第28届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量m S=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。
二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，
B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆A B和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l. （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。
三、（25分）人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法，其原理如图。
设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。图中O是圆筒的对称轴。两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，接触小球与卫星的联系，于是卫星停止转动。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处。试求：
（1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l；
（2）绳的总长度L；
（3）卫星从ω0到停转所经历的时间t.
m
/2
四、（20分）空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O -xyz ，如图所示。匀强电场沿x 方向，电场强度10E E i =
，匀强磁场沿z 方向，磁感应强度0B B k =
，E 0、B 0为已知常量，i 、k
分别为x 方向和z 方向的单位矢量。
（1）有一束带电量都为正q 、质量都为m 的粒子，同时从Oyz 平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz 平面内，速度的大小和方向各不相同。问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz 平面内。
（2）现在该区域内再增加一个沿z 方向随时间变化的匀强电场，电场强度20(cos )E E t k ω= ，式中ω=qB 0
m
.若有
一电荷量为正q 、质量为m 的粒子，在t =0时刻从坐标原点O 射出，初速度0v
在Oyz 平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。
（不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场）
五、（15分）半导体PN 结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射PN 结时，PN 结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。当PN 结两端接有负载时，光照使PN 结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定时，光电流也是恒定的，已知该光电流为I L ；同时，PN 结又是一个二极管，当有电流通过负载时，负载两端的电压V 使二极管正向导通，其电流为0(1)T
V V D I I e =-式中V T 和I 0在一定条件
下均为已知常数。
（1）在照射光的强度不变时，通过负载的电流I 与负载两端的电压V 的关系式I = .太阳能电池的短路电流I S = ，开路电压V OC = .负载功率P = .
（2）已知一硅PN 结太阳能电池的I L =95mA ，I 0=4.1×10-9mA ，V T =0.026V.则此太阳能电池的开路电压V OC = V.若太阳能电池输出功率最大时，伏在两端的电压可近似表示为0
1ln
1L mP T OC T
I I V V V V +=+，
则V mP = V.太阳能电池输出的最大功率P max = mW.若负载为欧姆电阻，则输出最大功率时，负载电阻R = Ω.
z
六、（20分）如图所示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔与大气相通，大气的压强为P 0.用一热容量可忽略的导热隔板N 和一绝热活塞M 将气缸分为A 、B 、C 三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气。气缸的左端A 室中有一电加热器Ω.已知在A 、B 室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A 、B 两室中气体的温度均为T 0，A 、B 、C 三室的体积均为V 0.现通过电加热器对A 室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q 0，试求B 室中气体的末态体积和A 室中气体的末态温度。（设A 、B 两室中气体1摩尔的内能为U =52
RT ，式中R 为普适气体常量，T 为绝对温度）
七、（20分）如图所示，L 是一焦距为2R 的薄凸透镜，MN 为其主光轴。在L 的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R 的很薄的球面镜A 和B .每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A 、B 顶点间的距离3R /2.在B 的顶点C 处开一个透光的小圆孔（圆心为C ），圆孔的直径为h .现于凸透镜L 左方距L 为6R 处放一与主轴垂直的高度也为h （h < （2）形成像I 的光线经A 反射，直接通过小孔后经L 所成的像I 1与透镜L 的距离等于 ； （3）形成像I 的光线经A 反射，再经B 反射，再经A 反射，最后通过L 成像为I 2，将I 2的有关信息填在下表中： （4）物PQ 发出的光经L 后未进入B 上小圆孔C 的那部分光最后通过L 成像为I 3，将I 3的有关信息填在下表中： N 八、（20分）有一核反应其反应式为1331 1120p H He n +→+，反应中所有粒子的速度均远小于光速。试问： （1）它是吸能反应还是放能反应，反应能Q 为多少？ （2）在该核反应中，若31H 静止，入射质子的阈能T th 为多少？阈能是使该反应能够发生的入射粒子的最小动 能（相对实验室参考系）。 （3）已知在该反应中入射质子的动能为1.21MeV ，若所产生中子的出射方向与质子的入射方向成60.0°角，则该中子的动能T n 为多少？ （已知11p 、10n 、31H 核、32He 核的静止质量分别为：m p =1.007276u ，m n =1.008665u ，3 1 H m =3.015501u ， 32 He m =3.014932u .u 是原子质量单位，1u 对应的能量为931.5MeV .结果取三位有效数字） 第28届全国中学生物理竞赛复赛答案 一、参考解答： 解法一 取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为 22 221x y a b += （1） a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示． 以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有 32 32a T a T =e e （2） 设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得 c a r =-0 （3） 22c a b -= （4） 由图1可知，P 点的坐标 cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得 ()2 222222222sin cos 2cos 0P P P P P a b r b cr b c a b θθθ+++-= （7） 根据求根公式可得 ()22222cos sin cos P P P P b a c r a b θθθ-= + （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s 2Gmm E =a - (10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 2 s s 122P P Gmm Gmm m r a ??