是平行四边形;
(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.
(第13题)
参考答案与解析
1. C[解析]多边形外角和均等于360°,
2. D[解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.
3. C[解析]∵△PEF的面积是2,
∴△PBC的面积是2×4=8.
∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,
∴S1+S2=8.
4.D[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.
5. D[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.
6. C[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.
7. D[解析]△ABE是等边三角形.
8. B[解析]平行四边形对角相等.
9.72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.
11.∵∠ACB=90°,E是BA的中点,
∴CE=AE=BE.
∵AF=AE,
∴AF=CE.
在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,
∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.
∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.
∴∠1=∠2.
∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.
∵AF=AE,
∴∠F=∠3 .
∵∠1=∠3,
∴∠1=∠F=∠3.
∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.
∴∠AEC=∠F AE,
∴CE∥AF.
又CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(第11题)
12. (1)∵平行四边形ABCD,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
∴∠AED=∠CFB=90°.
∴△AED≌△CFB (AAS) .
(2)在Rt△AED中,
∵∠ADE=30°,AE=3,
∴AD=2AE=2×3=6.
∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,
∴∠ABE=45°.
13. (1)在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD.
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴BE=DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵AD=AE,∠A=60°,
∴△ADE是等边三角形.
∴DE=AD=2.
又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.