+-=- ??? v （11） 得 P =v （12） 代入有关数据得 41 4.3910m s P -??v = (13) 设P 点速度方向与0SP 的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律 []sin 2P P P r ?θσ-=v （14） 其中σ为面积速度，并有 πab T σ= （15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得 127?= （16） 解法二 图1 取极坐标，极点位于太阳S 所在的焦点处，由S 引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r 、θ表示彗星的椭圆轨道方程为 1cos p r e θ = + （1） 其中，e 为椭圆偏心率，p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a ，根据解析几何可知 ()21p a e =- （2） 将（2）式代入（1）式可得 () θ cos 112 e e a r +-= （3） 以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有 32 3 2a T a T =e e （4） 在近日点0=θ，由（3）式可得 1r e a =- （5） 将P θ、a 、e 的数据代入（3）式即得 0.895AU P r = （6） 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 s 2Gmm E =a - (7) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有 2 s s 122P P Gmm Gmm m r a ??+-=- ? ? ? v （8） 可得 P =v （9） 代入有关数据得 41 4.3910m s P -??v = (10) 设P 点速度方向与极轴的夹角为?，彗星在近日点的速度为0v ，再根据角动量守恒定律，有 ()sin P P P r r ?θ-=v v 00 （11） 根据（8）式，同理可得 = v（12） 由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据 127 ?= (13) 评分标准： 本题20分 解法一 （2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分． 解法二 （3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分． 二、参考解答： 1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图： 1 f为地面作用于杆AB的摩擦力， 1 N为地面对杆AB的 支持力， 2 f、 2 N为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力， 3 N、 4 N分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆 AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件 有 431 N N f +-=（1） 1 20 N mg -=（2） 以及对A点的力矩 () 34 11 sin sin sin cos cos cos0 22 mgl mg l l N l N l l CF θθαθθα ?? +---+-= ? ?? 即 () 34 31 sin sin cos cos cos0 22 mgl mgl N l N l l CF θαθθα ---+-=（3） 式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有 sin cot CF lαθ =（4） 取杆CD为研究对象，由平衡条件有 422 cos sin0 N N f θθ +-=（5） 22 sin cos0 N f mg θθ +-=（6） 以及对C 点的力矩 41 cos sin 02 N l mgl αα- = （7） 解以上各式可得 41 tan 2 N mg α= （8） 33 1sin 1tan sin tan tan 2 2cos 2sin N mg αααθαθθ??=--+ ??? （9） 13tan sin 1tan sin 2cos 2sin f mg θαααθθ?? =-+ ??? （10） 12N mg = （11） 21sin tan cos 2N mg θαθ?? =- ??? （12） 21cos tan sin 2f mg θαθ? ? =+ ?? ? （13） CD 杆平衡的必要条件为 22c f N μ≤ （14） 由（12）、（13）、（14）式得 () 2sin cos tan cos sin C C μθθαμθθ -≤ + （15） AB 杆平衡的必要条件为 11A f N μ≤ (16) 由（10）、（11）、（16）式得 tan sin 2sin 43tan sin cos A ααα μθθθ -≤- （17） 因此，使系统平衡，α应满足的条件为（15）式和（17）式． 2．将题给的数据代入（15）式可得 arctan 0.38521.1α? ≤= (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得 19.5α≥? (19) 因此，α的取值范围为 19.521.1α ≤≤ (20) 评分标准： 本题20分 第1问15分 （1）、（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到（17）式各1分． 第2问5分 （18）式1分，（19）式3分，（20）式1分． 三、参考解答： 解法一 1． 设在时刻t ，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于P 点，绳与圆筒的切点为T ，P 到T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，圆筒的角速度为ω，小球的速度为v .小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度1v 和垂直于绳子方向的速度2v 两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有 ()()()()22222 001211112222 M R m R M R m ωωω+=++v v (1) 2220012+=++MR mR MR mR ml ωωωv v (2) 因为绳子不可伸长，1v 与切点T 的速度相等，即 ωR =1v (3) 解(1)、(2)、(3)式得 ()()02 22 2ωωml R m M ml R m M ++-+= (4) ()()0 22222ωml R m M l R m M +++= v (5) 由(4)式可得 l = (6) 这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ． 2．由（6）式，当0=ω得 =L （7） 这便是绳的总长度L . 3．如图2所示，从时刻t 到t t +?，切点T 跟随圆筒转 2 () 2t ' 过一角度1t ωθ?=?，由于绳子的拉直部分的长度增加了l ?，切点相对圆筒又转过一角度2l R θ?=?，到达T '处，所以在t ?时间内，切点转过的角度 12l t R θθωθ??=?=+ ?+? （8） 切点从T 变到T '也使切线方向改变了一个同样的角度θ?，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度2v 引起的，故有 2t l θ??=v （9） 由(1)、(2)、(3)式可得 ()20l ωω=+v （10） 由(8)、（9）、（10）三式得 0l R t ω ?=? （11） （11）式表示l 随t 均匀增加，故l 由0增加到L 所需的时间为 0s L t R ω==（12） 解法二 1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度. 在t 时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所 示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为T ，小球到切点T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，小球到转轴O 的距离为r ，圆筒的角速度为ω.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展 开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变. 首先考察小球相对于圆筒的运动.在t 时刻，OT 与固定在 圆筒上的半径0OP 的夹角为φ，如图2所示.由于小球相对圆筒 的运动，经过时间t ?，切点从圆筒上的T 点移到T '点，OT ' 与0OP 的夹角变为φφ+?，绳的拉直部分的长度由l 变 为l '， 小球由P 运动到P '，PP ' 便是小球相对圆筒的位移.当 t ?很 小时l l '≈，故 PP l l φφ''=?≈? 2 m 1 于是小球相对圆筒的速度大小为 l l t φφφ ω?==?v (1) 方向垂直于TP ．φω是切点相对圆筒转动的角速度． 再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆筒的角速度为ω时，位于转动参考系中的P 点(小球所在处)相对质心系的速度 r ωω=v (2) 方向垂直于OP ．可以把ωv 分解成沿着TP 方向的分量1ωv 和垂直TP 方向的分量2ωv ，如图3所示，即 1R ωω=v (3) 2l ωω=v (4) 小球相对质心系的速度 v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的P 点相对质心系速度的合成，由图3可得 v 的大小 =v (5) 因 l R φ= (6) 故有 =v （7） 因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有 ()()2222 20011112222 M R mR M R m ωωω+=+v （8） ()2220012MR mR MR mR ml ωωφωωω+=+++v v v （9） 由(7)、(8)两式有 ()22 2 20m M m φωωωωφ=+ ++ （10） 由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得 ()20m M m φωωφωω=+ ++ （11） 由(10)、(11)两式得 φωωωω+=+0 故有 2 φω+ v 0ωωφ= （12） 上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将(12）式代入（11）式得 φ= （13） 由(6)、(13)两式得 l = （14） 这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ． 2．由（14）式，当0=ω得绳总长度, 即 L = （15） 3．因φω是一个恒量，φ随时间的t 的变化规律为 t 0ωφ= （16） 当0=ω时，由（13）式可得卫星停旋时的φ s φ= （17） 设卫星停转所用的时间为s t ，由（16）、（17）式得 0s s t φω= = （18） 评分标准： 本题25分． 解法一 第1问12分．（1）、（2）式各3分，（3）式2分，（6）式4分． 第2问3分．（7）式3分． 第3问10分．（8）、（9）式各3分，（10）式2分，（11）、（12）式各1分． 解法二 第1问18分．（1）式3分，（2）式2分，（7）式2分，（8）式3分，（9）式3分，（12）式2分，（14）式3分， 第2问3分．（15）式3分． 第3问4分．（16）式2分，（17）式1分，（18）式1分． 四、参考解答： 1．根据题意，粒子的初速度只有y 方向和z 方向的分量，设它们为0y v 和0z v .因为粒子在z 方向不受电 场力和磁场力作用，故粒子在z 方向以初速度0z v 作匀速运动. 粒子在Oxy 面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y 方向的初速度表示为 001001y y y y =-++v v v v (1) 其中 010 y E B =- v (2) 沿y 负方向．与01y v 相关的磁场力 010Bx y f q B =-v (3) 沿x 负方向.粒子受到的电场力 0E Ex f f qE == (4) 沿x 正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x 方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为0 E B 的速度沿y 负方向运动．除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度 0 0200 y y E B =+ v v (5) 沿y 正方向，与02y v 相关的磁场力使粒子以速率02y v 在Oxy 面内作匀速圆周运动，以r 表示圆周运动的半径，有 2 02 020y y q B m r =v v (6) 可得 020 y m r qB = v (7) 由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期 2m T = qB π (8) (8)式表明，粒子运动的周期与粒子在y 方向的初速度无关．经过时间T 或T 的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz 平面. 2．增加的电场2E 对粒子在Oxy 平面内的运动无影响，但粒子在z 方向要受到此电场力作用．以z a 表示 在此电场力作用下的加速度，有 0cos z ma qE t ω= (9) 或 cos z qE a = t m ω (10) 这是简谐运动的加速度，因而有 2 z a =z ω- （11） 由(10)、（11）可得 t m qE z ωωcos 10 2 - = (12) 因未增加电场时，粒子在z 方向作初速度为0z v 的匀速运动，增加电场后，粒子在z 方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有 02 1cos z qE z t t m ωω=- v （13） 粒子在Oxy 平面内的运动不受电场2E 的影响．设0ω为粒子在Oxy 平面内作圆周运动的角速度，则有 0 02πqB T m ω= = (14) 由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t 的变化关系 ()01cos x r t ω'=- (15) 0sin y r t ω'= (16) 考虑到粒子在y 方向还具有速度为01y v 的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律： 000001cos y E qB m x t qB B m ? ???= +- ? ?????v (17) 0000000sin y E E qB m y t t B qB B m ? ?=- ++ ???v (18) 00 020cos z mE qB z t t qB m =- v (19) 评分标准： 本题20分． 第1问12分．（2）、（3）、（4）式共5分，（5）、（6）、（7）式共4分，（8）式及相关说明共3分． 第2问8分．（12）式2分，（14）式到（19）式各1分. 五、答案与评分标准 本题15分． 1．01T V V L I I e ??-- ? ??? (2分），L I （2分），0ln 1L T I V I ?? + ??? （2分）， 01T V V L VI VI e ??-- ? ??? （1分） ． 2 2．0.62V （2分）；0.54V （2分）；49mW （2分）；6.0Ω （2分）． 六、参考解答： 在电加热器对A 室中气体加热的过程中，由于隔板N 是导热的，B 室中气体的温度要升高，活塞M 将向右移动.当加热停止时，活塞M 有可能刚移到气缸最右端，亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止. 1. 设加热恰好能使活塞M 移到气缸的最右端，则B 室气体末态的体积 02B V V = （1） 根据题意，活塞M 向右移动过程中，B 中气体压强不变，用B T 表示B 室中气体末态的温度，有 00B B V V T T = （2） 由(1)、(2)式得 02B T T = （3） 由于隔板N 是导热的，故A 室中气体末态的温度 02A T T = （4） 下面计算此过程中的热量m Q . 在加热过程中，A 室中气体经历的是等容过程，根据热力学第一定律，气体吸收的热量等于其内能的增加量，即 05 ()2 A A Q R T T = - （5） 由(4)、(5)两式得 05 2 A Q RT = （6） B 室中气体经历的是等压过程，在过程中B 室气体对外做功为 00()B B W p V V =- （7） 由(1)、(7)式及理想气体状态方程得 0B W RT = （8） 内能改变为 05 ()2 B B U R T T ?= - （9） 由(4)、(9)两式得 05 2 ?= B U RT （10） 根据热力学第一定律和(8)、(10)两式，B 室气体吸收的热量为 07 2 =?+= B B B Q U W RT (11) 由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为 06m A B Q Q Q RT =+= （12） 若0m Q Q =，B 室中气体末态体积为02V ，A 室中气体的末态温度02T . 2．若0m Q Q >，则当加热器供应的热量达到m Q 时，活塞刚好到达气缸最右端，但这时加热尚未停止，只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变，故热量0m Q Q -是A 、B 中气体在等容升温过程中吸收的热 量.由于等容过程中气体不做功，根据热力学第一定律，若A 室中气体末态的温度为A T '，有 00055 (2)(2)22 m A A Q Q R T T R T T ''-= -+- （13） 由(12)、(13)两式可求得 004 55 A Q T T R '=+ （14） B 中气体的末态的体积 02B V =V ' （15） 3. 若0m Q Q <，则隔板尚未移到气缸最右端，加热停止，故B 室中气体末态的体积B V ''小于02V ，即02B V V ''<．设A 、B 两室中气体末态的温度为A T ''，根据热力学第一定律，注意到A 室中气体经历的是等容过程，其吸收的热量 05 ()2 A A Q R T T ''= - （16） B 室中气体经历的是等压过程，吸收热量 0005 ()()2 B A B Q R T T p V V ''''=-+- （17） 利用理想气体状态方程，上式变为 ()07 2 B A Q R T T ''=- （18） 由上可知 006()A B A Q Q Q R T T ''=+=- （19） 所以A 室中气体的末态温度 06A Q T T R ''=+ （20） B 室中气体的末态体积 00000 (1)6B A V Q V T V T RT ''''==+ （21） 评分标准： 本题20分． 得到0m Q Q =的条件下（1）、（4）式各1分；（12）式6分，得到0m Q Q >的条件下的（14）式4分，（15）式2分；得到0m Q Q <的条件下的（20）式4分，（21）式2分． 七、答案与评分标准： 本题20分． 1． 3R (3分) 2． 6R (3分) 八、参考解答： 1. 反应能 ()() 332p n H He Q m m m m c ??=+-+?? （1） 式中c 为光速．代入数据得 0.764MeV Q =- （2） 上式表明这是一吸能核反应． 2．为了求入射质子阈能，反应前后各粒子都应沿同一直线运动．设质子的入射速度大小为p v ，反应后 32 He 的速度大小为3He v ，中子的速度大小为n v ，根据动量守恒和能量守恒有 33p p n n He He m m m =+v v v (3) 33 222p p n n He He 111222 m m m Q =++v v v （4） 由（3）、（4）式可得 3333322 n n p p p n 22He He n p n p He He He 220m m m m m m m m Q m m m ????+--++= ? ? ? ????? v v v v (5) 令 333332n n He He p n p He 2 p p 2 He p He 2 2m m m a m m m b m m m m c Q m ? +?= ??? =-???-?= +?? v v (6) 把(6)式代入(5)式得 2 n n 0a b c ++=v v (7) (7)式有解的条件是 2 40b ac -≥ (8) 由(6)式可知，c 可能大于零，亦可能小于零.若0c <，则(8)总成立，中子速度一定有解，反应一定能发生；若0c >，则由 (6)、(8)两式得 33n 2 He p p n p He 12m m m Q m m m +≥ +-v (9) 即只有当入射质子的动能满足(9)式时，中子速度才有解，反应才能发生，所以入射质子的阈能为 3p n p He 1th m T Q m m m ??=+ ? ? +-?? (10) 利用(1)式，在忽略2 Q 项的情况下，(10)式可简化为 3p H 1th m T Q m ?? =+ ? ??? (11) 代入有关数据得 1.02MeV th T = (12) 3．由动量守恒和能量守恒有 33p p n n He He =+ m m m v v v (12) 33 222p p n n He He 111222 m m m Q =++v v v (13) 以θ表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角，如 图所示，根据余弦定律有 ()()() 332 2 2n n p p n p n p He He 2cos m m m m m θ=+-v v v v v (14) 令 2 p p p 12T m = v (15) 2 n n n 12 T m =v (16) p p m v 第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、（23分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H 表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 二、（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。 三、（23分）有一带活塞的气缸，如图1所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的，它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这 种过程中，由实验测得，气体的压强p 和体积V 遵从以下的过程方程式 图1 其中a ,k 均为常量, a ＞1（其值已知）。可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为 式中2V 和1V ,分别表示末态和初态的体积。 如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度ω做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量p ?和经过的时间t ?遵从以 图2 下的关系式 式中V 为气体的体积，L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。 上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A 与另一已知状态B 之间的内能之差（结果要用状态A 、B 的压强A p 、B p 和体积A V 、B V 及常量a 表示） 四、（25分）图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图中1D 和2D 是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），1C 和2C 是理想电容器，它们的电容都为C ，初始时都不带电，G 点接地。现在A 、G 间接上一交变电源，其电压A u ，随时间t 变化的图线如图2所示．试 第28届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量m S=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA， B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆A B和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l. （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。 （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。 三、（25分）人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法，其原理如图。 设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。图中O是圆筒的对称轴。两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，接触小球与卫星的联系，于是卫星停止转动。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处。试求： （1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l； （2）绳的总长度L； （3）卫星从ω0到停转所经历的时间t. m /2 第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共九题，满分 160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程． 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们 的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重 力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求 出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的 摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ） 初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动 相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同 时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初 始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________. 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年，△θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离） 作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒=1 1000角秒，1角秒= 1 3600 度，1AU=1.5×108km, 光速 c = 3.0 ×105km/s. 第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 （本题共七大题，满分160分） 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2 /8.9s m g = 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示） 三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。 第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 （本题共七大题，满分160分） 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞， 0μ的值应在什么范围内？取2/8.9s m g = 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示） 三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气 最近十年初中应用物理知识竞赛题分类解析专题13--热和能 一、选择题 典例3（2011上海第25界初中物理竞赛）当物体中存在温度 差时，热量会从温度高的地方向温度低的地方传递。对于一 长度为L 、横截面积为S 的均匀金属棒，当两端的温度差稳 定为△T 时，△t 时间内从高温端向低温端传递的热量△Q 满足关系式： t L T kS Q ??=?.；其中k 为棒的导热系数。如图所示，长度分别为L 1、L 2，导热系数分别为k 1、k 2，的两个横截面积相等的细棒在D 处紧密对接，两金属棒各自另一端分别与温度为400开、300开的恒定热源良好接触。若L 1∶L 2=1∶2，k 1∶k 2=3∶2，则在稳定状态下，D 处的温度为 （ ） A ．375开 B ．360开 C ．350开 D ．325开 解析：设在稳定状态下，D 处的温度为T ，则对于长度为L 1的细棒，()11 400-k S T Q t L ?=?，对于长度为L 2的细棒，()22 300k S T Q t L -?=?，联立解得T=375K ，选项A 正确。 .答案：A 【点评】此题考查热传递及其相关知识。 典例4．（2011上海第25界初中物理竞赛复赛）将一功率为P=500瓦的加热器置于装有水的碗中，经过分钟后，碗中水温从T 1=85℃上升到T 2=90℃，之后将加热器关掉分钟，发现水温下降℃。试估算碗中所装水的质量。 解答：加热器在2分钟内所供应的总热量，等于水温升高所吸收的热量，加上散失到周围环境的热量，即Pt=cm (T 2-T 1)+Q 若水温变化不大，则散失到周围环境的热量与时间成正比。因此加热器关掉1分钟，从热水散失的热量等于Q/2，此热量等于热水温度下降℃所放出的热量，即Q/2=cm△T 从以上两式可以解得Pt=cm (T 2-T 1+2△T) m= ()212Pt c T T T -+?=()35001204.210 5.0+2 1.0????kg=。 【点评】此题考查热量、能量守恒定律及其相关知识。 【竞赛实战训练】 1．(2009全国初中应用物理知识竞赛题)炎热无风的夏天，小宇走在被晒得发烫的柏油路上，看见前面的路面已被一辆洒水车洒水淋湿了。他认为走在淋湿了的路面上一定比走在干燥的路面上感到凉爽，于是赶快走过去，结果在洒过水的路面上，他却感到更加闷热了。你认为产生这种感觉的主要原因是( ) A ．洒水车中的水经过曝晒后，内能增大，温度很高 第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题 一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件. 三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为 d (())d d d d d Y X t Y X t X t = 例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为 dcos ()dcos d d d d t t t θθθθ= 四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为 q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总 是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V . 2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 113126.6710G m kg s ---=???，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是3kg m -?。 2、（522C -?，电荷量q 1洁的形式F q =C 。 3、（5强度B 当B 。 二、（21圆轨道，高 5 31 f H =1所示）使卫星以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量32.35010m k g =?，地球半径 36.37810R km =?，地面重力加速度29.81/g m s =，月球半径31.73810r km =?。 1、试计算16小时轨道的半长轴a 和半短轴b 的长度，以及椭圆偏心率e 。 2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N ，要把近地点抬高到600km ，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H m 约为200km ，周期T m =127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于90）来表示。不计空气及重力的影响。 四、（20分）图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M 为指针压力表，以V M 表示其中可以容纳气体的容积；B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以V B 表示其体积；E 为贮气容器，以V E 表示其体积；F 为阀门。M 、E 、B 由体积可忽略的毛细血管连接。在M 、E 、B 均处在室温T 0=300K 时充以压强50 5.210p Pa =?的氢气。假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方125K 示的压强p 2时压力表M 在设25V T K =25K 时，3、的800五、（20个电子，时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板图所示的周期性变化的电压AB V （AB A B V V V =-，图中只画出了一个周期的图线），电压的最大值和最小值分别为V 0和－V 0，周期为T 。若以τ表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔为T －τ。已知τ的值恰好使在V AB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻t b 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且206mv eV =，不计电子之间的相互作用及重力作用。 1、满足题给条件的τ和t b 的值分别为τ=T ，t b =T 。 2、试在下图中画出t=2T 那一时刻，在0－2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流I ，随离开右极板距离x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标的数字保留到小数点后第二位）。取x 正向为电流正方向。图中x=0处为电容器的右极板B 的小孔所在的位置， 2016全国初中物理竞赛复赛试题(含答案） 初中物理是义务教育的基础学科，一般从初二开始开设这门课程，教学时间为两年。一般也是中考的必考科目。随着新高考/新中考改革，学生的综合能力越来越重要，录取方式也越来越多，三位一体录取方式十分看重学生的课外奖项获取。万朋教育小编为初中生们整理了2016年全国初中物理竞赛试卷和答案，希望对您有所帮助。 第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共8题，满分160分。 一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ；物块边长为b ，密度为'ρ，且ρρ<'。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 解： 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向 建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= ( x b ≤) (1) 式中 g 为重力加速度.物块的重力为 3 g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有 3 g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'?? =- - ?'? ? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关 系为 X x b ρρ ' =- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ ' = (7) 物块运动方程在 X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 'g b ρωρ= (10) 在(8)和(9)式中 A 和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释 放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得 第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题 1.如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为α的圆线和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小 为一已知常量k。已知2r 1＝3r 2 。求：图中AB两点的电势差U A -U B 。 2.长度为4毫米的物体AB由图所示的光学系统成像，光学系统又一个直角棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上，求：像的位置；像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 3.如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连接成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其他质点也获得一定 的速度，∠BAD＝2α（α<π/4）。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。 4.在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a（a>R），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问： 1.当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？ 2.当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3.当导体球的电势为V O 时，球球上总电荷又是多少？ 4.情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 5.情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡 带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状 态。 5、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计）， 直径为d＝2.0米，球内充有压强P 1.005×105帕的气体，该布料所能承受 的最大不被撕破力为f m ＝8.5×103牛/米（即对于一块展平的一米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×103牛时，布料将被撕 破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为P ao ＝1.000×103帕， 温度T ＝293开，假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变 化为α p ＝-9.0帕/米，温度的变化为α T ＝-3.0×10-3开/米，问该气球上升到 多高时将撕破？假设气球上升很缓慢，可以为球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。 6.有七个外形完全一样的电阻，已知其中6个的阻值相同，另一个的阻值不同，请按照下面提供的器材和操作限制，将那个限值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。 提供的器材有：1电池；2一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的；3导线若干 操作限值：全部过程中电流表的使用不得超过三次。 一、 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为 2b f b x g ρ= (x b ≤) (1) 式中g 为重力加速度.物块的重力为 3g f b g ρ'= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有 3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得 g a x b b ρρρρ'??=-- ?'?? (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ' 而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ'=- (5) 把(5)式代入(4)式得 g a X b ρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为 0x b ρρ '= (7) 物块运动方程在X 系中可写为 ()()cos X t A t ω?=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 ()()sin V t A t ωω?=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率 ω= (10) 在(8)和(9)式中A 和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得 (0)X b ρρ '=- (11) (0)0V = (12) 由(8)至(12)式可求得 A b ρρ '= (13) ?=π (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 ()()cos X t b t ρωρ '=+π (15) ()()V t t ω=+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为 b 1X X b ρρ'??==- ?? ? （17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在 振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论： I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得 ρρ'≥2 (18) 在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 22T ωπ= = (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间 2010年全国中学生物理竞赛复赛试卷（第二十七届）本卷共九题，满分 160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程． 一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直 线，它们的悬挂点在不同的高度 上，摆长依次减小．设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为 ________________________________________. 二、（ 20 分）距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为△ θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年，△θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms 为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离）作为单位， 只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒= 1 1000 角秒，1角秒= 1 3600 度，1AU=×108km,光速 c = ×105km/s. 三、（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球 使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状 态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小． 四、（ 12 分）如图所示，一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 ）的粒子作角速度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律．不考虑 2019年全国初中应用物理竞赛复赛试题 注意事项： 1.请在密封钱内填写所在地区、学校、姓名和考号. 2.用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3.本试卷共有六个大题，满分为100分. 电机来发电。该发种电机铭牌部分数据如下表所示，根据表中的数据求： (1)在允许的连续运行时间内，发电机以额定 功率输出，能够提供的电能是多少度? (2)己知汽油的热值是q=4.6xl07J/kg ，密度是 0.71 x 103kg/m 3，设该汽油机的效 率为35%，则该 汽油发电机油箱的容积至少需要多大? (3)汽油发电机将内能转化为电能的效率是多 少? 二、(16分)长期以来，我国北方地区域镇居民的冬季来暖计量一般都按住宅面积收费，导致用户节能意识差，造成严重的资源浪费。作为建筑节能的一项基本措施，近几年部分地区试点以热量表作为计量收费的依据和于段， 经测算可节能约20%---30%。 如图2所示，一个完整的热量表由以下三 个部分组成：一只被体流量计，用以测量经热 交换的热水流量；一对用铅电阻制作的温度传 感器，分别测量供暖进水和回水温度；一低功 耗的单芯片计算机，根据与其相连的流量计和 温度传感器提供的流量和温度数据，利用热力 学公式可计算出用户从热交换系统获得的热 量，通过液晶显示器将测量数据和计算结果显 示出来。 以下是某用户家中的热量表的部分参数，已知水的比热容取4.2xl03J/(kg·C)，天然气的燃烧值约为 8X 10 7J/m 3。 (1)试通过以上数据计算该型号热量表能测量的最大供热功率是多少? (2)在一次要查看热量表记录情况时，通过逐次点按热量表上的信息显示按钮，液晶显示器逐项循环显示出了下列数据： 根据这些数据推算，求此次查看时该用户家平均每小时从暖气中得到的热量约为多少J?到此次查看时为止，该用户从这套供暖系统得到的总能量相当于完全燃烧了多少m 3的天然气? 第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1） p 2= p 1 经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为 A H H V )(2?-=' （2） 2 2 22 V V p p '=' （3） 渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 HA V V ?+='11 （4） H g p p Δ22 1ρ+'= （5） 式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数 RT V p RT V p n 1111 - ''= ? （6） 在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 A nN N ?= （7） 式中N A 为阿伏伽德罗常量． 渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p V ΔnRT p = ? （8） 经过2小时渗透室上部分中空气的压强为 p p p ?-='00 （9） 测试过程的平均压强差 [])(2 1 10 10p p ()p p p '-'+-=? （10） 根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数 11111s m Pa 104.2---?=?= tS p Nd k （11） 评分标准： 本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分． 二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ． 因卫星椭圆轨道长轴的长度 第十三届全国物理竞赛复赛试题解答 一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13 - 1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得 π2a k = 21r 1I + 1r 1 I ' 对等边三角形三个边组成的电路，可得 332a k / 4 = 22r 2I + 22r 2I ' 对由弦AB 和弧AB 构成的回路，可得 （π2a -332a / 4）k / 3 = 1r 1I - 2r 2I 考虑到，流进B 点的电流之和等于流出B 点电流之和， 有 1I + 2I =1I ' + 2I ' 由含源电路欧姆定律可得 A U - B U = π2a k /3 - 1I 1r 由以上各式及题给出的 2r = 21r / 3可解得 A U - B U = - 32a k / 32 二、解法一：1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为c α= arcsin ( 1 / n ) ≈ο42 注意到物长为4mm ，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多 在ο 45左右，大于临界角，发 生全反射。所以对这些光线而 言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像 的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13 – 2 - 1所示。现在，问题转化为正立物体经过 一块垂直于光轴、厚度为6cm 的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成α角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。 图复解13 - 1 11I 图复解13 - 2 - 2 图复解13 - 2 - 1 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A 、B 、C 为3个容器，D 、E 、F 为3根细管，管栓K 是关闭的．A 、B 、C 及细管D 、E 中均 盛有水，容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示．A 、B 、C 的截 面半 径为12cm ，D 的半径为0.2cm ．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K ，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K 后水柱上升的原因． (2)．当D 管上端足够长时，求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差． (3)．论证水柱上升所需能量的来源． 二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外， 磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率/B t K ??=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=．直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势的大小． 三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心，三个质点的质量皆为m ，带电量皆为q 。质点 1、3之 间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C 处时，其速度大小为多少？ 四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E 为电压可调的直流电源。K 为开关，L 为待测线圈的自感系数，L r 为线圈的直流电阻，D 为理想二极管，r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A 为电流表。将图复19-4-1中a 、b 之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有 1 第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题 全卷共六题，总分为140分 一、（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 1.5n =，中心轴线长45cm L =，一端是半径为110cm R =的凸球面． 1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ 2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度1φ时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求21/φφ（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）． 二、(22分)正确使用压力锅的方法是：将己盖好密封锅盖的压力锅(如图复18-2-1)加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀S ，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气己全部排除．然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度(即设计时希望达到的温度)，现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为120℃．某人在海拔5000m 的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水． 1．若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？ 2．若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？ 3．若未按正确方法使用压力锅， 即盖好密封锅盖一段时间后，在点火 前就加上压力阀。此时水温为27℃， 那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内 水的温度是多少？若继续加热，锅内 水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水． 已知：水的饱和蒸气压w ()p t 与温度t 的关系图线如图复18-2-2所示． 2001年 1 大气压强()p z 与高度z 的关系的简化图线如图复18-2-3所示． 27t =℃时27t =3w (27) 3.610Pa p ?=?；27t =0z =处5(0) 1.01310Pa p =? 最新 全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件. 三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
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